浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高二12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高二12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量

檢測(cè)試題

-選擇題8小題5分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中

1.已知直線，經(jīng)過點(diǎn)M(—1,0),N(0,7),則直線Z的方程為()

A.7x+y+7—0B.7x+y—7—QC.7x—y—7—QD.7x—y+7—0

2.若橢圓1+W=l(a>通)的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于其焦距，則a=()

a2J

A.2B.2V2C.2V3D.4

3.已知直線，1：26+3,—1=0與。：3力+(?n+l)g+2=0垂直,則實(shí)數(shù)()

A.3B.-3C.2D.1

4.拋物線g=—2025/的準(zhǔn)線方程為()

3.,=2025

A-=等C.7/=—^—D.y—

24y4050y8100

5.在四面體ABCD中，E為棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BE上一點(diǎn)，且/=4詬，設(shè)泰=前，前=落

用=工則和=()

A.—n—1B.--m—n+~~tC.-^m+n—1D.yrm-n+~^t

55555555

6.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天

心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9

塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含

天心石)()

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

7.已知點(diǎn)P為圓。:儂一2)2+靖="(r>0)上一動(dòng)點(diǎn),若直線2―遮夕+6=0上存在兩點(diǎn)滿足隊(duì)目

【數(shù)學(xué)試卷第1頁(共14頁)】

=4,且/APB=90°,則r的最小值為)

A.4B.3C.2D.1

8.已知正方體ABCD—45GD1的棱長(zhǎng)為1,河為棱AQi的中點(diǎn)，G為側(cè)面CCDiG的中心，點(diǎn)P,。分

別為直線AD,AB上的動(dòng)點(diǎn)，且PGLMQ,當(dāng)戶初取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q到平面PMG的距離為（）

A.萼B.乎C.1口.烏

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.設(shè)Z,小是兩條不同直線，a,丑是兩個(gè)不同平面，下列命題為真命題的是（）

A.若2_L0"J_a,則&〃0B.若/〃a,m〃a,則Z〃?n

C.若a_1_6"_La,則，〃0或ZU0D.若/_Lm,Z則?n〃a或?nUa

10.一般地,對(duì)于數(shù)列｛冊(cè)｝,如果存在一個(gè)正整數(shù)t,使得當(dāng)n取每一個(gè)正整數(shù)時(shí)，都有an+t=an,那么數(shù)列

｛4｝就叫作周期數(shù)列，t叫作這個(gè)數(shù)列的一個(gè)周期,則下列結(jié)論正確的是（）

A.對(duì)于數(shù)列｛%｝,若&G｛l,2｝（i=l,2,3,…），則｛飆｝為周期數(shù)列

B.若｛aj滿足：a3D=a3&+2>a2"T=a2n+i（neN*）,則｛aj為周期數(shù)列

C.若｛aj為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)“，使得<河恒成立

D.已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為非零整數(shù)，Sn為其前幾項(xiàng)和，若存在正整數(shù)“，使得|SJ<”恒成立,則

｛an｝為周期數(shù)列

11.己知點(diǎn)F為拋物線。:靖=2pa;（p>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線。上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線Z為拋物線

。的準(zhǔn)線，點(diǎn)Q在直線Z上,若|PF|=2+2,|QF|=2,/PFQ=90°,且直線PF與拋物線。交于另一

點(diǎn)則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線PF的傾斜角為60°B.拋物線。的方程為靖=2c

C.邛^=3+2方D.點(diǎn)Q在以線段為直徑的圓上

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.在等差數(shù)列｛an｝中，若。3+。9=10，則。2+。5+Q11=.

13.已知E，鳥是雙曲線/一￡=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，以E為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的一條漸

azb

近線交于4B兩點(diǎn)，若21ABi=|月月I，則雙曲線的離心率是.

(力+2,6V—Q,

22

14.已知a>0,函數(shù)/(力)=<Va—rr,—力設(shè)F(g,/(g)),Q(T4,f(x4))，其中x3<—af64>—a,若

a.

\PQ\存在最小值，則a的取值范圍是

【數(shù)學(xué)試卷第2頁（共14頁）】

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為（2,0）,過點(diǎn),1）.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線y=—1）與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值.

16.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,ZABC=60°,PA_L平面ABCD,PA=3,

且刀=2屈，怒=語屈=3礪.

（1）求直線AP與直線CM所成角的余弦值;

（2）證明：M,C,G,H四點(diǎn)共面.

17.記Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列｛SJ的前幾項(xiàng)積，已知善+==2.

bnbn

⑴證明:數(shù)列｛心｝是等差數(shù)列；

（2）求｛%｝的通項(xiàng)公式.

【數(shù)學(xué)試卷第3頁（共14頁）】

18.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)分別在線段AB,AD上，AE=EB=AF==4.沿直線EF將

O

△AEF翻折成△AEF，使平面AEF±平面BEF.

Af

__B

（1）證明

（2）求二面角A'-FD-C的余弦值；

（3）點(diǎn)、M,N分別在線段FD、BC上,若沿直線AW將四邊形MNCD向上翻折，使。與4重合，求線段

的長(zhǎng).

19.己知點(diǎn)A（x1,y1）,_8（狽夕2），定義A，B的“倒影距離”為[A,B]=\x1—y2\+|電—，我們把到兩定點(diǎn)

砥—2,0）,頊2,0）的“倒影距離”之和為6的點(diǎn)”的軌跡。叫做“倒影橢圓”.

⑴求“倒影橢圓”。的方程;

（2）求“倒影橢圓”。的面積；

（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若“倒影橢圓”。的外接橢圓為E,D為外接橢圓E的下頂點(diǎn)，過點(diǎn)（0,2）的直線與橢

圓E交于P,Q兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)D），且ADPQ的外接圓的圓心為H（異于點(diǎn)O）,證明:直線OH與PQ的斜

率之積為定值.

【數(shù)學(xué)試卷第4頁（共14頁）】

參考答案

I.D

【分析】首先求出直線的斜率,再由斜截式得到直線方程，最后化為一般式即可.

因?yàn)橹本€I經(jīng)過點(diǎn)M（-1,O）,N（0,7）,

所以用==7,所以直線，的方程為?/=7c+7,即7x-y+7=0.

故選

2.A

【分析】依題意可得a=2而/，解得即可.

因?yàn)闄E圓U1（?>V3）的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于其焦距，

azJ

所以a=2Va2—3,解得a=2.

故選：A

3.B

【分析】利用兩條直線垂直的充要條件計(jì)算即可得解。

因?yàn)椤?所以3X2+3（?71+1）=0,所以772——3o

故答案為：B

4.D

【分析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式,即可求出其準(zhǔn)線方程.

拋物線y=-2025d即x^--L-y,

則拋物線的準(zhǔn)線為

olUU

故選：。

5.B

【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

因?yàn)镋為棱AD的中點(diǎn)，所以凝=金—毋=/力—存，

因?yàn)榧?4屋,所以加'=3顯==（《力—毋）=3國5—二荏，

55~2755

又怎=存_而

所以和=無+屈=怎一正+§國一34

55

=-^AB—AC+yrAD=--m—n+-7-1.

5555

故選：B

6.C

【分析】第九環(huán)天石心塊數(shù)為5，第一層共有外環(huán)，則｛斯｝是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，

設(shè)&為｛斯｝的前n項(xiàng)和，由題意可得$3“一$29=$2”—Sn+729,解方程即可得到n,進(jìn)一步得到S3n.

設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為％,第一層共有n環(huán)，

則｛冊(cè)｝是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，廝=9+（n—l）x9=9"，

設(shè)&為｛廝｝的前九項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分

別為SniS2n-Sn）S^n~S2九，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，

所以S3n—S2n=S2n~Sn+729，

即3n（9+27n）2n（9+18n）_2n（9+18n）n（9+9n）+729

即94=729,解得11=9,

【數(shù)學(xué)試卷第5頁（共14頁）】

訴“aa27(9+9x27)

所以$3“=$27=---------------j--------=3402.

故選：C

【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前幾項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.

7.C

【分析】設(shè)線段AB的中點(diǎn)河(沖力一6,。,求出以點(diǎn)M為圓心，2為半徑的圓，此圓與圓。有公共點(diǎn)求出

的取值范圍即可求得最小值.

由點(diǎn)A3在直線①一，^y+6=0上，且|人引=4,設(shè)線段的中點(diǎn)—6,t)，

由乙4。0=90°,得點(diǎn)。在圓河：3—〃^+6)2+(沙一力)2=4上，

圓。:Q—2)2+才=產(chǎn)—>0)的圓心。⑵0),半徑而點(diǎn)P在圓。上，

即圓。與圓河有公共點(diǎn)，則|r-2|W\CM\Wr+2,解得\CM\-2<r<\CM\+2,

而|CW|=V(V3^-8)2+t2=2V(/：-2A/3)2+4>4,當(dāng)且僅當(dāng)t=273時(shí)取等號(hào)，

因此r>2,當(dāng)且僅當(dāng)以線段AB的中點(diǎn)朋X0,2遍)為圓心，2為半徑的圓與圓。外切時(shí)取等號(hào)，

所以r的最小值為2.

故選：C.

8.A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(2,0,0),Q(l,?/,0),根據(jù)PG，,得到㈤?誠=0,從而得到g=2

+L再由向量模的坐標(biāo)表示求出忸動(dòng)的最小值及此時(shí)z、y的值，最后利用空間向量法求出點(diǎn)到平面的

距離.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則加(：,0,1),設(shè)P(,,0,0),Q(l,y,0),

所以PG=,y)>MQ=(y,y,-1),

因?yàn)镻G_LMQ,所以PG?MQ=―+-^-y—=0,即①—沙+1=0,所以夕=c+l,

又PQ=(1—2,2+1,0),所以\PQ\=J(l—2)2+(1+C)2=V2a?2+2>V2,當(dāng)且僅當(dāng)a;=0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)

rh-PG--7vb-\--77C—0

設(shè)平面PMG的法向量為慶=(a,6,c),所以，一：2，取慶=(2,1,—1),

\m-MQ\

所以當(dāng)|所|取得最小值時(shí),點(diǎn)Q到平面PMG的距離d=_3_V6

hl一娓—2.

【數(shù)學(xué)試卷第6頁(共14頁)】

【分析】根據(jù)線線、線面、面面關(guān)系逐項(xiàng)判斷可得答案.

垂直于同一直線的兩平面平行，故A正確；

平行于同一平面的兩直線可能相交、平行或異面，故3錯(cuò)誤；

垂直于同一平面的平面和直線可能平行，可能線在面內(nèi)，故。正確；

垂直于同一直線的平面和直線可能平行，可能線在面內(nèi)，故。正確.

故選：ACD

10.BC

【分析】舉反例可說明選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列｛源｝的奇數(shù)項(xiàng)都相等，偶數(shù)項(xiàng)都相等可得選項(xiàng)B正確；由

｛飆｝為周期數(shù)列可知一個(gè)周期內(nèi)必存在最大值，選項(xiàng)。正確;舉反例可說明選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

4取數(shù)列｛冊(cè)｝：1,2,1,221,2,2,2,1,2,2,2,2,1,…,滿足痣€｛l,2｝(i=l,2,3,…),但數(shù)列｛&｝不是周期數(shù)

歹!J,選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

B.由于｛<1?｝滿足：——1+2,d2n-l=a2n+l^N)，不妨令O,2n=a2n+2=a2n-l=d2n+l=a'

則數(shù)列｛a“｝為a,b,a,6,a,b,…，故an=an+2,數(shù)列｛廝｝是周期數(shù)列，選項(xiàng)B正確.

C.由于｛斯｝為周期數(shù)列,不妨設(shè)周期為noSo'l,noCN*),則數(shù)列｛冊(cè)｝中的項(xiàng)是為個(gè)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)，

設(shè)這為個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為小，所以存在正整數(shù)”>小，使得|以恒成立，選項(xiàng)。正確.

D令5=2,當(dāng)n>2時(shí)，令飆=(―l)n,

則當(dāng)九為奇數(shù)時(shí)，S”=2,當(dāng)幾為偶數(shù)時(shí)，S”=3,

取河=4,則|SJ<河恒成立,但數(shù)列｛時(shí)｝不是周期數(shù)列,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.

W.BD

【分析】過點(diǎn)P作PPLZ,垂足為P,根據(jù)拋物線的定義知|PP|=|PF|,得到/FPQ=/PPQ,利用二倍

角的正切公式求出NPTF=45°可判斷A；根據(jù)△QEK為等腰直角三角形,可求出p=1可判斷8將直

線PF的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出\MF\的值可判斷C；設(shè)線段PM的中點(diǎn)為E(g,%),

求出E的坐標(biāo)，得到=2|QE|可判斷D

對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，過點(diǎn)P作PPLZ,垂足為P,

由拋物線的定義知\PP'\=\PF\,

所以R3FQ與Rt/\PP'Q全等,則AFPQ=AP'PQ,

因?yàn)閨PF|=2+2,|QF|=〃，/PFQ=90°,

所以tan/PFQ=------pr=-s/2—1,

2+v2

2tan/PFQ2(H1)

則tan/PPF=tan2/PFQ=

l-tan2ZPFQ1-(V2-1)2

則AP'PF=45°,所以直線PF的傾斜角為45°,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B選項(xiàng),設(shè)直線I與x軸交于點(diǎn)K,則|KF|=p,

由上可知，/QFK=45°,則為等腰直角三角形,

因?yàn)閨QF|=2,則22+22=2,得p=1,

所以拋物線方程為靖=2c,故B正確；

【數(shù)學(xué)試卷第7頁(共14頁)】

對(duì)于。選項(xiàng)，由上可知，直線PF的方程為“=，—：，

設(shè)。（的,加、加（如功），|PF|=為+e=2+方,則，1=母+V2,

聯(lián)立［"="一十，整理得d―3,+；=0,

則+g=3,所以灰="|—V2,則\MF\=a;2+=2—V2,

所以書＞=2子=3—2囂，故。錯(cuò)誤；

\PF\2+V2

對(duì)于。選項(xiàng)，設(shè)線段PW的中點(diǎn)為E（g,%）,

則20=叼;g=_|_,%=g__^_=］,則鳳_!_,］），

由上可知Q（—?jiǎng)t|QE|=2,

又\PM\=\PF\+\FM\=2+V2+2-V2=4=2\QE\,

所以點(diǎn)Q在以線段PN為直徑的圓上，故。正確.

故選：BD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:拋物線定義的兩種應(yīng)用：

（1）實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋

物線的定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問題；

（2）解決最值問題，在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí),往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)

化，即化折線為直線解決最值問題.

12.15

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本運(yùn)算求解.

在等差數(shù)列｛4｝中，因?yàn)?3+ag=10,

所以2。6=。3+。9=10，解得。6=5,

所以02+。5+如=3（Qi+5d）=3。6=15，

故答案為：15

122A/10UH2OYY

13.---##—V10

55

【分析】利用月點(diǎn)到直線沙=22的距離，建立關(guān)于a,b,c的齊次式，即可求出離心率.

a

如圖，以E為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的漸近線g=交于兩點(diǎn)，

砥c,0）,2|4B|=|瓦項(xiàng)=2c,所以|4B|=c,

F2點(diǎn)到直線y——X的距離為、/〃一5-=—a

aV41+彩

Va

222

可得Q2———=b=c—a,2a2=——,

44

所以烏■，可得e=3誓.

a?55

【數(shù)學(xué)試卷第8頁（共14頁）】

故答案為：2號(hào).

5

14.(0,1)

【分析】先分析/(2)的圖象,結(jié)合圖象可知,要使\PQ\取得最小值，則點(diǎn)P在/Q)=2+2(c<—a)上,點(diǎn)

Q在/(2)=〃《?—/(―a《c《a),分析可解.

依題意，a>0,

當(dāng)/<—a時(shí)，/(,)=，+2,易知其圖象為一條端點(diǎn)取不到的單調(diào)遞增的射線；

當(dāng)一aWrrWa時(shí)，/(c)=G^,易知其圖象是，圓心為(0,0),半徑為a的圓在c軸上方的圖象(即半

圓)；

當(dāng)c>a時(shí),/(,)=-四一1,易知其圖象是一條端點(diǎn)取不到的單調(diào)遞減的曲線；

因?yàn)镻(x3,f(x3))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4>-a),

結(jié)合圖象可知，要使|PQ|取得最小值，則點(diǎn)P在/O)=rc+2O<—a)上，

點(diǎn)Q在/(2)=Ja?—22(―a42；4a),

同時(shí)\PQ\的最小值為點(diǎn)0到/(。)=/+2(,<—a)的距離減去半圓的半徑a,

此時(shí)，因?yàn)?(rc)—y—x+2(a;<—a)的斜率為1,則kOP——l,

故直線0P的方程為夕=-2，

聯(lián)立上=-：解得卜=；1,則p(T,l),

[y^x+2lg=l

顯然要保證P(-l,l)在/(c)=2+2(^<-a)上，才能滿足|PQ取得最小值，

所以只需—a>—1,即aC(0,1)都可滿足題意,保證|PQ|min=d—a—#1—a,

否則\PQ\無最小值，故ae(0,1).

故答案為：(0,1)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解決的關(guān)鍵求出F(-l,l)，且/(,)=c+2(c<—a)上,從而可得a的取值范圍.

15-⑴萬一萬=1

(2)fc=±A/2或k=±1

【分析】(1)設(shè)雙曲線的方程為：(—耳=l(a>0,b>0),由a?+〃=4,代入點(diǎn)(遍,1),可得a?=〃=2

a2b-

的值，可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)聯(lián)立直線與雙曲線，可得(1—k2)x2+2k2x——2=0,然后分二次項(xiàng)系數(shù)為零和二次項(xiàng)系數(shù)不為零,

兩種情況求解即可求A:的取值范圍.

【小問1詳解】

由雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在力軸上，c=2,過點(diǎn)(V3.1)，

設(shè)雙曲線的方程為：《一￥=l(a>0,b>0),由a2+〃=4,

過點(diǎn)(遍,1),可得三―[=1,可得a?=2,即得a2=〃=2,

azb

【數(shù)學(xué)試卷第9頁(共14頁)】

故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：苧-去=1;

【小問2詳解】

（y=k（x—l）

由（爐婿_］，得（1—k2）x2+2k2x—取—2=0

由題意得—火）（—/—2）=0廨得―土方，

當(dāng)1—%2=0,即^=±1時(shí)，直線與雙曲線的漸近線y=±c平行，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),

所以k=±V2或k=±1.

16.⑴,

（2）證明見解析

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo),得到方向向量，借助向量夾角余弦值公式計(jì)算即可;

（2）借助向量法，運(yùn)用空間向量共面的基本定理驗(yàn)證即可.

【小問1詳解】

連接AC,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，

又AABC=60°,所以△48。為等邊三角形，

取BC的中點(diǎn)E,連接AE,則AELBC,所以AD.

因?yàn)開R4_L平面ABCD,4DU平面4BCD,AEu平面ABGD,所以_R4_L40,24_LAE.

以A為原點(diǎn)，以所在直線分別為力軸、沙軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz.

則A（0,0,0）,P（0,0,3）,。（孤,1,0）,0（0,2,0）,助=（0,0,3）,由屈=3而，

可知加（0,宗2）,所以CM=（―V3,—"^-,2）,

AP-CM63

于是cos〈AP,CM)=

3x14

故直線AP與直線CM所成角的余弦值為卷.

【小問2詳解】

因?yàn)镸=2存，前=屈，所以G,H分別為中點(diǎn)，

則G（乎,—；,0）,鳳0,0,"1）,連接CG,CH,則宙=（一四—1,*）,歷=（—乎,—

【數(shù)學(xué)試卷第10頁（共14頁）】

設(shè)聞=〃五+4或，由⑴知近=(-V3,-y,2),

貝(-V3,-l,y)—//(——1-,0)+/1(-A/3,—y,2),

一吟u-4人=-瓜

則一畀一H=T，

2/1得

解得〃==今，

所以曲=《五+學(xué)而，

24

故M,C,G,H四點(diǎn)共面.

17.(1)證明見解析

y>(?=l)

(2)a?=

一而力'm>2)

【分析】(1)先求出仇,然后當(dāng)n>2時(shí)，由題意可得d=S”,代入春+；=2中化簡(jiǎn)可得bi―

y,從而可得｛bn｝是以仇='為首項(xiàng)，以y為公差的等差數(shù)列,

⑵由題意可得的=”，由⑴可得⑥="署，從而可求出凡="獸，再由a.=S”—S“T可求出冊(cè),檢

驗(yàn)Ql=|■是否滿足，從而可求出數(shù)列｛Qj的通項(xiàng)公式

【小問1詳解】

當(dāng)口=1時(shí)，瓦=$1，易得仇=等,

n

當(dāng)71>2時(shí)，—Sn代入VF=2消去,

13九bn

2bT

得71+4=2，化簡(jiǎn)得吼一八1

bn2

所以，數(shù)列｛6?｝是以瓦=方為首項(xiàng)，以y為公差的等差數(shù)列;

【小問2詳解】

n+2

易得Qi=Si=仇=,,由(1)可得bn=

2

當(dāng)九>2時(shí)，Sn=和可得S”=71+2

源一1n+1

71+271+11

Q八一SR—S—i

nn+1nn(n+l)

顯然的不滿足該式,

,，(九=1)

所以a

n(n>2)

(n(n+l)J

18.⑴證明見解析

⑶彳

【分析】(1)取EF中點(diǎn)H,連接AH,AH,通過EF±AH,EF1.得到EF±平面AAH,進(jìn)而得到

A'A±EF.

【數(shù)學(xué)試卷第11頁(共14頁)】

（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面A'FD與平面FDC的法向量,根據(jù)面面角的向量公式可得結(jié)

果.

⑶設(shè)府=,，則MQ+4,0,0）,根據(jù)折疊得"，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得結(jié)果.

【小問1詳解】

取EF中點(diǎn)H,連接AH,AH.

???AE=AF,EF_LAff,由折疊得EF_LAH.

?：AHAA'H=H,AH,AHd平面A'AH,：.EF±平面A'AH.

???ArAc平面A'AH,：.A'A_LEF.

【小問2詳解】

,/平面AEF_L平面BEF,平面A'EFA平面BEF=EF,A'H^平面A:EF,AH±EF,：.A'H±平面

BEF.

?；AE=EB=AF=QD=4ZEAF=N

AB=8,FD=6,AD=10,EF=4〃,AH=fEF=272.

以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則F(4,0,0),E(0,4,0),H⑵2,0),4(2222),0(10,0,

0),(7(10,8,0),

.?.麗=(6,0,0),W=(2,-2,-2V2),

設(shè)平面的法向量為五=(c,/z),則=0'取方=(°’—

由題意得,平面FDC的法向量為m=（0,0,l）,

m,n1Vc

cosm,n==

|m||n|V3xl—3

由圖可得二面角A'-FD—C的平面角為銳角，二二面角A-FD-C的余弦值為空.

【小問3詳解】

連接

設(shè)FM=rc（0<a;<6）,則M^x+4,0,0）.

?.?翻折后。與4重合，A'M=CM,

由（2）得，4（2,2,22），。（10,8,0）,

（c+2）2+（―2）2+（—22y=（c—6）2+（—8y+02,解得2=號(hào)，即號(hào).

19.⑴2國+|沙+2|+4—2|=6

⑵1。

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)“倒影距離”和“倒影橢圓”的定義求解即可；

（2）分類討論去絕對(duì)值符號(hào)，作出“倒影橢圓”的圖象，再結(jié)合圖象求面積即可；

⑶先求出橢圓E的方程，設(shè)直線PQ的方程為夕=for+2,P（g,m）,Q（>2,紡），聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求

【數(shù)學(xué)試卷第12頁（共14頁）】

出電+電,必巡2，再分別求出線段。ROQ的中垂線的方程，設(shè)ADFQ的外接圓的圓心H的坐標(biāo)為

(0,.)，由這兩條中垂線方程得出k,x0,