指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)（10題型+高分技法+限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（原卷版）

熱點(diǎn)2-3指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

近三年的高考中，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)以選預(yù)計2025年會重點(diǎn)考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用、對

擇題和填空題為主，偶爾也會在解答題中滲透考數(shù)函數(shù)的運(yùn)算與圖象應(yīng)用，以及幕函數(shù)的圖象和性

查，每題分值一般為5分左右.重點(diǎn)考查三種函數(shù)質(zhì)，題型主要是選擇題或填空題，難度多為中檔，

的圖象與性質(zhì)、指數(shù)與對數(shù)互化、指對幕函數(shù)值的且可能與新定義、初等數(shù)論等知識結(jié)合考查.

比較大小等問題，難度中等.

熱點(diǎn)題型解讀

題型1指數(shù)與對數(shù)的化簡求值題型6對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

題型2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型7指對幕函數(shù)值比較大小

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

題型3對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型8指數(shù)與對數(shù)不等式問題

與幕函數(shù)

題型4幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型9指對函數(shù)與實際應(yīng)用

題型5指數(shù)型復(fù)崩數(shù)的傾題型10反函數(shù)及其應(yīng)用

題型1指數(shù)與對數(shù)的化簡求值

1、指數(shù)塞運(yùn)算的一般原則

(1)指數(shù)幕的運(yùn)算首先將根式統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，以便利用法則計算；

(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)幕化成正指數(shù)幕的倒數(shù)；

(3)底數(shù)為負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)為小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù);

(4)運(yùn)算結(jié)果不能同時包含根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).

.2、對數(shù)混合運(yùn)算的一般原則

（l）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)幕形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡，用公式log”,AT=2vilog。沙化簡合并;

（2）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)式；

（3）將同底對數(shù)的和、差、倍運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、塞；

（4）如果對數(shù)的真數(shù)可以寫成幾個因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個對數(shù)相加減的形式，然；

后進(jìn)行化簡合并；

（5）對數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)一般寫成對數(shù)相減的形式.

（24-25高三上?四川綿陽?月考）計算：（k>g45+log85）xlog52-2"叼+16

81

（24-25高三上?廣東?月考）J（乃一8『一4幅3+iog37」og79—log]55—log]53的值為—.

（23-24高三上?陜西咸陽?開學(xué)考試）計算:

2749,2

+0.0083x—;

25

(2)(log43+log83)(log32+log92)+log3手+7哨？.

4.（24-25高三上?河南周口?期中）計算:

Ig8+lgl25-Ig2-lg5

Ig^lgO.l

(2)若*=2(。＞0),求

優(yōu)+「

題型2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

00

指數(shù)函數(shù)的圖象需要注意以下幾個特征:

j（1）指數(shù)函數(shù)的圖象所過的關(guān)鍵點(diǎn)為（1,a）,（0,1）,（-11）；

a

（2）函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置；

（3）函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性.

1.（24-25高三上?四川宜賓?模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又（0,+8）在是增函數(shù)的是（）

A./(^)=ex+e-xB.f(x)=ex-exC.f(x)=x-3D./(x)=xln|x|

exex-e~x\

2.（23-24高三下.江西新余月考）函數(shù)〃為偶函數(shù)，則。的值為：（）

A.-1B.1C.0D.2

3.（24-25高三上?內(nèi)蒙古?月考）函數(shù)丫=優(yōu)-/（4>0,且awl）的圖象可能是（）

4.（24-25高三上?福建寧德?月考）函數(shù)/（x）=a*3+2尤（a>0且"1）的圖象恒過的定點(diǎn)為.

題型3對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法

II

（1）在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、：

:最低點(diǎn)等）排除不符合要求的選項.

ii

（2）一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

1.（24-25高三上?廣東惠州?月考）已知函數(shù)y=log.（x-l）+2夜（。>0且awl）的圖象恒過定點(diǎn)P,點(diǎn)P在

幕函數(shù)y=的圖象上，則/（4）=.

2.（24-25高三上?安徽?期中）若〃x）=log4——。是奇函數(shù)，則/=（）

A.；B.立C.亞D.2

22

3.（24-25高三上?重慶?月考）3知函數(shù)7（%）=log3lG；TI（awO）的圖象關(guān)于直線%=2對稱,則。=（）

A.2B.1C.-D.；

32

4.（24-25高三上?山東德州?期末）函數(shù)〃尤）=xlog2|x|的圖象大致為（）

題型4幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

0O后雄

對于募函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x=l,y=l,尸x所分區(qū)域.：

根據(jù)。<0,0<a<l,a=l,的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

2

1.（24-25高三上?山東濟(jì)南?月考）幕函數(shù)〃同=聲的圖象大致為（）

2.（24-25高三上?湖南邵陽?月考）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)丁=/（。片0）和〉="-’的圖象可能是（）

3.（24-25高三上糊北?月考）已知幕函數(shù)g（元）=（產(chǎn)-書-勺/-分包在9+8）上單調(diào)遞減，則/的值為

4.（24-25高三上?重慶?月考）已知累函數(shù)”刈=--2?3（〃第2）為奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,+功上是嚴(yán)格減函

數(shù).

⑴求函數(shù)y=〃x）的表達(dá)式；

⑵對任意實數(shù)xe）』，不等式/（x）W/+4,恒成立，求實數(shù)，的取值范圍.

題型5指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域求法

（1）形如y=/（優(yōu)）（。>0,且awl）的函數(shù)求值域用換元法：令a*=t,將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為

i

求/⑺的值域，但要注意“新元尸的范圍.

（2）形如y=（a>0,且awl）的函數(shù)求值域用換元法：令〃=/（%）,先求出〃=/（%）的值域,

i

再利用y=。"的單調(diào)性求出y=/⑴的值域.

/[、x(a-x)

1.(24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中)已知函數(shù)/(無)=：在區(qū)間上單調(diào)遞增，則。的取值范圍

是()

A.[0,+oo)B.[-2,+oo)C.(-oo,0]D.(-00,-2]

一9*+〃

2.(24-25高三上?福建龍巖?月考)已知函數(shù)/(%)=-^―(aeR)為偶函數(shù).g(x)=〃礦(2x)+2f(x)+m(meR).

⑴求。的值及函數(shù)的值域.

(2)若命題“*eR,g(x)上0”為假命題，求實數(shù)小的取值范圍.

〃

3.(24-25高三上?云南麗江?月考)設(shè)aeR,已知函數(shù)了"卜2*!+^為奇函數(shù).

⑴求實數(shù)。的值；

(2)若。＜0,判斷并證明函數(shù)/■(%)的單調(diào)性；

⑶在(2)的條件下，函數(shù)〃尤)在區(qū)間[加河(加＜〃)上的值域是[h2TH21(AeR),求上的取值范圍.

4.(23-24高三上?甘肅蘭州?月考)已知函數(shù)〃無)=〃*+a⑶+m^ax-a~x^(a>0且aw1)

⑴若相=2,求函數(shù)〃尤)的最小值；

⑵若/(力2-1恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

題型6對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

1、解決對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題的思路

(1)y=log°/(x)型：函數(shù)y=log。/(x)的單調(diào)性與函數(shù)月=/(x)(/(x)>0)的單調(diào)性在a>1時相同，

I

!在0<。<1時相反；

(2)y=/(logaX)型：一般用換元法，即令"log?！?則只需要研究f=log°x及y=/?)的單調(diào)性

i

即可.

2、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域求法

(1)形如y=/(log”x)(a>0,且awl)的函數(shù)求值域用換元法：令log“x=/,先求出log〃x=/的

i

i

：值域，再利用y=f(t)的單調(diào)性，再求出y=f{t］的值域.

i

(2)形如y=log“/(x)(a>0,且awl)的函數(shù)的值域用換元法：令//=/(%),先求出〃=/(%)的

i

［值域，再利用y=log?〃的單調(diào)性，求出y=logaf(x)的值域.

1.(24-25高三上?甘肅慶陽?模擬預(yù)測)函數(shù)〃到=3a0-2尤2的值域為()

A.(—oo,l]B.(0,1]C.fo,—D.f-?3,—

2.(24-25高三上?山東德州?期末)已知函數(shù)外力=1幅(--辦+4).

(1)當(dāng)4=5時，求/'(X)的定義域及單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若關(guān)于X的方程;=。在(0,2)上有解，求。的最小值.

3.(24-25高三上.四川德陽?月考)已知函數(shù)/(尤)=1嗎(-必+2疝+1)的定義域為。，g(x\=^f±

4X+1

3

⑴若力="求函數(shù)〃%)的值域；

⑵若￡>=(加,幾)，且［g(m)-g⑺了<io,求實數(shù)丸的取值范圍.

4.(24-25高三上?廣東深圳?月考)函數(shù)/(MnOogzX-zXlog'X-g

(1)當(dāng)xe[l，4]時，求該函數(shù)的值域；

⑵若"X)>/?log4x對于xe[4,均恒成立，求機(jī)的取值范圍.

題型7指對幕函數(shù)值比較大小

1、單調(diào)性法：當(dāng)兩個數(shù)都是指數(shù)塞或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)的函數(shù)值，

然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較.

2、作差法、作商法：

i

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大??；

(2)作差或作商的難點(diǎn)在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

3、中間值法或1/0比較法：比較多個數(shù)的大小時，先利用作為分界點(diǎn)，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù):

的性質(zhì)比較大小.

4、估值法：(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；

(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉(zhuǎn)化)尋找合適的中間值.

5、構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性比較：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)律，

所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)規(guī)律

I

(1)對于抽象函數(shù)，可以借助中心對稱、軸對稱、周期等性質(zhì)來“去除f()外衣”比較大??；

(2)有解析式函數(shù)，可以通過函數(shù)性質(zhì)或者求導(dǎo)等，尋找函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，比較大小.

6、放縮法：

(1)對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

(2)指數(shù)和幕函數(shù)結(jié)合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關(guān)系進(jìn)行放縮；

(4)“數(shù)值逼近”是指一些無從下手的數(shù)據(jù)，如果分析會發(fā)現(xiàn)非常接近某些整數(shù)(主要是整數(shù)多一些)，那!

么可以用該“整數(shù)”為變量，構(gòu)造四舍五入函數(shù)關(guān)系.

1.(24-25高三上?河北邯鄲?月考)已知。=3%6=1叫15,c=log9207,則()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

2.（24-25高三上?貴州六盤水?月考）若a=log3i6=（￡|工=1|），則°，氏0的大小關(guān)系為（

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

3.（24-25高三上?山東泰安?月考）已知。=log53,b=log43,c=0.4",則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

4.（24-25高三上?江西?月考）已知"logs7,b=\og6S,c=log810,則b,c的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.ob>a

題型8指數(shù)與對數(shù)不等式問題

1、解指數(shù)不等式：

（1）形如，㈤>ag{x）的不等式，可借助y=優(yōu)的單調(diào)性求解；

（2）形如。"耳>6的不等式，可將人化為。為底數(shù)的指數(shù)累的形式，再借助>=優(yōu)的單調(diào)性求解；

（3）形如優(yōu)〉"的不等式，可借助兩函數(shù)y=優(yōu)，>="的圖象求解.

（4）形如+c>0（或<0）,通過換元令/=優(yōu)（注意確定/的范圍），轉(zhuǎn)化為

產(chǎn)+4+c>0的形式進(jìn)行求解.

2、解對數(shù)不等式

（1）形如log“x>log°b的不等式：借助y=log“x的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分。>1或

0<?<1兩種情況討論；

（2）形如log,x〉6的不等式：應(yīng)將6化為以。為底的對數(shù)式的形式，再借助y=log。x的單調(diào)性求解；

（3）形如log.x>log8x的不等式：可利用圖象求解.

1.（24-25高三上?重慶?月考）已知/（x）=e,-eT,若/（爐一？》）〉“6-尤），則實數(shù)x的取值范圍為.

,、\—x-1,尤<0

2.（24-25高三上?浙江?期中）已知函數(shù)〃力=一、n，則關(guān)于了的不等式了（力W1的解集為（）

inIx十1j,l>u

A.（^o,-2]U[e,-hx））B.[-2,e]

C.2][e—l,+oo）D.[—2,e—1]

3.（24-25高三上?湖南?月考）已知log2a（4/+l）＜log2a4a＜0,則（）

11

A.0<a<-B.—<a<C.—<a<—D，

42242

4.（24-25高三上?貴州?月考）已知函數(shù)外元）=log2（4，+l）-x+GI,則關(guān)于了的不等式〃x+2）＞〃2x）

解集為（）

A.IMB.[-卜口.&

c

-。?虹Bl,？

題型9對數(shù)函數(shù)與實際應(yīng)用

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)實際應(yīng)用問題的解題思路

（1）理解題意：讀懂題目，明確題目要求解決的問題，通常涉及增長率、衰減率等實際問題.

（2）建立模型：根據(jù)題目描述，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.

（2）運(yùn)用性質(zhì)：在建立模型后，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來簡化問題.

（3）求解方程：在模型中，通常需要解指數(shù)方程或?qū)?shù)方程。這時，要注意方程的解法，尤其是涉及!

到方程的變換和化簡.

ii

；（4）檢驗結(jié)果：需要檢驗求得的解是否符合題目的實際情況.

1.（24-25高三上?河南許昌?期中）放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律為：M=Mox\^J，其中指初始質(zhì)量，，為衰

變時間，T為半衰期，M為衰變后剩余的質(zhì)量.已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為工，T2（單位:

11

天），若兩種物質(zhì)的初始質(zhì)量相同，1024天后發(fā)現(xiàn)甲的質(zhì)量是乙的質(zhì)量的8倍，則〒-王=（）

A-B.-LC.'D」

10245121024512

2.（24-25高三上?北京?月考）德國科學(xué)家WilhelmPeukert于19世紀(jì)末提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,

放電時間f（單位：h）與放電電流/（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：C^T-t,其中。為Peukert常數(shù)，

不同材料的Peukert常數(shù)不一樣.有兩塊不同材料的蓄電池，第一塊蓄電池的容量為C1，Peukert常數(shù)為四；

第二塊蓄電池的容量為Cz，Peukert常數(shù)為必.第一塊電池測試：當(dāng)放電電流/=20A時，放電時間r=20h,

當(dāng)放電電流/=30A時，放電時間f=10h；第二塊電池測試：當(dāng)放電電流/=20A時，放電時間t=20h,當(dāng)

20

放電電流/=30A時，放電時間才=511,則()

A.Pi>P2,a>GB.41<P2,G>G

c.Pi>p?，G<GD.Pi<P2,G<G

3.(24-25高三上?江蘇泰州?期中)盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有

所了解，例如，地震時釋放出來的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為母石=4.8+1.5V.黃

海是我國東部中強(qiáng)地震多發(fā)區(qū)之一，2013年4月21日，黃海海域發(fā)生里氏5.0級地震，2015年8月6日黃

海海域發(fā)生里氏4.0級地震，前一次地震所釋放出來的能量約是后一次的()倍.(精確到1)

(參考數(shù)據(jù)：lg29.5?1.470,lg30.5?1.484,lg31.5?1.498,lg32.5?1.512)

A.29B.30C.31D.32

4.(24-25高三上?山東德州?月考)中國5G技術(shù)領(lǐng)先世界，其數(shù)學(xué)原理之一便是香農(nóng)公式：C=Wlog?11+引，

它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信

道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中三叫信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W,將信噪比三從2000

NN

提升至10000,則C大約增加了(1g2。0.3010)()

A.18%B.21%C.23%D.25%

題型10反函數(shù)及其應(yīng)用

反函數(shù)的常用性質(zhì)

(1)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象上有一點(diǎn)(a,6),則點(diǎn)(6,a)必在其反函數(shù)的圖象上，反之也成立;

(3)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性相同；

(4)反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域；

(5)單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù).

1.(24-25高三上?廣東?月考)函數(shù)y=/(尤)的圖象與丁=2工的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)y=〃sinx)

的遞減區(qū)間是.

2.（24-25高三上?廣東梅州?開學(xué)考試）已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線V=%對稱，

則〃2e）=（）

A.2e2B.2eC.l+ln2D.lg（2e）

3.（24-25高三上?安徽六安?月考）（多選）已知函數(shù)＞=。'和y=lnx的圖象與直線y=2-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分

別為。），貝！I（）

A.a＜bB.a+b=2C.ab＞lD.a2-^-b2＞2

4.（23-24高三下?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）設(shè)方程2、+x+3=0和方程log2%+x+3=0的根分別為P，/設(shè)函數(shù)

f（x）=（x+p\x+q）,則（）

A./（2）=f（0）＜/（3）B./（0）=f（3）＞/（2）

C.f（3）＜/（2）=/（0）D./（0）＜f（3）＜/（2）

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（24-25高三上?貴州貴陽?月考）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+e）上單調(diào)遞增的是（）

A.，（無）=-lnxB./（x）=-C./（x）-D."刈=用

2.（24-25高三上?湖南岳陽?期中）已知〃力=詈署是偶函數(shù)，貝匹=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（24-25高三上?山東棗莊?月考）已知函數(shù)y=log.（x-D+1（。＞0,且awl）的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A

在直線加X+盯T=o（根＞0,〃＞0）上，則3+」的最小值為（）

mn

A.13B.8&C.9+40D.8

x2—2ax+a,x＜0

4.（24-25高三上?廣東梅州?中）已知函數(shù)”x）=1在R上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

----ln（.x+l）,x＞0

?

A.（一8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.口,+8）

5.（24-25高三上?重慶渝中?月考）19世紀(jì)美國天文學(xué)家西蒙?紐康和物理學(xué)家本?福特從實際生活得出的大量

數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)了個現(xiàn)象，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本?福特定律，即在大量1。進(jìn)制隨

〃~I-1

機(jī)數(shù)據(jù)中，以“5eN+）開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為尸（a）=1g—,如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合

n

該定律.后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性.若

￡尸（〃）=警:一限：N+，E9）（說明符號方為=4+電++%化i"eN+））,貝心的值為（）

n=k10g3Z+10g3dk=i

A.3B.5C.7D.9

6.(24-25高三上?福建龍巖?月考)已知a=g+ln2,b=|+1,c=g+受，則()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

7.（23-24高三下?廣東佛山?一模）"2。＞1，1唯人＞1”是“2"+，＞4”的（）

A.充分不必要條件