2024-2025學年高中數(shù)學第1章計數(shù)原理3組合第2課時組合的應用學案北師大版選修2-3

PAGE1-第2課時組合的應用學習目標核心素養(yǎng)1.能應用組合學問解決有關組合的簡潔實際問題．(重點)2．能解決有限制條件的組合問題．(難點)通過對組合應用的學習，培育“邏輯推理”、“數(shù)學建?！?、“數(shù)學運算”的數(shù)學素養(yǎng).1．組合與排列的異同點共同點：排列與組合都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素．不同點：排列與元素的依次有關，組合與元素的依次無關．2．應用組合學問解決實際問題的四個步驟(1)推斷：推斷實際問題是否是組合問題．(2)方法：選擇利用干脆法還是間接法解題．(3)計算：利用組合數(shù)公式結合兩個計數(shù)原理計算．(4)結論：依據(jù)計算結果寫出方案個數(shù)．1．某乒乓球隊有9名隊員，其中2名是種子選手，現(xiàn)在選擇5名選手參與競賽，種子選手必需在內(nèi)，那么不同選法共有()A．26種 B．84種C．35種 D．21種C[從7名隊員中選出3人有Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35(種)選法．]2．將標號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張卡片，其中標號為1,2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有()A．12種B．18種C．36種D．54種B[由題意，不同的放法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝3×eq\f(4×3,2)＝18種．]3．某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位摯友，每位摯友1本，則不同的贈送方法共有________種．(用數(shù)字作答)10[兩種狀況：①選2本畫冊，2本集郵冊送給4位摯友，有Ceq\o\al(2,4)＝6種方法；②選1本畫冊，3本集郵冊送給4位摯友，有Ceq\o\al(1,4)＝4種方法，所以不同的贈送方法共有6＋4＝10(種)．]4．甲、乙、丙三位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有________種．96[甲選修2門，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)不同方案．乙選修3門，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)不同選修方案．丙選修3門，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)不同選修方案．由分步乘法計數(shù)原理，不同的選修方案共有6×4×4＝96(種)．]無限制條件的組合問題【例1】在一次數(shù)學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人參與市級培訓．在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)隨意選5人；(2)甲、乙、丙三人必需參與；(3)甲、乙、丙三人不能參與；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參與．[解](1)從中任取5人是組合問題，共有Ceq\o\al(5,12)＝792種不同的選法．(2)甲、乙、丙三人必需參與，則只須要從另外9人中選2人，是組合問題，共有Ceq\o\al(2,9)＝36種不同的選法．(3)甲、乙、丙三人不能參與，則只需從另外的9人中選5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126種不同的選法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人參與，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有Ceq\o\al(1,3)＝3種選法；再從另外9人中選4人，有Ceq\o\al(4,9)種選法．共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378種不同的選法．解答簡潔的組合問題的思索方法1弄清要做的這件事是什么事.2選出的元素是否與依次有關，也就是看看是不是組合問題.3結合兩個計數(shù)原理，利用組合數(shù)公式求出結果.1．現(xiàn)有10名老師，其中男老師6名，女老師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參與會議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男老師或2名女老師去外地學習的選法有多少種？[解](1)從10名老師中選2名去參與會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)可把問題分兩類：第1類，選出的2名是男老師有Ceq\o\al(2,6)種方法；第2類，選出的2名是女老師有Ceq\o\al(2,4)種方法，即Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝21(種)．有限制條件的組合問題【例2】高二(1)班共有35名同學，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學參與活動．(1)其中某一女生必需在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一女生不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？[解](1)從余下的34名學生中選取2名，有Ceq\o\al(2,34)＝561(種)．∴不同的取法有561種．(2)從34名可選學生中選取3名，有Ceq\o\al(3,34)種．或者Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(2,34)＝Ceq\o\al(3,34)＝5984種．∴不同的取法有5984種．(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100種．∴不同的取法有2100種．(4)選取2名女生有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)種，選取3名女生有Ceq\o\al(3,15)種，共有選取方式N＝Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2100＋455＝2555種．∴不同的取法有2555種．(5)選取3名的總數(shù)有Ceq\o\al(3,35)，因此選取方式共有N＝Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6545－455＝6090種．∴不同的取法有6090種．常見的限制條件及解題方法1特別元素：若要選取的元素中有特別元素，則要以有無特別元素，特別元素的多少作為分類依據(jù).2含有“至多”“至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的狀況，可以此作為分類依據(jù)，或采納間接法求解.3分類探討思想：解題的過程中要擅長利用分類探討思想，將困難問題分類表達，逐類求解.2．現(xiàn)有5名男司機，4名女司機，需選派5人運貨到某市．(1)假如派3名男司機、2名女司機，共有多少種不同的選派方法？(2)至少有兩名男司機，共有多少種不同的選派方法？[解](1)從5名男司機中選派3名，有Ceq\o\al(3,5)種方法，從4名女司機中選派2名，有Ceq\o\al(2,4)種方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理得所選派的方法總數(shù)為Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)＝Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(5×4,2×1)·eq\f(4×3,2×1)＝60種．(2)從9人中任選5人運貨有Ceq\o\al(5,9)種方法．其中1名男司機，4名女司機有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)＝5種選法．所以至少有兩名男司機的選派方法為Ceq\o\al(5,9)－5＝121種．1．無限制條件的組合應用題．其解題步驟為：(1)推斷；(2)轉化；(3)求值；(4)作答．2．有限制條件的組合應用題中“含”與“不含”問題：(1)這類問題的解題思路是將限制條件視為特別元素和特別位置，一般來講，特別要先滿意，其余則“一視同仁”．(2)若正面入手不易，則從反面入手，找尋問題的突破口，即采納解除法．(3)解題時要留意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的準確含義，精確把握分類標準．1．圓上有10個點，過每三個點畫一個圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫的三角形個數(shù)為()A．720 B．360C．240 D．120D[確定三角形的個數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＝120.]2．從10名高校畢業(yè)生中選3人擔當村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．28 B．49C．56 D．85B[依題意，滿意條件的不同選法的種數(shù)為Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＝49種．]3．由三個3和四個4可以組成________個不同的七位數(shù)．35[在七個位置上選出3個位置放入3，其余放入4，有Ceq\o\al(3,7)＝Ceq\o\al(4,7)＝35個不同的數(shù)．]4．某單位有15名成員，其中男性10人，女性5人，現(xiàn)須要從中選出6名成員組成考察團外出參觀學習，假如按性別分層，并在各層按比例隨機抽樣，則此考察團的組成方法種數(shù)是________.2100[按性別分層，并在各層按比例隨機抽樣，則需從10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)＝2100種抽法．]5．某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道．(如圖)(1)圖中有多少個矩形？(2)從A點走向B點最短的走法有多少種？[解](1)在7條南北向街道中任選2條，5條東西向街道中任選2條，這樣4條線可組成一個矩形，故可組成