【初中數(shù)學】等可能事件的概率第2課時教學設計-2024-2025學年北師大版數(shù)學七年級下冊

第三節(jié)等可能事件的概率第2課時教學設計一、教學內容和內容解析（一）教學內容教材第74～75頁，等可能事件的概率（第2課時）（二）教學內容解析本課時重點聚焦于等可能事件的概率相關知識。這部分內容是在學生已對事件的確定性與不確定性有初步認識的基礎上展開的，進一步引導學生深入探究事件發(fā)生可能性大小的量化表示。從教材的編排來看，通過一系列貼近生活的實例，如擲骰子、摸球等游戲活動，幫助學生直觀感受等可能事件。像在擲骰子的情境中，每個點數(shù)出現(xiàn)的可能性相等，這就是典型的等可能事件。教材這樣的設計，旨在讓學生從熟悉的場景出發(fā)，更好地理解抽象的概率概念。在教學目標方面，通過參與實驗、分析數(shù)據(jù)等活動，培養(yǎng)學生的邏輯思維和數(shù)據(jù)分析能力，讓學生理解等可能事件的概念，掌握計算簡單等可能事件概率的方法。激發(fā)學生對數(shù)學的興趣，讓學生體會數(shù)學在生活中的廣泛應用。這一課時的內容在整個概率初步知識體系中起著承上啟下的作用。它既是對之前事件確定性知識的深化，又為后續(xù)學習更復雜的概率模型，如與摸球有關的概率等內容奠定基礎。同時，在實際生活中，概率知識在風險評估、決策制定等方面有著廣泛應用，學好這部分內容有助于學生更好地應對生活中的不確定性問題。二、課程標準內容要求1.會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界觀察隨機現(xiàn)象：要求學生能觀察生活中存在的大量等可能事件的隨機現(xiàn)象，如擲硬幣、擲骰子、摸球等活動，認識到這些現(xiàn)象在現(xiàn)實生活中是普遍存在的，并且具有不確定性。理解等可能事件：引導學生通過具體實例理解等可能事件的概念，明確在一個試驗中，如果所有可能的結果有種，每次試驗有且只有其中的一種結果出現(xiàn)，并且每種結果出現(xiàn)的可能性相同，那么就稱這個試驗的結果是等可能的。2.會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界運用邏輯思維分析等可能事件：讓學生運用邏輯思維去分析等可能事件背后的規(guī)律，比如在擲骰子試驗中，能分析出每個點數(shù)出現(xiàn)的可能性是相同的，進而理解等可能事件概率的本質。理解概率計算方法：幫助學生理解在等可能事件中，事件發(fā)生的概率（其中是所有等可能結果的總數(shù)，是事件包含的結果數(shù)）這一計算方法的原理和應用，能通過分析具體問題中的和的值來計算概率。3.會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界用數(shù)學符號表達等可能事件概率：要求學生學會用數(shù)學符號來表達等可能事件的概率，如用表示事件發(fā)生的概率，能準確地根據(jù)具體情境寫出相應事件的概率表達式。用數(shù)學語言描述等可能事件：引導學生用規(guī)范的數(shù)學語言描述等可能事件及其概率，例如在摸球試驗中，能用“摸到紅球的概率為”來描述摸到紅球這一事件的可能性大小，提高學生的數(shù)學表達能力。三、教學目標和目標解析（一）教學目標1.數(shù)學抽象通過對生活中各類隨機事件的觀察和分析，如擲骰子、摸球等活動，能夠抽象出等可能事件的概念，理解其特點，即試驗結果有限且每種結果出現(xiàn)的可能性相等，能從具體情境中提煉出數(shù)學模型，用數(shù)學語言準確描述等可能事件。2.邏輯推理在探究等可能事件概率的過程中，依據(jù)概率的定義和基本原理，通過對不同試驗結果的分析和比較，進行合理的邏輯推導，得出概率的計算公式，并能運用邏輯推理判斷游戲的公平性，如判斷拋硬幣、抽獎等游戲規(guī)則對雙方是否公平，培養(yǎng)有條理的思考和推理能力。3.數(shù)學運算熟練運用概率公式進行準確的數(shù)學運算，計算等可能事件發(fā)生的概率，如在摸球試驗中，根據(jù)球的總數(shù)和目標球的數(shù)量，正確計算摸到特定顏色球的概率，提高運算能力和準確性，確保概率計算結果的正確性。4.直觀想象借助樹狀圖、列表等直觀手段，對試驗結果進行可視化呈現(xiàn)，幫助理解復雜的等可能事件，如在計算從多個口袋中摸球的概率時，通過繪制樹狀圖清晰地展示所有可能的結果，培養(yǎng)學生的直觀想象能力，使抽象的概率問題變得更加直觀易懂。5.數(shù)學建模針對實際生活中的概率問題，如彩票中獎、天氣預報中的降水概率等，能夠構建相應的概率模型，將實際問題轉化為數(shù)學問題，運用概率知識進行求解，提高運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，體會數(shù)學模型在解決實際問題中的作用。（二）目標解析《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中明確指出：目標1的要求是：學生需要從具體的摸球情境中抽象出概率的概念。例如，從裝有不同顏色球的袋子里摸球，將摸球這一實際行為抽象為數(shù)學上的隨機事件，把摸到某種顏色球的可能性用概率數(shù)值來表示，從而理解概率是對隨機事件發(fā)生可能性大小的一種度量。這有助于學生從具體的生活實例中提煉出數(shù)學本質，提升抽象思維能力，學會用數(shù)學的眼光看待生活中的隨機現(xiàn)象。目標2的要求是：當學生面對不同的摸球問題時，需要運用邏輯推理來分析和解決。比如，在判斷游戲是否公平時，學生要依據(jù)雙方獲勝的概率是否相等這一邏輯規(guī)則進行推理。已知袋子中球的數(shù)量和顏色分布，通過分析摸到不同顏色球的概率，進而得出游戲雙方獲勝的可能性大小，以此判斷游戲是否公平。這種邏輯推理過程，讓學生學會有條理地思考問題，依據(jù)已知條件推導出合理的結論，提升邏輯思維能力。目標3的要求是：在計算概率時，學生需要進行數(shù)學運算。無論是簡單的等可能事件概率計算公式的運用，如摸到某種顏色球的概率=該顏色球的個數(shù)÷總球數(shù)，還是在復雜的概率問題中，如結合游戲規(guī)則計算雙方獲勝的概率，都涉及到數(shù)學運算。這要求學生熟練掌握基本的運算技巧，準確計算概率數(shù)值，提高運算能力和解決數(shù)學問題的準確性。目標4的要求是：雖然在概率問題中，直觀想象不像在幾何圖形中那樣明顯，但依然有所體現(xiàn)。在思考摸球過程和概率結果時，學生可以在腦海中構建出摸球的場景，想象不同顏色球的分布以及摸球的隨機性，幫助他們更好地理解概率的概念和計算過程。例如，通過直觀想象，學生能更清晰地理解為什么摸到紅球的概率是紅球個數(shù)除以總球數(shù)，增強對概率知識的理解和記憶。目標5的要求是：在設計符合特定概率要求的摸球游戲時，學生需要進行數(shù)學建模。例如，要求設計一個摸到紅球概率為某一特定值，摸到白球和黃球概率也為特定值的游戲，學生要根據(jù)概率公式，結合給定的概率條件，確定袋子中不同顏色球的數(shù)量，從而構建出符合要求的摸球模型。這一過程鍛煉了學生將實際問題轉化為數(shù)學模型并求解的能力，提高他們解決實際問題的創(chuàng)新意識和實踐操作能力。四、學生學情分析學生基礎情況知識掌握：學生在之前的學習中已經(jīng)對隨機事件、必然事件、不可能事件等概念有了一定的了解，知道事件發(fā)生的可能性是有大小的，能直觀判斷一些簡單事件發(fā)生的可能性大小。學習了概率的基本定義，即一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，了解了用數(shù)值來刻畫事件發(fā)生可能性大小的方法，并且會計算一些簡單的等可能事件的概率，如擲一枚質地均勻的骰子，求擲出某個點數(shù)的概率等。技能水平：學生在小學和初中前期的數(shù)學學習中，已經(jīng)具備了一定的邏輯思維能力和分析問題的能力，能夠進行簡單的推理和判斷。在學習概率初步的過程中，也逐漸培養(yǎng)了對數(shù)據(jù)的收集、整理和分析能力。具備了一定的用列舉法求概率的能力，能對一些簡單的等可能事件，通過列舉出所有可能的結果來計算概率，在這個過程中，初步形成了有序思考的意識。學生學習難點1.對頻率與概率概念的理解區(qū)別與聯(lián)系難把握：學生難以清晰地理解頻率和概率的本質區(qū)別與內在聯(lián)系。頻率是在多次重復試驗中，某一事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，它具有隨機性，會隨著試驗次數(shù)的不同而有所變化。而概率是事件在大量重復試驗下發(fā)生的可能性大小的穩(wěn)定值，是一個客觀存在的固定值。學生可能會混淆這兩個概念，不明白頻率是通過試驗得到的具體數(shù)據(jù)，是對概率的一種近似估計，而概率是理論上的真實值。概率的抽象性難理解：概率本身是一個較為抽象的概念，它描述的是事件發(fā)生的可能性，不像具體的數(shù)字或物體那樣直觀。對于七年級的學生來說，理解這種抽象的可能性概念可能會有困難，他們可能難以將概率與實際生活中的具體事件聯(lián)系起來，不知道如何用概率去解釋和預測事件的發(fā)生。2.頻率穩(wěn)定性的理解試驗次數(shù)與穩(wěn)定性關系：學生可能難以理解為什么需要大量重復試驗才能使頻率穩(wěn)定在某個值附近。他們可能會認為進行幾次試驗得到的頻率就可以代表概率了，不明白隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會逐漸趨近于概率這一規(guī)律。在實際操作中，可能會因為試驗次數(shù)較少，頻率波動較大，而無法觀察到頻率的穩(wěn)定性，從而對用頻率估計概率的方法產(chǎn)生懷疑。穩(wěn)定性的本質認識：學生對頻率穩(wěn)定性的本質認識可能不夠深刻，不清楚頻率穩(wěn)定是一種統(tǒng)計規(guī)律，是大量隨機現(xiàn)象的必然結果。他們可能會把頻率的穩(wěn)定性簡單地理解為頻率會固定在某個值上，而忽略了這種穩(wěn)定性是在一定范圍內的波動，并且是在大量試驗的基礎上才會表現(xiàn)出來的。3.用頻率估計概率的應用實際問題的轉化：將實際問題轉化為用頻率估計概率的數(shù)學模型是學生的一個難點。他們可能難以判斷哪些實際問題可以用頻率估計概率的方法來解決，以及如何確定試驗的對象、事件和次數(shù)等。例如，在估計池塘中魚的數(shù)量、產(chǎn)品的次品率等問題中，學生可能不知道如何設計試驗，如何收集數(shù)據(jù)并進行分析。估計結果的準確性：學生可能不理解用頻率估計概率得到的結果是一個近似值，存在一定的誤差。他們可能會對估計結果的準確性有過高的期望，或者在得到不同的估計結果時，不知道如何判斷其合理性，也不知道如何通過增加試驗次數(shù)等方法來提高估計的準確性。4.試驗操作與數(shù)據(jù)處理試驗設計與實施：在進行試驗時，學生可能會在試驗設計方面遇到困難，例如不知道如何保證試驗的隨機性和獨立性，如何控制試驗條件等。在實施試驗過程中，可能會出現(xiàn)操作不規(guī)范、數(shù)據(jù)記錄不準確等問題，從而影響試驗結果的可靠性。數(shù)據(jù)處理與分析：學生在處理和分析試驗數(shù)據(jù)時，可能會遇到困難。例如，不知道如何對大量的數(shù)據(jù)進行整理和統(tǒng)計，如何繪制頻率分布圖表來直觀地展示數(shù)據(jù)的變化趨勢，以及如何從數(shù)據(jù)中提取有用的信息，得出合理的結論。學生學習需求1.知識理解需求深入理解概率模型：學生需要清晰分辨不同類型的概率模型，如古典概型和幾何概型，理解它們的特點和適用范圍。例如，對于古典概型，學生要明白其基本事件的有限性和等可能性；對于幾何概型，要理解如何通過幾何度量（如長度、面積、體積）來計算概率。掌握概率公式推導：不僅要記住概率計算公式，更要理解公式的推導過程。以古典概型概率公式為例，學生需要明白是試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件總數(shù)，是事件包含的基本事件數(shù)，通過實際例子來理解公式的由來，而不是單純死記硬背。2.技能掌握需求數(shù)據(jù)收集與整理技能：在探究概率問題時，學生需要學會收集相關數(shù)據(jù)，并運用合適的方法進行整理。比如，通過問卷調查、實驗操作等方式收集數(shù)據(jù)，然后用列表、畫樹狀圖等方法整理數(shù)據(jù)，為后續(xù)計算概率提供依據(jù)。概率計算技能：熟練掌握運用概率公式進行準確計算的技能。無論是簡單的古典概型問題，還是結合幾何圖形的幾何概型問題，都能正確找到相關數(shù)據(jù)，代入公式求解。同時，對于復雜的概率問題，能通過分解、轉化等方法，運用已學知識解決。3.思維發(fā)展需求邏輯思維培養(yǎng)：在解決概率問題過程中，培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S。例如，在分析事件之間的關系（如互斥事件、對立事件）時，能夠有條理地思考，準確判斷事件的性質，進而運用相應的概率法則進行計算。創(chuàng)新思維激發(fā)：鼓勵學生從不同角度思考概率問題，嘗試用多種方法解決同一問題。比如，在計算復雜事件概率時，除了常規(guī)方法，引導學生探索是否可以通過轉化為簡單事件概率之和或差的方式求解，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和靈活運用知識的能力。4.情感態(tài)度需求增強學習興趣：概率知識與生活實際緊密相連，學生希望通過有趣的生活實例，如抽獎、彩票、體育賽事等，感受概率的實用性，從而增強對數(shù)學學習的興趣。提升學習信心：在學習過程中，通過及時的反饋和鼓勵，讓學生在解決概率問題時獲得成就感，逐步提升學習數(shù)學的信心，克服對數(shù)學學習的畏難情緒。六、教學重難點（一）重點：概率模型概念的形成過程，游戲公平性的理解。（二）難點：分析概率模型的特點，設計符合要求的簡單概率模型。七、教學過程教學流程活動一：回顧舊知，新課導入【情境導入】等可能試驗的概率計算公式是什么？設計意圖：為學習與摸球有關的概率做準備。復習引入?；顒佣航涣骱献?，探究新知探究點與摸球有關的概率問題1一個袋中裝有2個紅球和3個白球，每個球除顏色外都相同，任意摸出一個球，摸到紅球的概率是多少？以下是小明和小穎的說法。你認為小明和小穎誰說的有道理？小穎說的有道理。問題2小明和小穎一起做游戲。在一個裝有2個紅球和3個白球（每個球除顏色外都相同）的袋中任意摸出一個球，摸到紅球小明獲勝，摸到白球小穎獲勝，這個游戲對雙方公平嗎？P（小明獲勝）=，P（小穎獲勝）=，由于兩人獲勝的概率不相等，所以游戲對雙方不公平。追問1在一個雙人游戲中，你是怎樣理解游戲對雙方公平的？在一個雙人游戲中，游戲對雙方公平是指雙方獲勝的概率相等。追問2如果問題2中的游戲不公平，你可以如何修改規(guī)則使得這個游戲變得公平？拿走一個白球或再放入一個紅球。問題3利用一個口袋和4個除顏色外完全相同的球設計摸球游戲。(1)使得摸到紅球的概率是，摸到白球的概率也是；(2)使得摸到紅球的概率是，摸到白球和黃球的概率都是。（1）選取2個紅球、2個白球；（2）選取2個紅球、1個白球、1個黃球。問題4（1）你能選取8個除顏色外完全相同的球分別設計滿足上述條件的游戲嗎?（2）你能選取7個除顏色外完全相同的球分別設計滿足上述條件的游戲嗎?（1）選取8個球：（1）4個紅球、4個白球；（2）4個紅球、2個白球、2個黃球。（2）選取7個球：不可能?！緦柧殹拷滩腜75隨堂練習第1，2題。設計意圖：鞏固與摸球相關的概率問題的計算方法，并從中總結游戲公平的原則，嘗試設計符合要求的簡單概率模型，體會本節(jié)課在實際生活中的作用?；顒尤寒斕糜柧?，鞏固提升例在一個不透明的袋中有6個除顏色外其他都相同的小球，其中3個紅球、2個黃球、1個白球。(1)樂樂從中任意摸出一個小球，摸到的白球概率是多少？(2)樂樂和亮亮商定一個游戲，規(guī)則如下：樂樂從中任意摸出一個小球，摸到紅球則樂樂勝，否則亮亮勝，該游戲對雙方是否公平？為什么？解：(1)因為在一個不透明的袋中有6個除顏色外其他都相同的小球，其中3個紅球、2個黃球、1個白球，所以P(摸到白球)=。（2）該游戲對雙方是公平的。理由如下：由題意可知P(樂樂獲勝)==，P(亮亮獲勝)=，所以他們獲勝的概率相等，即游戲是公平的?！緦柧殹啃》f和小明做游戲：一個不透明的袋子中裝有6個完全一樣的球，每個球上分別標有數(shù)字1，2，2，3，4，5，從袋中任意摸出一個球，然后放回。規(guī)定：若摸到的球上所標數(shù)字大于3，則小穎贏，否則小明贏。你認為這個游戲公平嗎？為什么？如果不公平，請修改游戲規(guī)則，使游戲公平。解：游戲不公平。理由如下：因為摸到的球上所標數(shù)字大于3的概率是概率是，，摸到的球上所標數(shù)字不大于3的概率是，所以小明贏的概率大，故游戲不公平。修改規(guī)則如下：方法一：若摸到的球上所標數(shù)字小于3，則小穎贏，否則小明贏。方法二：若摸到的球上所標數(shù)字是偶數(shù)，則小穎贏，否則小明贏。設計意圖:考查對與摸球相關的等可能事件概率的計算公式的掌握，以及對于游戲公平性的理解和判斷，并設計符合公平性的規(guī)則。活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】相應練習?！菊n堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.你會計算與摸球有關的概率嗎？理解游戲的公平性嗎？2.你能設計與摸球有關的簡單概率模型嗎？【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P77～79習題3.3第4，5，9，10，11題。2.相應課時訓練。八、板書設計第2課時與摸球有關的概率九、教學反思（一）課前反思從教學目標來看：本課時旨在讓學生進一步理解概率的意義，掌握用列舉法求簡單隨機事件的概率?；仡櫧虒W目標，發(fā)現(xiàn)表述較為清晰，但在實際操作中，要如何讓學生深刻體會概率在生活中的應用，還需進一步思考。計劃在課堂引入環(huán)節(jié)，多列舉一些生活實例，如抽獎、游戲公平性等，幫助學生快速建立起知識與生活的聯(lián)系。教學方法方面：計劃采用講授法、小組合作探究法相結合的方式。講授法能高效傳遞知識，但可能會使課堂稍顯枯燥。小組