新課標(biāo)2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五解析幾何第2講橢圓雙曲線拋物線學(xué)案文新人教A版

PAGE1-第2講橢圓、雙曲線、拋物線[做真題]1．(2024·高考全國卷Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個焦點，則p＝()A．2 B．3C．4 D．8解析：選D.依題意得eq\f(p,2)＝eq\r(3p－p)，解得p＝8，故選D.2．(2024·高考全國卷Ⅰ)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A．2sin40° B．2cos40°C.eq\f(1,sin50°) D.eq\f(1,cos50°)解析：選D.依題意知，－eq\f(b,a)＝tan130°＝tan(130°－180°)＝－tan50°，兩邊平方得eq\f(c2－a2,a2)＝tan250°＝e2－1，e2＝1＋tan250°＝eq\f(1,cos250°)，又e>1，所以e＝eq\f(1,cos50°)，選D.3．(2024·高考全國卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝eq\f(k,x)(k>0)與C交于點P，PF⊥x軸，則k＝()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：選D.易知拋物線的焦點為F(1，0)，設(shè)P(xP，yP)，由PF⊥x軸可得xP＝1，代入拋物線方程得yP＝2(－2舍去)，把P(1，2)代入曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)得k＝2.4．(2024·高考全國卷Ⅲ)已知F是雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的一個焦點，點P在C上，O為坐標(biāo)原點．若|OP|＝|OF|，則△OPF的面積為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,2)C.eq\f(7,2) D.eq\f(9,2)解析：選B.因為c2＝a2＋b2＝9，所以|OP|＝|OF|＝3.設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入雙曲線方程得|y|＝eq\f(5,3)，所以S△OPF＝eq\f(1,2)|OF|·|yP|＝eq\f(5,2).故選B.5．(一題多解)(2024·高考全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(2)，則點(4，0)到C的漸近線的距離為()A.eq\r(2) B．2C.eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)解析：選D.法一：由離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，得c＝eq\r(2)a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.由點到直線的距離公式，得點(4，0)到C的漸近線的距離為eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).故選D.法二：離心率e＝eq\r(2)的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y＝±x，由點到直線的距離公式得點(4，0)到C的漸近線的距離為eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).故選D.[明考情]圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)始終是高考的命題熱點，其中求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系是高考解答題的?？純?nèi)容，離心率問題、雙曲線的漸近線問題等常出現(xiàn)在選擇題、填空題中．

圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程(綜合型)[學(xué)問整合]名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p＞0)圖形[典型例題](1)(2024·廣東六校第一次聯(lián)考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，離心率為eq\r(2)，若經(jīng)過F和P(0，4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()A．x2－y2＝1 B.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1(2)(2024·高考全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】(1)由題意，得雙曲線的左焦點為F(－c，0)．由離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，得c＝eq\r(2)a，c2＝2a2＝a2＋b2，即a＝b，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則經(jīng)過F和P(0，4)兩點的直線的斜率k＝eq\f(4,c)＝1，得c＝4，所以a＝b＝2eq\r(2)，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1，故選D.(2)設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點．令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點)，則sinθ＝eq\f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)＝1－2(eq\f(1,a))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選B.【答案】(1)D(2)Beq\a\vs4\al()(1)圓錐曲線定義的應(yīng)用①已知橢圓、雙曲線上一點及焦點，首先要考慮運用橢圓、雙曲線的定義求解．②應(yīng)用拋物線的定義，敏捷將拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化使問題得解．(2)圓錐曲線方程的求法求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計算”．①定型．就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程．②計算．即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn>0)．[對點訓(xùn)練]1．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點M到焦點F的距離等于2p，則直線MF的斜率為()A．±eq\r(3) B．±1C．±eq\f(3,4) D．±eq\f(\r(3),3)解析：選A.設(shè)M(x，y)，由題意知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由拋物線的定義，可知x＋eq\f(p,2)＝2p，故x＝eq\f(3p,2)，由y2＝2p×eq\f(3p,2)，知y＝±eq\r(3)p.當(dāng)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，\r(3)p))時，kMF＝eq\f(\r(3)p－0,\f(3p,2)－\f(p,2))＝eq\r(3)，當(dāng)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，－\r(3)p))時，kMF＝eq\f(－\r(3)p－0,\f(3p,2)－\f(p,2))＝－eq\r(3)，故kMF＝±eq\r(3).故選A.2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(5)，從雙曲線C的右焦點F引漸近線的垂線，垂足為A，若△AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1解析：選D.因為雙曲線C的右焦點F到漸近線的距離|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又雙曲線C的離心率為eq\r(5)，所以eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，故選D.3．已知O為坐標(biāo)原點，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點，P為雙曲線左支上隨意一點，過點F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝()A．1 B．2C．4 D.eq\f(1,2)解析：選A.如圖所示，延長F1H交PF2于點Q，由PH為∠F1PF2的平分線及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|.依據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|－|PF1|＝2，即|PF2|－|PQ|＝2，從而|QF2|＝2.在△F1QF2中，易知OH為中位線，則|OH|＝1.圓錐曲線的幾何性質(zhì)(綜合型)[學(xué)問整合]橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2)).(2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2)).雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.留意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系．[典型例題](1)P是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的一點，A為左頂點，F(xiàn)為右焦點，PF⊥x軸，若tan∠PAF＝eq\f(1,2)，則橢圓的離心率e為()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,2)(2)(一題多解)(2024·東北四市聯(lián)合體模擬(一))已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，則以A，B為焦點，且過C，D兩點的雙曲線的離心率為______．【解析】(1)如圖，不妨設(shè)點P在第一象限，因為PF⊥x軸，所以xP＝c，將xP＝c代入橢圓方程得yP＝eq\f(b2,a)，即|PF|＝eq\f(b2,a)，則tan∠PAF＝eq\f(|PF|,|AF|)＝eq\f(\f(b2,a),a＋c)＝eq\f(1,2)，結(jié)合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，兩邊同時除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(1,2)或e＝－1(舍去)．故選D.(2)通解：取AB的中點O為坐標(biāo)原點，線段AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則焦距2c＝12，所以c＝6，將點C(6，5)代入雙曲線方程，得eq\f(62,a2)－eq\f(52,b2)＝1①，又因為a2＋b2＝62②，由①②解得a＝4，b＝2eq\r(5)，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2).優(yōu)解：設(shè)雙曲線的實半軸長為a，虛半軸長為b，則依據(jù)雙曲線的性質(zhì)得c＝6，eq\f(b2,a)＝5，所以a2＋b2＝36，b2＝5a，即a2＋5a－36＝0，解得a＝4或a＝－9(舍去)，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2).【答案】(1)D(2)eq\f(3,2)eq\a\vs4\al()(1)橢圓、雙曲線的離心率(或范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是依據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求eq\f(c,a)的值．(2)雙曲線的漸近線的求法及用法①求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為零，分解因式可得．②用法：(i)可得eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值．(ii)利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程．[對點訓(xùn)練]1．(2024·福建省質(zhì)量檢查)已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點，一個焦點(eq\r(5)，0)到漸近線的距離等于2，則C的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±eq\f(2,3)xC．y＝±eq\f(3,2)x D．y＝±2x解析：選D.設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則由題意得c＝eq\r(5).雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，所以eq\f(\r(5)b,\r(b2＋a2))＝2，又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，所以a＝eq\r(c2－b2)＝1，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，故選D.2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A．(eq\f(5,3)，2] B．(1，eq\f(5,3)]C．(1，2] D．[eq\f(5,3)，＋∞)解析：選B.由|PF1|＝4|PF2|，得|PF2|＝eq\f(|PF1|－|PF2|,3)＝eq\f(2a,3)≥c－a，故c≤eq\f(2a,3)＋a＝eq\f(5a,3)，則e＝eq\f(c,a)≤eq\f(5,3)，又因為雙曲線的離心率e>1，所以1<e≤eq\f(5,3).3．已知正三角形AOB(O為坐標(biāo)原點)的頂點A，B在拋物線y2＝3x上，則△AOB的邊長是________．解析：如圖，設(shè)△AOB的邊長為a，則A(eq\f(\r(3),2)a，eq\f(1,2)a)，因為點A在拋物線y2＝3x上，所以eq\f(1,4)a2＝3×eq\f(\r(3),2)a，所以a＝6eq\r(3).答案：6eq\r(3)直線與圓錐曲線(綜合型)[學(xué)問整合]直線與圓錐曲線位置關(guān)系與“Δ”的關(guān)系將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量(如y)得到方程Ax2＋Bx＋C＝0.①若A＝0，則：圓錐曲線可能為雙曲線或拋物線，此時直線與圓錐曲線只有一個交點．②若A≠0，則：當(dāng)Δ>0時，直線與圓錐曲線有兩個交點(相交)；當(dāng)Δ＝0時，直線與圓錐曲線有一個交點(相切)；當(dāng)Δ<0時，直線與圓錐曲線沒有交點(相離)．直線與圓錐曲線相交時的弦長設(shè)而不求，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行整體代入，即當(dāng)直線與圓錐曲線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)時，|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，其中|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2).[典型例題]已知O為坐標(biāo)原點，點R(0，2)，F(xiàn)是拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點，|RF|＝3|OF|.(1)求拋物線C的方程；(2)過點R的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，與直線y＝－2交于點M，拋物線C在點A，B處的切線分別記為l1，l2，l1與l2交于點N，若△MON是等腰三角形，求直線l的方程．【解】(1)因為F是拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點，所以點F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).因為點R(0，2)，|RF|＝3|OF|，所以2－eq\f(p,2)＝3×eq\f(p,2)，解得p＝1.所以拋物線C的方程為x2＝2y.(2)依題意知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2(k≠0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2，,y＝kx＋2))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,k)，,y＝－2，))所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k)，－2)).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2y，,y＝kx＋2))消去y并整理得，x2－2kx－4＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2k，①x1x2＝－4.②對y＝eq\f(x2,2)求導(dǎo)，得y′＝x，則拋物線C在點A處的切線l1的方程為y－y1＝x1(x－x1)．由于點A在拋物線C上，則y1＝eq\f(xeq\o\al(2,1),2)，所以l1的方程為y＝x1x－eq\f(xeq\o\al(2,1),2).③同理可得l2的方程為y＝x2x－eq\f(xeq\o\al(2,2),2).④由①②③④得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝k，,y＝－2，))即點N的坐標(biāo)為(k，－2)．所以kOM·kON＝eq\f(k,2)×(－eq\f(2,k))＝－1，則OM⊥ON.又△MON是等腰三角形，所以|OM|＝|ON|，即eq\f(16,k2)＋4＝k2＋4，解得k＝±2.所以直線l的方程為y＝2x＋2或y＝－2x＋2.eq\a\vs4\al()解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的步驟(1)設(shè)方程及點的坐標(biāo)．(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(留意二次項系數(shù)是否為零)．(3)利用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式．(4)結(jié)合已知條件、中點坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長公式求解．[對點訓(xùn)練]1．過點M(1，1)作斜率為－eq\f(1,2)的直線與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),3)解析：選B.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，兩式相減得eq\f(（x1－x2）（x1＋x2）,a2)＋eq\f(（y1－y2）（y1＋y2）,b2)＝0，變形得－eq\f(b2（x1＋x2）,a2（y1＋y2）)＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，即－eq\f(2b2,2a2)＝－eq\f(1,2)，eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).所以，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2).2．(2024·成都市其次次診斷性檢測)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長為4eq\r(2)，離心率為eq\f(1,3).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且F1M∥F2N，直線F1M的斜率為2eq\r(6)，記直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，求3k1＋2k2的值．解：(1)由題意，得2b＝4eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).又a2－c2＝b2，所以a＝3，b＝2eq\r(2)，c＝1.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)由(1)可知A(－3，0)，B(3，0)，F(xiàn)1(－1，0)．由題意得，直線F1M的方程為y＝2eq\r(6)(x＋1)．記直線F1M與橢圓C的另一個交點為M′.設(shè)M(x1，y1)(y1>0)，M′(x2，y2)．因為F1M∥F2N，所以依據(jù)對稱性，得N(－x2，－y2)．聯(lián)立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8x2＋9y2＝72,y＝2\r(6)（x＋1）))，消去y，得14x2＋27x＋9＝0.由題意知x1>x2，所以x1＝－eq\f(3,7)，x2＝－eq\f(3,2)，k1＝eq\f(y1,x1＋3)＝eq\f(2\r(6)（x1＋1）,x1＋3)＝eq\f(4\r(6),9)，k2＝eq\f(－y2,－x2－3)＝eq\f(2\r(6)（x2＋1）,x2＋3)＝－eq\f(2\r(6),3)，所以3k1＋2k2＝3×eq\f(4\r(6),9)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)))＝0，即3k1＋2k2的值為0.一、選擇題1．(2024·高考北京卷)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，則()A．a(chǎn)2＝2b2 B．3a2＝4b2C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4b解析：選B.由題意得，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,4)，又a2＝b2＋c2，所以eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以4b2＝3a2.故選B.2．以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為()A．1 B.eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：選D.設(shè)a，b，c分別為橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距，依題意知，eq\f(1,2)×2cb＝1?bc＝1，2a＝2eq\r(b2＋c2)≥2eq\r(2bc)＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝1時，等號成立．故選D.3．若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為()A．2B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)解析：選D.由題意知x2＝eq\f(1,2)y，則F(0，eq\f(1,8))，設(shè)P(x0，2xeq\o\al(2,0))，則|PF|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋（2xeq\o\al(2,0)－\f(1,8)）2)＝eq\r(4xeq\o\al(4,0)＋\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋\f(1,64))＝2xeq\o\al(2,0)＋eq\f(1,8)，所以當(dāng)xeq\o\al(2,0)＝0時，|PF|min＝eq\f(1,8).4．(2024·高考天津卷)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)解析：選D.由題意知F(1，0)，l：x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，則|AB|＝4|OF|＝4，而|AB|＝2×eq\f(b,a)，所以eq\f(b,a)＝2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(a2＋4a2),a)＝eq\r(5)，故選D.5．(一題多解)(2024·高考全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：選A.通解：依題意，記F(c，0)，則以O(shè)F為直徑的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)，將圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)與圓x2＋y2＝a2的方程相減得cx＝a2，即x＝eq\f(a2,c)，所以點P，Q的橫坐標(biāo)均為eq\f(a2,c).由于PQ是圓x2＋y2＝a2的一條弦，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PQ|,2)))eq\s\up12(2)＝a2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，即eq\f(c2,4)＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2,c2)))＝eq\f(a2b2,c2)，所以c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的離心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，故選A.優(yōu)解一：記F(c，0)．連接OP，PF，則OP⊥PF，所以S△OPF＝eq\f(1,2)|OP|·|PF|＝eq\f(1,2)|OF|·eq\f(1,2)|PQ|，即eq\f(1,2)a·eq\r(c2－a2)＝eq\f(1,2)c·eq\f(1,2)c，即c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的離心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，故選A.優(yōu)解二：記F(c，0)．依題意，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的一條弦，因此OF垂直平分PQ.又|PQ|＝|OF|，因此PQ是該圓與OF垂直的直徑，所以∠FOP＝45°，點P的橫坐標(biāo)為eq\f(c,2)，縱坐標(biāo)的肯定值為eq\f(c,2)，于是有eq\r(2)×eq\f(c,2)＝a，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即C的離心率為eq\r(2)，故選A.6．已知直線l：y＝kx＋2過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點F和虛軸的上端點B(0，b)，且與圓x2＋y2＝8交于點M，N，若|MN|≥2eq\r(5)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1，eq\r(6)] B．(1，eq\f(\r(6),2)]C．[eq\f(\r(6),2)，＋∞) D．[eq\r(6)，＋∞)解析：選C.設(shè)圓心到直線l的距離為d(d>0)，因為|MN|≥2eq\r(5)，所以2eq\r(8－d2)≥2eq\r(5)，即0<d≤eq\r(3).又d＝eq\f(2,\r(1＋k2))，所以eq\f(2,\r(1＋k2))≤eq\r(3)，解得|k|≥eq\f(\r(3),3).由直線l：y＝kx＋2過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點F和虛軸的上端點B(0，b)，得|k|＝eq\f(b,c).所以eq\f(b,c)≥eq\f(\r(3),3)，即eq\f(b2,c2)≥eq\f(1,3)，所以eq\f(c2－a2,c2)≥eq\f(1,3)，即1－eq\f(1,e2)≥eq\f(1,3)，所以e≥eq\f(\r(6),2)，即雙曲線的離心率e的取值范圍是[eq\f(\r(6),2)，＋∞)．故選C.二、填空題7．已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為______．解析：依據(jù)對稱性，不妨設(shè)A在第一象限，A(x，y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y＝\f(b,2)x))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,\r(b2＋4))，,y＝\f(4,\r(b2＋4))·\f(b,2)，))所以xy＝eq\f(16,b2＋4)·eq\f(b,2)＝eq\f(b,2)?b2＝12，故雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝18．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線l，過M(1，0)且斜率為eq\r(3)的直線與l相交于點A，與C的一個交點為點B，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，則p＝________．解析：設(shè)直線AB：y＝eq\r(3)x－eq\r(3)，代入y2＝2px得：3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，又因為eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，即M為A，B的中點，所以xB＋(－eq\f(p,2))＝2，即xB＝2＋eq\f(p,2)，得p2＋4p－12＝0，解得p＝2，p＝－6(舍去)．答案：29．(2024·昆明市質(zhì)量檢測)已知拋物線y2＝4x上一點P到準(zhǔn)線的距離為d1，到直線l：4x－3y＋11＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值為________．解析：如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為m，焦點為F，分別過點P，F(xiàn)作PA⊥m，PM⊥l，F(xiàn)N⊥l，垂足分別為A，M，N.連接PF，因為點P在拋物線上，所以|PA|＝|PF|，所以(d1＋d2)min＝(|PF|＋|PM|)min＝|FN|.點F(1，0)到直線l的距離|FN|＝eq\f(|4＋11|,\r(42＋（－3）2))＝3，所以(d1＋d2)min＝3.答案：3三、解答題10．(2024·長春市質(zhì)量監(jiān)測(二))已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的中心是坐標(biāo)原點O，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P是橢圓C上一點，滿意PF2⊥x軸，|PF2|＝eq\f(1,2)，橢圓C的離心率為eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓C的左焦點且傾斜角為45°的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求△AOB的面積．解：(1)由題意知，離心率e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)，|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(1,2)，得a＝2，b＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由條件可知F1(－eq\r(3)，0)，直線l：y＝x＋eq\r(3)，聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋\r(3),\