2024-2025學(xué)年同步試題 數(shù)學(xué) 必修第二冊十九　復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義

十九復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)已知復(fù)數(shù)z1=12-3i,z2=-9+i,則z1+z2的實(shí)部與虛部分別為()A.3,-2 B.3,-2iC.2,-3 D.2,-3i【解析】選A.因?yàn)閦1=12-3i,z2=-9+i,所以z1+z2=3-2i,其實(shí)部與虛部分別為3,-2.2.(5分)已知復(fù)數(shù)z1=1+ai,z2=2a-3i(a∈R).若復(fù)數(shù)z1-z2是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為()A.-3 B.12 C.13 D【解析】選B.由題意,知z1-z2=(1+ai)-(2a-3i)=1-2a+(a+3)i.若復(fù)數(shù)z1-z2是純虛數(shù),則1-2a=0,且a+3≠0,解得a=123.(5分)(2024·鄭州高一檢測)復(fù)數(shù)6+5i與-3+4i分別表示向量與,則表示向量的復(fù)數(shù)為()A.3+9i B.2+8iC.-9-i D.9+i【解析】選D.復(fù)數(shù)6+5i與-3+4i分別表示向量與,因?yàn)?-,所以表示向量的復(fù)數(shù)為(6+5i)-(-3+4i)=9+i.4.(5分)(多選)若復(fù)數(shù)z滿足z+(3-4i)=1,則()A.z的實(shí)部是-2 B.z的虛部是4C.|z|=2 D.z=-2-4i【解析】選ABD.z=1-(3-4i)=-2+4i,則z的實(shí)部是-2,虛部是4,|z|=25,z=-2-4i.5.(5分)已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量如圖所示,則復(fù)數(shù)z+1所對應(yīng)的向量正確的是()【解析】選A.由題圖可知,z=-2+i,所以z+1=-1+i,則復(fù)數(shù)z+1所對應(yīng)的向量的坐標(biāo)為(-1,1).6.(5分)(2024·無錫高一檢測)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足|z-3i|=2,則|z|的取值范圍是()A.[1,5] B.[3-2,3+2]C.[0,5] D.[0,3+2]【解析】選A.在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z滿足|z-3i|=2,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是以(0,3)為圓心,半徑為2的圓,|z|的幾何意義是點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離,所以3-2≤|z|≤3+2,所以|z|的取值范圍是[1,5].7.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足z+(3-4i)=1,則z的虛部是__________.

【解析】因?yàn)閦+(3-4i)=1,所以z=-2+4i,故z的虛部是4.答案:48.(5分)已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,其中m為實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,若z1-z2=0,則m的值為__________.

【解析】由題意可得z1-z2=0,即m2-3m+m2i=4+(5m+6)i,根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件可得m2解得m=-1.答案:-19.(5分)(2024·北京高一檢測)如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的向量分別是,,則|z1+z2|=__________.

【解析】依題意可得=(2,1),=(-1,1),所以z1=2+i,z2=-1+i,所以z1+z2=(2+i)+(-1+i)=1+2i,所以|z1+z2|=12+2答案:510.(10分)計(jì)算:(1)2-12i+12-2i;(2)(3+2i)+(3-2)i;(3)(1+2i)+(i+i2)+|3+4i|;(4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i).【解析】(1)原式=2+12-12+2i=52-52i.(2)原式=3+(2+3-2)i=3+3i.(3)原式=1+2i+i-1+5=5+3i.(4)原式=[6+3-3-(-2)]+[-3+2-(-4)-1]i=8+2i.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)設(shè)z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,則z1-z2=()A.2+8i B.-2+10iC.1-10i D.-1+10i【解析】選D.因?yàn)閦1=x+2i,z2=3-yi,且z1+z2=5-6i,所以(x+3)+(2-y)i=5-6i,所以x+3=5,所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.12.(5分)(多選)已知i為虛數(shù)單位,下列說法正確的是()A.若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=5,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在以(1,0)為圓心,5為半徑的圓上B.若復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+8i,則復(fù)數(shù)z=15+8iC.復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模D.非零復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的向量為,非零復(fù)數(shù)z2對應(yīng)的向量為,若|z1+z2|=|z1-z2|,則⊥【解析】選CD.對于A項(xiàng),滿足|z-i|=5的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在以(0,1)為圓心,5為半徑的圓上,故A錯誤;對于B項(xiàng),設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則|z|=a2由z+|z|=2+8i可得,a+a2+b根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可得a+解得a=-15對于C項(xiàng),由復(fù)數(shù)的模的定義知C正確;對于D項(xiàng),由|z1+z2|=|z1-z2|的幾何意義知,以,為鄰邊的平行四邊形為矩形,從而兩鄰邊垂直,故D正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(多選)設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z,i為虛數(shù)單位,則下列命題為真命題的是()A.z+z∈RB.z-z是純虛數(shù)C.若z=cosπ5+isin3π5,則|D.若|z-i|=1,則|z|的最大值為2【解析】選AD.因?yàn)閺?fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)z的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù),所以z+z∈R,A為真命題;當(dāng)z為實(shí)數(shù)時,z也為實(shí)數(shù),則z-z是實(shí)數(shù),B為假命題;若z=cosπ5+isin3π則|z|=cos|z-i|=1表示以點(diǎn)(0,1)為圓心,1為半徑的圓,結(jié)合圖形(圖略)知,|z|的最大值為圓心到原點(diǎn)的距離與半徑之和,即為1+1=2,D為真命題.13.(5分)如果一個復(fù)數(shù)與它的模的和為5+3i,那么這個復(fù)數(shù)是__________.

【解析】設(shè)這個復(fù)數(shù)為a+bi(a,b∈R),則|a+bi|=a2+b2.由題意知a+bi+即a+a2+b2+所以a+a2+b2=5,b所以所求復(fù)數(shù)為115+3i答案:115+314.(10分)已知復(fù)數(shù)z1=a+(7-a)i,z2=5+(3a+1)i(a∈R,i是虛數(shù)單位).(1)若z2的實(shí)部與z1的模相等,求實(shí)數(shù)a的值;(2)若復(fù)數(shù)z1+z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)依題意,|z1|=a2+(7-a)2=2a2-14a+49,因?yàn)閦2的實(shí)部與z(2)因?yàn)閦1+z2=(a+5)+(2a+8)i,且z1+z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,所以a+5>0,2a+8<0,15.(10分)(2024·福州高一檢測)已知在復(fù)平面內(nèi),平行四邊形OABC的三個頂點(diǎn)O,A,C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,3+2i,-2+4i.(1)求點(diǎn)B所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z0;(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z-z0|=1,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的集合是什么圖形?【解析】(1)由已知得=(3,2),=(-2,4),所以=+=(1,6),所以點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)z0=1+6i.(2)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為Z.因?yàn)閨z-z0|=1,所以點(diǎn)Z到點(diǎn)B(1,6)的距離為1,所以滿足|z-z0|=1的點(diǎn)Z的集合是以B(1,6)為圓心,1為半徑的圓.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知z0=2+2i,|z-z0|=2.(1)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形?(2)求|z|的最小值和最大值.【解析】(1)設(shè)z0在