2024-2025學(xué)年同步試題 數(shù)學(xué) 必修第二冊二十五　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

二十五圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)若球的過球心的圓面的周長是C,則這個球的表面積是()A.C24π B.C22π C.C2π【解析】選C.由2πR=C,得R=C2π,所以S球=4πR2=C2.(5分)(2024·錫林郭勒盟高一期末)已知圓錐PO的母線長為2,O為底面的圓心,其側(cè)面積等于23π,則該圓錐的體積為()A.3π B.2π C.π D.2π【解析】選C.設(shè)圓錐PO的底面圓半徑為r,由母線長為2,側(cè)面積等于23π,得πr×2=23π,解得r=3,因此圓錐的高h=22-r2=4-(3)2=1,所以該圓錐的體積為V=13πr23.(5分)已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為3,圓臺的側(cè)面積為84π,則該圓臺較小底面的半徑為()A.7 B.6 C.5 D.3【解析】選A.設(shè)圓臺較小底面的半徑為r,則另一底面的半徑為3r.由S側(cè)=3π(r+3r)=84π,解得r=7.4.(5分)(多選)圓柱的側(cè)面展開圖是長12cm、寬8cm的矩形,則這個圓柱的體積可能是()A.288πcm3 B.192πC.288πcm3 D.192πcm3【解析】選AB.當圓柱的高為8cm時,V=π×122π2×8=288π(cm3),當圓柱的高為12cm時,V=π×82π2×12=192π(cm3).5.(5分)(多選)一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等,下列結(jié)論正確的是()A.圓柱的側(cè)面積為2πR2B.圓錐的側(cè)面積為2πR2C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D.圓錐的表面積最小【解析】選CD.對于A,因為圓柱的底面直徑和高都與一個球的直徑2R相等,所以圓柱的側(cè)面積為S=2πR×2R=4πR2,故錯誤;對于B,因為圓錐的底面直徑和高都與一個球的直徑2R相等,所以圓錐的側(cè)面積為S=πR·(2R)2+R對于C,因為圓柱的側(cè)面積為S=2πR×2R=4πR2,球的表面積為S球=4πR2,所以圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等,故正確;對于D,圓柱的表面積為S圓柱=2πR×2R+2πR2=6πR2,圓錐的表面積為S圓錐=πR·(2R)2+R2+πR2=(5+1)πR2,球的表面積為6.(5分)下列說法不正確的是()A.若把球的半徑擴大到原來的2倍,則它的體積擴大到原來的8倍B.若把球的表面積擴大到原來的2倍,則它的體積擴大到原來的4倍C.若球的體積與其表面積的數(shù)值相等,則球的半徑等于3D.若棱長為2的正方體的8個頂點都在同一球面上,則球的表面積為12π【解析】選B.設(shè)球原來的半徑為r,體積為V,則V=43πr3,當球的半徑為2r時,其體積變?yōu)?43πr3,A正確;設(shè)球變化前后的半徑分別為r與r',體積分別為V與V',則4πr'2=2·4πr2,得r'=2r,則V'=43πr'3=2243πr3=22V,即體積變?yōu)樵瓉眢w積的22倍,B不正確;設(shè)球的半徑為R,則43πR3=4πR2,得R設(shè)正方體外接球的半徑為R,則23=2R,得R=3,即S球=4πR2=12π,D正確.7.(5分)已知圓柱OO'的母線l=4cm,表面積為42πcm2,則圓柱OO'的底面半徑r=______cm.

【解析】圓柱OO'的側(cè)面積為2πrl=8πr(cm2),兩底面面積為2×πr2=2πr2(cm2),所以2πr2+8πr=42π,解得r=3或r=-7(舍去),所以圓柱的底面半徑為3cm.答案:38.(5分)將一個圓形紙片沿半徑剪開為兩個扇形,其圓心角之比為3∶4,再將它們卷成兩個圓錐側(cè)面,則這兩個圓錐的體積之比為__________.

【解析】設(shè)圓的半徑為r,則兩個圓錐的母線長為r.由已知可得兩個圓錐的底面半徑分別為:2πr×372π=37r所以兩圓錐的體積之比為:π3×(37r答案:3330889.(5分)若一個圓柱與圓錐的高相等,且軸截面面積也相等,那么圓柱與圓錐的體積之比為__________.

【解析】設(shè)圓柱、圓錐的高都為h,底面半徑分別為r,R,則有12·2Rh=2rh,所以R=2rV圓錐=13πR2h=43πr2h,V圓柱=πr2h,故V圓柱∶V圓錐=3∶答案:3∶410.(10分)某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=1,l=3,試求該組合體的表面積和體積.【解析】該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,該組合體的體積V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=【綜合應(yīng)用練】11.(5分)《九章算術(shù)》中記載一個問題,意思是:今有圓柱形土筑小城堡,底面周長為4丈8尺,高1丈1尺,問它的體積是多少立方尺?這個問題的答案是(π≈3,1丈=10尺)()A.2112立方尺 B.2111立方尺C.4224立方尺 D.4222立方尺【解析】選A.由已知,圓柱底面圓的周長為48尺,圓柱的高為11尺,所以底面半徑r=482π≈8(尺),所以它的體積V=11πr2≈2112(立方尺)12.(5分)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為()A.π B.3π4 C.π2 D【解析】選B.設(shè)圓柱的底面半徑為r,球的半徑為R,且R=1,由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知,r,R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形.所以r=1-(12)

2=32.所以圓柱的體積為V=π13.(5分)如圖,一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰塊,如果冰塊融化了,水________溢出杯子(填“會”或“不會”).

【解析】因為V半球=12×43πR3=12×43π×43=1283π(cm3),V圓錐=13πr2h=13π×42×10=1603π(cm3答案:不會14.(10分)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD內(nèi)過點C作l⊥CB,以l為軸旋轉(zhuǎn)一周.求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.【解析】如題圖,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,所以CD=BC-ADcos60°=2a,AB=所以DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a.所以DO=12DD'=由于以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐.由上述計算知,圓柱的母線長為3a,底面半徑為2a,圓錐的母線長為2a,底面半徑為a.所以圓柱的側(cè)面積S1=2π·2a·3a=43πa2,圓錐的側(cè)面積S2=π·a·2a=2πa2,圓柱的底面積S3=π(2a)2=4πa2,圓錐的底面積S4=πa2.所以組合體上底面面積S5=S3-S4=3πa2.所以旋轉(zhuǎn)體的表面積S=S1+S2+S3+S5=(43+9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個圓柱的體積減去一個圓錐的體積.V柱=Sh=π·(2a)2·3a=43πa3.V錐=13S'h=13·π·a2·3a=33π所以V=V柱-V錐=43πa3-33πa3=1133π15.(10分)如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍,求圓錐的側(cè)面積和球的表面積之比.【解析】如圖,△ABC為圓錐的軸截面,截球面得圓O,由題意知AD=3OE,則OA=2OE