解三角形（八大題型）（講義）（原卷版）

第04講解三角形

目錄

真題感悟

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對(duì)本節(jié)的考查不會(huì)有大的變化，仍

(1)掌握正弦定理、余弦定將以考查正余弦定理的基本使用、面積

理及其變形.公式的應(yīng)用為主.從近五年的全國(guó)卷的

2023年/卷〃卷第17題，10分

(2)能利用正弦定理、余弦考查情況來(lái)看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主

2023年甲卷第16題，5分

定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形要以考查正余弦定理的應(yīng)用和面積公

2023年乙卷第18題，12分

度量問(wèn)題.式為主.

2022年/卷〃卷第18題，12分

(3)能夠運(yùn)用正弦定理、余

弦定理等知識(shí)和方法解決一

些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的

實(shí)際問(wèn)題.

abc??

------=-------=------=2R

sinA--sinBsinC

=62+c2-26ccosA

b2—c2-ha2—2accosB

c2=a2+fe2—2abcosC

=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

..a.b.c

正弦定理變形sinA=——,smB=——,sinC=——

2R'2R2R

解三角形

J>2+_a2

cosA=---------------

2bc

c2+a2—b2

cosB=----------------

2ac

余弦定理變形

a2+b2—c2

cosC=.......-；------

2ab

仰角和俯角

方位角

方向角

城角與坡度

夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2Z?ccosA；

公式=-=2ab2=c2+a1—2QCCOSB；

sinAsinBsinC

c2=tz2+&2-2abeosC

b1+C1—a

cosA=---------------；

(1)a=2RsinA,〃=2HsinB,c=27?sinC；2bc

c2+a2-b1

常見變形(2)sinA=—,sinB=—,sinC=—；cosB=---------------；

2R2R2Rlac

_+Z72-c2

cosC=---------------.

2ab

(2)面積公式：

S^ABC=-^absmC=^bcsinA=-^acsmB

S^ABC=—=-(a+b+c)-r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R,r.)

△4R2

知識(shí)點(diǎn)二：相關(guān)應(yīng)用

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oQ:Z?:c=sinA:sin5:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

Q>boA>5osinA>sin5ocosA<cosB

③合分比：—a+6+c—=a+6==…=」=上=二=2二

sinA+sin5+sinCsinA+sinBsin3+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC內(nèi)角和定理：A+6+C=?

?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin3oc=々cosB+/?cosA

同理有：Q=Z?COSC+CCOS5,》=ccosA+QCOSC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)=一面1'土面1'一。tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC

1-tanA-tanB

?sin(A±l)=COsf;Cos(^)=sinf

⑤在AABC中，內(nèi)角AB,。成等差數(shù)列=5=e,A+C=二.

33

知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)際應(yīng)用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

鉛

垂

線

（2）方位角

從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如8點(diǎn)的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角.

（1）北偏東a,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.

（3）南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度

（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角＜9為坡角）.

（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖④，i為坡度）.坡度又稱為坡比.

【解題方法總結(jié)】

1、方法技巧：解三角形多解情況

在△ABC中，已知a,b和A時(shí)，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

C

cX

/A

圖形

AB；.....-'BA

AB

bsinA<a<b、7a>b

關(guān)系式a=6sinAa>ba<b

解的個(gè)

一解兩解一解一解無(wú)解

數(shù)

2、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,

要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有。,ac的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用至UA+3+C=%.

3、三角形中的射影定理

在△ABC中，a=Z?cosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=〃cosA+acos^B.

一提升?必考題型歸納

題型一：正弦定理的應(yīng)用

jr57r

例1.（2023?福建龍巖?高三校聯(lián)考期中）在AABC中，角A仇。所對(duì)的邊分別為。也。，若。=4,A=；,C=2,

412

則Z?=（）

A.2A/3B.2盯C.2A/6D.6

nhc

例2.（2023?全國(guó)?局三專題練習(xí)）在4WC中，設(shè)命題p：——=——二——，命題q：4WC是等邊三

sinCsinAsinB

角形，那么命題p是命題q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例3.（2023?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sinA=sinBcosC

c+a

且c=26,A=y,則)

6sinC+sinA

A.8A/3B.4A/3C.8D.4

變式1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是。力,c,acosB-bcosA=c,

-TT

且。=5，則N5=（）

,兀r兀一3乃—2兀

A.—B.-C.—D.—

105105

變式2.（2023?河南鄭州?高三鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）a,b,。分別為△ABC內(nèi)角A,3,C的

對(duì)邊.已知々=4,"sinAsinC=csin6,則AANC外接圓的面積為（）

A.16%B.647rC.128萬(wàn)D.2567r

變式3.（2023?甘肅蘭州?高三蘭州五H^一中?？计谥校鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,

b

c,^tzsinAsinB+Z?cos2A=sj3a,則一=（）

a

A.后B.百C.2A/2D.

變式4.（2023?寧夏?高三六盤山高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰贏ABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別是。，b,

2,,2sin2B-sin2A/、

c.右a=2b,則------、------的值為（）

sirrA

A.—B.—C.1D.—?

242

變式5.（2023?河南?洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

c,已知6cosA=a（石-cosB）,a=2,貝ijc=（）

A.4B.6C.2-72D.2A/3

【解題方法總結(jié)】

（1）已知兩角及一邊求解三角形；

（2）已知兩邊一對(duì)角；.

'大角求小角一解（銳）

［兩解一sinA<1（一銳角、一鈍角）

小角求大角一〈一解一sinA=l（直角）

無(wú)解一sinA>1

（3）兩邊一對(duì)角，求第三邊.

題型二：余弦定理的應(yīng)用

例4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知AABC的內(nèi)角A&C所對(duì)的邊分別為。，"c滿足6+02一6=/且

A.2B.3

C.4D.24）

例5.（2023?河南?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,"c,若

.sinBsinC

tanA二一z---------；----------；—，則A=（）

sin2B+sin2C-sin2A

n

A.—c—ng—D.*

3-766

例6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sinA=sinB,且

c2=2a2（1+sinC）,則C=（）

變式6.（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

111

c,a1+b2=3c2,則+)

tanAtanBtanC

A.0B.1C.2D.1

變式7.（2023全國(guó)?高三專題練習(xí)）在AABC中，角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,?且乎+您C=2

bcsinC

則b的值為（）

A.1B.gC.—D.2

2

【解題方法總結(jié)】

（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊.

（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，

〉0,則AABC為銳角三角形

若余弦值<=0,則AABC為直角三角形.

<0,則AABC為鈍角三角形

題型三：判斷三角形的形狀

例7.（2023?甘肅酒泉?統(tǒng)考三模）在AABC中內(nèi)角的對(duì)邊分別為0力,c,若，=sinAcos8,則.c

bsinBcosA

的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

例8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且c-AcosA<0,

則血?C形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

例9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在AABC中，若小"==2空，貝UAABC的形狀為（）

c-cosB1-cos2C

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

變式8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,^b2^c2+a2一CCL，

且sinA=2sinC,則AABC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形等腰三角形

變式9.（2023?河南周口?高三?？茧A段練習(xí)）已知AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,4c.若

sin2A+csinA=sinAsinB+ZjsinC,則該三角形的形狀一定是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.銳角三角形

變式10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若

a2cosAsinB=i>2sin4cos民則AABC的形狀為（）

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

變式11.（2023?北京?高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,

若42cosAsin8=廿sinAcos3,則AABC的形狀為（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等邊三角形

【解題方法總結(jié)】

（1）求最大角的余弦，判斷AABC是銳角、直角還是鈍角三角形.

（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.

題型四：正、余弦定理與的綜合

例10.（2023?河南南陽(yáng)?統(tǒng)考二模）銳角AABC是單位圓的內(nèi)接三角形，角A,5c的對(duì)邊分別為°,4c,

Ma2+Z?2-c2=4a2cosA-2accosB,貝。。等于（）

A.2B.20C.73D.1

例11.（2023?河北唐山?高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為

b,,c,-a-b-s-in-A-+-a-b-s-i-n-B=/+2//,2一片.2

2sinB2sinA

jr

⑴求證：0<C<-;

例12.（2023?重慶統(tǒng)考三模）已知AABC的內(nèi)角A、5、C的對(duì)邊分別為〃、b、c,sin（A-B）tanC=sinAsinB.

22

/［、+

⑴求Cl丁+C

2

(2)若COSB=—,求sinA.

3

變式12.（2023?山東濱州?統(tǒng)考二模）已知AABC的三個(gè)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,。，且

2cos(B-C)cosA+cos2A=1+2cosAcos(5+C).

⑴若6=C,求A；

⑵求h中2+的r2值.

變式13.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在AABC中，(a+c)(sinA—sinC)=b(sinA—sinB),則NC=()

712兀5兀

A.-IC.—D.

I3~6

變式14.（2023?青海?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,若eLBC

的面積是6（“+°2—"2），則A=（）

4

兀一2?！肛Ｒ?兀

A.—B.—C.-D.—

3366

變式15.（2023?全國(guó)?校聯(lián)考三模）已知小b,c分別為AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊，

a2+c2=ac[3cos2--sin2—.

I22）

（1）求證：a,b,c成等比數(shù)列；

（2）若「1/2=>,求cosB的值.

sit?A+sin2c4

變式16.（2023?天津武清?天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的

邊分別為。，b,c,已知csin'+C=asinC

2

（1）求角A的大小;

(2)若b=l,sinB=叵,求邊c及cos(23+4)的值.

7

【解題方法總結(jié)】

先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解.

題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

方向1：距離問(wèn)題

例13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1）,其主體建筑

采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“s”完美嵌入其中，寓意無(wú)限未知、無(wú)限發(fā)展、無(wú)限可能和無(wú)限的

科技創(chuàng)新.如圖2,為了測(cè)量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂8之間的距離，無(wú)人機(jī)在點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)A

和點(diǎn)8的俯角分別為75。，30°,隨后無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)。，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)8的俯角分

別為45。和60。（A,B,C,。在同一鉛垂面內(nèi)），則A,B兩點(diǎn)之間的距離為米.

CD

例14.（2023?安徽阜陽(yáng)?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谥校┮挥慰驮贏處望見在正北方向有一塔8,在

北偏西45。方向的C處有一寺廟，此游客騎車向西行1km后到達(dá)。處，這時(shí)塔和寺廟分別在北偏東30。和北

偏西15。，則塔8與寺廟C的距離為km.

例15.（2023?河南鄭州?高三統(tǒng)考期末）如圖，為了測(cè)量A,C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上的B,。兩

點(diǎn)，測(cè)出四邊形43CD各邊的長(zhǎng)度（單位：km）：AB=5,3c=8,CD=3,DA=5,且四點(diǎn)共

圓，則AC的長(zhǎng)為km.

變式17.（2023?山東東營(yíng)?高三廣饒一中?？茧A段練習(xí)）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得燈

塔底部C在北偏東15。方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)8處，此時(shí)測(cè)得燈塔底部C在北偏東60。方向上,

測(cè)得塔頂尸的仰角為60°,已知燈塔高為2瓜m.則巡邏船的航行速度為_____km/h.

方向2：高度問(wèn)題

例16.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某中學(xué)某班級(jí)課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某座山峰的高度，先

在山腳A處測(cè)得山頂C處的仰角為60。，又利用無(wú)人機(jī)在離地面高300m的“處（即Affi>=300m）,觀測(cè)到

山頂C處的仰角為15。，山腳A處的俯角為45。，則山高3C=m.

例17.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個(gè)計(jì)算山高的問(wèn)題（如圖

1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目

著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問(wèn)島高及去表各幾

何?假設(shè)古代有類似的一個(gè)問(wèn)題，如圖2,要測(cè)量海島上一座山峰的高度A”，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和

DE,兩竿相距8D=800步，D,B,〃三點(diǎn)共線且在同一水平面上，從點(diǎn)8退行100步到點(diǎn)R此時(shí)A,C,

尸三點(diǎn)共線，從點(diǎn)。退行120步到點(diǎn)G,此時(shí)A,E,G三點(diǎn)也共線，則山峰的高度步.（古

制單位:180丈=300步）

A

I”入'、]E

HBFDG

圖1圖2

例18.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)校雕像

“月亮上的讀書女孩”進(jìn)行測(cè)量，在正北方向一點(diǎn)測(cè)得雕塑最高點(diǎn)仰角為30°,在正東方向一點(diǎn)測(cè)得雕塑最高

點(diǎn)仰角為45。，兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)之間距離約為44米，則雕塑高為

變式18.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）山西應(yīng)縣木塔（如圖1）是世界上現(xiàn)存最古老、最高大的木塔，是中國(guó)

古建筑中的瑰寶，是世界木結(jié)構(gòu)建筑的典范.如圖2,某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量木塔的高度，在木塔的附近

找到一建筑物A8,高為7百米，塔頂P在地面上的射影為。，在地面上再確定一點(diǎn)C（B,C,。三點(diǎn)共

線），測(cè)得BC約為57米，在點(diǎn)A,C處測(cè)得塔頂尸的仰角分別為30。和60。，則該小組估算的木塔的高度為

__________米.

圖1圖2

方向3：角度問(wèn)題

例19.（2023?福建廈門?高三廈門一中?？计谥校┳闱蚴且豁?xiàng)很受歡迎的體育運(yùn)動(dòng).如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)

的2底線寬AB=72碼，球門寬跖=8碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過(guò)程中，攻方球員帶球運(yùn)動(dòng)時(shí)，

往往需要找到一點(diǎn)尸，使得NEPF最大，這時(shí)候點(diǎn)P就是最佳射門位置.當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點(diǎn)。

處（OA=4氏A3）時(shí)，根據(jù)場(chǎng)上形勢(shì)判斷，有兩條進(jìn)攻線路可供選擇.若選擇線路08,則甲

帶球碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置.

B

例20.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）當(dāng)太陽(yáng)光線與水平面的傾斜角為60。時(shí)，一根長(zhǎng)為2m的竹竿，要使它

的影子最長(zhǎng)，則竹竿與地面所成的角a=.

例21.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路.線路1是從A

沿直線步行到C,線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從3沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游

客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的T倍，甲走線路2,乙走線路1,最后他們同時(shí)到達(dá)C

處.經(jīng)測(cè)量，AB=1040m,BC=500m,貝!JsinNBAC等于.

變式19.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問(wèn)題，故

最大視角問(wèn)題一般稱為“米勒問(wèn)題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點(diǎn)8離地面6米，在離地面c（c<6）

米的C處看此樹，離此樹的水平距離為米時(shí)看A,B的視角最大.

【解題方法總結(jié)】

根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識(shí)求解.

題型六：倍角關(guān)系

例22.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))記AABC的內(nèi)角A3,C的對(duì)邊分別為。，"c,已知acos6=b(l+cosA).

(1)證明：A=2B；

(2)若C=2/7,Q=石，求ziASC的面積.

例23.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在AABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,。(〃，b,c互不相等)，且

滿足。cosC=(2b-。)cos5.

(1)求證：A=26；

(2)若c=Oa，求cos5.

例24.(2023?江蘇?高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為

〃、b、c,若A=2瓦

⑴求證：a2-b2=bc;

23

(2)若cos3=§,點(diǎn)。為邊A3上一點(diǎn)，AD=-DB,CD=2瓜,求邊長(zhǎng)b.

變式20.(2023?陜西咸陽(yáng)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知分別是AABC的角ABC的對(duì)

邊,bsinB—asinA=sinC(2bcos2B—c).

(1)求證：A=2B；

(2)求￡的取值范圍.

a

變式21.(2023?四川?成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？既?已知。，4c分別為銳角AABC內(nèi)角4B,C

的對(duì)邊，b-2acosC=a.

(1)證明：C=2A；

（2）求*的取值范圍.

變式22.（2023?福建三明?高三統(tǒng)考期末）非等腰AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別為。、b、c,且

a-cosB_sin3

a-cosCsinC

⑴證明：a2=b+c;

2

(2)若5=2C,證明：b>~.

題型七：三角形解的個(gè)數(shù)

例25.（2023?貴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是。也。,4=60。,a=6.若這個(gè)三

角形有兩解，則b的取值范圍是（）

A.y/3<b<2B.框<b<2

C.l<b<2y/3D.l<b<2

例26.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在△ABC中，。=18,b=24,/A=45。，此三角形解的情況為（）

A.一個(gè)解B.二個(gè)解C.無(wú)解D.無(wú)法確定

例27.（2023?河南南陽(yáng)?高三統(tǒng)考期中）在“BC中，C=30°,b=也,。=x.若滿足條件的AABC有且

只有一個(gè)，貝”的可能取值是（）

A.1B.8C.1D.白

22

變式23.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在“ABC中，內(nèi)角A民C所對(duì)的邊分別為a,"c,則下列條件能確

定三角形有兩解的是（）

_JI

A.Q=5,Z7=4,A=一

JI

B.a=4,b=5,A=—

C.a=5,b=4,A=

71

D.a==5,A=一

3

變式24.（2023?北京朝陽(yáng)?高三專題練習(xí)）在下列關(guān)于㈤?C的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角A被唯一

確定的是：（）

①sinA=—

2

41

②cosA=——；

3

（3）cosB=~—,b=3a；

4

④/C=4516=2,c=4.

A.①②B.②③C.②④D.②③④

變式25.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)在AABC中，角A、8、C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若滿足

。=6,匕=3=J的AABC不唯一，則加的取值范圍為（）

6

A.B.（0,V3）

C.匿）D.（川

變式26.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在AABC中，a=2,B==卷，若該三角形有兩個(gè)解，貝后邊范圍是

6

（）

A.（2,4）B.（73,4）C.（6,2）D.（1,2）

-]T

變式27.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若滿足NABC=—,AC=6,BC=左的AABC恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)上的

4

取值范圍是（）

A.（0,6]B.（0,6]U{6夜}C.（6,6A/2）D.（6,6A/2）

【解題方法總結(jié)】

三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)

角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.

題型八：三角形中的面積與周長(zhǎng)問(wèn)題

例28.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）在AABC中，若荏.前=-2,且48=60°,則AABC的面積為（）

A.2石B.括C.立D.76

2

7T

例29.（2023?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）在AABC中，內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別為。，c,ZBAC=-

。為BC上一點(diǎn)，BD=2DC,AD=BD=—,則AABC的面積為（）

2

A,正R9A/3「9代n9g

3281632

ccqRh

例30.（2023?四川成都?？寄M預(yù)測(cè)）在AABC中，c分別為角A,8,C的對(duì)邊，己知上空

cosC