滬教版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何證明50道壓軸題專練（含答案解析）

幾何證明（10大題型）（50道壓軸題專練）

壓軸題型一線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

1.如圖，在△4BC中，ZBAC>90°,N3的垂直平分線分別交4B,于點(diǎn)E,F,4c的垂直平分線分

別交/C,8C于點(diǎn)N,直線斯，MN交于HP.

（1）求證：點(diǎn)P在線段的垂直平分線上；

（2）已知ZFAN=56°,求ZFPN的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；

Q）NFPN=62。.

【分析】（1）連接BP,AP,PC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明尸8=尸2=PC,從而證明結(jié)論即可；

（2）先根據(jù)相等垂直平分線的性質(zhì)證明￡4=q，NA=NC,ZAEP=ZAMP=NBEF=NCMN=90。,再

設(shè)ZB=x,ZC=y,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出x+y,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NBEE和

NCNM,再根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)求出/尸網(wǎng)，ZPNF,最后利用三角形內(nèi)角和定理求出答案即可.

本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性性質(zhì)，對(duì)頂角相等，解題

關(guān)鍵是熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用.

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接8尸，AP,PC,

A

E"、

:用1垂直平分奶，尸M垂直平分/C,

：.PA=PB,PA=PC,

：.PB=PC,

...點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上;

(2)解：：尸￡垂直平分垂直平分/C,

:.FA=FB,NA=NC,NAEP=NAMP=NBEF=NCMN=90。,

：.ZB+ZBFE=ZC+ZMNC=90°,

設(shè)N2=x,ZC=y,

：.ZB=ZBAF=x,ZC=ZCAN=y,ZBFE=90°-x,ZMNC=90°-y,

：.ZPFN=NBFE=90°-x,ZPNF=ZMNC=9Q0-y,

■：AB+AC+ZCAB=m°,ZFAN=56°,

2x+2y+56°=18O°,即x+y=62°,

,/ZPFN+ZPNF+AFPN=180°,

90°-x+90°-y+"PN=180°,

/./FPN=180°-180°+(x+y)=62°.

①如圖1,若4B=CD,ZB=90°,則44Z)E=；

②如圖2,若AB豐CD,求證：DE平分NADC；

(2)力和CZ>不平行時(shí)，AELDE,求證：AB+CD>AD.

【答案】(1)①45。；②證明見解析；

(2)證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，作

輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

⑴①根據(jù)平行線的性質(zhì)，證明”反知DCE(SAS),得到4E=DE,/BAE=NCDE,再根據(jù)等邊對(duì)等

角的性質(zhì)以及角平分線的定義，得出NBAE=NE4D=N4DE=NCDE,即可求出/4DE的度數(shù)；

②延長(zhǎng)他交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，證明“3E之△尸CE(AAS),AE=EF,根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)以及角平

分線的定義，得到N及4O=N廠，進(jìn)而得到仞=￡0,再結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；

（2）延長(zhǎng),至點(diǎn)G,使得4E=EG,證明"HE絲”。石岱八5）,得到4B=CG,再根據(jù)垂直平分線的性

質(zhì)，得到ZD=QG,最后利用三角形的三邊關(guān)系證明即可.

【詳解】（1）解：①<AB〃CD,

ZBAD+ZADC=1SO°,ZS+ZC=180°,,

???ZB=90°,

ZC=90°=ZB,

,??點(diǎn)E為線段5C的中點(diǎn)，

/.BE=CE,

在“BE和ADCE中，

AB=DC

</ABE=ZDCE=90°,

BE=CE

:△ABERDCE（SAS）,

:.AE=DE,ZBAE=ZCDE,

：.AEAD=AADE,

???4E平分/D4B,

/BAE=ZEAD,

/.NBAE=ZEAD=NADE=ZCDE

???ZBAD+ZADC=\S00,

/BAE+ZEAD+/ADE+ZCDE=4ZADE=180°,

:.AADE=45°,

故答案為：45°；

②如圖，延長(zhǎng)4E交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，

???AB〃CD,

:"BAE=/F,

在a/BE和△打CE中，

ZBAE=/F

<NAEB=ZFEC,

BE=CE

:."BE知FCE(AAS),

AE=EF,

???4E1平分/ZMB,

/./BAE=ZEAD,

:.ZEAD=/F,

AD=FD,

???E是"的中點(diǎn)，

.?.?！昶椒?/DC；

(2)證明：如圖，延長(zhǎng)4E至點(diǎn)G,使得4E=EG,

在△力§石和△GC￡中，

BE=CE

</AEB=ZGEC,

AE=GE

:."BE知GCE(SAS),

AB=CG,

VAE=EG,AEtDE,

AD=DG,

CG+CD>DG,

3.【閱讀理解】

(1)如圖1,在△4BC中，48=3,/C=5,。是3c的中點(diǎn)，求3c邊上的中線/D的取值范圍.小芳在

組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法(也叫“倍長(zhǎng)中線法”)：延長(zhǎng)40到￡,使DE=AD,再證明

“△ADC—EDB”.探究得出AD的取值范圍是.

【靈活運(yùn)用】

(2)如圖2,ZUBC中，ZB=9Q°,AB=2,AC=1,40是△ABC的中線，CELBC,AE=6,且

ZADE=90°,求CE的長(zhǎng).

【拓展延伸】

(3)如圖3,在△4BC中，平分/且/。交2。于點(diǎn)。，2c的中點(diǎn)為G,過點(diǎn)G作GE平行于

AD,交48于點(diǎn)E,交C/的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.若N8=10,AC=6,求BE的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

【答案】(1)1<AD<4-.(2)4：(3)8

【分析】(1)利用全等三角形的判定及性質(zhì)可得8E=/C=5,再利用三角形的三邊關(guān)系可得2<4￡<8,

進(jìn)而可求解.

(2)延長(zhǎng)/。交EC的延長(zhǎng)線于尸，證明△NAD名△尸8,得至IJCR=48=2,AD=DF,

ZDE=90。,再證明可垂直平分腸，得到/￡=收=6,據(jù)此根據(jù)線段的和差關(guān)系可得答案；

(3)延長(zhǎng)EG到使EG=GH,連接CH,如圖所示，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判

定與性質(zhì)，最后數(shù)形結(jié)合得到8E=；(N8+NC),代值求解即可得到答案.

【詳解】解：⑴是△4BC的中線，

BD=CD,

在△4DC和AEDB中,

'AD=ED

<ZADC=ZEDB,

CD=BD

△ADC知EDB(SAS),

：.BE=AC=5,

在中，BE-AB<AE<BE+AB,

/.5—3=2<AE<5+3=8,

:.1<AD=-AE<4,

2

故答案為：1<AD<4；

(2)延長(zhǎng)皿交EC的延長(zhǎng)線于尸，如圖:

?/ABLBC,EF1BC,

ZABD=ZFCD=90°,

在△45。和AFCD中，

"/ABD=ZFCD

<BD=CD,

AADB=ZFDC

.△ABD玨FCDgA},

CF=AB=2,AD=DF,

???/ADE=90°,

???/)￡垂直平分呼，

.?.AE=EF=6,

'：EF=CE+CF=CE+2=6,

：.CE=4；

(3)延長(zhǎng)石G到〃，使￡G=G〃，連接CH,如圖所示:

圖3

NF=ACAD,NAEF=ZBAD,

?.?⑷）平分/B4C,

/BAD=ZCAD,

ZF=ZAEF,

AF=AE,

???點(diǎn)G是5C的中點(diǎn)，

BG=CG,

在△BGE和KGH中，

BG=CG

<NBGE=ZCGH,

EG=GH

，A3GE/ACG〃（SAS）,

CH=BE,NBEG=/H,

■：ZBEG=NAEF=ZF,

ZF=ZH,即FC=C〃，

vAB=10,AC=6,

:.BE=AB-AE=AB-AF=AB-（FC-AC）=AB-FC+AC=AB-BE+AC,

:.BE=^AB+AC}=^.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、

角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.【閱讀理解】

（1）如圖1,在中，AB=3,AC=4,。是3c的中點(diǎn)，求3c邊上的中線4D的取值范圍.小明在

組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)4D到E,使DE=AD,再證明“A/DCgAE/M探究得

出4。的取值范圍是；

【靈活運(yùn)用】

(2)如圖2,中，NB=90。,AB=\,4D是A/3C的中線，CE工BC,CE=2,且N/DE=90。,

求/E的長(zhǎng).

【拓展延伸】

(3)如圖3,在A/3C中，4D平分N8/C,且2D交8C于點(diǎn)D,8C的中點(diǎn)為G,過點(diǎn)G作GE平行于

AD,交4B于點(diǎn)E,交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.若/3=5cm,AC=3cm,求BE.

17

【答案】(1)-<AD<~.(2)AE=3；(3)4cm.

【分析】(1)利用全等三角形的判定及性質(zhì)可得BE=/C=4,再利用三角形的三邊關(guān)系可得1<ZE<7,進(jìn)

而可求解.

(2)延長(zhǎng)40交EC的延長(zhǎng)線于尸，利用全等三角形的判定及性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解.

(3)利用倍長(zhǎng)中線法，延長(zhǎng)EG到使EG=G〃，連接C",如圖所示，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)，

三角形全等的判定與性質(zhì)，最后數(shù)形結(jié)合得到3E=g(43+4C),代值求解即可得到答案.

【詳解】解：(1)延長(zhǎng)4D到E,使DE=AD,

。是2C的中點(diǎn)，

BD=CD,

在△4。。和△瓦)5中，

AD=ED

</ADC=ZEDB,

CD=BD

Z\AD8AEDB@AS),

，BE=AC=4,

:A<AE<1,

117

.-<AD=-AE<-

222

17

故答案為：—<AD<—；

(2)延長(zhǎng)/Q交EC的延長(zhǎng)線于b，如圖2：

???40是△ZBC的中線，

/.BD=CD,

*：EFIBC,/B=90。,

:.NABD=NFCD=90。,

在△45。和△/CQ中，

ZABD=ZFCD

<BD=CD,

AADB=ZFDC

之△尸CQ(ASA),

CF=AB=\,AD=DF,

?:/ADE=90。，

AE=EF,

?;EF=CE+CF=CE+AB=2+1=3,

AE=3；

連接C〃，如圖3所示:

圖3

:.NGFC=ACAD,NAEF=ABAD,

???/O平分/5/C,

/./BAD=/CAD,

NGFC=NAEF,

AF=AE,

???點(diǎn)G是5C的中點(diǎn)，

/.BG=CG,

在△灰；￡和△CG〃中，

'BG=CG

</BGE=ZCGH,

EG=GH

:ABGEg△CGH（SAS）,

/.CH=BE,/BEG=/H,

???/BEG=ZAEF=ZCFG,

/.ZCFG=AH,即尸C=C〃，

AB=5cm,AC=3cm,

BE=AB-AE=AB-AF=AB-（FC-AC）=AB-FC+AC=AB-BE+AC,

:.BE=^（AB+AC）=4cm-,

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、

角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

5.【定義學(xué)習(xí)】我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形.

【定義理解】（1）如圖1,△W3C中，AB^BC,點(diǎn)尸在NC邊上，請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作線段8尸，

使與是偏等積三角形（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；

【綜合應(yīng)用】（2）四邊形是一片綠色花園，△NC8、ZiDCE是等腰直角三角形，

ZACB=ZDCE=90°（0°</BCE<90°）；

①如圖2,判斷A/CD與是否偏等積三角形，并說明理由；

②如圖3,已知BE=100m,△/。。的面積為30001112.計(jì)劃修建一條經(jīng)過點(diǎn)C的筆直的小路CF,F在BE

邊上，F(xiàn)C的延長(zhǎng)線經(jīng)過40中點(diǎn)G.若小路每米造價(jià)400元，請(qǐng)計(jì)算修建小路CF的總造價(jià).

【答案】(1)見解析；(2)①與A3CE是偏等積三角形，理由見解析；②修建小路CF的總造價(jià)為24000

元

【分析】(1)作/C的垂直平分線交/C于點(diǎn)P,連接8尸即可；

(2)①過A作/于過8作8N1CE于N,證A4cM咨ASCN(AAS),得AM=BN,貝U

S3=Sm再證A4co與ASCE不全等，即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)A作/N〃CD,交CG的延長(zhǎng)線于N,則

ZN=ZGCD,證得MGN之AT>GC(AAS),得到/N=CD,再證ZUCN之ACBE(SAS),得ZACN=NCBE,由余

角的性質(zhì)可證,然后由三角形面積和偏等積三角形的定義得%〃尸，S4gCLS^CD=3000,

求出CF=60(m),即可求解.

【詳解】解：(1)如圖，線段8尸即為所求；

(2)①A/CD與ABCE是偏等積三角形，理由如下:

過A作4W1,OC于過8作3N1CE于N,

/.ZAMC=NBNC=90°,

?:“CB、AZJCE是等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90°,

AC=BC,CD=CE,

：.ZBCN+ZACD=360°-ZACB-ZDCE=360°-90°-90°=180°,

???ZACM+ZACD=1SO°f

：.NACM=NBCN,

在工?1/和&BCN中,

ZAMC=NBNC

</ACM=ZBCN

AC=BC

:.AACMABCN(AAS),

：.AM=BN,

S^CD=-CD-AM,S,BCE=-CE-BN,

?v—v

??^^ACD-"ABCE，

?：NBCE+NACD=18。。,00<ZBCE<90°,

???ZACDwNBCE,

?；CD=CE,AC=BC,

???△ZCQ與不全等，

???"CD與ABCE是偏等積三角形；

②如圖，過點(diǎn)A作ZN〃CQ,交CG的延長(zhǎng)線于N,則/N=/GC。,

圖3

?「G點(diǎn)為Z0的中點(diǎn)，

.?.AG=GD,

在"GN和△OGC中，

'4N=ZGCD

</AGN=/DGC,

AG=DG

:."GN%DGC(AAS),

AN=CD,

,：CD=CE,

AN=CE,

??,AN//CD,

：.ZCAN+ZACD=ISO°,

,：NACB=NDCE=90°,

：.NACD+NBCE=360。一90°-90°=l80°,

???NBCE=NCAN,

在△ZCN和zkCBE中，

‘AN=CE,

</CAN=/BCE,

AC=CB

：.^ACN^CBE(SAS),

??.NACN=NCBE,

?.?NACB=90。,

：.ZACN+NBCF=180。-90。=90°,

???NCBE+NBCF=90。,

：.ZBFC=90°,

：.CF1BE.

由①得：與是偏等積三角形，

???S,BCE=gBE-CF,S.BCE=S.ACD=3000,

A400x60=24000（元）.

答：修建小路CF的總造價(jià)為24000（元）.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義“偏等積三角形”的定義、尺規(guī)作線段垂直平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)、等

腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握“偏等積三角形”的定義，證明

A/1CAgASCN和ZUCN與AC3E是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型.

壓軸題型二角平分線的性質(zhì)與判定

6.已知：如圖，。為△48。外角44c9平分線上一點(diǎn)，且D1=D3,于點(diǎn)M

(1)若NC=6,DM=2,求A/CD的面積；

⑵求證：AC=BM+CM.

【答案】(1)6；

⑵證明見解析.

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的全等等知識(shí).

(1)作DN工AC于N,先證明Z)M=DN=2,再根據(jù)三角形面積公式即可求解；

(2)先證明△COM四△CDN,得至1JCM=CN,再證明RtA4DN空RtZsBDM,得至UAN=BM,即可證明

AC=AN+CN=BM+CM.

【詳解】(1)解：如圖，作DN上AC于N.

「CZ)平分4CP,DM1BP,DN1AC,

：.DM=DN=2,

■'S^?=-AC-DN=-x6x2^6；

I^ADCr22，

(2)證明：TCQ平分N4c尸，DM±BP,DN1AC9

：.ZMCD=ZNCD,ZDMC=ZDNC=90°,

在△CDM和△CZ)N中，

ZDMC=ZDNC

<ZMCD=ZNCD,

CD=CD

ACDM^ACDN,

，CM=CN.

在RtLADN和RLBDM中,

\AD=BD

[DN=DM'

R3ADN咨RQBDM,

AN=BM,

/.AC=AN+CN=BM+CM.

7.如圖，在△0/2和AOC￡>中，0A=0B,0C=0D,OA>OC,ZAOB=ZCOD=40°,連接/C,BD

交于點(diǎn)"，連接。

(1)證明：AC=BD；

⑵求N/MB的度數(shù)；

(3)問X。是否平分N8MC?并說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵N/M8=40。

(3)〃0平分/8的，理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí).

(1)由SAS證明A/OCGAB。。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出/C=5D；

(2)令。/與BD的交點(diǎn)為P,由全等三角形的性質(zhì)得出=由三角形的外角性質(zhì)得：

ZAPB=ZAMB+NOAC=ZAOB+ZOBD,據(jù)止匕得出ZAMB=ZAOB=40°；

(3)作OG1MC于G,OH上MB于H,則/。GC==90。，由AAS證明AOCG絲AOD〃(AAS),

得出OG=OH,由角平分線的判定方法得出平分/BMC.

【詳解】(1)證明：?"OB=NCOD,

ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,

即ZAOC=ZBOD,

在△ZOC和中,

OA=OB

<乙40c=ZBOD,

OC=OD

：.A(SAS),

AC=BD；

(2)解：如圖，令CM與BD的交點(diǎn)為P,

由(1)得"OC%BOD,

：.NOAC=NOBD,ZOCA=ZODB,

又??,/APB=/AMB+/OAC=/AOB+/OBD,

/AMB=ZAOB=40°；

(3)解：MO平分NBMC,理由如下：

如圖所示，作OG1MC于G,OH_LMB于H,

貝iJ/OGC=NO7TO=90。,

在△OCG和AODH中，

AOCA=AODB

<ZOGC=ZOHD,

OC=OD

；.AOCG^AOZ)//(AAS),

/.OG=OH,

二.MO平分

8.如圖，射線AB平分/MAN,過點(diǎn)3作BC,創(chuàng)交/N于點(diǎn)C；動(dòng)點(diǎn)、E、。同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，

其中動(dòng)點(diǎn)石以2cm/s的速度沿射線必方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D以lcm/s的速度在射線⑷/上運(yùn)動(dòng)；已知/C=6cm,

設(shè)動(dòng)點(diǎn)￡>,E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：s.

備用圖1備用圖2

(l)^ACB的度數(shù)為；

⑵若SA^B'BEC=2：3,試求動(dòng)點(diǎn)。、E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，的值；

(3)試問當(dāng)動(dòng)點(diǎn)。、E在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某個(gè)時(shí)間乙使得△4DB四△CE8,直接寫出t的值.

【答案】(1)45。

12

⑵當(dāng)t=—或12時(shí)，SAADB-SXBEC=2：3

⑶f=2

【分析】(1)根據(jù)/"DN,AB平分/MAN,得出=工x9(T=45。，根據(jù)得出

2

Z^C5=90°-45°=45°；

(2)分兩種情況分別討論，①當(dāng)點(diǎn)E在線段/C上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)；

(3)先證明/MZ5=/A4N=/3C/=45。，得出=說明當(dāng)￡在線段4C上，且2O=CE時(shí),

dDB知CEB(SAS),得出t=6-2f,求出f的值即可.

【詳解】(1)M：'：AMLAN,

：.ZMAN=90°,

；A5平分/M4N,

Z.ZBAC=-x90°^45°,

2

---BCIBA,

：.ZASC=90°,

：.ZACB=90°-45°=45°；

(2)解：①當(dāng)點(diǎn)E在線段/C上時(shí)，過3作瓦7LNC于H,8G，/赫于G,如圖所示:

Mi

AHECN

■:AB平分/MAN,

，BG=BH,

由題意得，AD=tcm,AE=2/cm,

?S叢ADB-S2BEC=2:3,

?c--S

,?2"DB_3"ABEC'

121

?Y

?.七；

②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的右側(cè)時(shí)，

i?1

232、)

解得：，二12,

12

綜上分析可知：當(dāng)％=7或12時(shí)，S^DB：SABEC=2：3.

(3)解：AMrAN,AB平分/MAN,

???/MAB=/BAN=45。,

??,BCLAB,

：.ZABC=90°f

/BCA=45°,

???ZMAB=/BAN=NBCA=45°,

AB=CB,

???當(dāng)E在線段NC上，且4）=CE時(shí)，"DB%CEB（SAS）,

.,*/—6-2z,

解得：f=2,

.?.當(dāng)f=2時(shí)，AADB之ACEB.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及一

元一次方程的應(yīng)用，進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵.

9.在△4BC中，AB=5,AC=3.若點(diǎn)。在NR4c的平分線所在的直線上.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在ZUBC的外部時(shí)，過點(diǎn)。作。E2/8于E,作。交/C的延長(zhǎng)線于尸，且

BE=CF.

①求證：點(diǎn)。在3c的垂直平分線上；

②BE=；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段8c上時(shí)，若/C=90。，BE平分NABC,交/C于點(diǎn)E,交AD與點(diǎn)尸,過點(diǎn)尸

作尸GL2E,交2C于點(diǎn)G.

@ZDFG=；

4

②若8C=4,EC=~,求GC的長(zhǎng)度；

(3)如圖3,過點(diǎn)/的直線/〃3C,若NC=90。，3c=4,點(diǎn)。到△4BC三邊所在直線的距離相等，則點(diǎn)。

到直線I的距離是.

【答案】(1)①見解析；②1

2

⑵①45。；②]

(3)2或6.

【分析】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練使用各性質(zhì)

定理是解決問題的關(guān)鍵.

(1)①點(diǎn)。在284C的平分線所在的直線上，過點(diǎn)。作。于E,作。尸交/C的延長(zhǎng)線于尸,

得出DE=DF,借助RtABDE也RMC。尸(SAS),得到BD=CZ),即可證明點(diǎn)。在BC的垂直平分線上；

②通過RtA/。E空RtA/。R(HL)證出4E=/F,從而有4B-2E=/C+C尸，即可得出BE=1：

(2)①先利用角平分線的定義求得N/8尸+NA4尸=45。，再利用三角形的外角性質(zhì)求得

2DFB=ZABF+NBAF=45°,即可求解；

②延長(zhǎng)尸G交4g于8,證明A/E?7%/FE(ASA),得到==再由A/G均區(qū)也(ASA),即可求

解;

(3)分2種情況討論，分別畫出圖形利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合圖形求解即可.

【詳解】(1)①證明：連接

?..點(diǎn)。在/8/C的平分線所在的直線上，過點(diǎn)。作?！?28于￡,作DF1/C交ZC的延長(zhǎng)線于尸,

:.DE=DF,

在Rt/XBDE和RtACDF中,

BE=CF

<ABED=NCFD=90°,

DE=DF

：.RSBOE空RtACD尸(SAS),

BD=CD,

二點(diǎn)。在2c的垂直平分線上;

②由①知：DE=DF,

在RtdDE和RUADF中，

[AD^AD

[DE=DF'

RUADE^RUADF(HL),

/.AE=AF,

?：BE=CF,

：.AB—BE=AC+CF,

：.5—BE=3+BE,

BE=\；

故答案為：1;

(2)①?；BE平分NABC,必平分ZR4C,ZC=90°,

???1/ABC+1ABAC=；x90。=45。，即/ABF+ZBAF=45°,

/DFB=/ABF+ZBAF=45°,

■:FGLBE,BPABFG=90°,

ZDFG=90°-/DFB=45°；

故答案為：45°；

②延長(zhǎng)FG交AB于H,

?.?ZAFH=ZDFG=45°,ZAFE=ZBFD=45°,

/.ZAFH=AAFE,

?.,ZHAF=ZEAF,AF=AF,

：.AAFHgAAFE(ASA),

???AH=AE,

_4

AB=5,AC=3,BC=4,EC=—,

3

45

???AE=AC—CE=3——=-,

33

???AH=AE=-

3f

：.BH=AB-AH=—

3f

ZCBE=ZABE,ABFH=ZBFG=90°,BF=BF,

:"BFGABFHgZ,

：.BH=BG=—,

3

102

???GC=BC—BG=4——=—；

33

（3）當(dāng)點(diǎn)。在△Z5C內(nèi)部時(shí)，如圖:

A

3x4=(3+4+5)?〃,

.*.//=1,

點(diǎn)D到直線/的距離是ZC—%=3—1=2；

當(dāng)點(diǎn)。在的下方時(shí)，如圖：

設(shè)點(diǎn)。到三邊的距離為X,

由題意得：BE=A-x,AE=AF,

??5+4—x=3+x,

x=3f

點(diǎn)。到直線/的距離是/尸=6；

綜上，點(diǎn)。到直線/的距離是2或6.

故答案為：2或6.

10.在△4BC中，BD平分NABC,CE平分2/C8,BD與CE交于點(diǎn)、O.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若44=80。，直接寫出/3OC的大小為.

(2)如圖2,若44=60。，求證：BC=BE+CD；

(3)如圖3,若44=90。，08:00=5:3,則OE:OC=.

【答案】(1)130。

(2)見解析

⑶1:4

【分析】(1)利用三角形內(nèi)角和及角平分線的定義求出即可；

(2)過點(diǎn)。作。尸_L4B,OGVBC,OHLAC,證明AOE尸絲AOD"(AAS),得到跖=DH,

RMO//C絲RtAOGC(HL),RM。尸8段RMOGB(HL),得到C〃=CG,BF=BG,即可得到結(jié)論，

(3)在2C上截取3尸=3E,CN=CD,連接尸O,NO,作FHLON,FGLOB,由N"4C=9O。，BD

平分/4BC,CE平分/ACB,得到N3OC=135。，ZCOD=ZBOE=45°,由。：OD=5:3,得到

S.OCB:S.OCD=5:3,設(shè)S“OCB=5a,SAOCD=3。，由AOBE沿AOBF(SAS),AOCD絲AOCN(SAS),得到

OE=OF,ZBOF=ZBOE=45°,ON=OD,ZCON=Z.COD=45°,進(jìn)而得至U=$“℃?=3。，

N尸?？?45。=/8。尸，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，得到

FH=FG,由SAOFB-=5:3,S^0BN=S^OCB—S^OCN=5。-3"2%得至=SqFB~《S&OBN~~7a，根

o4

據(jù)。氏OC=SMEB:S.OCB即可求解，

本題考查了，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：等高三角形的面積比等于

底邊之比.

【詳解】(1)解：在A/BC中，ZABC+=180°-=180°-80°=100°,

?:BD平分NABC,CE平分NACB,

：.NOBC=^ZABC,ZOCB=^ZACB,

：.ZOBC+NOCB=g(N42C+NACB)=50°,

在4OBC中,NBOC=180。一(NO3C+ZOCB)=180°-50°=130°,

(2)解：過點(diǎn)。作OFLNB,OGIBC,OHLAC,垂足分別為尸，G,H,

在AABC中,NABC+Z^C5=180°-Z^=180°-60°=120°,

：平分/NBC,CE平分NACB,

??.ZOBC=L/ABC,/OCB=L/ACB,

22

.??ZOBC+ZOCB=j-(ZABC+ZACB)=60°,

在△05。中，ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-60°=120°,

???/EOD=120。，

在四邊形AEOD中，ZAEO+/ADO=360°-ZEAD-ZEOD=360°-60°-120°=l80°,

ZAEO+ZFEO=1SO°,

：.ZOEF=ZODH,

,/OFLAB,OHLAC,

：.ZEFO=ZDHO=90°,

?：BD平分/ABC,CE平分N4CB,OFLAB,OG1BC,OHVAC,

：.OH=OG,OF=OG,

：.OF=OH,

ZOEF=ZODH

在△OEF和△OQH中，＜ZEFO=ZDHO,

OF=OH

：.^OEF^ODH(AAS),

：?EF=DH,

OFLAB,OG.LBC,OHVACfOH=OG,OF=OG,

：.RMOHC也RbOGC(HL),RMOF5之RMOGB(HL),

:?CH=CG,BF=BG,

：.BE+CD=BF+EF+CH-DH=BF+CH=BG+CG=BC,

：.BC=BE+CD,

(3)解：在BC上截取5尸=CM=CD連接R9,NO,過點(diǎn)尸作萬HLON于，，/GLOB于G,

：.ZABC+ZACB=90°,

?；BD平分N4BC,CE平分NACB,

：.ZOBC=NOBA=-/ABC,40cB=ZOCD=-AACB,

22

??.ZOBC+ZOCB=1(ZABC+/ACB)=45°,

在/\OBC中，/BOC=180?！?NO5C+ZOCB)=180。—45。=135。，

ZCOD=/BOE=45°,

?：OB:OD=5:3,

?C?C-5-Q

???AOCB,_J.J,

**?設(shè)S^OCB=5。,S&OCD=3a,

■:BE=BF,NOBC=NOBA,OB=OB,

：."BE知OBF(SAS),

：.OE=OF9zBOF=ZBOE=45°,

同理可證，△OS也△OQV(SAS),ON=ODfZCON=ZCOD=45°,

：.S.OCN=SqcD=3a,ZFON=135°-45°-45°=45°=zBOF,

又?：FHION,FGIOB,

：.FH=FG,

S.°FB:S.OFN=；FG-OB:；FH-ON=；FG-OB:；FG-OD=5:3,邑刎=5-S.℃N

0Cfi5a-3a=2a,

S-OEB=S-OFB=《S.OBN=W*2。=W"'

??OE:OC=S^OEB''S、OCB=w"："=1：4.

壓軸題型三直角三角形全等的判定

11.如圖，DEJ.AB于E,DFJ.AC于F,BD=CD,BE=CF.

(1)求證：4D平分/8ZC；

(2)直接寫出NB+NC與故之間的等量關(guān)系.

【答案】(1)見解析

(2)AB+AC=2AE

【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，

(1)根據(jù)“HL”定理得出ABOE之AC。尸，故可得出=尸，所以4D平分ZBNC；

(2)根據(jù)HL證明AYIED之AYIFD,所以/E=4F,^AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE^1AE.

【詳解】(1)解：???DEJLAB于E,DFJ.AC于F,

NE=NDFC=9Q。,

i\BDE與4CDF均為直角三角形，

[BD=CD

'[BE=CF，

:.ABDE注ACDF(HL),

:.DE=DF,BE=CF,

.?.”。平分一創(chuàng)。；

(2)解：AB+AC=2AE.

理由：ZE=ZAFD=90°,

在RtAAED與RtA^FD中，

jDE^DF

[AD=AD'

：."ED出AAFD(HL),

AE=AF,

AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=1AE.

12.如圖，在△4BC中，BE平分NABC,CE平分44cD.

(1)如圖1,若//=46。，求—E的度數(shù)；

(2)如圖2,過點(diǎn)￡作EMLBC,EN1BA,垂足分別為N,若/N=2,CM=4,求/C的長(zhǎng).

【答案】(1)/E=23。

(2)6

【分析】本題考查角平分線的定義及性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).

(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形的外角可得==。，代

入計(jì)算即可；

(2)連接4E,作比FZC于耳，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得所=E",再證明Rt△尸CE絲RbMCE(HL),

得到CF=CM=4,同理得到/尸=/N=2,最后根據(jù)=/尸+C產(chǎn)求解即可.

【詳解】(1)解：???CE平分N48,BE平分N4BC,

：.ZACE=AECD=-AACD,/ABE=ACBE=-/ABC,

22

-ZBAC=46°,

ABAC=ZACD-/ABC=46°,

?.ZECD-ZEBD=-ABAC=-x46°=23°,

22

/E=/ECD-/EBD,

/.ZE=23°；

(2)解：連接在，作跖，4C于廠，

EMIBC,ENVBA,

:.EM=EN,

同理，EF=EM,

:.EF=EN,

在Rt△尸CE和RtZ\MCE中,

(CE=CE

\EF=EM"

：.Rt^FCE^Rt^MCE(HL),

：.CF=CM=4f

同理，AF=AN=2,

:.AC=AF+CF=4+2=6.

13.如圖，CD是//CE的平分線.DP垂直平分AB于點(diǎn)P,DFJ.AC于點(diǎn)F,DELBC于點(diǎn)、E.

（2）若3C=6cm,AC=10cm,貝（jCE=_.

【答案】（1）見解析

（2）2cm

【分析】此題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；

（1）連接4D,BD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和HL證明RM4D尸和全等，進(jìn)而解答即可;

（2）根據(jù)工尸=2E,得出方程解答即可.

【詳解】（1）證明：連接NDBD,

■.,8平分N/CE,DE1BC,DF1AC,

DE=DF,ZAFD=ZBED=90°,

在Rt"DF和R3BDE中，

AD=BD

DF=DE

Rt^ADF咨RaBDE(HL),

;.AF=BE-,

(2)解：在RtzXCD尸，RtZ\CDE中,

[CD=CD

\DE=DF

RUCDF^RUCDE

CE=CF,

談CE=CF=x,

貝U/F=/C-CF=10-x,BE=BC+CE=6+x,

AF=BE,

10-x=6+x,

..x=2,

CE=2cm.

故答案為：2cm.

14.如圖，在銳角三角形/BC中，AB<AC,2。是角平分線，DM,DN分別是A4BD,A/CD的高，點(diǎn)

￡在DC上，S.DE=DB,動(dòng)點(diǎn)/在邊/C上(不包括兩端點(diǎn))，連接EE,FD.

備用圖

【問題感知】

(1)填空：DMDN（填“>”，"=”或“<”）；

【探究發(fā)現(xiàn)】

(2)若=4,小杰經(jīng)過探究，得到結(jié)論：ZAFD=ZEFD.請(qǐng)你幫小杰證明此結(jié)論;

【類比探究】

(3)若/FE8+/8=180。，請(qǐng)判斷上述結(jié)論是否成立.若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由;

【拓展提升】

(4)已知48=5,BM=1,0M=3,若點(diǎn)￡關(guān)于。尸的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊NC上，連接。夕，請(qǐng)直接寫出

的面積.

【答案】(1)=

(2)證明見解析

(3)證明見解析

(吟或g

【分析】(1)由角平分線的性質(zhì)定理可得Q"=DN；

(2)作OH_LE尸于點(diǎn)H可證明xBDM四&EDH,再證明RtADNFgRt^DHF得到ZAFD=ZEFD;

(3)延長(zhǎng)MD交EE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，證明得DM=DQ,從而得3N=DQ,再由角平

分線的判定可得/如D=NETO.

(4)分兩種情況討論：=和/FE2+/8=180。時(shí)，分別畫出圖形，求出//和/N,得的

面積.

【詳解】(1)平分/A4C,DM,DN分別是AABD,的高

DM=DN.

故答案為：=.

(2)證明：如圖1,作。7/1EF于點(diǎn)H,

在ABDM和AEDH中

ZDMB=ZDHE=90°

14B=ZFEB,

DB=DE

：.4BDM絲AEDH(AAS),

DH=DM.

又由(1)知DM=DN,

：.DN=DH,

在RtADNF和RtADHF中

[DN=DH

[DF=DF'

；.RtADNF%RtADHF(HL),

/AFD=/F,FD.

圖1

(3)成立，

證明：如圖2,

VZFE5+Z5=180°,

：.EF//EQ,

延長(zhǎng)刈交所的延長(zhǎng)線于點(diǎn)0,

.?.BM//EQ,

：.ZB=ZDEQ,

在ABDM和AED。中

AB=ADEQ

<BD=ED,

ZBDM=ZQDE

：.^BDM2AEDQ(ASA)

DM=DQ,ZQ=ZBMD=90°.

*.?DM=DN,

：.DN=DQ,

又,：DN，AC,DQLFQ,

???。尸平分乙4尸0,

：.ZAFD=ZEFD.

(4)當(dāng)NFES=NB時(shí)，如圖3,在線段/N上取點(diǎn)E,4更得DE'=DE.

???點(diǎn)E'是點(diǎn)E關(guān)于DF的對(duì)稱點(diǎn),

^DNE'0ADHEg"DMB,

E'N=BM=\,

可得A/A〃）會(huì)入4加，

DN=DM=3>,AN=AM=AB-BM=5-1=4,

：.AE'=AN-E'N=3,

10

：.S^AE,D=-A'E-DN=-.

當(dāng)/人￡3+/3=180°時(shí)，如圖4,

圖4

在線段⑷/上取點(diǎn)￡,使得DE'=DE,

同理可得ZW=3,AE'=5,

:SAE.D=￥E.DN*.

故答案為：/15或9

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和判定以及三角形全等的判定，關(guān)鍵是解決拓展提升時(shí)，要分

ZFEB=NB和/FEB+/B=1800兩種情況討論.

15.已知：如圖，在△4BC中，點(diǎn)/在邊8C的垂直平分線上，直線/經(jīng)過點(diǎn)/,BD、CE分別垂直于直線

I,垂足分別為點(diǎn)。、E,且BD=4E.

(1)求證：AABD名乙CAE.

(2)取邊BC的中點(diǎn)尸，連接跖，求證：EF平分NDEC.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得/C=￡4，結(jié)合已知條件可證△43。名ZiCNE；

(2)設(shè)/交于點(diǎn)0,連接心，過尸作M/_LC￡于/,FNLAD于N,根據(jù)(1)結(jié)論可得

ZBAD=ZACE,推出/C48=90。，可得A/BC為等腰直角三角形，推出4F=CF,證/FAN=NFCM,

可得△CA爐之△/NF(AAS),得至IJFA/=EV,即得.

【詳解】(1),/CEVI,BD11,

：.NAEC=ZCED=NADB=90°,AAEC與ABDA為直角三角形，

?.?點(diǎn)/在邊垂直平分線上，

AC=BA,

在RMCE也RUBAD中,

\AE=BD

\AC=BA'

：.RtA4CE之Rt△&LD(HL),

即△48。%ACAE；

(2)設(shè)/交8。于點(diǎn)0,連接"，過尸作尸NLCE于作卬。于N,

由（1）知△48。段,

/./BAD=ZACE,

'：ZACE+ZCAE=90°,

：.ZBAD+ZCAE=90°,

即NCAB=90°,

,/AC=AB,

/.A/BC為等腰直角三角形,

:尸為BC中點(diǎn),

Z.AF=CF=-BC,

2

?/ZFAN+ZAQF=90°,AFCM+ZAQF=90°,

：.ZFAN=ZFCM,

在ACMF與"NF中，

ZCMF=ZANF

<ZFCM=ZFAN,

CF=AF

：.叢CMF名AANF(AAS),

：.FM=FN,

又,：FMLCE,FNVAD,

:.EF平分NDEC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線，全等三角形，等腰直角三角形，角平分線等，熟練掌握線段垂

直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，是解決問

題的關(guān)鍵.

壓軸題型四含30度角的直角三角形

16.如圖，在△4BC中，AB=AC,。為C/延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且。于點(diǎn)E,交48于點(diǎn)尸.

(1)求證：△/￡)尸是等腰三角形；

(2)連接CF,若NO=30。，ZCFE=60°,DF=8,求斯的長(zhǎng).

【答案】(1)答案見解析

⑵4

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定及

直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到48=NC,然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可逐步證明加）=〃，再根

據(jù)等腰三角形的判定，即可證明結(jié)論；

（2）