多面體與求內(nèi)切外接問題（八大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

特訓(xùn)09多面體與求內(nèi)切外接問題（八大題型）

一、外接球問題

若一個簡單多面體的所有頂點都在一個球面上，則該球為此多面體的外接球。簡單多面體的外接球問

題是立體幾何的重點和難點，此類問題實質(zhì)是解決球的半徑長或確定球心位置問題，其中球心位置的確定

是關(guān)鍵，下面介紹幾種常見的球心位置的確定方法。

如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體的外接球

的球心。由此，可以得到確定簡單多面體外接球的球心位置有如下結(jié)論：

結(jié)論1：正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點。

結(jié)論2:正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點。

結(jié)論3：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多邊形外心連線的中點。

結(jié)論4：正棱錐外接球的球心在其高上，具體位置通過構(gòu)造直角三角形計算得到。

結(jié)論5：若棱錐的頂點可構(gòu)共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心。

二、內(nèi)切球問題

若一個多面體的各個面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這

個多面體的內(nèi)切球。因此，多面體內(nèi)切球球心到該多面體各個面的距離相等。并非所有多面體都有內(nèi)切球,

下面介紹幾種常見多面體內(nèi)切球問題：

1.正多面體內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，內(nèi)切球的半徑為球心到多面體任一面的距離。

2,正棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心都在其高線上，但不一定重合。

題型歸納

目錄：

?題型01：三棱柱

?題型02：四棱錐

?題型03：棱臺

?題型04：側(cè)棱垂直于底面

?題型05：正方體、長方體

?題型06：其他多面體

?題型07：三棱錐

?題型08:折疊問題

?題型01：三棱柱

1.在一個封閉的直三棱柱48。-4百。1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB_LBC,48=6,AC=10,

44=5,則球的體積的最大值為()

A.----71B.—兀C.27KD.36兀

63

【答案】B

【分析】設(shè)“BC的內(nèi)切圓。的半徑為「，由等面積法得(/C+/B+8C)xr=6*8,解得「=2.由于

/4=5,所以球的最大半徑為2,由此能求出結(jié)果.

【解析】由題知，球的體積要盡可能大時，球需與三棱柱內(nèi)切.

所以球在底面AABC內(nèi)的投影的圓面最大不能超出的內(nèi)切圓.

設(shè)圓。與“8C內(nèi)切，設(shè)圓。的半徑為

由A813C,AB=6,AC=10,則8c=8

由等面積法得(/C+A8+8C)*r=6x8,得r=2.

由于三棱柱高=5,若球的半徑R=2,此時能保證球在三棱柱內(nèi)部，

所以直三棱柱ABC-的內(nèi)切球半徑的最大值為2.

所以球的體積的最大值為：yr3=yx23=^.

2.在正三棱柱/8C-中，AB=AAl=4,E為線段CG上動點，。為2c邊中點，貝U三棱錐

外接球表面積的最小值為.

【答案】48兀

【分析】建立邊長CE和。到平面42。距離為OF的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式，求解出。尸最小值，建立

外接球半徑露=小+4的函數(shù)，從而求解外接球半徑的最小值，從而求出外接球表面積的最小值.

【解析】由正三棱錐的側(cè)棱垂直于底面的性質(zhì)，設(shè)球心。到平面/AD距離為。尸，設(shè)OF=h,

有因為為直角三角形，則。尸經(jīng)過直角三角形斜邊中點，即尸為N2中點.

故取48的中點設(shè)為尸，則由正三角形求解高知CF=2"如圖，設(shè)CE=x,

設(shè)球心O到平面ABD距離為OF,設(shè)OF=h

;OE=OA=R,OE2=(OF-CE)2+CF2=(h-x)2+(273)2=OA2=OF2+AF2=h2+22,

,x2+8x4,/—

h=-------=-+->2<2,

2x2x

當(dāng)且僅當(dāng)x=2近時即CE=2V2取“=”.

R2="+4上8+4=12,.-.5=47tT?2>487C.

故最小為48兀.

故答案為：48Tl.

A

【點睛】立體圖形平面化，結(jié)合函數(shù)和基本不等式的知識求解是問題的關(guān)鍵.

3.已知正三棱柱的底面邊長為4vL高為6,經(jīng)過上底面棱的中點與下底面的頂點截去該三棱柱的三個角,

如圖1,得到一個幾何體，如圖2所示，若所得幾何體的六個頂點都在球。的球面上，則球。的體積為

()

圖1圖2

47516075

A.80兀B.--------71C.----------71D.-----------71

333

【答案】D

【分析】根據(jù)幾何體特征、勾股定理及其外接球體積公式計算即可.

【解析】設(shè)M、N分別為正棱柱上下底面的中心，即MN=6,

由幾何體的特征易知其外接球球心。在"N上，如圖所示，

根據(jù)正三角形的中心性質(zhì)可知/"=2、小區(qū)『^2^1=4,同理。河=2,

設(shè)外接球半徑為R,MO=九則ON=6-a，

所以有22+〃2=爐=42+（6-獷=>/7=4,尺=2氐

則外接球體積￥=-^=竺述兀.

33

故選：D

【點睛】思路點睛：對于幾何體外接球問題，第一步先確定球心位置，可以先通過確定一面的外接圓圓心

去確定，本題幾何體比較規(guī)則，容易得出球心在上下中心連線上；第二步，由點在球上及球體的特征結(jié)合

勾股定理構(gòu)建方程組解方程求半徑即可.

4.如圖，在直三棱柱48C-中，側(cè)棱長為2,AC1BC,/C=8C=1,點。在上底面44G（包含

邊界）上運動，則三棱錐ABC外接球半徑的取值范圍為（)

5

D.

452

【答案】B

【分析】由條件確定球心位置，建立關(guān)于球的半徑的表達(dá)式，從而求出半徑的取值范圍即可.

【解析】因為“8C為等腰直角三角形，AC=BC=\,

所以AABC的外接圓的圓心為AB的中點Q,

且/。1=爭

設(shè)44的中點為E,連接。也,

則QE//44],O|E_L平面/8C,

設(shè)三棱錐D-ABC外接球的球心為O,

由球的性質(zhì)可得點。在。也上，設(shè)。a=x,DE=t0<t<^-

外接球的半徑為因為CM=a)=R,

._________7

所以=J(2-x)2+產(chǎn),即〃=4x--,

67

又OVY注，貝片WxWl,

28

因為爐=/+:，所以胃》2VL

2642

則2c

82

故選：B.

⑴棱長為的正方體的外接球半徑為公小;

【點睛】方法點睛：常見幾何體的外接球半徑求法:

(2)長方體的長，寬，高分別為。，b,c,則其外接球的半徑為R=土匹巳

(3)直棱柱的高為〃，底面多邊形的外接圓半徑為廠，則其外接球半徑為&=｛戶+?.

?題型02：四棱錐

5.四棱錐P-48CO中，平面尸平面48C。，底面48CD為矩形，PA=PD,48=2,5c=2石，若

四棱錐P-/BCD的外接球表面積為20兀，則四棱錐P-48CD的體積為()

c-￥或4公

A.4A/3B.12GD.4若或12G

【答案】C

【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可求解。'。=1,即可求解四棱錐的高，由體積公式即可求

解.

【解析】取40的中點E,連接PE,

又因為川=尸￡>,所以PE_L4D,

又因為平面尸?平面/BCD,且交線為尸Eu平面尸/。，

所以PE_L平面48CD.

設(shè)23CD的中心為。'，球心為。，貝!JOO'_L平面23CD,

于是0'2=：3￡>=；.22+（2g）=2,OO'UPE.

設(shè)四棱錐尸-ABCD的外接球半徑為R,其表面積為4兀甯=20兀,故R=VL

過。作OW//O￡,則四邊形OOEM為矩形，

故。0=板，。"=。'￡=3/8=1,

在Rt^OO'B和RT^OMP中，

R2=O'O2+O'B2=（碼2=PM2+0M~,

O'B=2,0M=l,

所以。'。=1,PM=2,ME=OO'=1.

當(dāng)。在平面48CD的上方，此時四棱錐的高為P￡=PM+ME=3,

四棱錐P-ABCD的體積|x2x2V3x3=4V3.

當(dāng)。在平面/BCD的下方，此時四棱錐的高為==

.,.四棱錐尸-/BCD的體積1x2x2石xl=M5.

33

故選:C.

O

【點睛】本題關(guān)鍵要注意外心即可能在平面/BCD上方，也可能在下方，思考問題要周密.

6.己知正四棱錐P-/3C。的側(cè)棱長為加，且二面角P-N8-C的正切值為2a，則它的外接球表面積

為（）

4025

A.12KB.-7iC.8兀D.二~兀

32

【答案】D

【分析】如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理可得尸平面A8C。，則NPHO為二面角尸-N2—C的平面角,

設(shè)正方形48。的邊長為利用銳角三角函數(shù)求出。，即可求出P。，AO,再設(shè)球心為G,則球

心在直線P。上，設(shè)球的半徑為R,利用勾股定理求出R,最后再由球的表面積公式計算可得.

【解析】設(shè)正方形N8CD中心為。，取43中點打，連接尸。、PH、OH,

則PH工AB,OH工AB,PHCOH=H,PH、OHu平面48CD,得尸。/平面/8C。，

所以ZPHO為二面角P-AB-C的平面角，即tanZPHO=—=272,

設(shè)正方形/BCD的邊長為。伍＞0）,則尸0=缶,

22

5iAO=-AC=-^a+a=—a,PA=?,由尸O?+/。2="2,

222

2（B7

即（行a）+\~Ta）=1°'解得a=2（負(fù)值已舍去），

則尸0=2后，40=6,設(shè)球心為G,則球心在直線尸。上，設(shè)球的半徑為五,

則斤=7?+（2后一7?『，解得尺=孚，

所以外接球的表面積5=4成2=4兀="兀.

42

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是確定二面角的平面角，利用銳角三角函數(shù)求出底面邊長與高，再

由正四棱錐的性質(zhì)確定球心在尸。上.

?題型03：棱臺

7.已知正四棱臺48cz=2,半球的球心。在底面431aol的中心，且半球與該棱臺的各棱

均相切，則半球的表面積為（）

A.9兀B.18兀C.27兀D.36兀

【答案】C

【分析】分析半球與各棱的切點位置，利用球的切線性質(zhì)，用R表示出側(cè)棱長，從不同角度表示出棱臺的高,

從而建立關(guān)于尺的方程，然后可得.

【解析】由題意可知，為下底面，

記上底面/BCD的中心為Q,過C作CH垂直于平面垂足為"，

易知點//在4G上，記半球與5C,cq,4G分別相切于點民EG,

由正四棱臺和球的對稱性可知，E,G為BC,B\C\的中點，

因為AB=2,所以/c=2后，CE=CF=1,

記半球的半徑為R,則C￡=GG=OG=R,

所以CC]=A+1,HG=OC/OH=GR-也,

分別在AOQ￡,ACC/中，由勾股定理得OO：-O,E2=R2-1,

22

CH=CC；-CXH-=（7?+l）-（V27?-可,

因為。a=cH,所以（火+1）2-（后R-后y=之一1,

解得R=3或X=0（舍去），

所以半球的表面積為|x4成2+成2=3球2=27兀.

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查學(xué)生的直觀想象能力，解題關(guān)鍵在于利用球的切線性質(zhì)，用r表示出側(cè)棱，然

后根據(jù)棱臺的高距離方程求出半徑即可.

8.在正三棱臺ABC-44G中，4耳=2g,=4g,二面角B,-BC-A的正弦值為竽，則ABC-A&G

的外接球體積為（）

A.甄B.⑹.c.406兀D.65屆

336

【答案】B

【分析】記正三棱臺上下底面的中心分別為a，Q,3C,4C的中點分別為。,2，的中點為￡，先判斷

為二面角4-5C-N的平面角，然后求出棱臺的高，判斷球心位置，利用勾股定理求解可得半徑，

然后可得體積.

【解析】記正三棱臺上下底面的中心分別為O”Q，8C,用G的中點分別為AD，的中點為E,

如圖，因為3CG4為等腰梯形，0,2分別為3C,4G的中點，

所以，由等腰梯形性質(zhì)可知

又。3C為正三角形，所以AD/BC,

所以N4DR為二面角4-8C-4的平面角，

由正棱臺性質(zhì)可知，。。1，平面/8。，

因為4]B[=2-\/3,AB=4-\/3,所以42—3,AD=6,

所以4。1=2。1。1=2,4。2=2。2。=4,O2E=ED=\

易知OQJ/OZE,所以。。2m1為平行四邊形，

所以qQ//D]￡,所以平面

由題知sinNDQE=半,NDQE?，

所以cosZDQE=f,所以tan/2DE=2,

所以O(shè)1O2=RE=DEtan/D、DE=2,

易知，正三棱臺/BC-4及G的外接球的球心在射線。。2上，記為。，半徑為尺

22

若球心O在線段。。2上，則OO；+O2A=R=40；+（2-）2,

即。。；+16=4+（2-。。2）2,解得。2。=-2,不符合題意；

22

若球心。在下底面下方，則OO；+O2A=R=40：+（2+。。2）2，

即。。；+16=4+（2+。。2）2，解得。2。=2,則＜=j00；+Q/2=2店,

所以NBC-44c的外接球體積為^無爐=gnx（2jTf=@產(chǎn).

故選：B

C,

?題型04：側(cè)棱垂直于底面

9.如圖，四棱錐P-48CD中，尸2,面/BCD,四邊形A8CD為正方形，PA=4,PC與平面48CD所成

角的大小為。，且tan0=2也，則四棱錐P-48CD的外接球表面積為（）

3

A.26兀B.28兀

C.34兀D.14K

【答案】C

【分析】依題意可將四棱錐尸-ABCD補成長方體PEFG-ABCD，則四棱錐P-ABCD的外接球也是長方體

PEFG-48CD的外接球，由tan0=2也可求出4c的長，進(jìn)而可求尸C,即為外接球的直徑，從而可得外

3

接球的表面積.

【解析】如圖，因為尸面/BCD,四邊形/BCD為正方形,

所以可將四棱錐P-/BCD補成長方體PEFG-ABCD,

則四棱錐尸-4BC。的外接球也是長方體PEFG-/8C。的外接球.

由尸4，面ABCD，所以NPCA就是PC與平面ABCD所成的角巴

則*噂4=乎'所以4=3收

設(shè)四棱錐尸-ABCD的外接球的半徑為R,

因為長方體尸EEG-23CD的對角線尸C的長即為其外接球的直徑,

所以PC=2R={4C?+PT=不（36j+4?=扃,所以夫=孚，

所以四棱錐尸-ABCD的外接球的表面積為4TTR2=3471.

故選：C

10.如圖，在四面體/5CD中，△43。與△2C。均是邊長為2。的等邊三角形，二面角/-8D-C的大小

【答案】20K

【分析】設(shè)。為△BCD的中心，。為四面體48CD的外接球的球心，過。作OGL/M,然后在Rt^/GO

中，由G/2+GO2=042求出外接球的半徑，再由球的表面積公式計算可得.

【解析】如圖所示：設(shè)。為△BCD的中心，。為四面體/3C。的外接球的球心,

則。。，平面瓦）C.

因為二面角4-8。-C的大小為90。，即平面ABDI平面BCD,

設(shè)M為線段的中點，外接球的半徑為A,

連接NM,CW,04,

過。作OGL/M于點G,

易知G為△48。的中心，貝!|。。[=OG=MO1=MG,

同

因為MA=—x2-^3=3，

2

故MG=OG=；x3=l,GA=2,

在RtZS/G。中，GA2+GO2=OA2,

故F+22=7?2,貝I]R=JL

所以外接球的表面積為S=4儲2=20兀，

故答案為：20限

?題型05：正方體、長方體

11.已知正方體-44GA的棱長為4,點E是棱CD的中點，尸為四邊形CDOG內(nèi)（包括邊界）的一

動點，且滿足用P〃平面加建，4P的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（）

A.87671B.24兀C.18兀D.3后兀

【答案】A

【分析】作出輔助線，得到平面48E〃平面瓦M(jìn)N，確定當(dāng)P在線段MN上運動時，滿足用尸〃平面

B&E,耳尸的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐

求出外接球半徑，得到外接球體積.

【解析】分別取G2CG的中點連接〃紇cp,

故MNHCD”

因為42//8C,G=BC,

所以四邊形為平行四邊形，

所以48//。。，故MN//4B,

因為A/Nu平面B、MN,A[B(Z平面B{MN,

所以48//平面片

又點E是棱CD的中點，所以九e=34，BBJ/ME,

故四邊形用8EN為平行四邊形，

所以BE//BM,

又qMu平面片MN,8￡<z平面*WN,

所以BE//平面片MV,

因為43ng￡=8,4民3Eu平面42E,

所以平面48E//平面片MN,

故當(dāng)尸在線段M2V上運動時，滿足片尸//平面8/也，

BF的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐。,

其中C\M，GN，GB\兩兩垂直，且GM=GN=2,B￡=4,

故其外接球半徑為6+22+不=后，

2

故較小部分的外接球的體積為g兀V?=8灰兀.

故選：A

【點睛】特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問題，常常進(jìn)行補形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球或內(nèi)切球球心和

半徑的幾何體，比如墻角模型，對棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來進(jìn)行求解.

12.已知一個長方體的封閉盒子，從同一頂點出發(fā)的三條棱長分別為3,4,5,盒內(nèi)有一個半徑為1的小球,

若將盒子隨意翻動，則小球達(dá)不到的空間的體積是（）

2022

A.36——7iB.32——7i

33

40

C.60—12兀D.60------71

3

【答案】B

【分析】分別計算小球在8個頂點和12條棱不能到達(dá)的空間體積，然后進(jìn)行相加即可.

【解析】小球在8個頂點不能到達(dá)的空間相當(dāng)于棱長為2的正方體挖去一個半徑為1的球，

4

其體積為8-1兀，

小球在CD,AXBX,G〃這4條棱不能到達(dá)的空間相當(dāng)于一個長為3,寬為2,高為2的長方體挖去

一個底面半徑為1，高為3的圓柱，

其體積為3x2x2-3兀=12—3兀,

小球在8C,AD,BG，4。這4條棱不能到達(dá)的空間相當(dāng)于一個棱長為2的正方體挖去一個底面半徑為

1,高為2的圓柱，

其體積為2x2x2-271=8—271,

小球在N4，BB、,CC、,。。這4條棱不能到達(dá)的空間相當(dāng)于一個長為2,寬為2,高為1的長方體挖去一

個底面半徑為1,高為2的圓柱,

其體積為2x2x1-71=4-71,

422

所以小球不能至!J達(dá)的空間的體積為8—§■兀+12—3兀+8-2兀+4—無=32-§兀，

故選：B.

?題型06：其他多面體

13.如圖1,一圓形紙片的圓心為。，半徑為4百，以。為中心作正六邊形既，以正六邊形的各邊

為底邊作等腰三角形，使其頂角的頂點恰好落在圓。上，現(xiàn)沿等腰三角形的腰和中位線裁剪，裁剪后的圖

形如圖2所示，將該圖形以正六邊形的邊為折痕將等腰梯形折起，使得相鄰的腰重合得到正六棱臺.若該

正六棱臺的高為"，則其外接球的表面積為()

35K

D.——

2

【答案】D

【分析】根據(jù)側(cè)面積與底面積的關(guān)系求出相應(yīng)的邊長，進(jìn)而利用外接球的性質(zhì)求出半徑，從而求出外接球

的表面積.

【解析】如圖1，設(shè)以N2為底邊的等腰三角形的中位線為44,連接。/，分別交4月，43于點M，N,

則點河,N分別為4巴,的中點.

設(shè)/8=2。，則44="，OV=2axsin60°=底，MN^4^^a@.

折疊后形成的正六棱臺如圖2所示，設(shè)上底面書的中心為Q,連接

貝!JOXM=axsin60°=.

連接qo,則。。是正六棱臺/BC。跖—44。］。耳耳的高，即qo=?.

過點"作MGLON,垂足為G,則底面45CQEb，故MG=QO=

在RSMVG中，MN=yjMG2+NG2=^MG2+(ON-O^)2=^24+3a"@,

由①②得40-J24+342,解得°=i,

22

所以正六棱臺NBCDM-4用的上、下底面的邊長分別為1和2.

由。。=指，可知正六棱臺的外接球球心&必在線段0,0上，

連接則QRQ4為外接球的半徑，設(shè)為r.

在RtAQ。0和中，由勾股定理得墨:[2，

可得*+G?2=qQ2+Q42,

又因為QOuQQ+oo,,Q〃=i,OD=2,

即OO；+22=（后一O.y+1，解得OU=手，

2

則/=00；+必=[引+2,

qSTT

所以所求外接球的表面積為4m2=羅.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面圖形的折疊，幾何體外接球的半徑，解題關(guān)鍵在于平面圖形折疊成立

體圖形后，要明確變化的量和沒有變的量，以及線線的位置，線面的位置關(guān)系，對于幾何體的外接球的問

題，關(guān)鍵在于確定外接球的球心的位置.

14.六氟化硫，化學(xué)式為SFf,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在

電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作

是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體后-/BCD-尸的棱長為

。，下列說法中正確的個數(shù)有（）

①異面直線AE與BF所成的角為45。；

②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為36;

③若點P為棱EB上的動點，貝小尸+CP的最小值為2?；

④若點。為四邊形43。的中心，點。為此八面體表面上動點，且=則動點。的軌跡長度為

---cm.

3

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】對①：借助等角定理，找到與NE平行，與3尸相交的線段，計算即可得；對②：借助外接球與內(nèi)

切球的性質(zhì)計算即可得；對③：空間中的距離和的最值問題可將其轉(zhuǎn)化到同意平面中進(jìn)行計算.對④，計算

的值,并比較它們的大小，即可得出當(dāng)點。在平面2CE內(nèi)時，點。在三角形8CE的內(nèi)切圓上

運動，結(jié)合對稱性即可驗算.

【解析】對①：連接/C,取/C中點。，連接OE、OF,

由題意可得。尸為同一直線，A、E、C、尸四點共面，

又AE=EC=CF=FA,故四邊形為菱形，

板AEIICF,故異面直線NE與8尸所成的角等于直線CF與3尸所成的角，

即異面直線4E■與B尸所成的角等于NCFS=60。，故①錯誤；

對②：由四邊形48co為正方形，有/C?=802+//=￡。2+/￡2=2/,

故四邊形/ECF亦為正方形，即點。到各頂點距離相等，

即此八面體的外接球球心為0,半徑為R=卮=叵,

22

設(shè)此八面體的內(nèi)切球半徑為〃，

則有七TBCQ—尸='5表'尸=2/_”?！?=2*,*42*^1^=]_*2石42/，化簡得尸=2^4,

3（叵1

則此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為=3^,故②正確;

----Q

I6）

對③：將延￡3折疊至平面E8C中，如圖所示：

則在新的平面中，A、P、C三點共線時，力尸+C尸有最小值，

則（/P+CP'n=gax2=6a,故③錯誤.

對于④，設(shè)三角形5CE的內(nèi)切圓半徑為小則由等面積法，有;.3〃巧二;〃2.1,

角軍得斗=^-a，

16

由②可知，點O到平面BCE的距離為〃="Q,

6

這表明當(dāng)點。在平面8CE內(nèi)時，點。在三角形2CE的內(nèi)切圓上運動,

它的周長是2叫，

根據(jù)對稱性可知動點。的軌跡長度為8*2跖=8x2兀、畫=迪而，故④正確.

63

正確的編號有②④.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題④中，關(guān)鍵點在于得出當(dāng)點。在平面2CE內(nèi)時，點0在三角形5CE的內(nèi)切圓上

運動，根據(jù)對稱性即可順利得解.

?題型07：三棱錐

15.若三棱錐S-48c的所有頂點都在半徑為2的球。的球面上，S3為球。的直徑，且/C=2亞，則該三

棱錐的最大體積為（）

4816

A.-B.~C.3D.—

333

【答案】B

【分析】由勾股定理逆定理得到。41OC,故S/oc=；0aoe=2,要想該三棱錐的體積最大，則S81平

面NOC,從而求出最大體積.

【解析】S8的中點為。，連接。4。。，則CM=O8=OC=OS=2,

因為NC=20，HOA2+OC2=AC2,

故—，「=”℃=2,

要想該三棱錐的體積最大，貝平面/OC,

11Q

故最大體積展§邑/"9=y2乂4=3

故選：B

16.在正三棱錐/-8CA中，A/、N分別為/C、8C的中點，尸為棱CD上的一點，且尸C=2尸。，

MNLMP,若BD=&,則此正三棱錐/-BCD的外接球的表面積為（）

A.3兀B.6兀C.8兀D.971

【答案】D

【分析】如圖，根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證明481/C,ABLAD,AC±AD,將三棱

錐/-BCD補成以,功、/C為棱的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐”-BCD的外接球，求出外接球

的半徑，結(jié)合球的體積和表面積公式計算即可求解.

【解析】如圖，取CD的中點。，連接/。、BQ,則MW/4B,

由得4B_L"P,

因為三棱錐/-8CO為正三棱錐，所以

而。是CD的中點，所以

5LAQr>BQ=Q,AQ,BQu平面/2。，所以平面工80,

由48u平面48。，得4BJ.CD,又ABLMP,

MPcCD=P,MP、CDu平面/CD,所以N8工平面/CD,

由NC、/Z)u平面/CD,所以1/C,ABLAD,

根據(jù)正三棱錐的特點可得AC1AD,

故可將三棱錐/-BCD補成以”、4D、/C為棱的正方體，如圖,

所以正方體的外接球即為三棱錐/-2CD的外接球.

由30=而得AB=出,可得正方體的棱長為6，所以(2R>=(指『+(/『，

oc9

即代=I,所以正三棱錐A-BCD的外接球的表面積為S=4成2=4兀X：=9九

故選：D

17.已知三棱錐尸-N8C的底面48C是直角三角形，加，平面A8C,PA=AB=AC=2,貝U()

A.三棱錐尸外接球的表面積為12兀

B.三棱錐P-48C外接球的表面積為48兀

C.三棱錐尸-N8C內(nèi)切球的半徑為三m

3

D.三棱錐P-48C內(nèi)切球的半徑為三區(qū)

9

【答案】AC

【分析】根據(jù)三棱錐特征構(gòu)造長方體求出外接球半徑，求得表面積，再由等體積法求出內(nèi)切球半徑.

【解析】由題意可知AB,AC,/尸兩兩垂直，

貝U三棱錐尸一48C外接球的半徑A滿足(2尺丫=u,

從而三棱錐P-ABC外接球的表面積為4成2=12兀,

故A正確，B錯誤.

114

由題意可得三棱錐尸的體積憶=]X/x2x2x2=§

三棱錐尸一/8。的表面積5=3*2*2、3+字＞＜（2行『=6+2省.

設(shè)三棱錐尸-4BC內(nèi)切球的半徑為,，

因為k=；濟,

3V43一8

所以〃=3產(chǎn)，則C正確，D錯誤.

S6+2V33

故選：AC

18.如圖，在正三棱錐尸。中，PB=GAC=2娓,分別是棱NC,尸2的中點，又是棱PC上的任

意一點，則下列結(jié)論中正確的是（）

B

A.PBLAC

B.異面直線。E與48所成角的余弦值為:

C.NM+M8的最小值為

D.三棱錐尸-NBC內(nèi)切球的半徑是逐（萬一1）

10

【答案】ACD

【分析】對于A,易知AC_LBD,ACLPD,可證/C_L平面P3D,再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；對

于B,取8C中點尸，連接。尸，EF,由DF//4B,知/助尸即為異面直線?！旰退山?，由

PCLAB,可推出斯，。尸，再由三角函數(shù)的知識即可求解；對于C,將平面P4C和平面P8C平鋪展開,

形成四邊形P/CB,連接交PC于點“，此時+=是最小值，再結(jié)合二倍角公式與余弦定

理即可求解；對于D,設(shè)內(nèi)切球的球心為O,點P在平面NBC內(nèi)的投影為0為。8C的重心，球。與

平面尸4C相切于點G,設(shè)三棱錐尸-/8C內(nèi)切球的半徑為小由△尸。G相似于APDQ,即可求解.

【解析】對于A,如圖1所示，連接AD,PD,

由正三棱錐的性質(zhì)可知尸/=PC=2而，AB=BC=AC=2y/3,

因為。為NC中點，

所以AC1PD,

又因為8?？谑?。，8D,P0u平面尸8。，

所以/C_L平面尸8。，

又因為尸3u平面P3D

所以尸8L/C,故A正確；

對于B,如圖①，取8C中點尸，連接。尸，EF,

因為。、產(chǎn)分別為/C,2C的中點，

所以DF//4B,DF=5

所以NEDF即為異面直線DE和AB所成角或其補角，

因為E、尸分別為PB,5c的中點，

所以斯=而，

由選項A知，PBVAC,同理可得尸C,23,

所以即_LDP,

所以DE?=所2+。尸2=6+3=9,

所以DE=3,

所以cosZ.EDF=,

DE3

即異面直線。E和所成角的余弦值為"，故B錯誤；

3

對于C,將平面尸NC和平面P3C平鋪展開，形成四邊形尸/CB,

如圖②所示，連接48,交尸C于點此時+=是最小值，

連接尸尸，貝Ucos/PW=C^=￡=e,

PC2764

,3

所以cos"C2=2cos2ZPCF-1=-一,

4

在。3C中，由余弦定理知，

AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=12+12-2x12x(-^)=42,

所以48=住，

即+MB的最小值是瘋，故C正確；

對于D,如圖③所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為。，點P在平面/BC內(nèi)的投影為Q,J為“8C的重心,

球。與平面尸4C相切于點G,則G在尸D上，且。G,尸。,

在AP4D中，PD^^PA1-AD2=V24-3=V21>

在"BC中，BD=yjAB2-AD2=V12-3=3,

因為G為28C的重心，所以。q=：8D=l,

在△尸。1。中，PO'JPD?-DO；={21-1=2#,

設(shè)三棱錐P-/BC內(nèi)切球的半徑為「，

OGPO

由APOG相似于APOO1,得方3"=而，

即2=當(dāng)二，解得'=，(收T),故D正確；

1V2110

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了異面直線所成角、最短距離及內(nèi)切球，解題關(guān)鍵是作出異面直線所成角、

平面展開求最值以及通過相似三角形求內(nèi)切球的半徑.

19.如圖，正三棱錐P-/3C的側(cè)面和底面/5C所成角為正三棱錐Q-A8C的側(cè)面和底面/3C所成角

為=2遭，尸和。位于平面28c的異側(cè)，且兩個正三棱錐的所有頂點在同一個球面上，則

NPBQ=,tan(a+B)的最大值為.

【分析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知尸。為外接球直徑即得/尸20=90。；先設(shè)PN=%,QN=k外接球半徑為

R,則由尸行=尸笈+202以及已知條件可求得貼2=牝再根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征得

tana=黑=%,tan）=黑=〃,，再結(jié)合兩角和正切公式以及基本不等式即可求解.

MNMN

【解析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知尸。為外接球直徑，所以/尸30=90。；

連接P。，交平面N8C于點N,取4B中點連接CM,

由正棱錐性質(zhì)知NeCM,S.CN=^CM=^BC2-BM2=|^（273）2-（73=2,

貝1JBN=2、CM=3,MN=1,設(shè)PN=%,QN=%,外接球半徑為R,

貝PB-=BN2+PN2=1+片，BQ2=BN2+NQ2=1+公

所以由尸02=必2+802得（4+為）2=1+片+1+公，媯2=4,

又tana==h,tan/="上=k,,

MNMN

tana+tan/3

故tan(a+/)=4+〃24+〃2

1—tanatan/3—3

而4+〃222夜兀=4,當(dāng)且僅當(dāng)九=h2=2時取等,

4

故tan(a+/7)max=_§.

4

故答案為：90°;

【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解1@口9+。）1_的關(guān)鍵是由202=.2+502以及已知數(shù)據(jù)求出例2=4.

?題型08:折疊問題

20.在△45C中，AB=AC=2,ZBAC=U0°,過點A作垂足為點將。BC沿直線4M翻折,

使點5與點。間的距離為3,此時四面體力3CW的四個頂點都在球。的球面上，則球。的表面積為（）

A.5廂兀B.10兀C.上叵ED.1371

36

【答案】D

【分析】如圖，根據(jù)余弦定理求出BC,根據(jù)正弦定理求出△BCD的外接圓半徑，結(jié)合球的性質(zhì)和勾股定理

求出球的半徑，利用球的表面積公式計算即可.

【解析】如圖，

將沿直線/朋?翻折，得到滿足題意的幾何體為三棱錐,

因為4B=NC=2,ABAC=120。,過點A作/X，3C,貝I]

NBAM=60°,NABM=30°,—=—=-,BM=瓜AM=1,

AB2AB2

在ABCM中，BM=?CM,BC=3,

由余弦定理，得cos/.=BM，+CM廠BC[」,所以，NRMC=I20°

IBM-CM2

設(shè)ABCM的外接圓圓心為。，半徑為入貝，

由正弦定理，得一空忑=2.，解得,=即M)=。，

smlzO

易知4Ml平面5CN,又是球O的弦，OA=OM,AM=\,

所以O(shè)D=9M■=：,

得球的半徑為0M=出了+(后=浮，

13

所以球的表面積為S=4兀。/戶=4兀x—=13兀.

4

故選：D.

21.如圖1,在矩形N8CZ)中，48=1,BC=2,M是邊8c上的一點，將沿著折起，使點8

到達(dá)點P的位置.

(1)如圖2,若河是2c的中點，點N是線段尸。的中點，求證：CN〃平面P/M；

⑵如圖3,若點尸在平面AMCD內(nèi)的射影H落在線段AD上.

①求證：。，平面尸/。；

②求點M的位置，使三棱錐P-"CD的外接球的體積最大，并求出最大值.

【答案】(1)證明見解析

47r

(2)①證明見解析；②M位于點C,y

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定即可得證；

(2)①根據(jù)線面垂直判定可證；②先分析得。是三棱錐尸外接球的球心，再求得直徑

然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值，進(jìn)而利用球的體積公式求出球的體積的最大值即可

【解析】(1)如圖，取尸/的中點E,連接九ZE■和EN,則EN是,40的中位線，

BMC

所以EN〃/。且EN=!/。，