等差數(shù)列的概念【16類(lèi)題型】原卷版-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期（人教A版）

等差數(shù)列的概念【16類(lèi)題型匯總】

總覽卜題型解讀

【題型11求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或某一項(xiàng)

【題型2］等差數(shù)列基本量的計(jì)算

【題型3】等差中項(xiàng)及應(yīng)用

【題型4】等差數(shù)列的性質(zhì)及簡(jiǎn)化計(jì)算的應(yīng)用

【題型5】等差數(shù)列的判斷

【題型6】等差數(shù)列證明（1）:直接作差或等差中項(xiàng)形式

【題型7】等差數(shù)列證明（2）:因式分解型

【題型8】求等差數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)

【題型9】等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

【題型10】等差數(shù)列與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合

【題型11］構(gòu)造等差數(shù)列取倒數(shù)型

【題型12］構(gòu)造等差數(shù)列（2）:插入數(shù)字或每隔k項(xiàng)抽項(xiàng)數(shù)

【題型13］構(gòu)造等差數(shù)列(3):提取2個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列

【題型14］構(gòu)造等差數(shù)列(4):奇偶相間討論型（奇偶數(shù)列）

【題型15］構(gòu)造等差數(shù)列（5）:隔項(xiàng)等差（奇偶數(shù)列）

【題型16］構(gòu)造等差數(shù)列（6）:其它類(lèi)型

一、等差數(shù)列的概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做

等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.

注意點(diǎn)：

(1)概念的符號(hào)表示：a?+i—a?—d(n￡N*).

（2）定義中強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”，因?yàn)榈谝豁?xiàng)沒(méi)有前一項(xiàng).

（3）差必須是同一個(gè)常數(shù).

（4）公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零.

⑸當(dāng)d>0時(shí)，是遞增數(shù)列，當(dāng)4=0時(shí)，是常數(shù)列，當(dāng)d<0時(shí)，是遞減數(shù)列.

二、等差中項(xiàng)以及拓展

由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)，/叫做.與b的等差中項(xiàng),

SL2A-a+b.

注意：

(1)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)，且唯一.

(2)?3是和的等差中項(xiàng)，特別注意下標(biāo)之間的關(guān)系.

拓展：若p+q+n=3m,則4n(下標(biāo)之和性質(zhì)關(guān)系)

三、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與函數(shù)性質(zhì)

1.首項(xiàng)為4，公差為d的等差數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式為%=%

證明：可以用累加法推導(dǎo)

。2-。1=1，

。3-。2=d,

。4-。3=d,

斯—a?-\=d,

左右兩邊分別相加可得，a?—?1=(/;—1)<7,即斯=的+("—1)1(〃之2).

2.若數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為內(nèi)，公差為",則a“=/5)=ai+(〃-1)4=加砌.

(1)點(diǎn)(小落在直線y=dx+(ai—4上，這條直線的斜率為力在y軸上的截距為由一d；

(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1,函數(shù)值增加〃

注意：

①已知首項(xiàng)ai和公差力便可寫(xiě)出通項(xiàng)公式.

②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是a,“ai,d,〃四個(gè)變量之間的關(guān)系，知三求一.

等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與應(yīng)用技巧

③等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由首項(xiàng)與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求出首項(xiàng)與公差

即可.

④等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式1)4中共含有四個(gè)參數(shù)，即°i,d,n,a?,如果知道了其中

的任意三個(gè)數(shù)，那么就可以由通項(xiàng)公式求出第四個(gè)數(shù)，這一求未知量的過(guò)程，我們通常稱(chēng)之為“知三

求一”

熟練掌握等差數(shù)列是關(guān)于〃的一次函數(shù)型這一結(jié)構(gòu)特征，并且公差d是一次項(xiàng)系數(shù)，它的符號(hào)決定

了數(shù)列的單調(diào)性，介0時(shí)，數(shù)列｛斯｝為遞增數(shù)列，d=0時(shí)，數(shù)列｛?！埃秊槌?shù)列，d<0時(shí)，數(shù)列｛恁｝為

遞減數(shù)列.

四、等差數(shù)列的性質(zhì)

1.下標(biāo)性質(zhì)

=a+a

(1)在等差數(shù)列｛%｝中，若加+77=夕+式加,〃,夕應(yīng)6"*),則4,+%pq-

特別的，若小+77=22(加,"，2eN*),則有%“+%=2%,

(2)下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)四，恁+嗎歐+2”,…&加GN*)組成公差為md的等差數(shù)列.

(3)在等差數(shù)列｛4”｝中，若％=機(jī)，am=n,m^n,則有生?+”=0.

2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣

(1)a“=dn+-d)(nGN*)(2)an=am+(n-m)d^m,neN*y

(3)d=~~加，〃eN*,且加H").

n-m'

3.若｛%｝,也｝分別是公差為的等差數(shù)列，則有

數(shù)列結(jié)論

{c+4}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))

{叫}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))

{4+%}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，左eN*)

{pan+qbn}公差為2d+qd'的等差數(shù)列(p,q為常數(shù))

題型匯編知識(shí)梳理與?？碱}型

【題型1】求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或某一項(xiàng)

基礎(chǔ)知識(shí)

等差數(shù)列概念的符號(hào)表示：an+\~an=d(n￡N*)

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：首項(xiàng)為生，公差為"的等差數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為%=%+(〃—l)d

/“典型例題/

【例題1】(23-24高二上?浙江紹興?期末)已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)％=4,且滿足。用=%-3(“eN)

則。5=()

A.-11B.-8C.16D.19

【例題2】等差數(shù)列3,11,19,27,…的通項(xiàng)公式是（）

A.an=8n+5B.an=8n-5C.an=-8n-5D.an=-Sn+5

【例題3］（23-24高二上?廣東深圳?期末）已知數(shù)列｛%｝中，％=1,若」--」?=；,則〃（

an+\anL

1211s

A.—B.—C.—D.19

19112

【例題4】在數(shù)列｛?！埃校?=1,瘋7=阮+1，則%=（）

A.幾B.n2C.〃+2D.y/n

/u鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)。已知數(shù)列｛%｝中，4=2,an+x=an-2,則。.

【鞏固練習(xí)2】（22-23高三上?山西運(yùn)城?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛0“｝的首項(xiàng)%=3，03=7,對(duì)任意的

力eN*,都有an-2an+x+an+2=0,貝I］a20=.

一11c

【鞏固練習(xí)3】已知在數(shù)列｛%中，％=1,——=—+2,則％等于.

a

%+1n

【鞏固練習(xí)4］在數(shù)列｛%,｝中，4=3,曰二=n+6,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為.

【鞏固練習(xí)5】已知數(shù)列｛%｝中，%=1嗎=4,%=9,且｛%+「4｝是等差數(shù)列，則以=（）

A.36B.37C.38D.39

【鞏固練習(xí)6】已知數(shù)列｛嚏2（%-1）｝（〃eN*）為等差數(shù)列，且4=3,%=9,則數(shù)列｛%｝的通

項(xiàng)公式為.

【題型2】等差數(shù)列基本量的計(jì)算

等差數(shù)列基本量的計(jì)算是指把條件拆成基本量4和d的形式，解二元方程組來(lái)得出所求

/“典型例題/

【例題1】在等差數(shù)列｛%,｝中，an=m,am=n,且〃w機(jī)，a*“=.

【例題2】（高二上?廣東深圳?期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為表,且從第10項(xiàng)開(kāi)始均比1大，則公

差d的取值范圍為（）

88383

——,+00-00,25

7575?2575?25

【例題3］（22-23高二上?江蘇蘇州?期末）若數(shù)列，是等差數(shù)列，。［=1,。3=-彳，則。5=（

〃〃+1

【例題4】（2023?全國(guó)?高考n卷真題）已知｛%｝為等差數(shù)列,

為數(shù)列a｝，低｝的前〃項(xiàng)和，54=32,4=16,求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（24-25高二上?江蘇蘇州?期中）等差數(shù)列｛%｝中，％=2,%+%=10,則&的值為

D.10

【鞏固練習(xí)2］（23-24高二上?山東泰安?階段練習(xí)）首項(xiàng)為-12的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù),

則公差d的取值范圍是（）

,8

A.d>—B.d<3

【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列是等差數(shù)列，則（）

A.a3+a6=2a4B.a3+a6=a4+a5

【鞏固練習(xí)4】已知等差數(shù)列｛?！ǎ那啊表?xiàng)和為S“，公差為d,且滿足%>0,%+為<。，則3的

a

取值范圍是.

2

【鞏固練習(xí)5】（2023?全國(guó)?高考1卷真題）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,且">1.令”=三土巴，

記邑上分別為數(shù)列｛%｝,也｝的前"項(xiàng)和.，若加=3%+%,$3+看=21,求m｝的通項(xiàng)公式；

【題型3】等差中項(xiàng)及應(yīng)用

基礎(chǔ)知識(shí)

由三個(gè)數(shù)Q,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)，/叫做Q與b的等差中項(xiàng),

且24=a+b.

應(yīng)用1、等差數(shù)列中任意相鄰的三項(xiàng)為M“+i，?！?2構(gòu)成等差數(shù)列，且中間項(xiàng)氏+i是等差中項(xiàng)，即

2%+1=%+。+2

應(yīng)用2、若數(shù)列｛4｝對(duì)V〃eN*均滿足2%中=4+4+2，則｛4｝為等差數(shù)列

簡(jiǎn)證：an-an_｛=an_x-an_2=??-=a2-a[9即。"為等差數(shù)列.

應(yīng)用3、若m+n=2k,則。加+?！?2。左

/“典型例題/

【例題1]已知｛%｝為等差數(shù)列，%+%+。5=1°5,。2+%+。6=99.求。20.

【例題2】已知數(shù)列｛%｝滿足：％=1,2=5,-------=—+---------）,則。2025=_________________

Lan+\anan+2

【例題3】（23-24高二上?江蘇南京?期末）若數(shù)列是等差數(shù)列，且%=2,%=12,則須=

)

95

A.30B.-C.20D.-

22

【例題4】已知遞增數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，若。4=8,3.2+。6）=。2，則。2024=（）

A.2024B.2023C.4048D.4046

【例題5】（高二上?云南曲靖?期末）已知△XBC中三邊Q,b,。成等差數(shù)列，4b,五也成

等差數(shù)列，則△ZB。的形狀為.

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上?陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí)）在等差數(shù)列｛%｝中，若%+%+%+《+%=45,

貝I]2+/=（）

A.16B.17C.18D.19

【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上?山西呂梁?階段練習(xí)）在等差數(shù)列｛&｝中，的+包=-1，&+%+。8=3,

則“2023+“2024=（）

13452345

A.------B.-------C.1345D.2345

23

【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上?安徽滁州?期末）已知｛%｝為等差數(shù)列，且6+%=1，4+%=5,則

【鞏固練習(xí)4】（2024|Wj二,全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在等差數(shù)列｛〃〃｝中，已知。3+。8+63=12,”3。8。13=28,

則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式可以為（）

41C134438

A.cin=4〃—1B.冊(cè)=2〃+1C.cin=——w+D.

【鞏固練習(xí)5】（高二上?江蘇徐州?期中）正數(shù)°,6的等差中項(xiàng)是:，且e=a+L〃=&+則a+￡

2ab

的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【鞏固練習(xí)6】（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝中，若2%+〃9=18,貝|出+3。6的

值為.

【題型4】等差數(shù)列的性質(zhì)及簡(jiǎn)化計(jì)算的應(yīng)用

基礎(chǔ)知識(shí)

在對(duì)等差數(shù)列基本量進(jìn)行計(jì)算時(shí)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可以起到減少計(jì)算量的作用，很多時(shí)候即使

不求出q和d也能得出答案

/“典型例題/

【例題1】已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，p,q,s,twN*，且夕+9=S+九求證4+%=4+。/.

【例題2】（23-24高二上?廣東深圳?期末）已知｛%｝為等差數(shù)列，%+。8=10，%=4,則%=.

【例題3】已知等差數(shù)列｛%｝中，〃5，%是函數(shù)/（%）=/—3%-2的兩個(gè)零點(diǎn)，則〃3+。8+。11+。16=

（）

A.3B.6C.8D.9

【例題4】（23-24高二上?四川達(dá)州?期末）在遞增等差數(shù)列｛%｝中有〃]+%=6,4%=8,則

1111

-------1--------1--------F,?+-()

〃99°100

9810099101

A.—B.-----C.D.—

9999100100

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上?福建福州?期末）已知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝滿足%,+%=%+%,

41

則一+一的最小值為（）

mp

353

A.9B.-C.-D.-

244

【鞏固練習(xí)2】（24?25高二上?福建龍巖?期中）公差不為0的等差數(shù)列｛氏｝中，電+〃8=%+%，則

加〃的值不可能是（）

A.9B.16C.22D.25

【鞏固練習(xí)4】已知等差數(shù)歹!]｛%｝滿足。3+4+〃8+町=12,貝IJ2%—%的值為.

【鞏固練習(xí)5】（23-24高二上?重慶?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，且滿足。3+%=34,

=280,則其通項(xiàng)公式為（）

A.an=6^-10B.%=3〃+2

C.a”=2〃+7D.an=H+10

【鞏固練習(xí)6】（23-24高二下?云南玉溪?開(kāi)學(xué)考試）若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列,且%+為+R=72,則

3〃6_%0=（）

A.48B.50C.52D.54

【鞏固練習(xí)7】已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛?！埃?若片+a；=85,a3+a8=ll,則。，=（）

A.1B.2

C.nD.2n-l

【鞏固練習(xí)8］若｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，滿足城+城，貝（）

A.-10B.-5C.oD.5

【題型5】等差數(shù)列的判斷

/核心?技巧/

證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：

（1）定義法：對(duì)于〃22的任意自然數(shù)，驗(yàn)證%為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于%一1的%代入

an—an-lf在化簡(jiǎn)得到定值.

（2）等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證24-1=0^+Q計(jì)2（〃三3,〃￡Nx）都成立.

⑶判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：

①通項(xiàng)公式：an=pn+q（p,q為常數(shù)）臺(tái)｛〃“｝是等差數(shù)列.

②前〃項(xiàng)和公式：Sn=An2+Bn（4B為常數(shù)）是等差數(shù)列.

問(wèn)題的最終判定還是利用定義.

///典型例題/

【例題1】已知一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為外,公差為丈

（1）將數(shù)列中的前加項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，

它的首項(xiàng)和公差分別是多少？

（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)

和公差分別是多少？

（3）取出數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，它是等差數(shù)列嗎？你能根據(jù)得到的

結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎？

【例題2】（23-24高二下?山東荷澤?期中）從1,2,3,…，9這9個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同的數(shù)字，

使它們成等差數(shù)列，則這樣的等差數(shù)列共有（）

A.16個(gè)B.24個(gè)C.32個(gè)D.48個(gè)

【例題3】（23-24高二上?廣東深圳?期末）若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則下列數(shù)列不一定是等差數(shù)列的

是（）

｛㈤｝

A.B.{an+i-a?]

C.｛pa?+q｝（P，4為常數(shù)）D.{2。"+"}

【例題4】（24-25高三上?內(nèi)蒙古包頭?開(kāi)學(xué)考試）“數(shù)列｛0“｝是等差數(shù)列”是“數(shù)列｛%+%+J是等差數(shù)

列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1］已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中①｛的“｝②③｛3%+1｝④｛㈤｝必為

等差數(shù)列的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【鞏固練習(xí)2】（多選）記邑為數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和，若數(shù)列1｝，是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,

則（）

A.數(shù)列｛g｝為遞減數(shù)列B.S,^2n2-n

C.??=4?-3D.數(shù)列｛%+S/是等差數(shù)列

【鞏固練習(xí)3】（23-24高二下?浙江?期中）對(duì)于數(shù)列｛?！埃?設(shè)甲：｛%｝為等差數(shù)列，乙：

%+（"-1）。用="%,則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【鞏固練習(xí)4】（多選）若數(shù)列｛《｝是等差數(shù)列，公差4>0,則下列對(duì)數(shù)列也｝的判斷正確的是

（）

A.若―a,,則數(shù)列也｝是遞減數(shù)列

B.若〃=片，則數(shù)列圾｝是遞增數(shù)列

C.若用，則數(shù)列也｝是公差為d的等差數(shù)列

D.若“=%+〃，則數(shù)列低｝是公差為d+1的等差數(shù)列

【鞏固練習(xí)5】（23-24高二下?廣東佛山?期末）（多選）已知數(shù)列｛6｝（〃eN*）的前"項(xiàng)和為S"，則

下列選項(xiàng)中，能使｛七｝為等差數(shù)列的條件有（）

A.S?=(n+l)(n-l)

B.S“=a,

C.對(duì)V機(jī),“eN*,有%=冊(cè)+2(〃-機(jī))

4k-3,n=2k-\

D.，左cN*

4k-l,n=2k

【題型6】等差數(shù)列證明(1):直接作差或等差中項(xiàng)形式

[核心?技巧/

1、等差數(shù)列概念的符號(hào)表示：“+i—a"=d(〃GN*)

2、若數(shù)列｛4｝對(duì)V〃eN*均滿足2。,+]=%+%+2，則｛4｝為等差數(shù)列

簡(jiǎn)證：an_%_]=an_x-an_2=--=a2~ax,即an為等差數(shù)列.

/“典型例題/

【例題1】已知一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列｛4,｝的首項(xiàng)為q,公差為丈

(1)將數(shù)列中的前心項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，

它的首項(xiàng)和公差分別是多少？

(2)取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)

和公差分別是多少？

(3)取出數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，它是等差數(shù)列嗎？你能根據(jù)得到的

結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎？

【例題2】(22-23高二上?河南鄭州?階段練習(xí))已知數(shù)列｛氏｝滿足q=2,。用=4丁.

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列;

(2)求數(shù)列｛。,｝的通項(xiàng)公式.

【例題3]數(shù)列｛%｝滿足%=1必=2,a“+2=2%+]-%+2.

⑴求的,%的值；

(2)設(shè)〃=an+1-an,證明也｝是等差數(shù)列.

【例題4】(23-24高二上?廣東汕頭?階段練習(xí))已知數(shù)列｛的｝滿足見(jiàn)包=:二，%=3,令

b=—^—

n1?

4-1

(1)證明：數(shù)列低｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式.

【例題5】(22-23高二上?福建廈門(mén)?階段練習(xí))已知數(shù)列母｝,d=2,且滿足S“M=S“+2〃+2,

2

6?=S?-M(MGN*).

⑴證明：數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列并求出低｝的通項(xiàng)公式；

(2)若凡是數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

/u鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】(23-24高二上?浙江溫州?期末)已知數(shù)列｛為｝滿足。用=六丁生=；

(1)求證：數(shù)列;為等差數(shù)列

所以數(shù)列是首項(xiàng)為'=2,公差為1的等差數(shù)列

l?J%

【鞏固練習(xí)2】(23-24高二上?山東荷澤?期末)已知數(shù)列｛2｝的首項(xiàng)為外,前〃項(xiàng)和為S“，且

2S"=(%+2".

(1)求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列.

【鞏固練習(xí)3］已知｛%｝滿足％=1,且〃％-("+1”"=3r+3”.

(1)求。2,“3；

(2)證明數(shù)歹［J｛2｝是等差數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式.

n

【鞏固練習(xí)4】(23-24高二上?安徽黃山?期末)已知數(shù)列｛。"｝滿足：/=L。用=/=??

“n+1

(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列;

(2)若+〃2。3+。3〃4---hanan+\<，求滿足條件的最大整數(shù)制.

【鞏固練習(xí)5】已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5"嗎=1,a角=1+2區(qū).證明：數(shù)列｛瘋｝是等差數(shù)列;

【鞏固練習(xí)6】(23-24高二上?江蘇常州?期末)設(shè)邑是正項(xiàng)數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和，且%=1,

2

S

n+S〃T---=0(n€N*,H>2).

an

(1)求證：數(shù)列代｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式.

【題型7】等差數(shù)列證明(2):因式分解型

/核心?技巧/

若遞推公式中出現(xiàn)了關(guān)于4和4+i的齊二次式，且｛外,｝為正項(xiàng)數(shù)列，則一般需要通過(guò)因式分解來(lái)得

出an~an-l=常數(shù)?

/“典型例題/

【例題1】在數(shù)列｛叫中，an>0,且前〃項(xiàng)和s,滿足4s“=g“+l)2(〃eN*),則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公

式為.

【例題2】(23-24高二下?安徽蕪湖?階段練習(xí))設(shè)｛%｝是正項(xiàng)數(shù)列，且其前〃項(xiàng)和為S,,,已知

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

【例題3】(23-24高二上?湖南長(zhǎng)沙?期中)已知數(shù)列｛?！埃黜?xiàng)均為正數(shù)，且%=2,

(1)證明：｛〃/為等差數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；

/?

(2)設(shè)”=(-1)an,求4+b2+b3+…+%.

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】(高二下?浙江紹興?期中)已知正數(shù)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和國(guó)滿足：4s“=(%+1)2,則

■,通項(xiàng)an=

【鞏固練習(xí)2】已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,S"=；(a“+l)，"eN)

(1)求力、%；

(2)求證：數(shù)列｛6｝是等差數(shù)列.

【鞏固練習(xí)3】(22-23高二下?福建泉州?期末)已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和為S“，且滿足

4s“=(%+1『.

⑴求凡，J;

(2)設(shè)a=—1—,數(shù)列｛，｝的前”項(xiàng)和為刀，求證：Tn<\.

anan+\2

【鞏固練習(xí)4]⑵-24高二下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))己知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝,滿足片+2%=4s0+3.

⑴求巴；

⑵若求數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和列

anan+\

【鞏固練習(xí)5】(23-24高三上?河南周口?階段練習(xí))在正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝中，％=；,匕=

(1)求數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式；

(2)記a=--------,求數(shù)列｛"｝的前"項(xiàng)和S,.

anan+\

【鞏固練習(xí)6】(23-24高二上?廣東中山?期中)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,S?=n2+n.

（1）求數(shù)列｛。“｝的通項(xiàng)公式；

111

（2）是否存在正整數(shù)P，4使得了，/，丁成等差數(shù)列？說(shuō)明理由.

【題型8】求等差數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)

基礎(chǔ)知識(shí)

求等差數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)的主要方法是：首先確定數(shù)列的公差正負(fù)，然后判斷數(shù)列是遞增還是

遞減，接著找出首項(xiàng)和末項(xiàng)，最后根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性確定最大（小）項(xiàng)的位置及值。

/“典型例題/

【例題1】（22-23高二上?廣東深圳?期末）（多選）數(shù)列｛2｝的前”項(xiàng)和為J，已知邑=一/+7"-3,

貝U（）

A.｛七｝是遞減數(shù)列B.｛%｝是等差數(shù)列

C.當(dāng)">4時(shí)，4<0D.當(dāng)〃=3或4時(shí)，邑取得最大值

【例題2】設(shè)斯=2九一9,則當(dāng)數(shù)列｛助｝的前〃項(xiàng)和取得最小值時(shí)，"的值為（）

A.4B.5

C.4或5D.5或6

【例題3】（23-24高二上?河南鄭州?開(kāi)學(xué)考試）等差數(shù)列｛斯｝中,S6Vs7,S7>S8,給出下列命題:

①d<0,②S9Vs6,③是各項(xiàng)中最大的項(xiàng)，④57是5?中最大的值，⑤｛an｝為遞增數(shù)列.其中正確命

題的序號(hào)是.

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（22-23高二上?陜西渭南?階段練習(xí)）在等差數(shù)列｛aj中，％=-11,。5=-3記

Tn=flla2...a?（n=l,2...）,則數(shù)列｛（,｝（）

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

【鞏固練習(xí)2】（22-23高二上?重慶巴南?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝,

ne

%=1,見(jiàn)，=2^n>2,n&N）,數(shù)列也｝滿足夕=_1[

（1）求證：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛?！埃械淖畲箜?xiàng).

【鞏固練習(xí)3】無(wú)窮數(shù)列｛即｝滿足：氏+4+3%+%+4=0且°產(chǎn)-2.

（1）求證：,為等差數(shù)列；

M+2J

（2）若電021為數(shù)列｛/1｝中的最小項(xiàng)，求生的取值范圍.

【題型9】等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

基礎(chǔ)知識(shí)

等差數(shù)列在實(shí)際中有廣泛應(yīng)用，如計(jì)算存款利息、工資增長(zhǎng)、溫度梯度、等距分布的物品數(shù)量等,

它簡(jiǎn)化了連續(xù)、等間隔變化的量的計(jì)算，是數(shù)學(xué)中重要的模型之一

/“典型例題/

【例題1】習(xí)近平總書(shū)記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵.要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)

創(chuàng)業(yè).為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對(duì)青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開(kāi)展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)

創(chuàng)業(yè)人員.預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列｛?”｝（單位萬(wàn)元，力eN*）,每年開(kāi)

展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金q的3倍，已知％2+/=72.則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶

五年累計(jì)總投入資金的最大值為（）

A.72萬(wàn)元B.96萬(wàn)元C.120萬(wàn)元D.144萬(wàn)元

【例題2】（23-24高二上?福建龍巖?期中）潮涌杭州，亞運(yùn)來(lái)了！2023年9月23日，第19屆亞運(yùn)

會(huì)在杭州盛大開(kāi)幕，這是杭州歷史上的一件大事，也是中國(guó)繼北京奧運(yùn)會(huì)、廣州亞運(yùn)會(huì)后再次舉辦

的大型國(guó)際體育賽事.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次賽事，為慶祝本次賽事，該網(wǎng)站舉辦了一場(chǎng)針對(duì)本網(wǎng)站

會(huì)員的獎(jiǎng)品派發(fā)活動(dòng)，派發(fā)規(guī)則如下：①對(duì)于會(huì)員編號(hào)能被3整除余1且被5整除余1的可以獲得

精品吉祥物一套；②對(duì)于不符合①中條件的可以獲得普通吉祥物一套.已知該網(wǎng)站的會(huì)員共有2023

人（編號(hào)為1號(hào)到2023號(hào)，中間沒(méi)有空缺），則獲得精品吉祥物的人數(shù)為.

/u鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值為220萬(wàn)元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過(guò)程中老化，其價(jià)值會(huì)

逐年減少.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過(guò)一年其價(jià)值就會(huì)減少d"為正常數(shù)）萬(wàn)元.已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限

為10年，超過(guò)10年，它的價(jià)值將低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的5%,設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定d的取值范圍.

【鞏固練習(xí)2】百善孝為先，孝敬父母是中華民族的傳統(tǒng)美德.因父母年事已高，大張與小張兄弟倆

約定：如果兩人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把這一天記為“家庭日”.由于工作的特殊性，

大張每工作三天休息一天，小張每周星期一與星期五休息，除此之外，他們沒(méi)有其它休息日.已知2021

年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他們約定的首個(gè)“家庭日”，則2021年全年他們約定的

“家庭日”是星期五的天數(shù)為;2021年全年他們約定的“家庭日”共有個(gè).

【鞏固練習(xí)3】稠環(huán)芳香燃化合物中有不少是致癌物質(zhì)，比如學(xué)生鐘愛(ài)的快餐油炸食品中會(huì)產(chǎn)生苯

并花，它是由一個(gè)苯環(huán)和一個(gè)花分子結(jié)合而成的稠環(huán)芳香燒類(lèi)化合物，長(zhǎng)期食用會(huì)致癌.下面是一組

稠環(huán)芳香煌的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式和分子式：

名稱(chēng)蔡并四苯并〃苯

結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式coccoCCQO

CH

分子式G0Hs1410G8H12

由此推斷并十苯的分子式為.

【題型10］等差數(shù)列與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合

基礎(chǔ)知識(shí)

等差數(shù)列不僅是一種重要的數(shù)學(xué)概念，在數(shù)學(xué)文化中也占據(jù)著獨(dú)特的位置。古代文明中，等差數(shù)列

的概念被用于天文歷法的計(jì)算，例如中國(guó)古代的歷法中就運(yùn)用了等差數(shù)列來(lái)預(yù)測(cè)日食、月食等天象。

此外，在音樂(lè)理論中，音階的構(gòu)成也可以看作是一種等差數(shù)列的應(yīng)用，每個(gè)音符之間的頻率比遵循

一定的等差關(guān)系。文學(xué)作品中，等差數(shù)列有時(shí)也被用作創(chuàng)作的靈感來(lái)源，通過(guò)數(shù)列的規(guī)律性來(lái)構(gòu)建

故事的節(jié)奏或是人物的發(fā)展脈絡(luò)。等差數(shù)列以其簡(jiǎn)潔而強(qiáng)大的特性，成為連接數(shù)學(xué)與文化的一座橋

梁

/“典型例題/

【例題1】（21-22高二下?河南鄭州?階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過(guò)高階等

差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.例如“百

層球堆垛”：第一層有1個(gè)球（％=1）,第二層有3個(gè)球（&=3）,第三層有6個(gè)球（生=6）,第四層有

10個(gè)球（。4=10），第五層有15個(gè)球（4=15）,…，各層球數(shù)之差{%+「%}：a2-ax,%-

%-%，-%，…即2,3,4,5,…是等差數(shù)列.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1,

3,6,12,23,41,則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）.

A.51B.68C.106D.157

【例題2】（22-23高二上?上海虹口?期中）1934年，東印度（今孟加拉國(guó)）學(xué)者森德拉姆發(fā)現(xiàn)了“正

方形篩子”如圖所示，根據(jù)規(guī)律，貝『'正方形篩子”中位于第100行的第100個(gè)數(shù)是（）

47

A.20180B.20200C.20220D.20240

【例題3】（22?23高二上?浙江杭州?期末）“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一

個(gè)問(wèn)題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%｝,

則。6二（）

A.103B.107C.109D.105

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（高二上?江蘇連云港?期中）數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有物不知

其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2）,五五數(shù)之剩三（除以5余3）,問(wèn)物幾何？”現(xiàn)將1到2020共2020

個(gè)整數(shù)中，同時(shí)滿足“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三”的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛4“｝,

則該數(shù)列共有（）

A.132項(xiàng)B.133項(xiàng)C.134項(xiàng)D.135項(xiàng)

【鞏固練習(xí)2】《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清

明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日

影長(zhǎng)為9.5尺，春分當(dāng)日日影長(zhǎng)為6尺，則小滿當(dāng)日日影長(zhǎng)為（）

A.三33尺B.13尺C.5尺D.§4尺

【鞏固練習(xí)3】（高二下?安徽宣城?期中）數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有物不知其

數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2）,五五數(shù)之剩三（除以5余3）,問(wèn)物幾何？"現(xiàn)將1到1000共1000個(gè)

整數(shù)中同時(shí)滿足“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三”的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛?！埃?

則數(shù)列（??｝中共有項(xiàng).

【鞏固練習(xí)4】（22-23高二上?江蘇淮安?期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題:“今有物

不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所有被3

除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列｛%｝,所有被5除余2的正整數(shù)按從小到大的順

序排列組成數(shù)列也｝,把數(shù)列｛凡｝與也｝的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列組成數(shù)列匕,｝,則數(shù)列匕,｝

的第10項(xiàng)是數(shù)列也｝的第項(xiàng).

【題型11］構(gòu)造等差數(shù)列（1）:取倒數(shù)

/核心?技巧/

八11

形如為-1一%為（夕為常數(shù)且夕。0）的遞推式：兩邊同除轉(zhuǎn)化為一二----+P形式

anan-\

aQ“口1

注意：有的遞推公式是分式的形式，如：%+i=—rn,3=------^等，化為整式之后就符合

man+1anman+1

上面的式子結(jié)構(gòu)了

/“典型例題/

【例題1】（24-25高二上?福建寧德?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為=；,且滿足

貝1J?。的值為（）

12-11

A.—B.—C.—D.—

79697875

【例題2】（23-24高二上?陜西西安?期中）已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足q=1,%+1=晨7,（〃￡N*）,則?！ǘ?/p>

（）

11-1n-\1

A.Q”——B.-C.ci-D.ci—

〃n〃2〃-1〃n4〃-34/7-3

【例題3】已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛%｝滿足也=：,且％=1，則%023=___________.

%°〃十?2

/“鞏固練習(xí)/

1a

【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列｛。"｝滿足q=3,?！?1=Ul，則電021=（）

1111

A.----B.----C.----D.----

2019202020212022

【鞏固練習(xí)2】（22-23高二上?湖北荊州?期末）已知數(shù)列4=1，4用=；、，則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式

【鞏固練習(xí)3】（23-24高二下?河南?期中）數(shù)列｛%｝中，若［=1,%+1=二+，則-1-=__________

十/a。Gm

【題型12］構(gòu)造等差數(shù)列（2）:插入數(shù)字或每隔1項(xiàng)抽項(xiàng)數(shù)

核心?技巧

1、在等差數(shù)列中每隔誦1同的項(xiàng)金由一項(xiàng)，按原菜的順焉排最一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列.

例如：%是公差為d的等差數(shù)列，貝心以“｝是公差為hl的等差數(shù)列

2、要在兩個(gè)已知項(xiàng)之間插入數(shù)字構(gòu)成新的等差數(shù)列，首先計(jì)算這兩項(xiàng)間的原有公差d。然后，決定

要插入的項(xiàng)數(shù)R計(jì)算新的公差d'=一日一。最后，從第一項(xiàng)開(kāi)始，按新公差依次計(jì)算并插入每個(gè)新

左+1

項(xiàng)，直到完成插入。這樣就能構(gòu)造出包含新項(xiàng)的等差數(shù)列。

/“典型例題/

【例題1】已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為=2,公差d=8,在｛%｝中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù),

使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列｛4｝.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

（2）&9是不是數(shù)列｛4｝的項(xiàng)？若是，它是｛4｝的第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由.

【例題2】已知等差數(shù)列｛。"｝中，％=4,4=16,若在數(shù)列｛%｝每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新

數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項(xiàng)為.

【例題3］已知｛麗｝是等差數(shù)列，且句+。2+的=12,“8=16.

（1）求數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式；

（2）若從數(shù)列｛的｝中，依次取出第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、第6項(xiàng)……第2〃項(xiàng)，按原來(lái)的順序組成一個(gè)新

數(shù)列｛bn｝,試求出｛bn｝的通項(xiàng)公式.

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】已知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為2,公差為8,在｛4｝中每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使

它們與原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列｛"｝,則數(shù)列仇。23=.

【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上?浙江寧波?期中）已知等差數(shù)列-2,1,4,7,10,…，現(xiàn)在其每相鄰兩項(xiàng)之

間插入一個(gè)數(shù)，使之成為一個(gè)新的等差數(shù)列｛0“｝.

（1）求新數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）16是新數(shù)列｛?！埃械捻?xiàng)嗎？若是，求出是第幾項(xiàng)，若不是，說(shuō)明理由.

【鞏固練習(xí)3】已知等差數(shù)列｛%｝的公差為正數(shù)，%與久的等差中項(xiàng)為8,且%%=28.

⑴求｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式；

⑵從｛??）中依次取出第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，第9項(xiàng)，…，第3"項(xiàng)，按照原來(lái)的順序組成一個(gè)新數(shù)列低｝，判斷

938是不是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)？并說(shuō)明理由.

【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上?安徽合肥?期