等差、等比的性質(zhì)應(yīng)用十六大題型-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破

重難點(diǎn)專題26等差、等比的性質(zhì)應(yīng)用十六大題型匯總

anil

題型1等差中項(xiàng)..................................................................1

題型2等比中項(xiàng)..................................................................5

題型3下角標(biāo)和性質(zhì).............................................................9

題型4單調(diào)性問題...............................................................12

題型5最大項(xiàng)與最小項(xiàng)問題.......................................................17

題型6等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1.................................................22

題型1等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)2.................................................27

題型8等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)3.................................................30

題型9等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)4.................................................32

題型10等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題...............................................37

題型11等差數(shù)列Sn>0,Sn<0問題..................................................41

題型12等比數(shù)列中Sn>S2n>$而的考察...............................................44

題型13等差等比奇偶項(xiàng)問題.....................................................48

題型14最值問題................................................................53

題型15取值范圍問題............................................................59

題型16數(shù)列不等式能成立恒成立問題.............................................63

iQnai

題型1等差中項(xiàng)

型重點(diǎn)

等差中項(xiàng)的基本運(yùn)用：

⑴若a,A,6成等差數(shù)列，則)=?；

⑵若/=(,則。，46成等差數(shù)列.

綜上/是：a,b的等差中項(xiàng)

【例題11(2023秋新疆巴音郭楞?高三?？奸_學(xué)考試)記外為等比數(shù)列{an}(an>0)的前n

項(xiàng)和，且。逆3=16,2S1、|52、S3成等差數(shù)列，則$6=()

A.256B.254C.128D.126

【答案】D

【分析】根據(jù)2Si、|52、S3成等差數(shù)列求出數(shù)列｛斯｝的公比，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得。2

的值，進(jìn)而可求得由的值，利用等比求和公式可求得56的值.

【詳解】因?yàn)?S1、乳、S3成等差數(shù)列，即3s2=2S1+S3,即S3—S2=2(S2—SI),即=2

所以，等比數(shù)列5｝的公比為q=2=2，

因?yàn)椋矗敲宽?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得。2=后近=4,則臼=半=2,

因此，56=答4=號孕=126.

1—Q1—2

故選：D.

【變式1-1]1.(2022秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知數(shù)列｛斯｝

是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，且即+如，。3+如，。5+孤成等差數(shù)列,則甯=

()

A.；B.|C.2D.4

【答案】C

【分析】依題意可得如，第3,題為常數(shù)數(shù)列，即可求出q2,再根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算

可得.

【詳解】因?yàn)榛豃是等比數(shù)列，所以61阮=據(jù)，所以01)?仁65)=0匕3)2,

所以如，＞3,第5成等比數(shù)列，

因?yàn)椋矗堑炔顢?shù)列，所以臼,。3,。5成等差數(shù)列，

a

又+|foi,a3+和3/5+第5成等差數(shù)列,

所以孤，就是等比數(shù)列也是等差數(shù)列，

所以如，＞3,孤是常數(shù)列,

即3h=%3=第5,所以q2=2,因此智2qnqZnZ.

故選：C

【變式1-1】2.（2018?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知實(shí)數(shù)a,b,c成公差非0的等差數(shù)列，

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3,2）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2,3）.過點(diǎn)P作直線

ax+by+c=0的垂線，垂足為點(diǎn)M,則M,N間的距離的最大值與最小值的乘積是（）

A.10B.6V2

C.4V2D.前三個(gè)答案都不對

【答案】A

【分析】由題設(shè)可得點(diǎn)M的軌跡是以PQ為直徑的圓，故可求MN的最值，故可求它們的乘

積.

【詳解】直線a%+by+c=0中a,b,c成等差數(shù)列即直線s+by+c=0恒過點(diǎn)

<2（1,-2）,

故|CN|=3V2,于是所求最大值與最小值之積為5魚xV2=10.

故選：A.

【變式1-1】3.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知數(shù)列｛斯｝中，

?2=2,當(dāng)九23時(shí)，an_1)|an,ay2成等差數(shù)列.若。2022=m那么+???+(22021=

()

A.k.B.k—1C.2fcD.k—2

【答案】D

【分析】依題意可得數(shù)列｛an｝的遞推關(guān)系廝=1+^n—2i再一代入即可求解.

【詳解】當(dāng)nN3時(shí)，昨1,|a?,a計(jì)2成等差數(shù)列，則與=an-i+昨2,

由于。2=2,則。3+a5H+<Z2021=(。2++…+?2021)-2=。2022一2=k—2,

故選：D.

【變式1-1】4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)與公差d均為正數(shù),

且1g%Iga?,炮。6成等差數(shù)列,則31,lga3,恒。6的公差為()

A.IgdB.lg|C.lg|D.Ig3d

【答案】C

【分析】根據(jù)Igai,lga3,坨。6成等差數(shù)列直接列式，求出國和d的關(guān)系，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椋?｝是公差為d的等差數(shù)列，所以a3=ai+2d"6=ai+5d,

因?yàn)镮gai，lga3，lga6成等差數(shù)列，所以2哂=lg?i+lga6=lg(ai?6),

所以屏=。1。6,即(由+2d尸=。式的+5d),所以aid=4d2,

又因?yàn)閐>0,所以ai=4d,

則蛔3-Igai=lg(6d)-lg(4d)=lg|,

故選：C.

【變式1-1】5.(2023?全國?高三專題練習(xí))在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為

a,b,c,若a,b,c成等差數(shù)列，則cosB的最小值為

【答案】|/0.5

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)得到2b=a+c,由余弦定理得到cosB=蓼-1,根據(jù)26=a+c結(jié)合

基本不等式求出cosB的最小值.

【詳解】由題意得2b=a+c,

由余弦定理得cosB=年=…蒙J'=￡-1，

因?yàn)?6=a+c,由基本不等式可得爐=用=號叱2號竺=四，

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號成立，

故cosB=g-l>gf-l=|,所以cosB的最小值為今

故答案為：|

題型2等比中項(xiàng)

、1,

#塾重點(diǎn)4I

等比中項(xiàng)：

(7)由等比中項(xiàng)的定義可知:=，=金=成今G=士向，所以只有a,6同號時(shí)，a,6的等

比中項(xiàng)有兩個(gè)，異號時(shí)，沒有等比中項(xiàng)；

(2)在一個(gè)等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)侑窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)和后

一項(xiàng)的等比中項(xiàng)；

⑶a,G,b成等比數(shù)列等價(jià)于G2=ab(ab>0)。

【例題2】(2023秋?江西南昌?高三南昌市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛即｝

和正項(xiàng)等比數(shù)列｛bn｝,即=九=1,仇是。2"6的等差中項(xiàng)，。8是出，仇的等比中項(xiàng)，則下列關(guān)

系肯定成立的是()

A.做<力2B.。1024=^11C.。4>力4D.。10。=610

【答案】B

【分析】根據(jù)條件建立方程組，求解基本量公差、公比，再根據(jù)通項(xiàng)公式依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d(d>0),等比數(shù)列公比為q(q>0),且由=歷=1,

由是。2，。6的等差中項(xiàng)，得。2+。6=2》3,

則有1+d+1+5d=2q2,化簡得1+3d=q2①，

2

由。8是匕3/5的等比中項(xiàng)，得=b3b5=b4,

又已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛斯｝和正項(xiàng)等比數(shù)列｛'｝，

所以。8=0，則有l(wèi)+7d=q3②,

聯(lián)立①②解方程組得，上二箋(舍去)，或器;，或器;.

故斯=凡bn=2"-1或即=6=1.

當(dāng)即=6n=l時(shí)，可知AC錯(cuò)誤,BD成立;

n

當(dāng)0n=zi,bn=2-i時(shí)，

9

aioo=100,Z)10=2=512,aiOo*b10,故D錯(cuò)誤.

又的024=1。24力11=21°=1024,B也成立,

故選：B.

【變式2-1】1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知｛an｝是公差為3的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的

和為Sn,設(shè)甲：｛即｝的首項(xiàng)為零；乙：$2+3是Si+3和S3+3的等比中項(xiàng),則()

A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出的,再由充分條件和必要條件的定義即可

得出答案.

【詳解】由｛而是公差為3的等差數(shù)列，可知S1+3=%+3忌+3=2al+6,S3+3=3al+12.

2

若S2+3是Si+3和S3+3的等比中項(xiàng),則（2臼+6）=（即+3）（3fll+12）,

解得即=0或。1=-3（舍去，因?yàn)榇藭r(shí)Si+3=$2+3=0）,

故52+3是Si+3和S3+3的等比中項(xiàng)能推出｛an｝的首項(xiàng)為零，

若｛6｝的首項(xiàng)為零，即由=0,由｛冊｝是公差為3的等差數(shù)列，

則an=3（n-l）=3n—3,Sn=若0，

2

所以52+3=6,Si+3=3,S3+3=12,所以⑸+3）=⑸+3）（S3+3）,

故｛即｝的首項(xiàng)為零可推出S2+3是Si+3和S3+3的等比中項(xiàng)，

可見a=0"是"2+3是Si+3和S3+3的等比中項(xiàng)”的充要條件.

故選：C.

【變式2-1】2.（2018?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c組成等比數(shù)列，c>0且

aW26+3c,則實(shí)數(shù)小的取值范圍是（）

C.（-?）,1]D.前三個(gè)答案都不對

【答案】B

【分析】設(shè)9=t,則￡=t2,則可根據(jù)二次函數(shù)求目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍.

【詳解】設(shè)J=t,則"產(chǎn)，則彳=-2產(chǎn)，

由題設(shè)有21+3/21,故te（—8,—1]u||,+8）,

因比t一2t2的取值范圍是（—8,1].

故選：B.

【變式2-1]3.（2023?北京?校考模擬預(yù)測）已知公差不為零的等差數(shù)列｛而滿足：+a8

1

=20,且＜15是與＜214的等比中項(xiàng).設(shè)數(shù)列｛6n｝滿足匕n=￡￡二(幾GN*),則數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)

和土為()

A-B-*1+/)=搐

c-D-*1+焉=/

【答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程得到｛"二廣,然后利用裂項(xiàng)求

和的方法求治即可.

【詳解】根據(jù)題意可得將貨2/°,則J+4挪Z曾念+13砌，解得｛”廣，

所以an=2n_l,%=(27)(2“+1)=［上一+),

1711111\

Sn=2\1-3+3-4+-"+2n-l_2n+lJ

=4-')

2V2n+l)

n

=2n+l-

故選：A.

【變式2-1】4.(2023秋?廣東東莞?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知等差數(shù)列｛an｝的公差不為

0,即=1且口2,a4,口8成等比數(shù)列，則()

AdC'i-c。4a5—Sn+1n+1c?1+?19r

A-。2。23=4045B.-＜-C,^r=-D,B=2

【答案】D

【分析】先求出通項(xiàng)公式即=九，再利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式對四個(gè)選項(xiàng)一一計(jì)算，進(jìn)

行判斷.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為d(d片0).

因?yàn)長=1且。2，。4分8成等比數(shù)列，所以(1+3d)2=(1+d)(l+7d).

解得：d=l,所以an=di+(n—l)d=1+(n—1)X1=n.

對于A:a2023=2023,故A錯(cuò)誤;

對于B:因?yàn)椴钒祝弧崩?。，所以最＞六故B錯(cuò)誤;

對于C：因?yàn)镾n+i=-；）（"+】）=S+2器1）

所以蹲=號禽2）=等大等,故C錯(cuò)誤；

對于D：因?yàn)殄鱚=翳=2,故D正確.

故選：D

題型3下角標(biāo)和性質(zhì)

【例題3】（2023春?河南開封?高三通許縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛即｝

為遞增數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，a3+a7=34,a4-a6=280,貝?。軸n=()

A.516B.440C.258D.220

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出。4q6,再利用前n項(xiàng)和公式求解作答.

【詳解】等差數(shù)列｛斯｝為遞增數(shù)列，則。4＜。6,由。3+。7=34,得＜24+。6=34,而。4?。6

=280,

解得。4=1446=20,所以S11=廠D=lla6-220.

故選：D

【變式3-1】1.（2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）

在等差數(shù)列｛冊｝中，其前幾項(xiàng)和為Sn,若是方程16=0的兩個(gè)根，那么Sii的

值為（）

A.88B.-88C.110D.-55

【答案】D

【分析】由根與系數(shù)關(guān)系得。5+。7=-10,再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、下標(biāo)和性質(zhì)求

SIL

【詳解】由題設(shè)。5+。7=—10,而511=智強(qiáng)=筆出=一55.

故選：D

【變式3-1】2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛an｝中，a3+a5=a4+7,aw

=19,則數(shù)列｛ancos5｝的前2024項(xiàng)的和為（）

A.1010B.1012

C.2023D.2024

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出通項(xiàng)公式，再利用并項(xiàng)求和作答.

【詳解】在等差數(shù)列｛七｝中，2a4=a3+a5=a4+7,解得。4=7,公差d=號譬=平

=2,

于是%=+（幾—4）d=2幾—1,而當(dāng)九為奇數(shù)時(shí)，COS71TT=—lz當(dāng)幾為偶數(shù)時(shí)，COS71TI

=1,

71

因此令bn=ancosnTT=（-l）-（2n—1）,則當(dāng)幾EN*時(shí)，Bn-i+82九

=一（4幾一3）+（4幾-1）=2,

所以數(shù)列｛。九COSTIII｝的前2024項(xiàng)的和為（/+h2）+（仇+久）+…+（62023+^2024

）=2x1012=2024.

故選：D

【變式3-1】3.（2023秋?山東青島?高三統(tǒng)考期末）對于正數(shù)如。2"3,…，斯，它的幾何平均

數(shù)定義為：yaia2a3-an.已知一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝，它的前11項(xiàng)的幾何平均

數(shù)為25,從這11項(xiàng)中抽去一項(xiàng)后所剩10項(xiàng)的幾何平均數(shù)仍是25,那么抽去的一項(xiàng)是（）

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)

C.第9項(xiàng)D.第11項(xiàng)

【答案】A

【分析】根據(jù)幾何平均數(shù)定義及等比數(shù)列的性質(zhì)求解.

【詳解】由題意Jb/2b3…"=2、又｛琥｝是等比數(shù)列，所以歷歷1=歷0=…=6567=

bl,

所以1帆=25,即生=25,

設(shè)抽去的是九，則中歷62仇_1瓦+1…幼=25,即比歷瓦-也+1…％=求°,但6的“為=姆

所以瓦=b6,

故選：A.

【變式3-1】4.（2022秋?陜西榆林?高三校考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝

中，%。2&3=5,a4a5a6=5魚，貝!Jaio（iiiai2=（）

A.25B.20C.10V2D.10

【答案】C

【分析】由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得<?9=魚，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)

果.

【詳解】設(shè)公比為式q>0）,

因?yàn)閿?shù)列｛七｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，

所以aid2a3=a9=5,a4a5a6==5V2,

所以居）3=竽=&所以《9=也

所以。10<211<212=a：1=（a2q9）=agx（q。）=5x（V^）=10V^,

故選：C

【變式3-1J5.（2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期中）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛即｝中,+2

a4a5+a2a8=16,則a4a5的最大值為（）

A.16B.8C.4D.2

【答案】c

【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得。4+。5=4,再根據(jù)基本不等式a4a5w（0產(chǎn)）2,即

可求解.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，=^41a2a8=^5'

所以成+2a4a5+誕=16,即（。4+a5）2=16,得。4+。5=4,

且斯>0,所以a4a5w（空）2=4,當(dāng)且僅當(dāng)。4=。5時(shí)，等號成立，

所以a4a5的最大值為4.

故選：C

題型4單調(diào)性問題

IWbI

即F型重點(diǎn)

].等差數(shù)列的單調(diào)性

等差數(shù)列優(yōu)》的公差為乙則：

⑴介0=/aJ為遞增數(shù)列；I

⑵1<0=3/為遞減數(shù)列；d=Oo/a”為常數(shù)列.

2.等比數(shù)列的單調(diào)性基本方法：

(1)囚＞0時(shí),

①公比q>l,單調(diào)遞增;②q=l無單調(diào)性;③0<q<l,單調(diào)遞減值q<0,無單調(diào)性.

(2)即<0時(shí),

①公比q>L單調(diào)遞減;②q=l無單調(diào)性③0<q<l,單調(diào)遞墻④q<0,無單調(diào)性.

【例題4】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知｛an｝是無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為則”｛an｝

為遞增數(shù)列"是"存在neN*使得Sn>0"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】解：因?yàn)椋撸菬o窮等差數(shù)列，若｛4｝為遞增數(shù)列，

所以公差d>0,

令Sn—九的+"彳"d>0,解得71>1—華，

[1-剃表示取整函數(shù)，

所以存在正整數(shù)劭=1+[1—華],有sn0>0,故充分；

設(shè)數(shù)列｛an｝為5,3,1,-1,滿足S2=8>0,但d=—2<0,

則數(shù)列｛總是遞減數(shù)列，故不必要，

故選：A

【變式4-1】1.(2023?四川自貢?統(tǒng)考三模)等比數(shù)列｛冊｝公比為q(qwl),若7n=aia2a3

…a￡n€N*),則"數(shù)列｛〃｝為遞增數(shù)列"是4>0且q>1"的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】由等比數(shù)列及已知，要｛〃｝為遞增數(shù)列只需。1砂一1>1在n22上恒成立，討論

q<0、0<q<Kq>l,結(jié)合內(nèi)的符號，再根據(jù)充分必要性的定義即可得答案.

【詳解】由題設(shè)之=廝=。@-1且心2,要｛Tn｝為遞增數(shù)列，只需。0一1>1在g2上

恒成立，

當(dāng)q<0,不論的取何值，總存在aiqnT<0,不滿足要求；

當(dāng)0<q<l,

<0,則所必-1<0,不滿足要求；

>0,總存在0<diqn-i<1,不;兩足要求；

當(dāng)q>l,

?1<0,則aiqn-i<0,不滿足；

0<<1,右ai=§,q=2,顯然aiq<1,即72<71,不;兩足；

?i>1,則a0一】>1在n>2上恒成立，滿足.

所以｛的｝為遞增數(shù)列有的>1且q>1.

所以，"數(shù)列d｝為遞增數(shù)列"是%>0吉>1"的充分不必要條件.

故選：B.

【變式4-1】2.(2023秋?北京海淀?高三首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)無窮等

比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若一即<。2<的，貝!]()

A.｛Sn｝為遞減數(shù)列B.｛Sn｝為遞增數(shù)列

C.數(shù)列｛Sn｝有最大項(xiàng)D.數(shù)列｛Sn｝有最小項(xiàng)

【答案】D

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛七｝的公比為％分析可知%>0,取-l<q<0,可判斷AB選項(xiàng)；分

—1<q<0、0<q<1兩種情況討論，利用數(shù)列｛Sn｝的單調(diào)性可判斷CD選項(xiàng).

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,由已知—的<。1,則臼>0,

由一a1<0.2<a1口J彳導(dǎo)—1<q<1且q豐0,

n-1

對于AB選項(xiàng)，若-l<q<0,an=cziq,

n

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí),an+1=a1q<0,此時(shí)打+i-Sn=斯+i<0,則Sn+i<S",

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),?n+l=?l<?n>0,此時(shí)Sn+1-Sn=a?+i>0,則S.+l>S。,

此時(shí)數(shù)列圖）不單調(diào),AB都錯(cuò)；

對于CD選項(xiàng)，Sn=當(dāng)券，

當(dāng)0<q<l時(shí)，此時(shí)數(shù)列｛Sn｝單調(diào)遞增，則｛S.｝有最小項(xiàng)，無最大項(xiàng)；

當(dāng)—l<q<0時(shí)，若n為正奇數(shù)時(shí)，qn<0,貝此=岑/〉言，

此時(shí)Sn單調(diào)遞減，則5.WSi=血；

n

當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，q>0,則%=當(dāng)券〈言，此時(shí)Sn單調(diào)遞增，則SnNS2=ai（l+q）=

言（1-/）.

故當(dāng)-l<q<0時(shí)，｛Sn｝的最大值為Si,最小值為S2.

綜上所述，｛Sn｝有最小項(xiàng).

故選：D.

【變式4-1】3.（2022秋?黑龍江佳木斯?高三校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和

為Sn,若。3=2,且S4=S7,則下列說法中正確的是（）

A.｛即｝為遞增數(shù)列B.當(dāng)且僅當(dāng)九=5時(shí)，又有最大值

C.不等式%>0的解集為0ieN*|nW10｝D.不等式斯>0的解集為無限集

【答案】C

【分析】利用S4=S7可求得。6=0,結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得a】d；由此可求得an，Sn；根

據(jù)土的二次函數(shù)性和an的一次函數(shù)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】由S4=57得：。5+。6+。7=S7—S4=0,3d6=0,即。6=。；

a-a+2d-2

解得

貝H31

u-

設(shè)等差數(shù)列Q｝的公差為4a6a1+5d-O

對于A,「dVO,；.｛an｝為遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤；

2

對于B,Sn=yn+^^x(-|)=-|n+yn,

,.FEN*,?,?當(dāng)九=5或幾=6時(shí)，S九取得最大值，B錯(cuò)誤；

對于C,由一^層+學(xué)^〉。得：0<九<11,vnEN*,n<10,C正確;

對于D,,.???=可-式?1-1)=一/+4,?,?由a“>0得:n<6.

則不等式廝>0的解集為｛1,2,3,4,5｝,為有限集，D錯(cuò)誤.

故選:C.

【變式4-1】4.(2023?全國?高三專題練習(xí))寫出同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的數(shù)列｛即｝的一個(gè)

通項(xiàng)公式an=.

①｛an｝是遞減數(shù)列；②對任意m,n￡N*,都有an+n=am+an.

【答案】—九(答案不唯一)

【分析】先猜想數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)性質(zhì)②得到首項(xiàng)與公差的關(guān)系，然后根據(jù)性

質(zhì)①得到答案.

【詳解】假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

由‘性②可得：+(巾4*TI—l)d—a[+(TH—l)d+a[+(/I—l)d,所以a1=d,

再根據(jù)①｛即｝是遞減數(shù)列，可知d<0,取d=-1,則由=d=-1,

此時(shí)an=ai+(n-l)d=-n,滿足題意.

故答案為：—加(答案不唯一)

【變式4-1】5.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛斯｝滿足:①VnCN*,an+1>ani;

②VneN*,an+1=tan(t為常數(shù))；③m“>0,使得an<M恒成立.則滿足條件的一個(gè)數(shù)

列｛即｝的通項(xiàng)公式為即=

【答案】—白（答案不唯一）

【分析】首先分析數(shù)列可知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,再結(jié)合有界性給出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【詳解】由①②知，數(shù)列｛即｝是遞增的等比數(shù)列，所以

［的>°，曲（?1<0.

lq>l取lO<q<l,

由③知，數(shù)列｛an｝有上界，顯然不合題意，

故

所以即=-e滿足題意.

故答案為：—七.

【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的定義以及數(shù)列的增減性.本題主要考查等比

數(shù)列的定義與性質(zhì)，考查考生的邏輯思維能力、創(chuàng)新能力.試題以組合型的條件為載體，引

導(dǎo)考生聯(lián)系所學(xué)的數(shù)列知識，得到數(shù)列的特征，從而寫出滿足條件的結(jié)果，充分體現(xiàn)對數(shù)學(xué)

探索、數(shù)學(xué)應(yīng)用學(xué)科素養(yǎng)的考查.

題型5最大項(xiàng)與最小項(xiàng)問題

確定數(shù)列中的最大（小）項(xiàng)方法:

⑺判斷數(shù)列的單調(diào)性，類比函數(shù)的性質(zhì)研究最大值、最小值.

注意：數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集"2…，"/這一條件.

（2）可以利用不等式組｛黑工；找到數(shù)列的最大項(xiàng);利用不等式組，an-12an,找到

,an<an+1,外土」

數(shù)列的最小項(xiàng).

【例題5】（2023?全國?高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列｛冊｝中，即=—11,。5=-3記〃=的口2…

an(n=1,2...),貝擻列{7\}()

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求出與，根據(jù)等差數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)符號得到數(shù)列打“｝的單調(diào)性，由此可求

得結(jié)果.

【詳解】解：依題意可得公差4=宣=芋=2,an=ai

+(n—l)d=-11+2n—2=2n—13r

所以當(dāng)nW6時(shí),an<0,當(dāng)nN7時(shí),an>0,

因?yàn)?\=-11<0,T2=-11X(-9)=99>0,T3=-11x(-9)X(-7)=-693<0,

T4=-11X(-9)X(-7)X(-5)=3465>0,Ts=3465X(-3)=-10395<0,

T6=-10395X(-1)=10395>0,

又當(dāng)?126時(shí)，7n=2a3a4a5a6…an>0,且鏟=°：：：,：：=an+i=2n—1121,即

Tn+1>Tn,所以當(dāng)幾26時(shí)，數(shù)列｛「?｝單調(diào)遞增，

所以數(shù)列｛〃｝無最大項(xiàng)，數(shù)列｛〃｝有最小項(xiàng)%=-10395.

故選：C

【變式5-1]1.(2022秋?陜西漢中?高三校考階段練習(xí))設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前疝頁和為又,

且滿足S2019>。，S2020<0,對任意正整數(shù)%都有@』2|依|,則k的值為

A.1009B.1010C.1011D.1012

【答案】B

【解析】結(jié)合前n項(xiàng)和公式：S2019=空空駟應(yīng),S2020=2竽陋％再利用等差數(shù)列的

性質(zhì)，@1+。2019=2。101(),。1+。2020=。1010+得到>1010>@10114。,分析即得

解.

【詳解】由等差數(shù)列｛a“｝,可得S2019=2019（a；+a2<H9）>0,S2020=空迎歿儂型2<Q

即：％+。2019>°，。1+&2020<°,可得：2aloio>O,aioio+aioii<0

???flioio>0,a10n<0,可得等差數(shù)列｛an｝為遞減數(shù)列.

又。1010+01011<。1,,laioiol<la1011l

故：對任意正整數(shù)%都有|叫2|瞅|,貝收的值為1010.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能

力，屬于中檔題.

【變式5-1】2.（多選）（2023?全國?高三專題練習(xí)）數(shù)歹史在｝滿足的=—2142=-12小+1

+%1_1=2斯-2022）,又是｛陶的前疝頁和，則下列說法正確的是（）

A.｛言｝是等差數(shù)列

2

B.an=—n+12n+32

C.。6是數(shù)列｛*的最大項(xiàng)

D.對于兩個(gè)正整數(shù)小、n（n>m）,Sn-S,n的最大值為10

【答案】ACD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，利用累加法及二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合廝與兀的關(guān)

系即可求解.

【詳解】A選項(xiàng)，由ctn+i+an_i=2斯—2,整理得an+i—an—（0n—a?_i）=—2,

故｛即—a.T｝是公差為-2的等差數(shù)列，首項(xiàng)a2—臼=9,

故冊—an-i=13—2n（n>2）,

由此可得an-1—an-2=15—2n,…,—a?=7g-dl=9,

2

累加得,an=-n+12n-32=(n-8)(4-n),

由此可得，念=4-71,

當(dāng)n=1時(shí),言=4-1,解得=-21.此式滿足CZ1,

故;5^一懸=4-0+1)-4+n=-l,

???｛言｝是等差數(shù)列，故A正確；

BC選項(xiàng)，因?yàn)閮?—n2+12n-32=(n—8)(4—n)=—(n—6)2+4,

故當(dāng)幾=6時(shí)，冊=-(n-6尸+4取得最大值，恁是數(shù)列｛冊｝的最大項(xiàng)，故B不正確，C正

確；

D選項(xiàng)，對于兩個(gè)正整數(shù)瓶、n(n>m),Sn-Sm=am+1+am+2+-+ani

由的.VU，2<。3<。4=0<。5V。6>。7>。8=0>。9>。10>>...i

故土-5?1=3+4+3=10時(shí)，Sn-S,n取得最大值，最大值為10,故D正確.

故選：ACD.

【變式5-1】3.(2022秋?北京?高三北師大二附中?？奸_學(xué)考試)在等差數(shù)列｛an｝中，其前

CCC

八項(xiàng)和是外,若Sg>0,Sio<0,則在中最大的是

A.JB.JC.JD.f2

%a5a9

【答案】C

【分析】由題意知。5>0,?6<0.由此可知￡>0,J>0,....^>0,J<0,...^<0,所以

由?5a6a9

在if，，…,滸最大的磷

【詳解】由于59=%等2=9。5>0,Si。=1。(。尸=5儂+。6)<0,

所以可得。5>0，。6Vo.

這樣1>0,—>0,—>0,生<0,…包<0,

J|丁即a2a5匕6。9'

而S]VS2V…VS5,…，曲>0,I

所以噴，年???,沙最大的是含

故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查等數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答.屬中檔題.

【變式5-1】4.（2022秋?安徽合肥?高三合肥一中校考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)

和為Sn.若52022>。，$2023<0,則數(shù)列｛|%｝的最小項(xiàng)是（）

A.第1011項(xiàng)B.第1012項(xiàng)C.第2022項(xiàng)D.第2023項(xiàng)

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式探討數(shù)列單調(diào)性，確定絕對值

最小的正負(fù)數(shù)項(xiàng)作答.

2023（a223）

【詳解】在等差數(shù)列｛斯｝中，S2023=V°=2023a1012<0,貝必如.<0

$2022=2°22（a；+a2OZ2）=?1012）>>—?1012>

1011（a10H+。，貝！

數(shù)列｛即｝的公差d=a10i2-aioii<0,即數(shù)列｛&J是遞減等差數(shù)列，

a<0,

當(dāng)nW1011時(shí)，an>0,數(shù)列｛|an|｝遞減，當(dāng)n21012時(shí)，n數(shù)列｛|廝|｝遞增，

a1011>—aW12=la1012l/

所以數(shù)列｛|即|｝的最小項(xiàng)是出。12|,即第1012項(xiàng).

故選：B

【變式5-1】5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和%="—10九0=1,2,

3,???）,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)歹［|｛71即｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是第

項(xiàng).

【答案】2n-ll;3

【詳解】數(shù)列｛冊｝的前拉頁和Sn=4—10n（n=l,2,3,數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列的通

項(xiàng)公式為。?=5?-5?-1=271-11,數(shù)列｛點(diǎn)斯｝的通項(xiàng)公式為nan=2/一11%其中數(shù)值最小

的項(xiàng)應(yīng)是最靠近對稱軸九=號的項(xiàng)，即n=3,第3項(xiàng)是數(shù)列⑺即｝中數(shù)值最小的項(xiàng).

題型6等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1

小F期重占

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和常用的性質(zhì)：

⑺等差數(shù)列的依次左項(xiàng)之和，sklS2k-Sk,S3LS2".組成公差為Nd的等差數(shù)列；

(2)數(shù)列是等差數(shù)列=5尸。/+加白，6為常數(shù))0數(shù)列F1為等差數(shù)列；

(3)若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為辦

WWWWWWWWWVWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWVWWWWWWWWWVWWWWWWWWWWWWWWV'i

【例題6】(2022?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，為數(shù)列｛即｝的前疝頁和,

+。2+的+。4=3,a17+aw+。19+420=5,則S2。=()

A.10B.15C.20D.40

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到520-S16，S16-S12,S12-S8lSs-S4&仍成等差數(shù)列，可設(shè)

出Sg—S4=3+%,S|2—Sg=3+2x,S16—Si2=3+3%,S20—S16=3+4x=5nx=—,

又因?yàn)镾20=S20—S16+S16—S12+S12—58+Sg—S4+S4,代入數(shù)值進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列,Sn為數(shù)列｛叫的前疝頁和，

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到：520—S16，S16—512用2—58,S8-S4S4仍成等差數(shù)列，

I己S4=+。2+。3+。4=3,T^Sg—S4=曲+。6+。7+。8=3+%,

S12—Sg=。9+。10++。12=3+2,X,S16—S12=。13+。14+。15+。16=3+3%,

$20-S16=。17+a18+。19+a20=3+4%=5=>X=

$20=5*20—Si6+Si6—Si2+Si2—S8+S8—S4+S4=15+10%,

計(jì)算可得到結(jié)果為：20.

故選：C.

【變式6-1】1.(2020?湖北宜昌統(tǒng)考二模)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:

"今有金第，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤.問次一尺各重幾何？"意思

是："現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細(xì).在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一

端截下1尺，重2斤.問依次每一尺各重多少斤？"假定該金杖被截成長度相等的若干段時(shí),

其重量從粗到細(xì)構(gòu)成等差數(shù)列.若將該金杖截成長度相等的20段，則中間兩段的重量和為

（）

A.折B.舞C.沂D.沂

【答案】C

【解析】把每段重量依次用心。=12…,20）表示，數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列性

質(zhì)可求解.

【詳解】把每段重量依次用心（i=1,2,…,20）表示，數(shù)列｛即｝是等差數(shù)列，

由題意Q黑熊曹;"短！2，兩式相加得的+⑦="（4+2）=/

3

=%+。20=2?

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是從實(shí)際問題抽象出等差數(shù)列，然后應(yīng)用等差

數(shù)列性質(zhì)解題即可.

【變式6-1】2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)目是等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，S10=16,

Sio?！?90=24,貝!JSioo=.

【答案】200

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前疝頁和性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列基本量的計(jì)算求出新等差數(shù)列的公差d,

最后根據(jù)等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式計(jì)算可得.

【詳解】依題意,510,$20—Sio,S30—$20,…,S100—590依次成等差數(shù)列，

設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.又Si。=16,Si。?！猄90=24,

o

因此Si。?！猄90=24=16+(10—l)d=16+9d,解得d=-f

所以Si。。=10S10+等d=10xl6+^x|=200.

故答案為：200

【變式6-1】3.(2022?河南洛陽?統(tǒng)考三模)有下列四個(gè)命題：其中真命題的序號

是.

①等差數(shù)列｛/J的前疝頁和為sn,若||=3,則■=,；②函數(shù)f(%)=sin2%+嘉Q力/OT,keZ)

的最小值4；③函數(shù)f(久)=In久在點(diǎn)(1,0)處的切線方程是x-y-1=0;④函數(shù)/(x)=Inx-1

的唯一零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)上.

【答案】①③④

【分析】對每一個(gè)命題逐一分析得解.

【詳解】①設(shè)S3=a,S6-3a,■-S6—S3-2a,S9=6a,S12-10a,=|,故該命題正確；

②設(shè)t=s譏2x,(0<tWl),g(t)=t+?,；.g，(t)=1一《<0,所以函數(shù)g(t)在(0,1]上單調(diào)

遞減，所以函數(shù)的最小值為g(1)=5,所以該命題是假命題.

=p'1-k=f(l)=1,???切線方程為y-0=x-1,所以該命題是真命題；

④/'3=3+9>0,所以函數(shù)在(1(2)上單調(diào)遞增，且f⑴=T/(2)=ln2-拉O,，

/(-1W)<0,所以函婁好(久)=In%-為勺唯一零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)上.故該命題是真命題.

故答案為①③④

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和零點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)幾

何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

【變式6-1]4.(2023春?湖北?高三湖北省咸寧高級中學(xué)校聯(lián)考期中)正項(xiàng)數(shù)列｛總的前n

項(xiàng)和為sn,且55=10,S10=50,若直線2:3久+4y+an_i+斯+1-3=o(neN*)與圓C：

(久一1)2+、2=34即>0)相切，貝后5=()

A.90B.70C.120D.100

【答案】C

【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心與半徑，由直線與圓相切可得2即=即_1+即+1,即可判斷

數(shù)列｛廝｝為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)即可求得S15的值.

__o

【詳解】圓C的圓心為(1,0),半徑r=gan,由直線z：3x+4y+a1+*1-3=o(neN*)

與圓相切得：

圓心(1,0)到直線珀勺距離d==丫=整理律―黑心=|a?,即2an=即一

+%l+1/

所以｛即｝為等差數(shù)列.

在等差數(shù)列｛斯｝中，S5,Si?！猄5,Si5—Si。成等差數(shù)列，

所以2(S1O—S5)=S5+S15—S10,則2x(50—10)=10+S15—50,gpS15=120.

故選：C.

【變式6-1】5.(2023?全國?高三專題練習(xí))北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、

中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第

一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次

也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，問：三層共有多少塊扇面形石板(不

含天心石)？

【答案】3402

【分析】設(shè)第n環(huán)石板的塊數(shù)為與，可知數(shù)列｛即｝為等差；根據(jù)等差數(shù)列片段和性質(zhì)可構(gòu)造

2

方程(S3n-s2n)-(S2n-Sn)=9n=729,由此求得明利用等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)第九環(huán)石板的塊數(shù)為an,第一層共有n環(huán)，則｛an｝是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差

數(shù)列，

an=9+9(n-1)=9n;

設(shè)的前疝頁和為方,則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為力,S2n-Sn,S3n-S2n,

???下層比中層多729塊，S3n-S2n=S2n-Sn+