常用邏輯用語(yǔ)（3大壓軸考法）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略（人教A版必修第一冊(cè)）

專題02常用邏輯用語(yǔ)

目錄

解題知識(shí)必備.................................

壓軸題型講練.............................................................2

題型一、充分必要條件的判斷及參數(shù)問(wèn)題..................................2

題型二、充要條件的證明..................................................6

題型三、常用邏輯用語(yǔ)與集合的綜合考查..................................7

壓軸能力測(cè)評(píng)（12題）..................................................11

說(shuō)明：試題或者解析中區(qū)間的概念說(shuō)明：設(shè)6是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且我們規(guī)定:

定義名稱符號(hào)

{xQ<X<閉區(qū)間[a,b]

{xa<x<b^開(kāi)區(qū)間(a,b)

{xa<x<半閉半開(kāi)區(qū)間[a,b)

{xa<x<b^半開(kāi)半閉區(qū)間(a,b]

”解題知識(shí)必備8

一、充分條件、必要條件、充要條件

1.定義

如果命題“若0,則q”為真（記作pnq）,則0是4的充分條件；同時(shí)q是P的必要條件.

2.從邏輯推理關(guān)系上看

①若pnq且q分夕，則?是q的充分不必要條件；

②若夕分q且qnp,則夕是q的必要不充分條件；

③若夕nq且qnp,則是q的的充要條件（也說(shuō)。和q等價(jià)）；

④若且q》?，則p不是g的充分條件，也不是q的必要條件.

注：對(duì)充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實(shí)質(zhì)：pnq,則0是q的充分條件，同時(shí)q是。

的必要條件.所謂“充分”是指只要p成立，q就成立；所謂“必要”是指要使得p成立，必須要q成立(即如果

q不成立，則p肯定不成立).

二、全稱量詞與存在童詞

1.全稱量詞與全稱量詞命題.短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表示.含

有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)"中的任意一個(gè)無(wú)，有夕(x)成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記為

ltVxeM,p(x)”,讀作”對(duì)任意x屬于M,有p(x)成立

2.存在量詞與存在量詞命題.短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)“在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)”表示.

含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在河中的一個(gè)玉,使夕(%)成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記為

-3x0eM,P(x0y\讀作“存在M中元素使M/)成立“(存在量詞命題也叫存在性命題).

三、含有一個(gè)量詞的命題的否定

1.全稱量詞命題P；\/XEM,P(X)的否定r?為期,r?g).

2.存在量詞命題p:3x0eM,p(x0)的否定「夕為Vxe.

常用結(jié)論

1.從集合與集合之間的關(guān)系上看：設(shè)幺={月夕(》)},8={劉式》)}.

(1)若2口8,則是g的充分條件(夕q),q是2的必要條件；若4冬旅，則0是q的充分不必要

條件，q是的必要不充分條件，即pnq且q令夕；

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小=>大”.

(2)若BjA,則p是q的必要條件，q是2的充分條件；

(3)若z=8,則2與q互為充要條件.

2.常見(jiàn)的一些詞語(yǔ)和它的否定詞如下表

原詞語(yǔ)等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)(<)(所有)有一個(gè)有一個(gè)

否定詞語(yǔ)不等于小于等于大于等于不是不都是某個(gè)至少有一個(gè)都

(<)(>)兩個(gè)沒(méi)有

(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x證明其成立，要判斷全稱量詞

命題為假命題，只要能舉出集合河中的一個(gè)X。，使得其不成立即可，這就是通常所說(shuō)的舉一個(gè)反例.

(2)要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合河中能找到一個(gè)/使之成立即可，否則這個(gè)存在量

詞命題就是假命題.

X壓軸題型講練2

【題型一充分必要條件的判斷及參數(shù)問(wèn)題】

一、單選題

1.（23-24高一上?廣西南寧?階段練習(xí)）已知P：-24x410,Q：1-m<x<l+m（m>0）,若P是9的必要

不充分條件，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.0<m<3B.0<m<3

C.m<3D.m<3

【答案】A

【分析】將p是9的必要不充分條件轉(zhuǎn)化為8A,然后根據(jù)集合間的包含關(guān)系列不等式求解即可.

【詳解】^A={x|-2<x<10j,B=^x\l-m<x<l+m^9

因?yàn)榧菏堑谋匾怀浞謼l件，所以5—A,

m>0

所以,1—加2—2,解得0〈加?3,

1+m<10

當(dāng)冽=3時(shí)，^={x|-2<x<4j,成立，

所以0<加?3.

故選：A.

2.（22-23高一上?河南新鄉(xiāng)?期末）"。="是"〃2+62+，=仍+兒+碇”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】化簡(jiǎn)已知條件，根據(jù)充分條件、必要條件的概念可得解.

【詳解】由+/+。2=M+bc+Qc,得-2"+/+〃一26。+。2+。2-2。。+。2=0,

即（a—bp+（6—op+（c—=0,貝〃二6二c,

所以“a=6”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac"的必要不充分條件.

故選:A

3.（2024高三上?全國(guó)?競(jìng)賽）設(shè)a,6eR,集合/={a,/+1}/=,廳+1}.則"/=夕，是“a=6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

【答案】C

【分析】利用集合相等的定義得到關(guān)于6的方程組，推得充分性成立；再簡(jiǎn)單證得必要性也成立即可得

解.

【詳解】因?yàn)?={。,/+1},8={d〃+1},

“?r一["6[a=b2+1

當(dāng)4=8時(shí)，則有21尸J或21[，

[az+l=bz+l[a2+l=b

[a=b

若{21“2J顯然解得〃=b；

[a+1=/7+1

若]；2寸：：，則電+）+1=人整理得僅2-6+1）伊+6+2）=。，

因?yàn)?+l=U+|>0,〃+6+2=,+；1+]>0，

所以電-6+D電+6+2）=o無(wú)解;

綜上，a=b,即充分性成立；

當(dāng)。=6時(shí)，顯然/=8,即必要性成立；

所以“/=8”是“a=b”的充分必要條件.

故選：C.

4.（23-24高一上?安徽安慶?階段練習(xí)）對(duì)于VxeR,用[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如：[可=3,[-2』=-3,

則“團(tuán)>3”是“X*”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)取整函數(shù)的定義，對(duì)兩個(gè)條件進(jìn)行正反推理，即可求解.

【詳解】當(dāng)x>7時(shí)，如x=3.2,y=3.1,不能得到3>3]，

由3>3,則3>北口],又無(wú)2區(qū),所以一定能得到x>y,

所以“3>3”是“x>尸喊立的充分不必要條件.

故選：A.

二、填空題

5.（23-24高一上?遼寧?階段練習(xí)）已知條件「P：-3Vx<0,條件且9是〃的充分不必要條件,

則。的取值范圍是.

【答案】（-%-3].

【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義及命題的否定形式計(jì)算參數(shù)范圍即可.

【詳解】由題設(shè)得。:累>。或xV-3,設(shè)尸={小20或xW-3},

同理可得0：xSa,設(shè)。={x|x<a},

因?yàn)閝是P的充分不必要條件，所以0QP,因此。3-3.

故答案為：（-%-3].

6.（23-24高一上?遼寧阜新?階段練習(xí)）若。，b都是實(shí)數(shù)，試從①成=0；②。+6=0；③。（。2+〃）=0；

④的>0中選出滿足下列條件的式子，用序號(hào)填空：

（1）使。，b都不為0的充分條件是.

（2）使。，6至少有一個(gè)為0的充要條件是.

【答案】@①

【分析】分別求出條件①②③④的充要條件，然后由充分條件、充要條件的定義即可求解.

【詳解】由題意有：①a6=0oa=0或6=0,即。，6至少有一個(gè)為0；

②a+6=0oa,6互為相反數(shù)，則“，6可能均為0,也可能為一正數(shù)一負(fù)數(shù)；

③+62）=0oa=0,6為任意實(shí)數(shù)或。，b均為0；

_「Q>01Q<0

④口〉0。或即b都不為0.

[6>0[6<0

綜上可知：（1）使a,b都不為0的充分條件是④；（2）使a,b至少有一個(gè)為0的充要條件是①.

故答案為：④；①.

7.（23-24高三上?安徽合肥?階段練習(xí)）給出如下三個(gè)條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請(qǐng)從中選

擇補(bǔ)充到下面橫線上.

已知集合尸={x|-l4x45},S={x\2-m<x<3+2m],存在實(shí)數(shù)m使得“xe尸”是"xeS”的條件.

【答案】②，③

【分析】分別根據(jù)充要條件及充分不必要條件，必要不充分條件計(jì)算求解即可.

【詳解】①“xeP”是“xeS”的充要條件，貝!）2-加=-1,3+2m=5,此方程無(wú)解，故不存在實(shí)數(shù)加，則不

符合題意；

②"無(wú)e尸"是"xeS"的充分不必要條件時(shí)，2-加4-1,3+2m>5,2-m<3+2m；解得加23,符合題意；

③“無(wú)?尸”是“xeS”的必要不充分條件時(shí)，當(dāng)S=0,2-m>3+2m,得，"<；；

當(dāng)S*0,需滿足2-加43+2機(jī),2-m>-1,3+2m<5,解集為一;V%Vl；

綜上所述，實(shí)數(shù)”的取值范圍-/機(jī)<；.

故答案為：②，③.

8.（23-24高一上?廣東佛山?階段練習(xí)）已知集合/={xeZ|點(diǎn)（尤不在第一、三象限},集合

3T小4/<3},若“”8”是“ye/”的必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】。<"3

【分析】由必要條件得/=進(jìn)而有A可能為{1},{2},{1,2},結(jié)合集合A的描述列不等式組求對(duì)應(yīng)x

范圍，根據(jù)可能集合情況確定參數(shù)范圍即可.

【詳解】由“"2"是"e/，，的必要條件，即

由A中元素為整數(shù)，故A只可能為{1},{2},{1,2},

fx-1>0[x-1<0fx>l_[x<1

由點(diǎn)不在第一、三象限，得：^或、〃，即,①或、②，

[x-tz<0[x<a[x>a

當(dāng)a<1時(shí)，①無(wú)解，由②得aWxWl,

此時(shí)4={XEZ|QWxWl},故/={1},有0<avl；

當(dāng)時(shí)，由①②得IKxKa,

此時(shí)4={XEZ|1WxWa},因lw4,只須3e4,有l(wèi)?a<3；

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是何0<。<3}.

故答案為：。<。<3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由必要條件確定集合A的可能情況，根據(jù)其描述求集合A中元素的范圍，再綜合所

得考慮參數(shù)范圍.

【題型二充要條件的證明】

一、解答題

1.(23-24高一上?廣東珠海?階段練習(xí))設(shè)a,b,ceR,求證：關(guān)于x的方程"?+/+c=0有一個(gè)根為一1

的充要條件是a-6+c=0.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】先證明充分性，即由a-6+c=0,得x=-l是方程a/+6x+c=0的一個(gè)根；再證必要性，由產(chǎn)-1

是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，得a-6+c=0.

【詳解】證明：①充分性：即證明關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的系數(shù)滿足"6+c=0=>方程有一個(gè)根為一

1;

由〃-6+。=0,得/?=。+。，

代入方程得a*+(a+c)x+c=O,得入x+c)(x+l)=O,

所以，％=-1是方程a/+fcv+c=0的一個(gè)根.

②必要性：即證明若％=-1是方程辦2+及+o=0的根=>"6+。=0;

將--1代入方程a/+fcv+c=0,即有a-b+c=0.

綜上由①②可知，故關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為一1的充要條件是a-6+c=0.

2.(22-23高一上?陜西寶雞?階段練習(xí))己知ab^O,求證：a3+b3+ab-a2-b2=Q^a+b=l^^

件.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】先由/+〃+。6-42_./=o推得6=1,再由a+b=1推得/+6,+“8-a?_/=0,即可得證.

【詳解】設(shè)夕：〃3+63+〃6_〃2_62=0,q：a+b=1,

先證充分性5=>q):

,**/+/J，+cib—Q?—b2—0,

??.(Q+6)(Q2-Q6+A2)_(Q2一"+⑹=0,即(Q2一仍+/)(4+6-1)=0,

vab^O,a2-ab+b2={a--b\+—b2>0,

I2J4

?*?a+b-l=O9即a+6=l；

再證必要性(9=P)：

ya+b=lf

??b—\—cif

.'.a3+b'+ab—a~—b~=a3+(1—a)+a(l——a~—(1—tz)=a3+1—3a+3tz2—a3+a—a2—a2—].+2a—a2=0;

綜上：/-〃=0是a+6=1的充要條件.

3.(22-23高一上?廣東揭陽(yáng)?階段練習(xí))求證：方程ax2+2x+l=0有且只有一個(gè)負(fù)數(shù)根的充要條件為a<0

或a=1.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可證得結(jié)論成立.

【詳解】證明：必要性：若方程依2+2》+1=0有且只有一個(gè)負(fù)數(shù)根，

當(dāng)。=0時(shí)，方程為2x+l=0,解得工=-；，合乎題意；

若a<0時(shí)，A=4—4Q〉0,設(shè)方程辦z+2工+1=。的兩根分別為多、X?,貝！|石々='<0，

a

此時(shí)方程辦2+2x+1=0有且只有一個(gè)負(fù)數(shù)根；

當(dāng)a>0時(shí)，貝可得0<a41,

玉%2>0

設(shè)方程"2+2》+1=0的兩根分別為占、x2,貝！)°J,

再+%=<0

a

則X]、入2均為負(fù)數(shù)，由題意可知A=0，可得。=1.

所以，“方程辦2+2x+1=0有且只有一個(gè)負(fù)數(shù)根”=或。=1"；

充分性：當(dāng)。=0時(shí)，原方程變?yōu)?x+l=0,解得x=-g,原方程只有一個(gè)負(fù)根；

當(dāng)。=1時(shí)，方程為f+2x+l=0,解得x=7,原方程只有一個(gè)負(fù)根；

當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)于原方程，A=4-4a>0,此時(shí)方程ax?+2x+l=0有兩根，設(shè)為不、X2,

則國(guó)羽=1<0,此時(shí)方程◎?+2x+l=0有且只有一個(gè)負(fù)數(shù)根.

a

所以，“方程辦2+2x+1=0有且只有一個(gè)負(fù)數(shù)根”u“aV0或a=1

綜上所述，方程辦2+2x+1=0有且只有一個(gè)負(fù)數(shù)根的充要條件為a<0或a=1.

【題型三常用邏輯用語(yǔ)與集合的綜合考查】

一、解答題

1.(24-25高一上?上海?單元測(cè)試)已知命題p：xW-2或xN10,命題q：xVl-a或+a,若〃是9的充分

非必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】[0,3].

【分析】利用P是9的充分非必要條件得到集合間的關(guān)系，進(jìn)而得到關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式組，解不等式即

可.

【詳解】解：因?yàn)椤ㄊ?的充分非必要條件，

所以{x[x<-2^x>10}^{x|x<\-a^x>\+a]的真子集，

\-a>-21-a>-2

所以l+a<10或(l+〃W10解得0Wa?3.

l+a>\+al+a>l+a

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是[0,3].

2.(23-24高一上?江蘇徐州?期末)已知集合/={x|x2-5x+6=。},8={x|ax+l=0}.

(1)求A的真子集；

(2)若,求實(shí)數(shù)。的取值集合.

從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，并進(jìn)行解答.

①“xeB”是“xe/”的充分條件；@AuB=A.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴0,{2},{3}

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)先求出集合A,再根據(jù)真子集的定義即可得解；

(2)選①，由是“xe/”的充分條件，可得8。/,再分。=0,。*0兩種情況討論即可.

選②，由=可得8g/,再分。=0,。片0兩種情況討論即可.

【詳解】⑴/={x產(chǎn)-5X+6=0}={2,3},

所以集合A的真子集有0,{2},{3}；

(2)選①，因?yàn)椤皒eB”是“xe/”的充分條件，

所以8。4,

當(dāng)a=0時(shí)，B=0,符合題意，

當(dāng)awO時(shí)，B=xQX+1=0

因?yàn)?=/,所以-1=2或-1=3,所以a=-（或a=-：,

aa23

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值集合為卜

選②，因?yàn)?所以504,

當(dāng)。=0時(shí)，5=0,符合題意，

當(dāng)aw0時(shí)，8={x|ax+l=0}=1--j,

因?yàn)?=4,所以一工=2或一L=3,所以或q=_J,

aa23

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值集合為卜;

3.（23-24高一上?江西贛州?期末）已知集合尸={x|a-lVxVa+l},Q=（x]-2<x<5}.

⑴若a=3,求（。尸）Pl。；

（2）若,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

請(qǐng)從①②③中選取一個(gè)作為條件補(bǔ)充到上面的橫線處，解答相應(yīng)問(wèn)題.

①尸口。=。；②"無(wú)?尸”是“xeQ”充分不必要條件；③尸口。=0.

【答案】⑴（曾）口。="|-2"<2或4K5}

（2）分類討論，答案見(jiàn)解析.

【分析】（1）借助集合交并補(bǔ)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可得；

（2）選①可得Pa。，結(jié)合子集性質(zhì)即可得；選②可得戶口0,結(jié)合真子集性質(zhì)即可得；選③可得”+1<-2

或。-1>5,計(jì)算即可得.

【詳解】（1）當(dāng)。=3時(shí)，P={x|2<x<4},

則1尸={》|了（2或無(wú)>4},

由于°={x|_2VxW5},因此尸）門(mén)0=*|_24X<2或4<彳45}；

（2）因?yàn)?1<1,所以尸中0,

若選?、伲阂?yàn)槭?=。，所以尸1。，

[a—1之—2

所以K，解得-l?a?4,

kz+l<5

即。的取值范圍是[T,4].

若選?、冢河伞皒eP*”是“xeQ”的充分不必要條件,

可得尸口。，

r(2-1>-2r(2-1>-2

則1<或…，

[a+l<5[tz+l<5

解得W4,

即。的取值范圍是[7,4].

若選?、郏阂?yàn)槭琻o=0,

所以。+1<-2或。-1>5,解得a<-3或a>6,

即。的取值范圍是(-4-3)"6,+功.

4.(23-24高一上?遼寧葫蘆島?期末)己知集合力={x|f-4x72=0},集合8=卜g-1=0},集合

C=[x\l-m<x<l+m^,且=

(1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合；

⑵若。=-;，工4/口⑷是xeC的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴4

(2){m\m>3}

【分析】(1)先求出集合A,然后根據(jù)=/得到3右/,由此分析集合8并求解出。的值，則結(jié)果可

知；

(2)先求解出/C8,然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“{-2}是C的真子集”，由此列出關(guān)于加的不等式，則結(jié)果可求.

【詳解】⑴因?yàn)?=10-4X-12=0}={-2,6},

由=知3=/,則8=0或{-2}或{6},

當(dāng)3=0時(shí)，所以。=0,

當(dāng)8=卜2}時(shí)，所以_2a_l=0na=_；,

當(dāng)3={6}時(shí)，所以6a-l=0=a=L

6

所以0的取值集合為卜,

(2)由題意得，8={-2},故/口2={-2},

又xepClB)是xeC的充分不必要條件，

所以{-2}是C的真子集，于是1-機(jī)4-2?1+機(jī)，

解得：?>3,經(jīng)檢驗(yàn)符合條件，

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是伽帆23}.

5.(23-24高一上?北京?期中)已知集合S“={1,2,3,…,2"}(〃eN*,〃N4),對(duì)于集合S“的非空子集A,若S“

中存在三個(gè)互不相同的元素。,4c,使得"+"力+c,c+。均屬于A,則稱集合A是集合S’的“期待子集”.

⑴試判斷集合4={3,4,5},4={3,5,7}是否為集合其的“期待子集”；(直接寫(xiě)出答案，不必說(shuō)明理由)

(2)如果一個(gè)集合中含有三個(gè)元素x/，z,同時(shí)滿足①@x+y>z,③x+y+z為偶數(shù).那么稱該集

合具有性質(zhì)戶.對(duì)于集合S“的非空子集A,證明：集合A是集合S”的“期待子集”的充要條件是集合A具有性

質(zhì)P.

【答案】(1)4是集合$4的“期待子集”，4不是集合邑的“期待子集”

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)所給定義判斷即可.

(2)先證明必要性，再證明充分性，結(jié)合所給“期待子集”的定義及性質(zhì)尸的定義證明即可;

【詳解】(1)因?yàn)?4={1,2,3,4,5,6,7,8},

a+b=3a=2

對(duì)于集合4={3,4,5},令<6+c=4,

解得6=1,顯然leS”2GS4,3G54

c+a=5。二3

所以4是集合5的“期待子集”;

%+4=3

對(duì)于集合4={3,5,7},令，4+q=5,則jq+a+q=?,

q+q=7

因?yàn)椤读ι讇$4,即%+4+GCN*,故矛盾，所以4不是集合5的“期待子集，

(2)先證明必要性:

當(dāng)集合A是集合月的“期待子集，，時(shí)，由題意，存在互不相同的a,6,ceS“，使得a+6/+c,c+ae/,

不妨設(shè)a<6<c,令x=a+b,y=a+c,z=b+c,貝！Jx<y<z,即條件p中的①成立；

又x+y-z=(a+6)+(c+a)-(6+c)=2a>0,所以x+y>z,即條件P中的②成立；

因?yàn)閤+V+z=(a+6)+(c+a)+(b+c)=2(a+b+c),

所以x+V+z為偶數(shù)，即條件P中的③成立;

所以集合A滿足條件尸.

再證明充分性:

當(dāng)集合A滿足條件尸時(shí)，有存在羽滿足①x<"z,②x+"z,③x+y+z為偶數(shù),

、rx+y+z7x+y+zx+y+z

l己a=---------z,b=---------y,c=----------x,

222

由③得a,6,ceZ,由①得a<b<c<z,由②得

所以a,瓦ceS“，

因?yàn)閍+6=x,a+c-y,b+c=z,所以a+b,b+c,c+a均屬于A,

即集合A是集合S,的“期待子集”

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及集合新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義，結(jié)合相關(guān)的

其它知識(shí)，分類討論，進(jìn)行推理判斷解決.

”壓軸能力測(cè)評(píng)“

一、單選題

1.（23-24高一上?廣東深圳?階段練習(xí)）已知命題P：ab^O,命題9：a2+b2^0,則命題P是命題9的

（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用命題概念、充分條件、必要條件、充要條件、既不充分也不必要條件的定義分析運(yùn)算判斷即

可得解.

【詳解】已知命題P：abwO成立，則且6*0,故/+/〉。，

即命題夕：成立；

已知命題9：/十//。成立，貝1]a*0或6w0,比如a=0,6=1,貝!Jab=0,

即命題〃：a6Ho不一定成立；

綜上，命題〃是命題9的充分不必要條件.

故選：A.

2.（23-24高一上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知P是廠的充分條件，q是『的充分不必要條件，s是廠的必要

條件，p是5的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①「是?的必要不充分條件；②/是,的充分不必要條件；@q

是P的充分不必要條件；④s是鄉(xiāng)的充要條件.正確的命題序號(hào)是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【分析】根據(jù)題意以及充分條件和必要條件的定義確定〃q/，s之間的關(guān)系，然后逐一判斷命題①②③④

的正確性即可.

【詳解】因?yàn)椤ㄊ恰旱牡某浞謼l件，所以P因?yàn)?是『的充分不必要條件，所以40廠分4,

因?yàn)閟是，?的必要條件，所以廠ns.因?yàn)镻是s的必要條件，所以snp,

所以由P=rns,可得poros,

則「是。的充要條件，命題①錯(cuò)誤；

則「是S的充要條件，命題②錯(cuò)誤；

因?yàn)閝nr,r*q,所以4=P弁4,故9是P的充分不必要條件，命題③正確；

易得s#q,qns,所以s是P的必要不充分條件，命題④錯(cuò)誤，

故選：C.

3.（23-24高一上?上海閔行?階段練習(xí)）已知A是非空數(shù)集，如果對(duì)任意x,yeA,都有x+ye/,

孫e/,則稱A是封閉集.給出兩個(gè)命題：命題若非空集合4，4是封閉集，則4口4是封閉集；命題

q：若非空集合4，4是封閉集，且4c4*0,則4c4是封閉集.則（）

A.命題p真命題9真B.命題p真命題9假

C.命題p假命題9真D.命題p假命題9假

【答案】C

【分析】對(duì)命題〃舉反例4={刈x=2排=}，4="|》=3左,此2}說(shuō)明即可；對(duì)于命題9：設(shè)生此（4門(mén)4）,

由4,4是封閉集，可得。+6e（4c4）,a6e（4c4）,從而判斷為正確；

【詳解】對(duì)命題P：令4={x|x=2左左eZ},《={x|x=3Z丘Z},則集合是封閉集,

故4。4={…,T-2,0,2,3,4,6,…},

但-2+3=1任4U4,故4口4不是封閉集，故命題。假；

對(duì)于命題9:設(shè)凡6e（4c4）,則有又因?yàn)榧?是封閉集，

所以a+bw4Mb￡4,

同理可得。+b￡A2,abeA2,

所以a+be（4nA2）,abe（4ny42）,

所以4c4是封閉集，故命題鄉(xiāng)真；

故選:c

二、多選題

4.（23-24高一上?安徽阜陽(yáng)?期中）下列說(shuō)法正確的是（）.

A.HxwR,x2-2x+1=0

B.VxeR,都有/>/

C.設(shè)x/wR,則“xN2且二2”是“f+y2I，，的必要不充分條件

D.設(shè)a,6eR,則“"0”是“曲力0”的必要不充分條件

【答案】AD

【分析】根據(jù)特稱命題真假判斷判斷A；全稱命題真假判斷和特殊值判斷B；根據(jù)充分條件和必要條件的

定義判斷C、D.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)x=l時(shí)，無(wú)2-2x+1=0,故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)x=-l時(shí)，此時(shí)/<一,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,xZ2且*2則/"I",則貝！2且>22能推出“f+/“,,，

反之，當(dāng)一+,24時(shí)，例x=0,V=3符合要求，不能推出x22且>22,

故“x22且”2，，是“X2+/>4”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,abW0等價(jià)于aW0且6W0,所以a片0不能推出abW0,

反之a(chǎn)bwO能推出。*0,故“a*0"是""NO"的必要不充分條件，故D正確，

故選：AD.

5.（22-23高一上?黑龍江大慶?階段練習(xí)）有限集合S中元素的個(gè)數(shù)記作即力（5）,設(shè)/,8都為有限集合,

下列命題中是假命題的是（）

A.Nc8=0的充要條件是“card（/U8）=card（N）+can/（5）”

B.“4=5”的充要條件是“card（/）4card（8）”

C."/g8”的必要不充分條件是“card（4）<card（B）-l”

D."4=8”的充要條件是“的力（⑷=card⑶"

【答案】BCD

【分析】A.由/C8=0得到集合A,B沒(méi)有公共元素判斷；B.由/右8得到集合A的元素都是集合B中

的元素判斷；C.由/=3包含4=8判斷；D.由/=8得到集合A的元素與集合B中的元素和個(gè)數(shù)都相同判

斷.

【詳解】A./c8=0即集合A,B沒(méi)有公共元素，故正確；

B.4=2即集合A的元素都是集合B中的元素，則的0（4）4can/（8）,反之由元素個(gè)數(shù)不能判斷/。2,

故錯(cuò)誤；

C.4=8包含/=8,故錯(cuò)誤；

D.4=8即集合A的元素與集合B中的元素和個(gè)數(shù)都相同，但個(gè)數(shù)相同，元素不一定相同，故錯(cuò)誤，

故選：BCD

三、填空題

6.（23-24高一上?天津紅橋?期中）已知p:lVx<4,q:x<a,若〃是4的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是.

【答案】［4,+8）

【分析】根據(jù)充分不必要條件定義轉(zhuǎn)換為集合真包含關(guān)系求解即可.

【詳解】設(shè)集合6{x「Wx<4},集合8={x|x<a},

因?yàn)镻是q的充分不必要條件，

所以AB,

即a24.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4,+8）

故答案為：[4,+8）.

7.（23-24高一上?湖北孝感?階段練習(xí)）已知48=。，則“/口8=/”是的條件（從“充

分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中選擇一個(gè)作答）.

【答案】充要

【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系及充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系.

【詳解】由=則故卻臺(tái)口二/，充分性成立；

由則/。凡故/口8=/,必要性成立；

所以“/n8=n”是“q乃c”的充要條件.

故答案為：充要

8.（22-23高一上?河北石家莊?階段練習(xí)）已知命題。:關(guān)于x的方程X?-4x+a=0有實(shí)根，若力為真命題

的充分不必要條件為a>3加+1,則加的取值范圍是.

【答案】加>1

【分析】先由〃為假命題得出。的范圍，再根據(jù)。>3加+1是〃為假命題的充分不必要條件列出關(guān)于加的不

等式解之即可.

【詳解】由方程有實(shí)數(shù)根可得△=16-4°20,即a<4,

“為真命題，即。為假命題，

所以。>4,

根據(jù)a>3〃?+1是"為假命題的充分不必要條件，所以3根+1>4,解得，〃>1,

即實(shí)數(shù)加的取值范圍為（1,+8）.

故答案為：m>l

四、解答題

9.（23-24高一上?云南德宏?期末）設(shè)集合/={x|加-3<:?V7n+3,meR},集合B={x|x<2或x>6}.

（1）當(dāng)機(jī)=2時(shí)，求4cB,AuB；

⑵設(shè)命題P：xeN,命題若p是4的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】（l）/c8={x[T<x<2},/U3={x|x<5或x>6}

⑵（-8,-l]U[9,+8）

【分析】（1）根據(jù)交集、并集的知識(shí)求得正確答案.

（2）根據(jù)充分不必要條件列不等式，由此求得加的取值范圍.

【詳解】（1）當(dāng)加=2時(shí)，J={x|-l<x<5}；

所以/cB={x|-l<x<2},AV\B={x\x<5^x>6}.

（2）若P是9的充分不必要條件，則A是3的真子集；

加+342或加-3當(dāng)6,解得：m<~l^m>9,

所以，實(shí)數(shù)加的取值范圍是（-8,-l]U[9,+8）.

10.（23-24高一上?廣東深圳?期中）（1）已知命題〃:*eR,丘2+丘-220,當(dāng)命題。為假命題時(shí)，求實(shí)數(shù)上

的取值范圍；

（2）已知。，6是實(shí)數(shù)，求證：=1成立的充要條件是=1.

【答案】（1）-8〈后V0；（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由題設(shè)VxeR&2+履-2<0為真命題，討論左=0、左*0求參數(shù)范圍；

（2）根據(jù)充分、必要性定義，應(yīng)用因式分解判斷條件間的推出關(guān)系，即可證.

【詳解】（1）由題設(shè)，命題〃的否定為真命題，命題〃的否定為VxeR,fcr2+依-2<0,

當(dāng)左=0時(shí)，-2<0成立，

%<0

當(dāng)心0時(shí)，可得r+8左<0,解得一8〈左<0,

綜上所述，-8<30；

（2）先證充分性:

若力一〃=1,貝！|，一/-2/=-/-2b2=/+/-2〃=/一/=1成立，充分性成立；

再證必要性：

若/一/-2〃=1,貝!]。4-/-2〃一1=0,即僅4+262+1）=0,

.?./_伊+）=0,即（/+62+]）（/-62-1）=0,又力+〃+1.0,

22

a-b-l=0,即/一％2=i成立，必要性成立；

綜上：。4-）一2"=1成立的充要條件是