導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義（人教A版選擇性必修第一、二冊(cè)）

第22講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

【人教A版2019】

目錄

r模塊一：導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題

一模塊二：導(dǎo)數(shù)中的不等式問題

夯基?基礎(chǔ)知識(shí)梳理

j模塊三：導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題

J模塊四：導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用

題型1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)（方程根）

題型2利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題型3利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

題型4利用導(dǎo)數(shù)研究存在性問題

題型5利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

題型6導(dǎo)數(shù)中的新定義問題

題型7導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

課后提升練（19題）

模塊一飛、導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題

??知識(shí)梳理

1.導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）主要有兩種方法:

（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/U）的最值，轉(zhuǎn)化為圖象與x軸的交點(diǎn)問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.

（2）分離參變量，即由兀0=0分離參變量，得a=g（x）,研究y=a與尸g（x）圖象的交點(diǎn)問題.

2.與函數(shù)零點(diǎn)（方程根）有關(guān)的參數(shù)范圍問題的解題策略

與函數(shù)零點(diǎn)（方程根）有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特

殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況.

A題型歸納

【題型1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)(方程根)】

「e%%>—1

【例1.1X23-24高二下?湖南益陽?期中)已知函數(shù)/(%)=J(X)(x)—x+a,

Iin\x)fx

若g(%)存在3個(gè)零點(diǎn)，則〃的取值范圍是()

A.B.(1,|+1)C.[-|-1,-1]D.[一：一1,一1)

〈0)

inxf]、，若關(guān)于x的方程產(chǎn)⑺—(a+l)/(>)+a=

0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

C(*)

【變式1.1](23-24高二下?四川遂寧?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=x3+2ax2+bx+a-1在刀=-1處取得

極值0，其中a,beR.

⑴求a,6的值;

(2)當(dāng)尤G[-1,2]時(shí)，方程/(久)=k有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【變式1.2](2024?湖南郴州"模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(久)=2alnx+}/一缶+2)久，其中a為常數(shù).

(1)當(dāng)a>0時(shí)，試討論“X)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)與，久2，

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：/+久2>4.

模塊二N導(dǎo)數(shù)中的不等式問題。|

?知識(shí)梳理

i.導(dǎo)數(shù)中的不等式證明

(1)一般地，要證/(x)>g(x)在區(qū)間(。，6)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)—x)=/U)—g(x),通過分析F(x)在端點(diǎn)

處的函數(shù)值來證明不等式.若尸(a)=0,只需證明尸(x)在(a,6)上單調(diào)遞增即可；若F(b)=O,只需證明尸(x)

在(a,6)上單調(diào)遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題.

2.導(dǎo)數(shù)中的不等式恒成立、存在性問題

解決不等式恒(能)成立問題有兩種思路：

(1)分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另

一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題.

(2)分類討論法解決恒(能)成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分

類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進(jìn)行求解即可.

?題型歸納

【題型2利用導(dǎo)數(shù)證明不等式】

【例2.1](24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)/(%)=(%—1)(%+2alnx—In2%—1).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，證明：/(%)存在唯一零點(diǎn)；

(2)當(dāng)a之ln2—1時(shí),證明：/(%)>0.

【例2.2】(24-25高三上?全國?階段練習(xí))已知函數(shù)f(%)=ex+x2—(ax+1),xER的圖象在％=0處的切

線方程為y=—x.

(1)求a的值；

(2)證明:/(%)>%2-1.

【變式2.11(24-25高三上?貴州貴陽?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=-#，+4於-ax/O)有兩個(gè)極值點(diǎn)判,久2.

(1)求a的取值范圍；

(2)iIE明：ci—(a—l)lna—2Vo.

【變式2.2](24-25高三上?內(nèi)蒙古包頭?開學(xué)考試)設(shè)函數(shù)/(%)=

(1)證明：/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)；

⑵記尸⑺是/(久)的導(dǎo)數(shù)，久1，亞為/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：/(包詈)>-1.

【題型3利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題】

【例3.1](24-25高三上?安徽六安?階段練習(xí))對(duì)于％E(0,+oo),不等式e%-ln(mx)+(1-m)x>0恒成

立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.0<m<1B.0<m<1C.0<m<eD.0<m<e

【例3.2](2024.陜西銅川.模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=亍一ln(x-1)一Ina+1,若/(%)20對(duì)任意的工￡

。+8)恒成立，貝南的取值范圍是()

A.(0,Ve]B.(0,e]C.(0,el]D.(0,e2]

【變式3.11(24-25高三上?遼寧大連?期中)已知函數(shù)/(%)=%2+alnx—(a+2)%,g(x)=xlnx—x—a+1,

aER.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若f(%)+1>g(%)+aln%對(duì)任意%>1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式3.2](24-25高三上?北京?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(X)=Ta￡2—(2a+l)K+ln(x—l)+4.其中a>0.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=：時(shí).對(duì)于V%i，X2C(2,m],不等式f(久2)32/(%1)-[恒成立，求m的取值范圍.

【題型4利用導(dǎo)數(shù)研究存在性問題】

【例4.1](2024高三?全國?專題練習(xí))若故€(0,+8),使得不等式Inx-2ax+1N0成立，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是()

A.[―,+8)B.[1,+8)C.(-00,—]D.(-8,1]

【例4.21(23-24高三上?全國?階段練習(xí))已知函數(shù)/(久)=3x>0.若存在實(shí)數(shù)ae[0,1],使得f(1一小)<

a3-3a+工成立，則正實(shí)數(shù)小的取值范圍為()

e

A-&1]B.[”]

C.(0,1)D.(0,1]

【變式4.1](2024?四川樂山?三模)已知函數(shù)/'(x)+In%—ax2

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若存在%。€(1,+8),使得f(Xo)>O，求a的取值范圍.

【變式4.2](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=d—2aln%—2(aeR).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若不等式/(無)<2(lnx)2+x2-2x在區(qū)間(1,+8)上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

模塊三;、導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題

?知識(shí)梳理

1.導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題

導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題往往以雙參數(shù)不等式的形式呈現(xiàn)，要想解決雙變量問題，就需要掌握破解雙參數(shù)

不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由己知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

?題型歸納

【題型5利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題】

【例5.1】(23-24高三上?山東?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=e2x,,g(x)=%-1,對(duì)任意刈ER,存在冷6(0,+8),

使f(%i)=0(%2)，則久2-汽1的最小值為()

A.1B.V2

71

C.2+ln2D.-+-ln2

22

【例5.2](23-24高二下?四川眉山?階段練習(xí))已知函數(shù)f(%)=e%+a%有兩個(gè)零點(diǎn)%I,%且X1>%2，則下

列說法不正確的是()

A.a<—eB.%1+外>ln(%i%2)+2

C.>1D./(%)有極小值點(diǎn)

【變式5.1](23-24高二下.廣東揭陽?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(%)=ln%+%2—a%(aeR).

⑴當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%1/2，且%1e(0,1]，求/(%i)-/(&)的最小值.

【變式5.2](23-24高二下?江蘇鹽城?開學(xué)考試)已知函數(shù)f(%)=(x-l)e支+2a(x2+l)(aeR).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí).

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②求證：x1+x2<0.

【題型6導(dǎo)數(shù)中的新定義問題】

【例6.1](23-24高二下.江西萍鄉(xiāng)?期中)對(duì)于三次函數(shù)/(￡)=ax3+bx2+ex+d(a*0),給出定義：/'(%)

是y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，尸'(久)是尸(為的導(dǎo)函數(shù)，若方程r'(久)=0有實(shí)數(shù)解而，則稱點(diǎn)(久。/0。))為函數(shù)y=

/(x)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”

就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)或")=淖-#+3”*則g(募)+g(急)+…+g(翳)=()

A.2022B.2023C.2024D.2025

【例6.2)(23-24高二下?江蘇常州?期中)設(shè)/(%)定義在R上,若對(duì)任意實(shí)數(shù)3存在實(shí)數(shù)無?冷，使得止止幽=

f'(t)成立，則稱f(x)滿足“性質(zhì)T”，下列函數(shù)滿足“性質(zhì)T”的有()

A./(%)=x3—3xB./(%)=ex-1C./(x)=sin2xD./(%)=

【變式6.1](23-24高三下?重慶?期中)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的數(shù)與,冷，同時(shí)滿足/(/)=

/(右)，且/(x)在點(diǎn)(/,/(/)),(0"(久2))處的切線斜率相同，則稱/0)為“切合函數(shù)”

(1)證明:fix)Mx3-2x為“切合函數(shù)”；

(2)若g(x)=x\nx-x2+ax為“切合函數(shù)”，并設(shè)滿足條件的兩個(gè)數(shù)為萬],小-

(i)求證：xrx2<

2

(ii)求證：(a+1)X1X2-，久i久2<|-

【變式6.2］(24-25高三上?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí))若函數(shù)/(%)在［a,切上存在久1，久2(。＜久1＜血＜b)，使得

a

/'0)=八,/(右)=，則稱/0)是［a,6］上的“雙中值函數(shù)”，其中修,乂2稱為/0)在上的

7D—⑷CLu-CL*，()

中值點(diǎn).

⑴判斷函數(shù)/(久)=/_3/+1是否是［—1,3］上的“雙中值函數(shù)”，并說明理由；

(2)已知函數(shù)/(%)=|%2一xlnx-ax,存在＞n＞0,使得f(TH)=/(n),且f(%)是阿TH］上的“雙中值函數(shù)”,

xlfx2是f(%)在［九,租］上的中值點(diǎn).

①求a的取值范圍；

②證明：％i+%2＞a+2.

模塊四N導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。|

'-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

?知識(shí)梳理

1.導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用

(1)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，常常涉及用料最省、成本(費(fèi)用)最低、利潤最大、效率最高等問題，求解

時(shí)需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，抓主元，找主線，把“問題情境”翻譯為數(shù)學(xué)語言，抽象成數(shù)學(xué)問題，

再選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解，最后經(jīng)過檢驗(yàn)得到實(shí)際問題的解.

(2)解決優(yōu)化問題的方法并不單一，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值是解決這類問題的有效方法，有時(shí)與判別式、基本

不等式及二次函數(shù)的性質(zhì)等結(jié)合，多舉并用，達(dá)到最佳效果.

(3)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟

A題型歸納

【題型7導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用】

【例7.11（24-25高三上?重慶?開學(xué)考試）已知直角^的斜邊長為2,若沿其直角邊所在直線為軸，

在空間中旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓錐，則該圓錐體積的最大值為（）

A8A/3D4A/3「5遮「16A/3

A.——nB.——iiC.——TCD.-----ir

279927

【例7.2]（23-24高二下.吉林.期末）某蓮藕種植塘每年的固定成本是3萬元，每年最大規(guī)模的種植量是15

萬斤，每種植1斤蓮藕，成本增加1元，銷售額y（單位：萬元）與蓮藕種植量單位：萬斤）滿足y=-i%3+

6

3x2+x,要使銷售利潤最大，每年需種植蓮藕（）

A.12萬斤B.10萬斤C.8萬斤D.6萬斤

【變式7.1]（23-24高一上.上海.期末）學(xué)校要建造一個(gè)面積為10000平方米的運(yùn)動(dòng)場.如圖，運(yùn)動(dòng)場由一

個(gè)矩形力BCD和分別以4D、BC為直徑的兩個(gè)半圓組成.跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運(yùn)動(dòng)場除跑道外，

其它地方均鋪設(shè)草皮.已知塑膠跑道每平方米造價(jià)為150元，草皮每平方米造價(jià)為30元.

（1）設(shè)半圓的半徑04=r（米），試建立塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系式S（r）；

（2）由于條件限制r6[30,40],問當(dāng)r取何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)場造價(jià)最低？（精確到元）.

【變式7.2]（23-24高三上?安徽?期中）南京玄武湖號(hào)稱“金陵明珠”，是我國僅存的皇家園林湖泊.在玄武

湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飄香，令人陶醉.夏天的一個(gè)傍晚，小胡和朋友游玄武湖，發(fā)現(xiàn)

觀賞荷花只能在岸邊，無法深入其中，影響觀賞荷花的樂趣，于是他便有了一個(gè)愿景：若在玄武湖一個(gè)盛

開荷花的一角（該處岸邊近似半圓形，如圖所示）設(shè)計(jì)一些棧道和一個(gè)觀景臺(tái)，觀景臺(tái)P在半圓形的中軸線

OC上（圖中。C與直徑2B垂直，P與O,C不重合），通過棧道把P4,PB,PC,AB連接起來，使人行在其中，猶

如置身花海之感.已知4B=200m,NP4B=8,棧道總長度為函數(shù)〃。).

⑴求/⑻；

(2)若棧道的造價(jià)為每米5萬元，試確定觀景臺(tái)P的位置，使實(shí)現(xiàn)該愿景的建造費(fèi)用最小(觀景臺(tái)的建造費(fèi)用

忽略不計(jì))，并求出實(shí)現(xiàn)該愿景的建造費(fèi)用的最小值.

A課麻棺(19題)

一、單選題

1.(24-25高三上?山西忻州?階段練習(xí))已知a>0,設(shè)函數(shù)/(x)=e2x+(2—a)x—Inx-Ina,若/'(x)>0在

(0,+8)上恒成立，則a的取值范圍是()

A.(0,|]B.(0,1]C.(0,e]D.(0,2e]

2.(23-24高二下.廣東廣州.期末)下列四個(gè)不等式①In%<%<ex,②e%T之％，③Inx>%—1,④x\nx>

%-1中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

3.(2024高三.全國.專題練習(xí))小李準(zhǔn)備向銀行貸款久(0<%<10)萬元全部用于某產(chǎn)品的加工與銷售，據(jù)

測算每年利潤y(單位：萬元)與貸款x滿足關(guān)系式y(tǒng)=lnx-%-?+9,要使年利潤最大，小李應(yīng)向銀行貸

款()

A.3萬元B.4萬元C.5萬元D.6萬元

4.(2024?安徽?模擬預(yù)測)給出定義：若函數(shù)/(%)在。上可導(dǎo)，即/(%)存在，且導(dǎo)函數(shù)r(%)在。上也可導(dǎo)，

則稱/(%)在。上存在二階導(dǎo)數(shù)，記/〃(%)=(/'(%))'.若/〃(%)<0在。上恒成立，則稱/(%)在。上為凸函數(shù).

以下四個(gè)函數(shù)在(0,9上不是是凸函數(shù)的是()

A./(%)=sin%+cosxB./(%)=Inx-2x

C.f（x）=—%3+2x—1D./（x）=—xe~x

5.（23-24高二下?廣東廣州?階段練習(xí)）己知函數(shù)/（x）=x\nx,若存在xG（0,+8）,使得/（無）<土詈匚成

立，則實(shí)數(shù)m的最小值是（）

A.-2B.-1C.-D.4

2

6.（23-24高三上.天津?期中）已知函數(shù)/（X）=J，<0,若函數(shù)y=/（x）-或有且只有3個(gè)零點(diǎn),

lln（x+1）,%>0

則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）

A.%B.I4C.(1,+8)D.I1

7.（23-24高二下?福建福州?期中）已知函數(shù)f（%）=（x-2）e%,若f(%1)=/(%2),且%1。X2>0,

則()

3

A.!B.%2C.%i%2>1D./+g<2

ex+l,x<1

8.（2024?山西太原?二模）已知函數(shù)/（%）=1，若方程/（%）-川％+2|=0恰有三個(gè)不

—%2+4%—1,%>

同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是（)

A.(0,8-2VT3)U(1,+OO)

B-(冷)

C.(|,8-2何U(1再

二、多選題

9.（24-25高三上?河南?階段練習(xí)）已知對(duì)任意%>0,不等式e*-ax3+2ax2\nx>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的

可能取值為（）

A.1B.-C.eD.e2

2

10.（24-25高三上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（X）=a%3一3x+1,則（）

A./（久）在單調(diào)遞減，則a