2017-2018學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2檢測第二章推理與證明能力深化提升

能力深化提升類型一合情推理【典例1】(1)在矩形ABCD中,對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α,β,則cos2α+cos2β=1,類比到空間中的一個(gè)正確命題是:在長方體ABCDA1B1C1D1中,對角線AC1與相鄰三個(gè)面所成的角為α,β,γ,則有________.(2)(2017·寧波高二檢測)兩點(diǎn)等分單位圓時(shí),有相應(yīng)正確關(guān)系為sinα+sin(π+α)=0;三點(diǎn)等分單位圓時(shí),有相應(yīng)正確關(guān)系為sinα+sinα+2π3+sinα【解析】(1)我們將平面中的二維性質(zhì),類比推斷到空間中的三維性質(zhì).由在長方形中,設(shè)一條對角線與其一頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α,β,則有cos2α+cos2β=1.我們根據(jù)長方形性質(zhì)可以類比推斷出空間性質(zhì),因?yàn)殚L方體ABCDA1B1C1D1中,對角線AC1與過點(diǎn)A的三個(gè)面ABCD,AA1B1B,AA1D1D所成的角分別為α,β,γ,所以cosα=ACAC1,cosβ=AB所以cos2α+cos2β+cos2γ=AC2+A答案:cos2α+cos2β+cos2γ=2(2)用兩點(diǎn)等分單位圓時(shí),關(guān)系為sinα+sin(π+α)=0,兩個(gè)角的正弦值之和為0,且第一個(gè)角為α,第二個(gè)角與第一個(gè)角的差為(π+α)α=π,用三點(diǎn)等分單位圓時(shí),關(guān)系為sinα+sinα+2π3+sinα+4π3=0,此時(shí)三個(gè)角的正弦值之和為0,且第一個(gè)角為α,第二個(gè)角與第一個(gè)角的差和第三個(gè)角與第二個(gè)角的差相等,即有α+以此類推,可得當(dāng)四點(diǎn)等分單位圓時(shí),此四個(gè)角正弦值之和為0,且第一個(gè)角為α,第二個(gè)角為2π4+α=π2+α,第三個(gè)角為π2+α+2π4=π+α,第四個(gè)角為π+α+即其關(guān)系為sinα+sinα+π2+sin(α+π答案:sinα+sinα+π2+sin(α+π【方法總結(jié)】歸納推理的特點(diǎn)及一般步驟【鞏固訓(xùn)練】三角形的面積為S=12(a+b+c)·A.V=13B.V=13C.V=13(S1+S2+S3+S4)·r(S1,S2,S3,S4D.V=13(ab+bc+ac)·【解析】選C.此題為平面幾何與立體幾何的類比,類比的知識(shí)有面積與體積,邊長與面積,圓與球.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2017·大慶高二檢測)類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì),可推出空間下列結(jié)論:①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行;②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行;③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行;④垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行.則正確的結(jié)論是()A.①② B.③④ C.②③ D.①④【解析】選C.①中兩直線也可能相交或異面,①錯(cuò)誤;④中兩平面也可能相交,④錯(cuò)誤,②③正確.類型二演繹推理【典例2】已知:sin230°+sin290°+sin2150°=32sin25°+sin265°+sin2125°=32通過觀察上述兩等式的規(guī)律,請你寫出一般性的命題:__________________________________________________________=32并給出(*)式的證明.【解析】一般形式:sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120°)=32證明:左邊=1-cos2α2+1-cos(2α+120°)2+1-cos(2α+240°)2=3212[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°)]=3212(cos2α+cos2αcos120°sin2αsin120=3212cos2α-所以原式得證.也可寫成【方法總結(jié)】演繹推理應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn)演繹推理是從一般到特殊的推理;其一般形式是三段論,應(yīng)用三段論解決問題時(shí),應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提,如果前提是顯然的,則可以省略.【鞏固訓(xùn)練】若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對于D上的幾個(gè)值x1,x2,…,xn總滿足1n[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤fx1+x2+…+x【解析】因?yàn)?n[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]fx1因?yàn)閒(x)=sinx在(0,π)上是凸函數(shù),(小前提)所以f(A)+f(B)+f(C)≤3fA+B+C即sinA+sinB+sinC≤3sinπ3=3所以sinA+sinB+sinC的最大值是33答案:3類型三綜合法與分析法【典例3】(1)已知a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù).求證:a2+b2+c2>abc(a+b+c(2)(2016·馬鞍山高二檢測)用分析法證明2cos(αβ)sin(2α-β)sinα=【證明】(1)因?yàn)閍2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,又因?yàn)閍,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù),所以上面三個(gè)式子中都不能取“=”,所以a2+b2+c2>ab+bc+ac,因?yàn)閍b+bc≥2ab2c,bc+ac≥2abc又a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù),所以ab+bc+ac>abc(a+b+c所以a2+b2+c2>abc(a+b+c(2)要證原等式成立,只需證:2cos(αβ)sinαsin(2αβ)=sinβ①.因?yàn)棰偈阶筮?2cos(αβ)sinαsin[(αβ)+α]=2cos(αβ)sinαsin(αβ)cosαcos(αβ)sinα=cos(αβ)sinαsin(αβ)cosα=sinβ=右邊,所以①成立,即原等式成立.【方法總結(jié)】綜合法和分析法的特點(diǎn)(1)綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法,也是解決數(shù)學(xué)問題的常用的方法,綜合法是由因?qū)Ч乃季S方式,而分析法的思路恰恰相反,它是執(zhí)果索因的思維方式.(2)分析法和綜合法是兩種思路相反的推理方法:分析法是倒溯,綜合法是順推,二者各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法容易探路,且探路與表述合一,缺點(diǎn)是表述易錯(cuò);綜合法條件清晰,易于表達(dá),因此對于難題常把二者交互運(yùn)用,互補(bǔ)優(yōu)缺,形成分析綜合法,其邏輯基礎(chǔ)是充分條件與必要條件.【鞏固訓(xùn)練】已知α∈(0,π),求證:2sin2α≤sinα【證明】方法一:(分析法)要證明2sin2α≤sinα只要證明4sinαcosα≤sinα因?yàn)棣痢?0,π),所以sinα>0.只要證明4cosα≤11-cosα上式可變形為4≤11-cosα+4(1cosα因?yàn)?cosα>0,所以11-cosα+4(1cosα)≥21當(dāng)且僅當(dāng)cosα=12,即α=π所以4≤11-cosα+4(1cosα所以不等式2sin2α≤sinα方法二:(綜合法)因?yàn)?1-cosα+4(1cosα)≥4,1cosα當(dāng)且僅當(dāng)cosα=12,即α=π所以4cosα≤11-cosα因?yàn)棣痢?0,π),所以sinα>0.4sinαcosα≤sinα所以2sin2α≤sinα【補(bǔ)償訓(xùn)練】試分別用分析法和綜合法證明:已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a【證明】分析法:①當(dāng)ac+bd≤0時(shí),顯然成立.②當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即證2abcd≤b2c2+a2d2.即證0≤(bcad)2,因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故原不等式成立,綜合①②知,原不等式得證.綜合法:因?yàn)?a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c22bcad+a2d2)=(ac+bd)2+(bcad)2≥(ac+bd)2,所以(a2+b類型四反證法【典例4】已知a3+b3=2,求證:a+b≤2.【證明】方法一:假設(shè)a+b>2,則a>2b,所以a3>(2b)3=812b+6b2b3,即a3+b3>812b+6b2.因?yàn)閍3+b3=2,所以812b+6b2<2,化簡得b22b+1<0,即(b1)2<0,這與(b1)2≥0矛盾,所以假設(shè)不成立,故當(dāng)a3+b3=2時(shí),a+b≤2.方法二:假設(shè)a+b>2,則a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)>2(a2ab+b2).因?yàn)閍3+b3=2,所以2>2(a2ab+b2),即a2ab+b2<1,所以1+ab>a2+b2≥2ab,從而ab<1,所以a2+b2<1+ab<2,故(a+b)2=a2+b2+2ab<2ab+2<4,即2<a+b<2,這與假設(shè)a+b>2矛盾,所以假設(shè)不成立,故當(dāng)a3+b3=2時(shí),a+b≤2.【方法總結(jié)】反證法的關(guān)注點(diǎn)(1)反證法的思維過程:否定結(jié)論?推理過程中引出矛盾?否定假設(shè)肯定結(jié)論,即否定——推理——否定(經(jīng)過正確的推理導(dǎo)致邏輯矛盾,從而達(dá)到新的“否定”(即肯定原命題)).(2)反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題;涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命題時(shí),也常用反證法.【鞏固訓(xùn)練】已知f(x)=x2+px+q.(1)求證:f(1)+f(3)2f(2)=2.(2)求證:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于12【證明】(1)f(1)+f(3)2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)2(4+2p+q)=2.(2)假設(shè)原命題不成立,則|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于12而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)2f(2)=2,這與|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2相矛盾,從而假設(shè)不成立,原命題成立,即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于12類型五數(shù)學(xué)歸納法【典例5】求證:1+n2≤1+12+13+…+1【證明】令f(n)=1+12+13+…+(1)當(dāng)n=1時(shí),f(1)=1+12(2)設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí),原式成立.即1+k2≤1+12+13+…+1當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=f(k)+12k+1+12k+2+…+12k+1≥1+k2+12k+1+12k+2f(k+1)=f(k)+12k+1+12k+2+…+12k+1≤12+k+12所以f(k+1)<12綜合(1),(2)可得:原式成立.【方法總結(jié)】在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ):找準(zhǔn)起點(diǎn),奠基要穩(wěn),有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定為1.(2)遞推是關(guān)鍵:正確分析由n=k到n=k+1時(shí)式子項(xiàng)數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障.(3)利用假設(shè)是核心:在第二步證明中一定要利用歸納假