八年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中必刷易錯60題（13個考點專練）解析版

期中真題必刷易錯60題（13個考點專練）

一.三角形的角平分線、中線和高（共3小題）

1.（2023秋?龍馬潭區(qū)校級期中）給出下列說法正確的是（）

A.三角形的角平分線是射線

B.三角形的高所在的直線交于一點，這一點不在三角形內(nèi)就在三角形外

C.三角形的頂點到對邊的距離是三角形的高

D.任何一個三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線

【分析】根據(jù)三角形的高、角平分線的概念、點到這條直線的距離的概念判斷即可.

【解答】解：A.三角形的角平分線是線段，故本小題說法錯誤；

B.三角形的高所在的直線交于一點，這一點在三角形內(nèi)或在三角形外或在三角形的一邊上，故本小題說法

錯誤；

C.從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高.故本小題說

法錯誤；

。.任何一個三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線，說法正確；

故選：D.

【點評】本題考查的是三角形的高、角平分線，熟記它們的概念是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?銅梁區(qū)校級期中）下列說法中，正確的是（）

A.三角形的三條高都在三角形內(nèi)

B.三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角

C.三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩個三角形

D.到三角形三邊距離相等的點是這個三角形三條邊的垂直平分線的交點

【分析】根據(jù)三角形的高的概念、三角形的外角性質(zhì)、三角形的中線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：A、銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)，鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，故本選項說法

錯誤，不符合題意；

3、三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角，故本選項說法錯誤，不符合題意；

C、三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩個三角形，說法正確，符合題意；

到三角形三邊距離相等的點是這個三角形三個內(nèi)角平分線的交點，故本選項說法錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷，掌握三角形的高的概念、三角形的外角性質(zhì)、三角形的中線的性質(zhì)、

角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?新和縣期中）在AABC中，AC=5cm,4）是AABC中線，若周長與AADC的周長相差

2cm,則54=3或7cm.

【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得3D=CD,然后依據(jù)AABD周長與AADC的周長相差2cm,代入數(shù)

據(jù)計算即可得解.

【解答】解：如圖，AD是AA5c中線，

BD=CD，

AABD周長—AADC的周長=（BA+BD+AD）-（AC+AD+CD）=BA-AC,

AABD周長與AADC的周長相差2cm,

.JBA-51=2,

解得BA=7或3.

故答案為：3或7.

【點評】本題考查了三角形的中線的定義，求出兩三角形的周長的差=|BA-AC|是解題關(guān)鍵.

二.三角形三邊關(guān)系（共3小題）

4.（2023秋?泗水縣期中）如圖所示，為估計池塘兩岸A、3間的距離，一位同學(xué)在池塘一側(cè)選取一點P,

測得上4=18m，PB=16m,那么A、3之間的距離不可能是（）

P

A.18/nB.26mC.30，"D.34/n

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，可得

18-16<AB<16+18,再計算即可得AB的范圍.

【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：18—16<AB<16+18,

即2<AB<34,

.1A、8之間的距離不可能是34,

故選：D.

【點評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩

邊的和.

5.（2023秋?隴西縣校級期中）若a、b、c是AABC的三邊的長，化簡|a+b-c|+1a-匕-c|=（

）

A.2bB.2aC.2a+2bD.2b+2c

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，來判定絕對值里

的式子的正負值，然后去絕對值進行計算即可.

【解答】解：.b、c是AABC的三邊長，

:.a+b—c>0,Q—b—c<0,

..|a+b—c|+1fl—b—c|=a+b—c+（b+c—ci）—2b.

故選：A.

【點評】此題主要考查學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的理解及運用能力.在運用三角形三邊關(guān)系判定

三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大

于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

6.（2023春?香坊區(qū)校級期中）下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（）

A.13,11,20B.3,7,10C.6,8,16D.3,3,7

【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊判斷即可.

【解答】解：A、13+11>20,

二長度為13,11,20的三根小木棒，能擺成三角形，本選項符合題意；

B、3+7=10,

二長度為3,7,10的三根小木棒，不能擺成三角形，本選項不符合題意；

C、6+8<16,

二長度為6,8,16的三根小木棒，不能擺成三角形，本選項不符合題意；

D、3+3<7,

二長度為3,3,7的三根小木棒，不能擺成三角形，本選項不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵.

三.三角形內(nèi)角和定理（共6小題）

7.（2023秋?下城區(qū)校級期中）在AABC中，N4=5O。，ZB,NC的角平分線相交于點O,則NBOC的度

數(shù)是（）

A.65°B.115°C.130°D.100°

【分析】首先利用三角形的內(nèi)角和求出NABC+NACB=130。，再根據(jù)NB,NC的角平分線相交于點O,求

出NEBC+NDCB得結(jié)果,再利用三角形的內(nèi)角和求出ZBOC的度數(shù).

【解答】解：ZA=50°,

ZABC+ZACB^130°,

ZB,NC的角平分線相交于點O,

NEBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

ZEBC+ZDCB=65°,

ZBOC=115°,

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義，掌握這兩個知識點的結(jié)合，求NEBC+ZDCB

是解題關(guān)鍵.

8.（2023秋?潮陽區(qū)期中）如圖，在A4BC中，ZA=30°,ZB=50°,將點A與點3分別沿"N和EF折疊，

使點A、3與點C重合，則NNCF的度數(shù)為（）

A.22°B.21°C.20°D.19°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NACB=100。，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，NACN=NA=30。，

ZFCE=ZB=50°,進而得NNCF=20°.

【解答】解：NA=30。，NB=50。，

ZACB=100°,

將點A與點3分別沿MN和所折疊，使點A、3與點C重合，

:.ZACN=ZA=30°,ZFCE=ZB=50°,

r.Z2VB=20°,

故選：c.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.（2023秋?瀘縣校級期中）如圖，在AABC中，4）和3E是角平分線，其交點為O,若N3QD=7O。，則

ZACB的度數(shù)為（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【分析】依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到==再根據(jù)角平分線的定義，即可得到

ZABC+ZBAC^140°,進而得出NC的度數(shù).

【解答】解：N3OD是AABO的外角，

ZABO+ZBAO=ZBOD=70°,

又-AD和BE是角平分線，

ZABC+ABAC=2（ZABO+NBAO）=2x70°=140°,

ZACB=180°-140°=40°,

故選：D.

【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的運用，解題時注意：三角形內(nèi)角和是180。.

10.（2023秋?蓬江區(qū)校級期中）如圖，在AABC中，NB=50。，44=30。，CD平分NACB,CE1,AB于點

E,則NDCE的度數(shù)是（）

A.5°B.8°C.10°D.15°

【分析】依據(jù)直角三角形，即可得到NBCE=40。，再根據(jù)NA=30。，CD平分NACB,即可得到N3CD的

度數(shù)，再根據(jù)NDCE=NBCD-NBCE進行計算即可.

【解答】解：ZB=50°,CE±AB,

:.ZBCE=4O°,

又-ZA=30°,CD平分NACB,

ZBCD=-ZBCA=-x(180°-50°-30°)=50°,

22

ZDCE=ZBCD-ZBCE=50°-40°=10°,

故選：C.

【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180。是解答此題的關(guān)鍵.

11.（2023秋?瓊中縣期中）如圖，將三角形紙片的一個角折疊，折痕為EF,ZA=80°,ZB=65°,

NC莊=75°.

（1）求NCEF的度數(shù);

(2)求N/MC+NBFC的度數(shù).

【分析】（1）依據(jù)題意，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC的度數(shù)，再根據(jù)NCEE=78。即可得出結(jié)論;

（2）依據(jù)題意，首先根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得NAEC+/B尸C+（18（T-NC）+NA+N3=360。，代入計算

即可得解.

【解答】解：（1）AABC中，ZA=80°,28=65。,

.-.zc=180°-80°-65°=35°.

ACEF中，NC=35°,ZCFE=75°,

ZCEF=180°-35°-75°=70°.

(2)由題意，在四邊形ABEE中，ZAEC+ZBFC+(180°-ZQ+ZA+ZB=360°,

ZAEC+NBFC=360°-(ZA+ZB+180°-ZC)=360°-(80°+65°+l80°—35°)=70°,即

ZAEC+ZBFC=70。.

【點評】本題主要考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180。是解答此題的關(guān)鍵.

12.（2023秋?平南縣期中）如圖，41。尸=90。，點A在射線O尸上運動（點A不與點O重合），點3在射

線上運動（點3不與點。重合），且AE,BE分別是NS4O和NABO的平分線，它們相交于點E.

（1）如圖1,當NA8O=70。時，求NAEB的度數(shù)；

（2）點A,3在運動過程中，/AEB的大小是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)

生變化，試求出NAEB的度數(shù)；

（3）如圖2,作AABO的兩外角/。4H和ZAON的平分線交于點尸，延長AE,歷9交于點G,在AAFG

中，存在一個內(nèi)角的度數(shù)等于另外一個內(nèi)角度數(shù)的2倍，請直接寫出此時NABO的度數(shù).

M

【分析】(1)先求出440=20。，再根據(jù)角平分線的定義得NE4B=10。，NEBA=35。,進而由三角形的內(nèi)

角和定理可求出/4￡?的度數(shù)；

(2)先由角平分線的定義得N54O=2NE4B,ZABO=2NEBA,再由三角形的內(nèi)角和定理

ZBAO+ZABO=90°,進而得N￡AB+NEB4=45。，據(jù)此可得NA￡B=的度數(shù)；

(3)設(shè)44G=戊，則NS4O=2N54G=2tz,由々AO為銳角得0。<1<45。，進而得NABO=90。—2c,

然后分別表示出NQ49=90。一ZG=45°-a,ZF=450+a,由此得NQ4F>NG,ZF>ZG,然后分

四種情況進行討論：①當NQ4尸=2NG時，②當NOA產(chǎn)=2N/時，③當々=2NQ4/時，④當NF=2NG

時，根據(jù)每一種情況求出。，即可得NABO的度數(shù).

【解答】解：(1)ZABO=70°,NMOP=90°,

ZBAO=180°-ZABO-ZMOP=20°,

AE,BE分別是NBA。和NABO的平分線，

:.ZEAB=-ZBAO=W°,ZEBA=-ZABO=35°,

22

：.ZAEB=18O°-ZEAB-ZEBA=135°；

(2)NAEB的大小不發(fā)生變化.

AE,BE分別是440和NABO的平分線，

:.ZBAO^2ZEAB,ZABO=2NEBA,

ZMOP=90°,

ZBAO+ZABO=180°-ZMOP=90°,

2ZEAB+2ZEBA=90°,

ZE4B+ZEB4=45°,

ZAEB=180。一(ZSW+NEBA)=180°-45°=135°；

(3)設(shè)NS4G=(z,

AE1平分NBAO,

;.NBAG=NOAG=a,Z&4O=2ZS4G=2cr,

NBAO為銳角，

.?.0°<26Z<90°,即0°<&<45°,

ZBAO+ZABO=90°,

ZABO=90°-ZBAO=90°-2a,

AT平分NQ4H,

:.NOAH=2NOAF,

ZBAO+ZOAH=180°,

.?.2ct+2ZQ4F=180°,

:.ZOAF=90°-a,

NMOP=90°,

ZAON=1800-ZMOP=90°,

FO平分NAQV,

ZAOF=」ZAON=45。，

2

ZAOF=Z.OAG+Z.G,

.?.NG=NAOb—Na4G=45°—（z,

NF=180°一（/OAF+ZAOF）=180°-（90°-a+45°）=45°+a,

在AAFG中，ZOAF^90°-a,ZG=45°-a,ZF=45°+tz,

:.ZOAF>ZG,ZF>ZG,

.,在AAFG中，存在一個內(nèi)角的度數(shù)等于另外一個內(nèi)角度數(shù)的2倍，

.??有以下四種情況：

①當NQ4F=2NG時，貝U90。一a=2（45。-a）,解得a=0。，不合題意舍去；

②當NQ4F=2N尸時，貝1]90。一1=2（45。+&）,解得《=0。，不合題意舍去；

③當"=2NQ4F時，貝I45。+。=2（90。-。），解得a=45。，不合題意舍去；

④當Nb=2NG時，45°+?=2（45°-a）,解得（z=15°,

此時ZABO=90°—2c=60。.

綜上所述：在AAFG中，存在一個內(nèi)角的度數(shù)等于另外一個內(nèi)角度數(shù)的2倍時，ZAB<9=60°.

【點評】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準確識圖，理解三角形的內(nèi)角和等于180。，

以及角平分線的定義是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是解決問題的難點，也是易錯點.

四.三角形的外角性質(zhì)（共4小題）

13.（2023秋?武昌區(qū)期中）下列說法正確的是（）

A.三角形的一個外角等于任意兩個內(nèi)角的和

B.三角形的一個外角小于它的一個內(nèi)角

C.三角形的一個外角大于它的相鄰的內(nèi)角

D.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角

【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：A、三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，故本選項說法錯誤，不符合題意；

B,三角形的一個外角不一定小于它的一個內(nèi)角，故本選項說法錯誤，不符合題意；

C、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角，故本選項說法錯誤，不符合題意；

D,三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角，說法正確，符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和、三角形的一

個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

14.（2023秋?廬陽區(qū)校級期中）三角形中，三個內(nèi)角的比為1:2:6,則該三角形最大的外角為（）

A.108°B.120°C.160°D.162°

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理先求出各個內(nèi)角，再求解外角即可.

【解答】解：設(shè)三角形的內(nèi)角為別為尤，2x,6x,

x+2x+6x=180°,

解得x=20。，

.?.2x=40°,6x=120°,

最小的內(nèi)角為20。，

故這個三角形的最大的外角的度數(shù)是160。.

故選：C.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)內(nèi)角和定理求出各個內(nèi)角.

15.（2023秋?楚雄州期中）如圖，Nl=55。，Z3=108°,則N2的度數(shù)為（）

A.52°B.53°C.54°D.55°

【分析】直接根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進行解答即可.

【解答】解：N3是A/WC的外角，4=55。，N3=108。,

,-.Z2=Z3-Zl=108o-55o=53o.

故選：B.

【點評】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，即三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

16.（2023秋?陜州區(qū)期中）如圖，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=（）度.

A.450B.540C.630D.720

【分析】根據(jù)題意，畫出圖象，由圖可知N3+/4=N8+N9,因為五邊形內(nèi)角和為540。，從而得出答案.

【解答】解：如圖

Z3+Z4=Z8+Z9,

.-.Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7,

=Z1+Z2+Z8+Z9+Z5+Z6+Z7,

=五邊形的內(nèi)角和=540。，

【點評】本題考查了五邊形內(nèi)角和，同時需要考生認真通過圖形獲取信息，通過連線構(gòu)造五邊形從而得出結(jié)

論.

五.全等三角形的判定（共2小題）

17.（2023秋?旌陽區(qū)期中）如圖，AC^DF,ZACB=ZDFE,點、B、E、C在一條直線上，則下列條件

中不能斷定AABC三DE尸的是（）

A.ZA=NDB.BE=CFC.AB=DED.ABIIDE

【分析】根據(jù)全等三角形的判定ASA推出三角形全等，即可判斷A；求出BC=￡F,根據(jù)&4s即可判斷3；

根據(jù)有兩邊和其中一邊的對角相等不能判斷兩三角形全等，即可判斷C；根據(jù)平行線性質(zhì)推出"=

根據(jù)A4S即可判斷。.

【解答】解：A、在AABC和ADEF中

ZA=Z￡>

<AC=DF,

NACB=NDFE

:.AABC=ADEF,故本選項錯誤;

B、BE=CF,

/.BE+EC=CF+EC,

即5C=EF,

在AABC和ADEF中

AC=DF

<ZACB=ZDFE,

BC=EF

:.AABC=ADEF,故本選項錯誤；

。、根據(jù)=ZACB=ZDFE,AC=DF,不能判定AABC和ADEF全等，故本選項正確;

D、AB//DE,

:.ZB=ZDEF,

在A4BC和ADE歹中

ZB=ZDEF

<ZACB=ZDFE,

AC=DF

.\AABC=ADEF,故本選項錯誤;

故選：C.

【點評】本題考查了平行線性質(zhì)和全等三角形的判定的應(yīng)用，熟練地運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，題

目比較好，難度適中.

18.（2023秋?保亭縣校級期中）如圖，Z1=Z2,如果添加一個條件，即可得到AABEvAACE,那么這個

條件可以是_NB=NC_（要求：不添加其他輔助線，寫出一個條件即可）

【分析】根據(jù)題意，易得NAEB=ZAEC,又至公共，所以根據(jù)全等三角形的判定方法容易尋找添加條件

【解答】解：?Z1=Z2,

:.ZAEB=ZAEC,

又?AE=AE,

當N3=NC時，\ABE=AACE（AAS）；

或當班'=CE時，AABE=AACE（SAS）；

或當NB4E=NC4E時，AABE=AACE（ASA）.

故答案為：ZB=ZC（答案不唯一）.

【點評】此題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相

等時，角必須是兩邊的夾角.

六.全等三角形的判定與性質(zhì)（共8小題）

19.（2023秋?中山市期中）如圖，已知3尸是NABC的平分線，APLBP,若=12。裙，則AABC的面

積等于（）

B.30cm2C.36cm2D.不能確定

【分析】延長釬交于點。，根據(jù)角平分線的定義可得再根據(jù)垂直定義可得

ZAPB=ZDPB=90°,然后根據(jù)AS4可得從而利用全等三角形的性質(zhì)可得AP=DP,進而

可得AAPC的面積=ADPC的面積，最后進行計算即可解答.

【解答】解：延長AP交3C于點D,

A

:.ZABP^ZDBP,

AP1BP,

:.ZAPB=ZDPB=90°,

BP=BP,

:.NBAP=NBDP{ASA）,

:.AP=DP,

AAPC的面積=ADPC的面積，

ABPC的面積=12c>,

NBPD的面積+ACPD的面積=12,

^ABP的面積+AAPC的面積=12,

.〔AABC的面積=24。川，

故選：A.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當

的輔助線是解題的關(guān)鍵.

20.（2023秋?中江縣期中）如圖BD為AABC的角平分線，且50=5。，E為延長線上一

點，BE=BA,過E作于歹，下列結(jié)論：

①AABD=AEBC；②疑慮+包七川。。；

?AD^AE=EC；④ABIICE；

⑤BA+BC=2BF.其中正確的是①②③⑤.

【分析】根據(jù)SAS易證AABD=AEBC,可得ZBCE=ZBDA,AD=EC可得①②正確，再根據(jù)

角平分線的性質(zhì)可求得/。AE=NOC￡,即③AD=AE=￡C正確，根據(jù)AD=AE=EC可求

得⑤正確.

【解答】解：①80為AABC的角平分線，

：.ZABD=ZCBD,

又BD=BC,BD=BC,

AABDsAEBC(SAS),即①正確；

②AABD=AEBC,

：.ZBCE=ZBDA,

ZBCE+ZBDC=ZBDA+ZBDC=180。，即②正確；

③ZBCE=NBDA,ZBCE=ZBCD+ZDCE,ZBDA=ZDAE+ZBEA,ZBCD=ZBEA,

：.ZDCE=ZDAE,

.??AACE為等腰三角形，

AE—EC,

AABD=AEBC,

AD=EC>

:.AD=AE=EC,即③正確；

④根據(jù)已知條件，可得AB//CE不一定成立，故④錯誤；

⑤如圖，過E作EG,6c于G點，

E是5。上的點，

:.EF=EG,

在RtABEG和RtABEF中，

BE=BE

EF=EG，

RtABEG=RtABEF(HL),

：.BG=BF,

在RtACEG和RtAAFE中，

EF=FG

AE=CE

RtACEGsRtAAFE(HL),

:.AF=CG,

:.BA+BC=BF+FA+BG-CG^BF+BG=2BF,即⑤正確.

故答案為：①②③⑤

【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本

題中熟練求證三角形全等和熟練運用全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.（2023秋?和林格爾縣校級期中）已知：如圖，AB=CD,DE=BF,AE=CF,求證：AB//DC.

【分析】依據(jù)題意，由DE=BF,從而DE-EF=BF-EF,即DF=BE,進而可證得2△CflXSSS）,

則最后可以判斷得解.

【解答】證明：：。石=8/，

DE-EF=BF-EF,即DF=BE,

在和中，

'AB=CD

'AE=CF>

BE=DF

△AEB2ACFD（SSS）,

:"B=/D,

：.AB//DC.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定，熟練掌握其判定和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

22.（2023秋?磴口縣校級期中）已知（如圖），在△ABC中，。是BC的中點，過點D的直線GF交AC于

點尸，交AC的平行線3G于點G,DE±GF,交AB于點E,連結(jié)EF.求證：BG=CF.

A

【分析】依據(jù)題意，由平行線的性質(zhì)得到NDBG=NDCF,由中點的定義得到81)=8,即可證明△BGD三

△CFD(ASA)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到答案.

【解答】證明：BG//AC,

:.ZDBG=ZDCF.

。是3C的中點，

BD-CD,

在△BGD與△CFD中,

ZDBG=ZDCF

<BD=CD,

NBDG=NCDF

△BGD=△CFD(ASA).

:.BG=CF.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

23.(2023秋?東城區(qū)校級期中)在AABC中，AD平分N54C,DGLBC,且平分8C,至于E,

于尸.求證：BE=CF.

【分析】由角平分線的性質(zhì)可得=由線段垂直平分線的性質(zhì)可得3。=OC,由“HL”可證

RtABDE=RtACDF,可得結(jié)論.

【解答】證明：如圖，連接BD,CD,

D

4)平分N54C,DELAB,DF±AC,

:.DE=DF,

DG_L3C且平分3c于點G,

/.BD-CD,

在RtABDE和RtACDF中，

JBD=CD

[DE=DF'

RtABDE=RtACDF(HL),

:.BE=CF.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形

的判定方法是本題的關(guān)鍵.

24.(2023秋?東莞市校級期中)如圖，在AABC中，AD_L3C,垂足為。，AD=CD,點E在AD上，DE=BD,

M.N分別是鉆、CE的中點.

(1)求證：AADB^ACDE；

(2)求NAffiW的度數(shù).

【分析】(1)由垂直的定義得到/4DB=NADC=90。，根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ZBAD=ZDCE,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AM=QV,由AADM=ACDN,

可得ZADM=NCDN,ZCDN+ZADN=90°,可得+NAZW=90。，即可得出NMZW=90。.

【解答】解：(1)AD±BC,

ZADB=ZADC=90°,

在與ACDE中，

AD=CD

<ZADB=ZADC,

DB=DE

:.AABD=ACDE(SAS)；

(2)^ABD=ACDE,

:.ZBAD=ZDCE,AB=CE,

M.N分別是鉆、CE的中點,

:.AM=-AB,CN=-CE,

22

:.AM=CN,

在MDM和XCDN中，

AM=CN

<ABAD=ZDCE,

AD=CD

\ADM=ACDN(SAS),

.-.ZADM^ZCDN,

ZCDN+ZADN=90°,

:.ZADM+ZADN=90°,

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)

定理是解題的關(guān)鍵.

25.（2023秋?磴口縣校級期中）己知：在△AOB和△COD中，OA^OB,

（1）如圖①，ZAOB=ZCOD=60°.

①請問線段AC與四相等嗎？請說明理由.

②求NAPB的度數(shù).

（2）如圖②，若ZAOB=NCOD=c,N4PD的大小為_180?！ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果，不證明）.

【分析】（1）①根據(jù)SAS證△=即可得證4c=班＞；

②由全等三角形的性質(zhì)得出ZOAC=ZOBD,設(shè)AC與BO交于點拉，根據(jù)

180。—NQ4C—NAA7O=180。—NO5D—即可得出NA/刃=50。；

(2)依據(jù)題意，根據(jù)(1)可得NAPB=NAO6=a,從而可得NAPD=180。-NAP5,進而得解.

【解答】解：(1)?AC=BD.理由如下：

ZAOB=NCOD,

ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC,

即ZAOC=ZBOD,

OA=OB,OC=OD,

/.△AOC=△BOD(SAS),

:.AC=BD；

②設(shè)AC與50交于點M,貝JNAMO=NBMP,

ZOAC=ZOBD.

.-.180°-ZOAC-ZAMO=180°-ZOBD-ZBMP,

即ZMPB=ZAOB=60。.

:.ZAPB=600.

(2)如圖，

由(1)可得，△AOC=ABOD,

:.ZOAC=ZOBD.

.-.180°-ZOAC-ZAMO=180°-ZOBD-ZBMP.

又-ZAMO=ZBMP,

XAPB=XAOB=a.

ZAPD=1800-ZAPB=1800-a.

故答案為：180°-a.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

26.（2023秋?清原縣期中）如圖①所示，A,E,F,C在一條直線上，=B，過E,尸分別作

D

圖①圖②

（1）請猜想線段EG,FG的數(shù)量關(guān)系，不用說明理由.

（2）若將ADEC的邊EC沿C4方向移動，變?yōu)閳D②時，其余條件不變，上述結(jié)論是否成立？請說明理由.

【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得NDEC=NDEG=NAFB=N3FG=90。，再利用等式的性質(zhì)可得AF=CE,

然后利用HL證明RtAAFBvRtACED,從而利用全等三角形的性質(zhì)可得加'=DE,再根據(jù)對頂角相等可得

NBGF=NDGE,從而利用A4s證明ABFGMADEG,最后利用全等三角形的性質(zhì)可得GE=GV,即可解答;

（2）利用（1）的思路，即可解答.

【解答】解：（1）GE=GF,

理由：DELAC,BFLAC,

ZDEC=ZDEG=ZAFB=NBFG=90°,

AE=CF,

:.AE—EF=CF—EF,

:.AF=CE,

AB=CD,

RtAAFB=RtACED（HL）,

:.BF=DE,

ZBGF=ZDGE,

NBFG=ADEG（AAS）,

:.GE=GF；

（2）上述結(jié)論依然成立，

理由：DE±AC,BF±AC,

ZDEC=NDEG=ZAFB=NBFG=90°,

AE=CF,

..AE+EF=CF+EF,

:.AF=CE,

AB=CD,

RtAAFB=RtACED（HL）,

:.BF=DE,

ZBGF=ZDGE,

:.ABFG=M）EG（AAS）f

,\GE=GF.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

七.角平分線的性質(zhì)（共6小題）

27.（2023秋?肇源縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，NA=90。，49=2,BC=4,對角線BD平分NABC,

則ABC。的面積為（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】過點。作。垂足為石，先利用角平分線的性質(zhì)可得八4=。E=2,然后利用三角形的面積

進行計算即可解答.

【解答】解：過點。作垂足為￡,

DA=DE=2,

BC=4,

ABCD的面積=LBC.DE」X4X2=4,

22

故選：B.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

28.（2023秋?永善縣期中）如圖，AABC的三邊AC,BC,Afi的長分別是10,15,20,點O是AABC三

條角平分線的交點，則SAOM4AOB/SAOAC的值為（）

C.2:3:4D.4:3:2

【分析】過點O作ODLAB于點。，OELBC于點E,OF,AC于點F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知

OD=OE=OF.再由三角形的面積公式計算，作比即可.

【解答】解：如圖，過點。作ODLAB于點O,OE_L3C于點E,OW1.AC于點P,

點。是AABC三條角平分線的交點，

:.OD=OE=OF,

:S.nRC:S.nAr=-AB-OD:~BC-OE:-AC-OF=AB:BC:AC,

AABC的三邊AC,BC,AB的長分別是10,15,20,

0AB:S&OBC^AOAC=20:15:10=4:3:2

故選：D.

【點評】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理.正確作出輔助線，由角平分線的性質(zhì)定理得出8=OE=O尸

是解題關(guān)鍵.

29.（2023秋?和林格爾縣校級期中）如圖，AE,BE,CE分別平分NBAC,ZABC,ZACB,EDVBC

于點。，ED=3,AABC的周長為24,則AABC的面積為（）

A.18B.24C.36D.72

【分析】過點E作可，4?,垂足為尸，過點E作EGLAC,垂足為G,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

EG=EF=ED=3,然后根據(jù)AABC的面積=AABE的面積+ABEC的面積+AAEC的面積，進行計算即可解

答.

【解答】解：過點E作EF_LAB,垂足為尸，過點E作EG_LAC,垂足為G,

5E平分NABC,EDLBC,EFYAB,

:.EF=ED=3,

CE平分ZACB,ED±BC,EG±AC,

.-.ED=EG=3,

AABC的周長為24,

.?.AABC的面積

=MBE的面積+ABEC的面積+AAEC的面積

=-AB-EF+-BC-ED+-AC-EG

222

=^EF（AB+BC+AC）

1。

=—x3x24

2

=36,

故選：c.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

30.（2023秋?陜州區(qū)期中）如圖AABC中，NC=90。，A3平分44C,于E,給出下列結(jié)論:

?DC=DE；②ZM平分NCDE；③DE平分ZADB；?BE+AC=AB；?ZBAC=ZBDE.其中正確的是

①②④⑤（寫序號）

CA

【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OC=DE,判斷①正確，然后利用“HL”證明

RtAACD和RtAAED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得4DC=N4DE,判斷②正確；全等三角形對應(yīng)

邊相等可得AC=AE,然后求出=判斷④正確；根據(jù)同角的余角相等求出=

判斷⑤正確，并得到③錯誤.

【解答】解：，ZC=90°,加平分44C,DE.LAB,

:.DC=DE,故①正確；

jAD=AD

在RtAACD和RtAAED中，《，

[DC=DE

RtAACD=RtAAED(HL),

:.ZADC=ZADE,AC=AE,

平分NCDE,故②正確；

BE+AC^BE+AE=AB,故④正確；

ZBAC+ZB=9QP,

NBDE+NB=90°,

:.ZBAC=ZBDE,故⑤正確；

ZADE+ZBAD^90°,而NBADw",

:.ZBDE^ZADE,

，DE平分/位汨錯誤，故③錯誤；

綜上所述，正確的有①②④⑤.

故答案為：①②④⑤.

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角

相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，求出三角形全等是解題的關(guān)鍵.

31.(2023秋?海淀區(qū)校級期中)如圖，Z4OB=60。，點P在NAO3的平分線上，尸C_LtM于點C,點。在

邊QB上，且OD=DP=4,則線段OC的長度為6.

【分析】作PEVOB于E,根據(jù)角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)求出DE,求出OE,證明AOCP二AOEP,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答.

【解答】解：作PELOB于E,

ZAOB=60°,點尸在NAOB的平分線上，

:.ZPOB=3Q°,

DO=DP,

ZOPD=ZPOB=30°,

/.ZPDE=60°,

PELOB,

二.ND尸石=30。，

:.DE=-PD=2,

2

/.OE-6，

在AOCP^n\OEP中，

ZCOP=ZEOP

，ZOCP=ZOEP,

OP=OP

:.AOCP=\OEP(AAS),

；.OC=OE=6,

故答案為：6.

【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判斷的力量和性質(zhì)

定理是解題的關(guān)鍵.

32.（2023秋?涼州區(qū)校級期中）如圖，AABC中，49是AA5c的角平分線，［史_LAB于點E.

（1）若N3=40。，ZC=76°,求NEZM的度數(shù).

（2）若AB=20,AC=16,DE=6,求AABC的面積.

【分析】（1）先利用三角形內(nèi)角和定理可得44c=64。，然后利用角平分線的定義可得NZMB=32。，再根

據(jù)垂直定義可得"E4=90。，從而利用直角三角形的兩個銳角互余進行計算，即可解答；

（2）過點。作D尸，AC,垂足為尸，先利用角平分線的性質(zhì)可得小=￡＞尸=6,然后根據(jù)AABC的面積

=AACD的面積+AAD8的面積，進行計算即可解答.

【解答】解：（1）-ZB=40°,ZC=76°,

,ZS4c=180°—ZB—NC=64°,

AD平分44C,

ZDAB=-ABAC=32°,

2

DEYAB,

:.ZDEA=9Q°,

ZADE=90°-NDAB=58°,

.?.NEQ4的度數(shù)為58。；

(2)過點。作D尸，AC,垂足為尸，

AD平分44C,DE.LAB,DF±AC,

：.DE=DF=6,

AB=2Q,AC=16,

\ABC的面積=AACD的面積+AADB的面積

=-ACDF+-ABDE

22

=—x16x6+—x20x6

22

=48+60

=108,

.?.AABC的面積為108.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助

線是解題的關(guān)鍵.

八.線段垂直平分線的性質(zhì)（共2小題）

33.（2023秋?山西期中）如圖，在AABC中，DE垂直平分3c分別交4C,3c邊于點。，E.若AB=3,

AC=5,則AABD的周長為（）

A

D

------------土-----------

E

A.6B.7C.8D.10

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得=然后利用等量代換可得AABD的周長=AB+AC,進行

計算即可解答.

【解答】解：?DE是的垂直平分線，

:.DB=DC,

AB=3,AC=5,

AABD的周長=AB+49+BD

=AB+AD+CD

=AB+AC

=3+5

=8,

故選：c.

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

34.(2023秋?鹽都區(qū)期中)已知：如圖，AABC中，EF是鉆的垂直平分線，A￡>_L3c于點D,且。為

CE的中點.

(1)求證：BE=AC；

(2)若NBEF=55°,求Nfi4c的度數(shù).

【分析】(1)連接AE,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得/場=BE,再根據(jù)已知可得：AD是CE的垂直平分

線，從而可得AE=AC,然后利用等量代換可得3E=AC,即可解答；

(2)根據(jù)垂直定義可得N3EE=90。，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得4=35。，然后利用等腰三

角形的性質(zhì)可得NB=N54E=35。，再利用三角形的外角性質(zhì)可得NA￡C=70。，最后利用等腰三角形的性

質(zhì)可得NA￡C=NC=70。，從而利用三角形內(nèi)角和定理進行計算，即可解答.

【解答】(1)證明：連接AE,

A

即是AB的垂直平分線，

:.AE=BE,

ADYBC,且。為CE的中點，

是CE的垂直平分線，

AE=AC,

BE=AC;

(2)解：EFLAB,

,\ZBFE=9Q°,

ZBEF=55°,

NB=90?！狽BEF=35。，

EB=EA,

ZB=ZBAE=35。,

ZAEC是MBE的一個外角，

ZAEC=ZB+ZBAE=70°,

AE^AC,

:.ZAEC=ZC=10°,

za4c=180?！?一NC=75°,

:.ZBAC的度數(shù)為75。.

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添

加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

九.等腰三角形的性質(zhì)(共6小題)

35.(2023秋?紹興期中)已知等腰三角形ABC的底邊BC=6c〃z,M|AC-BC|=3cm,那么AABC的周長為

()

A.12cmB.12cm或24cmC.24anD.12aw或21cm

【分析】根據(jù)已知易得AC=9s或AC=3c〃z,然后分兩種情況：當?shù)妊切蜛BC的腰長AC=AB=3cm

時；當?shù)妊切蜛BC的腰長AC=AB=9w時；分別進行計算即可解答.

【解答】解：\AC-BC\=3cm,BC=6cm,

AC=9cm或AC=3cm，

分兩種情況：

當?shù)妊切蜛BC的腰長AC=AB=3cm時，

3+3=6,

??.不能組成三角形；

當?shù)妊切蜛BC的腰長AC=AB=9cm時，

;.AABC的周長=9+9+6=24(cm),

綜上所述：AABC的周長為24c加，

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，絕對值，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

36.(2023秋?樂昌市期中)等腰三角形的周長為12cm,其中一邊長為3CM,則該等腰三角形的底邊長為(

)

A.3cmB.4.5cmC.5cmD.6cm

【分析】分兩種情況：當?shù)妊切蔚难L為3cm時，當?shù)妊切蔚牡走呴L為3cm時，然后分別進行計算

即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當?shù)妊切蔚难L為3c機時，

.，等腰三角形的周長為12cm,

，等腰三角形的底邊長=12-3x2=6(cm),

7.3+3=6，

.??不能組成三角形；

當?shù)妊切蔚牡走呴L為3c機時，

等腰三角形的周長為12a”，

等腰三角形的腰長=gx(12-3)=4.5(aw),

綜上所述：該等腰三角形的底邊長為3cm,

故選：A.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況是解題的關(guān)鍵.

37.(2023秋?徐州期中)已知等腰三角形中，兩條邊長為3和7,則這個等腰三角形的周長為17.

【分析】分兩種情況：當?shù)妊切蔚难L為3,底邊長為7時；當?shù)妊切蔚难L為7,底邊長為3時;

然后分別進行計算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當?shù)妊切蔚难?/p>