北京市朝陽(yáng)區(qū)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（含解析）

北京市朝陽(yáng)區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)

試題

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

]已知集合M={xIx+220},N={xIx—1<0},則二()

A.{xI-2<x<1}B.{x|-2<x<l)

C.{x\x>-2}D.{xIx<1}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,?),貝lji.z=()

A.V3+iB.-V3-iC.V3-iD.—6+i

3,下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+")上單調(diào)遞減的是()

A./(x)=2XB.f(x)=-Inx

C./(x)=--D./(X)=3M

X

4.已知實(shí)數(shù)a力滿足a>6,則下列不等式中正確的是()

A|fi(|>bB.a>\b\

C.a2>abD.ab>b2

5.歐拉公式*=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位)是有由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函

數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常

重要的地位，特別是當(dāng)》="時(shí)，e證+1=0被認(rèn)為是數(shù)學(xué)中最優(yōu)美的公式，數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它

是“創(chuàng)造的公式”.根據(jù)歐拉公式可知，在復(fù)平面中位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2%]0vv21

6.已知函數(shù)/(x)=<6:，那么不等式/(%)>戶的解集為()

A(0,1)B.(0,2)C.(1,4)D.(1,6)

7.設(shè)。=0.5°”,Z?=log050.4,c=log40.5,則a,b,。的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.

c<a<b

8.若孫wO,則+y=是“上+'=-2”的()

xy

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知函數(shù)/(x)=J,g(x)=x--4x-4,設(shè)6eR,若存在aeR,使

ln(x+1),xe[0,+<x>)

得/(a)+g(b)=O,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()

A.[-1,5]B.(-oo,-l]u[5,+oo)

C.[-l,+℃)D.(-oo,5]

10.恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.

其中對(duì)數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯評(píng)價(jià)為“用縮短計(jì)算時(shí)間延長(zhǎng)了天文學(xué)家的

壽命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個(gè)83位數(shù)，則由下面表格中部分對(duì)數(shù)的近似值(精確到

0.001),可得N的值為()

M2371113

lgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(》)=▲+的定義域是____.

Inx

12.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xe(—8,0]時(shí)，/(x)=2r+1,貝U

13.設(shè)函數(shù)/(x)=，：2s：iu,則曲線y=/(x)在(0,1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形

的面積為.

14.對(duì)于三次函數(shù)/("=加+加+cx+d(aw0),給出定義：/'(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函

數(shù)，/"(x)是/'(%)的導(dǎo)函數(shù)，若方程/"(x)=0有實(shí)數(shù)解天,則稱點(diǎn)(Xo，/(x。))為函數(shù)

V=/(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都

有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心若〃力=；/-；/+3》-《，根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，函數(shù)

y=f(x)的對(duì)稱中心是.

X

一“、［2+a,x<aKA,

15.已知函數(shù)/(x)={2給出下列四個(gè)結(jié)論：

x+2ax,x>a

①當(dāng)a=0時(shí)，/(x)的最小值為0；

②當(dāng)時(shí)，/(x)存在最小值；

③當(dāng)a21時(shí)，/(x)在(-*+8)上單調(diào)遞增；

④/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為g(a),則函數(shù)g(a)的值域?yàn)閧0」,2,3}.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.設(shè)函數(shù)/(x)=sinoxcos9+cosa)xsin90>0,心|〈

(1)若/(0)=|,求。的值;

712兀2兀'兀、

(2)已知/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,1,=-1,求。，(p的值.

17.在VZ8C中，b2+c--a2=bc.

(1)求ZN；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使V48C存在且唯一確

定，求VZ8C的面積.

條件①：cos5=—；

14

條件②：a+6=12；

條件③：c=12.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問(wèn)得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答,

按第一組解答計(jì)分.

18.某地區(qū)組織所有高一學(xué)生參加了“科技的力量”主題知識(shí)竟答活動(dòng)，根據(jù)答題得分情況評(píng)選

出一二三等獎(jiǎng)若干，為了解不同性別學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名參加活動(dòng)

的高一學(xué)生，獲獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

獲獎(jiǎng)人數(shù)

性別人數(shù)

一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)

男生200101515

女生300252540

假設(shè)所有學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立.

(1)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，求抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)

的概率；

(2)用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1

名，以X表示這2名學(xué)生中獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

(3)用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為夕°；

從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為n；從該地區(qū)高一女生中隨

機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為夕2,試比較P。與貝|也的大小.(結(jié)論不要求證

明)

19.已知函數(shù)［(x)=l+a(x-l)-lnx.

(1)若a=2,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若a<2,證明：當(dāng)x>l時(shí)，f(x)<ex-1.

20已知函數(shù)/(》)=6*-45也》.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程;

(2)當(dāng)°=1時(shí)，證明：函數(shù)y=/(x)—2在區(qū)間(0,兀)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

(3)若對(duì)任意xe[o,可，不等式/(x)N2—COSX恒成立，求a的取值范圍.

21.已知數(shù)列A：%,a2,a“滿足：a”{0,1}(z=1,2,…，n,n>2),從A中

選取第z；項(xiàng)、第三項(xiàng)、…、第"項(xiàng)<…<"機(jī)>2稱數(shù)列%,4,…，%為A的長(zhǎng)

度為加的子列.記7(/)為A所有子列的個(gè)數(shù).例如A：0,0,1,其T(Z)=3.

(1)設(shè)數(shù)列出1,1,0,0,寫(xiě)出/的長(zhǎng)度為3的全部子列，并求7(/)；

(2)設(shè)數(shù)列A：%,出，…，%，H：%,%_i，…，%,A"：1—%,1—a2,...,1—an,

判斷7(/),T(H),T(/〃)的大小，并說(shuō)明理由；

(3)對(duì)于給定的正整數(shù)"，k{\<k<n-\),若數(shù)列A：%,a2,a“滿足：

aA+a2---\-an=k,求T(/)的最小值.

北京市朝陽(yáng)區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)

試題

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

]已知集合Af={xIx+220},N={xIx—1<0},則二()

A{xI-2<x<1}B.{x\-2<x<l}

C.{xIx>-2}D.{xIx<1}

【正確答案】A

【分析】先化簡(jiǎn)集合然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.

【詳解】由題意，Af={x|x+2>0}={x|x>-2},TV={xIx-1<0}={x|x<1},

根據(jù)交集的運(yùn)算可知，MC\N={x\-2<x<l].

故選：A

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,6),則i.z=()

A.百+iB.-V3-iC.V3-iD.—6+i

【正確答案】B

【分析】首先表示出z,再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,6),

所以z=-1+，則i,z=i?(-1+V3ij=—i+出心=-出-i.

故選：B

3,下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+力)上單調(diào)遞減的是()

A./(x)=2XB.f(x)=-Inx

C./(x)=--D./(X)=3M

X

【正確答案】B

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：/(x)=2,在定義域R上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)閥=Inx在定義域(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)=-Inx在定義域(0,+8)上單調(diào)遞減，故B正確；

對(duì)于C：/(x)=—工在(0,+8)上單調(diào)遞增，故c錯(cuò)誤；

K3

對(duì)于D：/(X)=3=J1所以/(X)在(0,+8)上先減后遞增，故D錯(cuò)誤.

3,x<l

故選：B

4.已知實(shí)數(shù)a,b滿足。>6,則下列不等式中正確的是()

A.\a\>bB.a>\b\

C.a2>abD.ab>b2

【正確答案】A

【分析】由同可知A正確；通過(guò)反例可知BCD錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,?/\a\>a(當(dāng)且僅當(dāng)。之0時(shí)取等號(hào))，，同〉/),A正確；

對(duì)于B,當(dāng)。=一1,6=-2時(shí)，a<\b\,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)。=一1,6=-2時(shí)，/=],ab=2,則/<仍，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)〃=1,6=-2時(shí)，ab=-2,62=4，則D錯(cuò)誤.

故選：A.

5.歐拉公式產(chǎn)二cosx+z.sinx(，為虛數(shù)單位)是有由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函

數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常

重要的地位，特別是當(dāng)x==時(shí)，e沅+1=0被認(rèn)為是數(shù)學(xué)中最優(yōu)美的公式，數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它

是“創(chuàng)造的公式”.根據(jù)歐拉公式可知，e’在復(fù)平面中位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【正確答案】A

【分析】根據(jù)定義把點(diǎn)寫(xiě)成三角形式，即可得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得其象限.

【詳解】由題意=cosl+isinl,對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（cos1,sin1）,而（：051〉0,5包1〉0,點(diǎn)在第一

象限.

故選：A.

,、2T-l,0<x<21

6.已知函數(shù)/⑴=器>2，那么不等式的解集為（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（1,4）D.（1,6）

【正確答案】C

1

【分析】分別作出y=n>）及V—丫5的圖象后，借助圖象分析即可得.

y一4

【詳解】分別作出y=/Q）及>的圖象如下：

q123456\x

i

由圖可知不等式/（同〉/的解集為（1，4）?

故選：C.

7.設(shè)a=0.5°，4,Z）=log050.4,c=log40.5,則a,b,。的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.b<c<aCc<b<aD.

c<a<b

【正確答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】因?yàn)?<0.5。4<0.5°=1，即0<。<1，

又6=log050.4>log050.5=1,c=log40.5<log4l=0,

所以6>a>c.

故選：D

yX

8.若切片0,貝（J"x+y=O”是“二+一=一2”的（）

xy

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【分析】解法一：由一+2二-2化簡(jiǎn)得到x+y=。即可判斷；解法二：證明充分性可由

yx

XVXV

x+y=0得到x=-y,代入一+人化簡(jiǎn)即可，證明必要性可由—+上=—2去分母，再用完全

yxyx

xy

平方公式即可；解法三：證明充分性可由一+4通分后用配湊法得到完全平方公式，再把

7x

八XV

x+y=。代入即可，證明必要性可由一通分后用配湊法得到完全平方公式，再把

y%

x+y=0代入，解方程即可.

【詳解】解法一：

Xv

因?yàn)閷O。0,且一+上=-2,

yx

所以％2+歹2=—2肛，即/+/2+2盯=0,即（x+y）2=o,所以x+y=。.

所以“x+歹=0”是“-+-=-2”的充要條件.

.yx

解法二：

充分性：因?yàn)?*0,且x+y=0,所以x=

11

所以一+—=--y+,--y-=—1-1=一29,

yy-y

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)槎o,且土+J

yx

所以X?+=—2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+—Q,所以x+y=0.

所以必要性成立.

xV

所以“x+歹=0”是“一+<=-2”的充要條件.

yx

解法三：

充分性：因?yàn)楦?0,且x+y=O,

27x2+y2+2xy-2xy(x+yY-2xy—2xy

所以土+上=土上匕----------------=-------------=-----=—2

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)槎0,且一X+之V二-2,

yx

所以工?,二一+/=12+「+2肛2孫二口+))22盯=(工+))22=2

yxxyxyxyxy

所以（x+用=0,所以（x+v）2=0,所以x+y=O,

xy

所以必要性成立.

X

所以“x+y=0”是“一+上V=-2”的充要條件.

yx

故選：c

“x+l-l,xe(-oo,0)

9.已知函數(shù)/(x)=J,g(x)=x~9-4x-4,設(shè)6eR,若存在aeR,使

ln(x+l),xe[0,+oo)

得/⑷+g(b)=O,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()

A.[-1,5]B.(-oo,-l]u[5,+oo)

C.[-1,+℃)D.(-oo,5]

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)/(X)的值域?yàn)椋跿,+8)，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為-g3)N-l,列出

不等式，即可求解.

【詳解】由題意，作出函數(shù)y=/(x)的圖象，如圖所示，

所以，當(dāng)xe(一叫0)時(shí)，/(x)>/(-l)=-l；

當(dāng)xe［0,+s)時(shí)，/(x)>/(0)=0,可函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋郇D1,+8),

設(shè)beR,若存在aeR,使得/(a)+g(b)=0成立，即/(a)=-g(6),

只需一g(6)NT，即對(duì)于beR，滿足—"+46+42—1成立，即"―46—5<0,

解得—1<6<5,所以實(shí)數(shù)6的取值范圍為［—1,5］.

10.恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.

其中對(duì)數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯評(píng)價(jià)為“用縮短計(jì)算時(shí)間延長(zhǎng)了天文學(xué)家的

壽命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個(gè)83位數(shù)，則由下面表格中部分對(duì)數(shù)的近似值(精確到

0.001),可得N的值為()

M2371113

lgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

【正確答案】C

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意知，N的70次方為83位數(shù)，所以N7°?(1082,1083),則

lgio82<lg^7°<lgio83,即82<701gN<83,整理得1.171<IgN<1.185,

根據(jù)表格可得lgl4=lg2+lg7=1.146<L171,lgl6=41g2=1.204〉1.185,所以

lgN=lgl5,即N=15.

故選：C.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/（》）=工+萬(wàn)工的定義域是____.

Inx

【正確答案】（0,l）U（l,2]

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式建立不等式組，可解得答案.

InxW0

【詳解】由題意可得%>0，解得xe(O,l)u(l,2].

、2—%之0

故答案為.(0/)。(1,2]

12.已知/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xe(—8,0]時(shí)，/(x)=2x+1,則

【正確答案】1

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xe(一%0]時(shí)，/(x)=2x+1,

,2

10g2T2

+—=—+—=1.

3

故1

13.設(shè)函數(shù)則曲線y=/(x)在(0,1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形

的面積為.

【正確答案】-

6

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)(0,1)處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

坐標(biāo)，從而求得所求面積.

ex+2sinx

【詳解】因?yàn)?(x)=

1+x*2

所以/、/(―ex+2cosx)H(l+x2)-(―ex+2sinxL)-2x

(e°+2cos0)(l+0)-(e。+2sin0)x0

則/'(o)==3,

所以該切線方程為V—l=3x,即y=3x+l,

令x=0,則y=l,令y=0,則x=-；,

故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積S=?xlx--=^.

236

故答案為.一

6

14.對(duì)于三次函數(shù)/(%)=/+加+次+1(°彳0),給出定義：/'(x)是函數(shù)/(X)的導(dǎo)函

數(shù)，/"(x)是/'(X)的導(dǎo)函數(shù)，若方程/"(x)=0有實(shí)數(shù)解%,則稱點(diǎn)(%,/(玉)))為函數(shù)

V=/(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都

有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.若/(》)=$3一；/+3》一《,根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，函數(shù)

y=f(x)的對(duì)稱中心是.

【正確答案】(gl)

【分析】根據(jù)所給定義，求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)，再/"(x)=0,求出x,即可得解.

【詳解】因?yàn)?/p>

所以/<x)=/-x+3,則/"(x)=2x—1,令/"(x)=2x—1=0,解得x=g,

+3x——

212

所以函數(shù)y=/(x)的對(duì)稱中心是心,11.

故

/、2X+a^x<a

15.已知函數(shù)/(x)=<給出下列四個(gè)結(jié)論：

x+lax.x>a

①當(dāng)a=0時(shí)，/(x)的最小值為0；

②當(dāng)時(shí)，/(x)存在最小值；

③當(dāng)a21時(shí)，/(x)在(—叫+8)上單調(diào)遞增；

④/(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為g⑷,則函數(shù)g(a)的值域?yàn)閧0,1,2,3}.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【正確答案】①④

【分析】對(duì)于①，寫(xiě)出此時(shí)函數(shù)解析式，得到當(dāng)x=0時(shí)，/(x)取得最小值，最小值為0；

對(duì)于②，舉出反例；對(duì)于③，兩分段均單調(diào)遞增，但端點(diǎn)處，左端點(diǎn)的函數(shù)值不一定小于右

端點(diǎn)的函數(shù)值，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，對(duì)。進(jìn)行分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到函數(shù)g(a)

的值域?yàn)閧0,1,2,3}.

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=2%1Xxv0,

x-,x>0

當(dāng)x<0時(shí)，0<2'<1，當(dāng)x20時(shí)，x2>0>

綜上，當(dāng)x=0時(shí)，/(x)取得最小值，最小值為0,①正確;

CX1__1

12’—n,x<

對(duì)于②，不妨設(shè)。二一一，此時(shí)/(%)=<2

22、

~2

,11cxi(1夜-1)

當(dāng)x<c時(shí)，2e,,

22122J

當(dāng)x2一工時(shí)，X2-X=fx---—>--,

212J44

故/(x)>-g,此時(shí)函數(shù)不存在最小值，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，y=2工+。在xe(—oo,a)上單調(diào)遞增，且y=2"+ae(a,2"+。)，

當(dāng)a21時(shí)，y=x?+2ax=(x+a『一/在xe[a,+co)上單調(diào)遞增，

且y=(x+a)~-/>3a2，

當(dāng)a=8時(shí)，2"+。—3。2=72〉0，

故當(dāng)a=8時(shí)，/(x)在R上不單調(diào)遞增，③錯(cuò)誤；

X

…「(、[2+a,x<a

對(duì)于④，/(x)=2C，

x+2QX,x>a

y=2"+a在上單調(diào)遞增，

當(dāng)a<0時(shí)，設(shè)=2"+Q,顯然％(a)=2a+a單調(diào)遞增，

又'(-1)<O'‘[—己]〉0，故存在aoGL-j]，使得％(旬)二0，

當(dāng)。(4時(shí)，2"+a=0無(wú)解，即歹=2"+。在》。上無(wú)零點(diǎn)，

此時(shí)y=—+2就有兩個(gè)零點(diǎn)，。和—2。，故此時(shí)g(a)=2,

當(dāng)。>/時(shí)，y=2"+a在上有1個(gè)零點(diǎn)，

此時(shí)y=—+2ax有兩個(gè)零點(diǎn)，。和—2〃，故此時(shí)g(a)=3,

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=|2%xv0,由①知，此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，即g(a)=l,

[x>0

當(dāng)a〉0時(shí)，y=2無(wú)+a在上無(wú)零點(diǎn)，y=x2+2ax在x2a上也無(wú)零點(diǎn)，

此時(shí)g(a)=O,則函數(shù)g⑷的值域?yàn)閧0,1,2,3},④正確.

故①④

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題處理思路：

(1)直接令函數(shù)值為0,代數(shù)法求出零點(diǎn)；

(2)將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，將代數(shù)問(wèn)題幾何化，借助圖象分析，簡(jiǎn)

化了思維難度；

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.設(shè)函數(shù)/(x)=sinGxcoso+cosGxsin。0,

(1)若/(0)=|,求。的值;

712兀

(2)已知/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

71

【正確答案】(1)-

6

、兀

(2)。=1,(p=---

【分析】(1)借助兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)后代入計(jì)算即可得；

(2)由題意可得函數(shù)周期，即可得。，而后借助正弦函數(shù)性質(zhì)代入計(jì)算即可得。.

【小問(wèn)1詳解】

f(x)=sinoxcos。+costoxsin。=sin(eox+°),

/(O)=sin^=1,故o=m±g+2E(左eZ),

又時(shí)＜/,故。=今；

【小問(wèn)2詳解】

由題意可得T=2=2兀，

2兀

故悶=亍~=1，又69＞。,故G=l,

由/［笄］=1,則g+9=3+2E(左eZ),

解得夕=一弓+2hr(&eZ),又|同＜:,故夕=—「.

17.在VZ8C中，b2+c2-a2=bc.

(1)求乙4；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使V48C存在且唯一確

定，求V48c的面積.

條件①：cos8=—；

14

條件②：a+b=12-,

條件③：c=12.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答,

按第一組解答計(jì)分.

JT

【正確答案】（1）—

3

（2）答案見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)題意，利用余弦定理求得cosZ=L,即可求解；

2

（2）根據(jù)題意，若選擇①②，求得sinB,由正弦定理求得。=7,6=5,再由余弦定理求得

c=8,結(jié)合面積公式，即可求解；

若①③：先求得sin8=等，由sinC=sin（Z+8）=萼，利用正弦定理求得。=，，結(jié)

合面積公式，即可求解；

若選擇②③，利用余弦定理，列出方程求得6=0,不符合題意.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)椤?。2一2=6由余弦定理得COS'=°:一"=/,

2bc2

JT

又因?yàn)?e（0,兀），所以z=

【小問(wèn)2詳解】

7T

解：由（1）知4=—,

3

若選①②：cos5=—,a+b=12,

14

由cosB――,可得sinB—Vl—cos2B—上也,

1414

a_12-a

由正弦定理一，二—J,可得正二5百，解得。=7,則b=12—a=5,

sinAsinB——----

214

又由余弦定理/=〃+02-26ccos4，可得49=25+c?-5。,

即。2—5。-24=0,解得c=8或c=—3（舍去），

所以VABC的面積為S=-bcsmA=-x5x8x^-=10JJ.

222

若選①③：cos5=U且c=12,

14

由cosB=U,可得sin3=Jl-cos?3=夫8,

1414

因?yàn)?+3+。=兀，可得sinC=sin（4+B）=x—+—x《石，

,72142147

a12

ac-----—■-------21

由正弦定理^—=——，可得G4g，解得。=一，

smAsinC——-----2

27

所以VABC的面積為S=-acsinb=—x—x12x.

222142

若選：②③：a+6=12且c=12,

因?yàn)椤?c2_/=A，可得〃+122—（12—bp=12A,整理得24b=12b,

解得b=0,不符合題意，（舍去）.

18.某地區(qū)組織所有高一學(xué)生參加了“科技的力量”主題知識(shí)竟答活動(dòng)，根據(jù)答題得分情況評(píng)選

出一二三等獎(jiǎng)若干，為了解不同性別學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名參加活動(dòng)

的高一學(xué)生，獲獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

獲獎(jiǎng)人數(shù)

性別人數(shù)

一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)

男生200101515

女生300252540

假設(shè)所有學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立.

（1）分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，求抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)

的概率；

（2）用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1

名，以X表示這2名學(xué)生中獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

(3)用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為P。；

從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為回；從該地區(qū)高一女生中隨

機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為夕2,試比較P。與旦妻的大小結(jié)論不要求證

明)

【正確答案】(1),

240

(2)分布列見(jiàn)解析，期望EX=L

2

(3)夕?！档┛?/p>

02

C：oQ

【分析】(1)直接計(jì)算概率尸(Z)

C200C300

(2)X的所有可能取值為0,1,2,求出高一男生獲獎(jiǎng)概率和高一女生獲獎(jiǎng)概率，再計(jì)算概率

得到分布列，最后計(jì)算期望即可；

(3)計(jì)算出?。=竺，旦士匹=」，比較大小即可.

°5024

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)事件A為“分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名,

抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)”，

則尸爪殊=人

【小問(wèn)2詳解】

隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.

記事件2為“從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，該學(xué)生獲獎(jiǎng)”,

事件C為“從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，該學(xué)生獲獎(jiǎng)”.由題設(shè)知，事件3,。相互獨(dú)立,

10+15+15g,P(C)估計(jì)為25+25+403

且P(8)估計(jì)為

~20030010

所以P（x=0）=Pg6=P⑸P?=U11—吃］=2，

P(X=1)=P{BCuBC)=P(B)PC)+P(5)P(C)=1x^l-f11—3Xa=,

133

P(X=2)=P(BC)=P(5)P(C)=jx-=—.

所以X的分布列為

X012

28193

p

505050

2Qio3］

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x—+lx—+2x—=—

V'5050502

【小問(wèn)3詳解】

4〉且養(yǎng)，理由：根據(jù)頻率估計(jì)概率得

40+901352?,、右13

pa———，由(2)知夕］—，22—，

°50050200510

13

故乩+0_5+1O_］」50,

2-2-4-200

則0〉”22.

19.已知函數(shù)/'(x)=l+a(x-l)-lnx.

(1)若。=2,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程;

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若a<2,證明：當(dāng)x>l時(shí)，/(x)<e^.

【正確答案】(1)V=x

(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其切線斜率，即可得其切線方程；

(2)分a<0及。>0,結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論即可得；

(3)構(gòu)造函數(shù)g(x)=ei+hw-a(x-1)-1,多次求導(dǎo)研究其單調(diào)性即可得.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=1+2(x—1)—lux=2x—Inx—1,

則/⑴=2x1—Ini—1=1,

r(x)=2--,貝=2—1=1,

X

即曲線y=f(X)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程為>=(X-1)+1,

即V=X；

【小問(wèn)2詳解】

/(%)—a—ax1(x>0),

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)<0恒成立，故/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，若則/?'(>)<0,若則f'O)>0,

故/(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

【小問(wèn)3詳解】

令g3=4一[1+〃(％-1)-Inx]=ex-1+Inx,

g'(x)=e"T+--a,

x

令〃(x)=g'(x)=e"T+--a,則=e"T―二，

XX

令加(x)==e*T——,則m'(x)=e*T+1>0恒成立,

故力'(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則h'(x)>八'⑴=e°—1=0,

故g'(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則g'(x)>。'(1)=e°+1-a=2-a>0,

故g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則g(x)>g(l)=e°+InO—a(l—1)—1=0,即/(x)<eA1.

20.已知函數(shù)/(x)=-asinx.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，證明：函數(shù)y=/(x)—2在區(qū)間(0,兀)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn);

(3)若對(duì)任意xe[0,兀],不等式/(x)之2-cosx恒成立，求a的取值范圍.

【正確答案】(1)x+y—1=0；

(2)證明見(jiàn)解析；(3)(—8』.

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率/'⑼，結(jié)合/(0)=1可得切線方程；

(2)令g(x)=/(x)-2,求導(dǎo)后可知g'(x)>0,由此確定g(x)在(0,兀)上單調(diào)遞增,結(jié)

合零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論；

(3)A(x)=/(x)-2+cosx,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為〃(x)20恒成立；求導(dǎo)后,分析可知當(dāng)a?0時(shí),

/(X)單調(diào)遞增；當(dāng)a〉l時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理可說(shuō)明/z(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，由此可

得“對(duì)<"(0)=0,知不合題意；當(dāng)a=l時(shí)，可得〃'(x)>〃(0)=0,知〃(x)單調(diào)遞增，滿

足題意；當(dāng)。<1時(shí)，采用放縮法得/z(x)>e*-sinx+cosx-2,結(jié)合。=1時(shí)的結(jié)論可知其

滿足題意；綜合三種情況可得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=ex-2sinx,則/<x)=e、'-2cosx,

.??/'(O)=l-2=-1,又/⑼=1,

\/(X)在點(diǎn)(o,/(o))處的切線方程為：y=—x+1,即x+y—1=0.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，令g(x)=/(x)—2=eX—sinx—2,則g'(x)=e*—cosx；

x

當(dāng)xe(O,兀)時(shí)，e>e°=bcosx<L即g'(x)〉0,

???g(x)在(0,兀)上單調(diào)遞增,Xg(0)=l-2=-l<0,g(兀)=e"-2〉0,

g(x)在(0,兀)上有唯一零點(diǎn)，即/(x)-2在(0,兀)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【小問(wèn)3詳解】

令A(yù)(x)=f(x)-2+cosx=ex-?sinx+cosx-2,

則對(duì)任意XE［O,兀］,/z(x)20恒成立；又“(X)=e"-acosx-sinx,

令/(x)="(x),則，⑴=ex+sinx-cosx；

當(dāng)時(shí)，若xe［0,兀|,則ex>e°=1>cosx<1,sinx>0,

(x)20在［0,兀］上恒成立，則”(x)在［0,兀］上單調(diào)遞增；

①當(dāng)a〉l時(shí)，=1—(7<0,〃'(兀)=e"+a〉0,

,

3x0e(0,7t),使得力'(%)=0,且當(dāng)xe(O,x())時(shí)，A(x)<0,

.?.〃(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，此時(shí)欠無(wú))<可0)=0,不合題意；

②當(dāng)a=l時(shí)，/2(x)=ex-sinx+cosx-2；

當(dāng)xe(0,兀)時(shí),l(x)>l(O)=O,則”x)在［0,可上單調(diào)遞增,

.?./?(切2”0)=0恒成立，滿足題意；

③當(dāng)a<1時(shí)，/2(%)=e*—asinx+cosx-2>ex-sinx+cosx-2,

由②知：對(duì)任