第5節(jié) 古典概型、概率的基本性質(zhì)VIP

第5節(jié)古典概型、概率的基本性質(zhì)考試要求1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所包含的樣本點及事件發(fā)生的概率.3.當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時，可轉(zhuǎn)化為求幾個互斥事件的概率之和或其對立事件的概率．【知識梳理】1．古典概型具有以下特征的試驗叫做古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：樣本空間的樣本點只有________；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性______________．2．古典概型的概率公式設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝________＝eq\f(n（A）,n（Ω）).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．3．概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝____________；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[常用結(jié)論與微點提醒]概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時P(A∩B)＝0.【診斷自測】1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其樣本點是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件．()(3)從－3，－2，－1，0，1，2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0或不小于0的可能性相同．()(4)從1，2，3這三個數(shù)中任取兩個數(shù)，其和不小于4的概率為eq\f(2,3).()2．(必修二P237例7改編)單項選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案．如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案．假設(shè)考生有一題不會做，他隨機地選擇一個答案，答對的概率是________．3．袋中裝有大小、形狀完全相同的6個白球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為______________．4．某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，有3次中9環(huán)，有4次中8環(huán)，有1次未中靶．假設(shè)此人再射擊1次，則中靶的概率約為____________．考點一古典概型例1(1)(2024·東莞調(diào)研)甲、乙、丙、丁四人在足球訓(xùn)練中進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙、丙、丁中的任何一個人，以此類推，則經(jīng)過3次傳球后乙恰好接到1次球的概率為()A.eq\f(14,27) B．eq\f(5,9)C.eq\f(16,27) D．eq\f(17,27)(2)(2024·沈陽模擬)如圖為一個開關(guān)陣列，每個開關(guān)只有“開”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個開關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰(上、下相鄰或左、右相鄰)的開關(guān)改變狀態(tài)．若從這十六個開關(guān)中隨機選兩個不同的開關(guān)先后各按1次(例如：先按(1，1)，再按(4，4))，則(2，3)和(4，1)的最終狀態(tài)都未發(fā)生改變的概率為________．(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升求樣本空間中樣本點個數(shù)的方法(1)枚舉法：適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題．(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定樣本點時(x，y)可看成是有序的，如(1，2)與(2，1)不同；有時也可看成是無序的，如(1，2)與(2，1)相同．(3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點個數(shù)時，可利用排列或組合的知識．訓(xùn)練1(1)(2023·益陽調(diào)研)2022年10月12日“天宮課堂”首次在問天實驗艙中授課，航天員老師們演示和講解的多種實驗，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．在一次模仿操作實驗中，學(xué)生們從標(biāo)號分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9種不同的種子中隨機抽取2種種子進(jìn)行實驗，則抽到的2種不同的種子的標(biāo)號之和恰為10的概率為()A.eq\f(1,9) B．eq\f(1,15)C.eq\f(5,36) D．eq\f(4,45)(2)(2023·全國乙卷)某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為()A.eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)考點二概率的基本性質(zhì)例2從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里，遇到紅燈個數(shù)的概率如表所示：紅燈個數(shù)0123456個及6個以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母a的值；(2)求至少遇到4個紅燈的概率；(3)求至多遇到5個紅燈的概率．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升復(fù)雜事件概率的求解方法(1)對于一個較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時，原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和．(2)當(dāng)求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語時，常?？紤]其對立事件，通過求其對立事件的概率，然后轉(zhuǎn)化為所求問題．訓(xùn)練2(多選)(2024·河北名校聯(lián)考)中國籃球職業(yè)聯(lián)賽中，某男籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的得分情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，則()A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18C．P(C)＝0.27 D．P(B∪C)＝0.55考點三古典概型的綜合應(yīng)用例3(2024·南充診斷)某大學(xué)“愛牙協(xié)會”為了解“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”情況之間的關(guān)系，隨機對200名青少年展開了調(diào)查，得知這200個人中共有120個人“有蛀牙”，其中“不愛吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的有50人．有2×2列聯(lián)表如表所示．有蛀牙無蛀牙總計愛吃甜食不愛吃甜食總計(1)根據(jù)已知條件完成如表所示的2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，能否認(rèn)為“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”有關(guān)；(2)若從“無蛀牙”的青少年中用分層隨機抽樣的方法抽取8人做進(jìn)一步調(diào)查，再從抽取的這8人中隨機抽取2人去擔(dān)任“愛牙宣傳志愿者”，求抽取的2人都是“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的青少年的概率．附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.α0.050.010.005xα3.8416.6357.879________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型．概率與統(tǒng)計的結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵．復(fù)雜事件的概率可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟栴}．訓(xùn)練3某城市100戶居民的月平均用電量(單位：千瓦時)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖．(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為[240，260)，[260，280)，[280，300]的三組用戶中，用分層隨機抽樣的方法抽取6戶居民，并從抽取的6戶中任選2戶參加一個訪談節(jié)目，求參加節(jié)目的2戶來自不同組的概率．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________