2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 3.3.3 函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（教師用書）教學(xué)實錄 新人教A版選修1-1

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.33.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（教師用書）教學(xué)實錄新人教A版選修1-1科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.33.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（教師用書）教學(xué)實錄新人教A版選修1-1教材分析2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（教師用書）教學(xué)實錄新人教A版選修1-1，本節(jié)課以函數(shù)的極值概念為切入點，引導(dǎo)學(xué)生通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的最大值和最小值。課程設(shè)計注重理論與實踐相結(jié)合，通過實例講解和練習(xí)鞏固，幫助學(xué)生掌握函數(shù)極值求解的方法。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)的能力，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。通過實例探究，使學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值中的應(yīng)用，增強數(shù)學(xué)抽象和直觀想象能力。同時，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已具備函數(shù)的基本概念、導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)知識。他們能夠運用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減性，但可能對函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系理解不夠深入。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科普遍感興趣，尤其是在探索數(shù)學(xué)規(guī)律和解決問題方面。他們具備較強的邏輯思維能力，但在面對抽象概念時，部分學(xué)生可能表現(xiàn)出一定的畏難情緒。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，學(xué)生既有偏于直觀理解，也有偏好邏輯推理的，需要教師根據(jù)不同風(fēng)格進(jìn)行差異化教學(xué)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學(xué)生在理解函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系時，可能會遇到以下困難：一是對導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解不夠深刻，二是無法準(zhǔn)確判斷導(dǎo)數(shù)為零的點是否為極值點，三是缺乏解決實際問題的經(jīng)驗，難以將所學(xué)知識應(yīng)用于具體情境。針對這些困難，教師應(yīng)通過實例講解、小組討論等方式幫助學(xué)生克服。教學(xué)資源-多媒體教學(xué)設(shè)備：投影儀、計算機、電子白板

-課程平臺：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)平臺或在線教學(xué)平臺

-信息化資源：函數(shù)圖像軟件、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)網(wǎng)站資源

-教學(xué)手段：實物教具（如函數(shù)圖像板）、教學(xué)模型、課堂練習(xí)冊教學(xué)過程設(shè)計**導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）**

1.創(chuàng)設(shè)情境：展示生活中常見的物體，如山峰、水壩等，提問學(xué)生這些物體是否具有最大高度或最小寬度，從而引出函數(shù)的最大值和最小值的概念。

2.提出問題：引導(dǎo)學(xué)生思考如何找到這些物體的最大值或最小值，激發(fā)學(xué)生對導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)極值中的應(yīng)用的興趣。

3.引導(dǎo)學(xué)生回顧：簡要回顧函數(shù)單調(diào)性的知識，為引入導(dǎo)數(shù)概念做鋪墊。

**講授新課（20分鐘）**

1.導(dǎo)數(shù)概念：介紹導(dǎo)數(shù)的定義，通過實例講解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系。

2.極值與導(dǎo)數(shù)：講解函數(shù)極值的概念，通過實例分析導(dǎo)數(shù)為零的點是否為極值點，以及如何判斷極值的類型（極大值或極小值）。

3.求解極值：介紹求解函數(shù)極值的方法，包括求導(dǎo)數(shù)、判斷導(dǎo)數(shù)的符號變化等步驟。

4.練習(xí)講解：展示幾個典型例題，講解如何運用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值。

**鞏固練習(xí)（15分鐘）**

1.小組討論：將學(xué)生分成小組，每個小組討論一個函數(shù)，嘗試運用導(dǎo)數(shù)求解其極值。

2.小組匯報：每組選派代表匯報討論結(jié)果，教師點評并糾正錯誤。

3.練習(xí)鞏固：發(fā)放練習(xí)題，要求學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)完成，教師巡視指導(dǎo)。

**課堂提問（5分鐘）**

1.提問學(xué)生：什么是函數(shù)的極值？如何判斷一個點是否為極值點？

2.學(xué)生回答：教師總結(jié)并強調(diào)重點。

**師生互動環(huán)節(jié)（10分鐘）**

1.教師提問：如何利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最大值和最小值？

2.學(xué)生回答：教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，并總結(jié)解題步驟。

3.教師提問：在求解極值時，需要注意哪些問題？

4.學(xué)生回答：教師總結(jié)并強調(diào)注意事項。

**創(chuàng)新教學(xué)環(huán)節(jié)（5分鐘）**

1.案例分析：展示一個實際案例，如工程設(shè)計中的優(yōu)化問題，引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題。

2.學(xué)生討論：分組討論案例，提出解決方案。

3.小組匯報：每組選派代表匯報討論結(jié)果，教師點評并總結(jié)。

**總結(jié)與拓展（5分鐘）**

1.總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強調(diào)導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)極值中的應(yīng)用。

2.拓展思考：引導(dǎo)學(xué)生思考導(dǎo)數(shù)在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，如微分方程、優(yōu)化問題等。

**用時分鐘**：5+20+15+5+10+5+5=60分鐘

**注意**：以上教學(xué)過程設(shè)計為示例，實際教學(xué)過程中可根據(jù)學(xué)生情況和教學(xué)環(huán)境進(jìn)行調(diào)整。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性：探討函數(shù)在連續(xù)與可導(dǎo)性之間的關(guān)系，通過實例分析導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)連續(xù)性中的作用。

-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：介紹導(dǎo)數(shù)在物理、工程、經(jīng)濟等領(lǐng)域的應(yīng)用，如速度、加速度、優(yōu)化問題等。

-極值問題的應(yīng)用：研究極值在實際生活中的應(yīng)用，如成本最小化、利潤最大化等經(jīng)濟問題。

-高階導(dǎo)數(shù)：引入高階導(dǎo)數(shù)的概念，講解其幾何意義和應(yīng)用，如拐點、凹凸性等。

-導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用：探討導(dǎo)數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用，如曲線的切線、法線等。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書籍：推薦學(xué)生閱讀《高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論》、《微分方程及其應(yīng)用》等書籍，加深對導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的理解。

-參加數(shù)學(xué)競賽：鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，如數(shù)學(xué)建模競賽、數(shù)學(xué)奧林匹克競賽等，提高數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。

-觀看教學(xué)視頻：推薦學(xué)生觀看在線教學(xué)視頻，如《高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論》、《微分方程及其應(yīng)用》等，通過視頻講解加深對知識點的理解。

-實驗探究：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實驗探究，如利用計算機軟件繪制函數(shù)圖像，觀察導(dǎo)數(shù)在函數(shù)圖像上的表現(xiàn)。

-小組合作學(xué)習(xí)：鼓勵學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組，共同探討函數(shù)極值問題，提高團隊合作能力和交流能力。

-實際問題解決：引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識應(yīng)用于實際問題，如工程設(shè)計、經(jīng)濟決策等，提高學(xué)生的實際應(yīng)用能力。教學(xué)評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-學(xué)生參與度：觀察學(xué)生在課堂上的參與程度，包括提問、回答問題、參與討論等。評價學(xué)生是否能夠積極思考，主動參與課堂活動。

-課堂紀(jì)律：評估學(xué)生的課堂紀(jì)律，包括是否遵守課堂規(guī)則、是否尊重他人發(fā)言等。

-學(xué)習(xí)態(tài)度：觀察學(xué)生對學(xué)習(xí)的態(tài)度，如是否認(rèn)真聽講、是否積極完成作業(yè)等。

2.小組討論成果展示：

-小組合作能力：評價學(xué)生在小組討論中的合作能力，包括分工合作、溝通協(xié)調(diào)、共同解決問題等。

-討論內(nèi)容質(zhì)量：評估小組討論的內(nèi)容是否與課程內(nèi)容相關(guān)，討論是否深入，是否能夠提出有價值的觀點。

-展示效果：評價學(xué)生在展示討論成果時的表達(dá)能力和邏輯思維能力。

3.隨堂測試：

-知識掌握程度：通過隨堂測試評估學(xué)生對本節(jié)課知識點的掌握情況，包括對導(dǎo)數(shù)概念、極值求解方法等的理解。

-應(yīng)用能力：測試學(xué)生能否將所學(xué)知識應(yīng)用于解決實際問題，如求解函數(shù)的極值。

-時間管理：評估學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)完成測試的能力，以及是否能夠合理安排時間。

4.學(xué)生自評與互評：

-學(xué)生自評：鼓勵學(xué)生在課后進(jìn)行自我評價，反思自己在課堂上的表現(xiàn)，包括學(xué)習(xí)態(tài)度、參與度、討論貢獻(xiàn)等。

-學(xué)生互評：組織學(xué)生進(jìn)行互評，相互評價在小組討論和課堂活動中的表現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生之間的相互學(xué)習(xí)和成長。

5.教師評價與反饋：

-針對課堂表現(xiàn)：針對學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，給予具體、有針對性的評價，如“在小組討論中，你提出了很有價值的觀點，值得大家學(xué)習(xí)?！?/p>

-針對學(xué)習(xí)成果：評價學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的成果，如“你在隨堂測試中取得了很好的成績，繼續(xù)保持?！?/p>

-針對改進(jìn)建議：針對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的問題，提出改進(jìn)建議，如“在求解極值時，注意觀察導(dǎo)數(shù)的符號變化，這樣可以更快地找到極值點?！?/p>

-針對個性化指導(dǎo)：針對不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提供個性化的指導(dǎo)，如“對于對導(dǎo)數(shù)概念理解不夠深入的學(xué)生，建議課后多做一些相關(guān)練習(xí)?！?/p>

-針對長期發(fā)展：關(guān)注學(xué)生的長期發(fā)展，鼓勵學(xué)生設(shè)定學(xué)習(xí)目標(biāo)，并給予必要的支持和鼓勵。典型例題講解例題1：求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。

解答：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。將這兩個點代入原函數(shù)，得到f(1)=2和f(2/3)=-1/27。又因為f(0)=-1，f(2)=1，所以函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最大值為2，最小值為-1/27。

例題2：已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求f(x)的極值。

解答：求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。將這兩個點代入原函數(shù)，得到f(1)=3和f(3)=1。由于f'(x)的符號變化，當(dāng)x<1時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x<3時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>3時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，x=1是極大值點，極大值為3；x=3是極小值點，極小值為1。

例題3：求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+9x-7的極值。

解答：求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。將這兩個點代入原函數(shù)，得到f(1)=-4和f(3)=2。由于f'(x)的符號變化，當(dāng)x<1時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x<3時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>3時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，x=1是極大值點，極大值為-4；x=3是極小值點，極小值為2。

例題4：已知函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，求f(x)的極值。

解答：求導(dǎo)數(shù)f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，令f'(x)=0，解得x=1或x=2或x=1/2。將這三個點代入原函數(shù)，得到f(1)=0，f(2)=1，f(1/2)=0。由于f'(x)的符號變化，當(dāng)x<1/2時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)1/2<x<1時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)1<x<2時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>2時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，x=1/2和x=1是極大值點，極大值分別為0；x=2是極小值點，極小值為1。

例題5：求函數(shù)f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+8的極值。

解答：求導(dǎo)數(shù)f'(x)=4x^3-24x^2+44x-24，令f'(x)=0，解得x=1或x=2或x=3。將這三個點代入原函數(shù)，得到f(1)=5，f(2)=0，f(3)=1。由于f'(x)的符號變化，當(dāng)x<1時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x<2時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)2<x<3時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>3時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，x=1和x=3是極大值點，極大值分別為5；x=2是極小值點，極小值為0。教學(xué)反思與總結(jié)今天這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的最大值和最小值，通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來求解?；仡櫼幌?，我覺得有幾個地方做得還不錯，也有一些地方可以改進(jìn)。

首先，我覺得導(dǎo)入環(huán)節(jié)挺成功的。我用生活中的例子引入，讓學(xué)生們覺得數(shù)學(xué)不是高高在上的，而是和生活緊密相連的。學(xué)生們對如何找到山峰的最高點或水壩的最寬處表現(xiàn)出了濃厚的興趣，這讓我很高興。

在講授新課的時候，我盡量用簡單的語言解釋了導(dǎo)數(shù)的概念和極值的判斷方法。我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生們對導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解得比較快，但是在判斷極值時，有些學(xué)生還是有點困難。這說明我在講解時可能需要更加細(xì)致，特別是對于那些容易混淆的點，比如導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點，這一點需要反復(fù)強調(diào)。

鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，我讓學(xué)生們分組討論，這個方法我覺得挺有效的。學(xué)生們在討論中互相啟發(fā)，共同解決問題，這樣的合作學(xué)習(xí)氛圍讓我很欣慰。不過，我也注意到，有些學(xué)生可能因為害羞或者不自信，沒有很好地參與到討論中去。這讓我意識到，在今后的教學(xué)中，我需要更多地鼓勵那些不太活躍的學(xué)生，讓他們也能參與到課堂活動中來。

課堂提問環(huán)節(jié)，我盡量讓每個學(xué)生都有機會回答問題。我發(fā)現(xiàn)，通過提問，我能更好地了解學(xué)生對知識的掌握程度。有些問題，學(xué)生們能迅速給出答案，這說明他們對這部分內(nèi)容掌握得不錯；而有些問題，學(xué)生們需要思考一會兒才能回答，這提醒我需要在今后的教學(xué)中加強對這些知識點的講解。

當(dāng)然，教學(xué)過程中也有一些不足之處。比如，我在講解極值求解方法時，可能過于依賴公式，而沒有讓學(xué)生充分理解背后的原理。這導(dǎo)致有些學(xué)生在遇到稍微復(fù)雜一點的函數(shù)時，就不知道如何下手。因此，我需要在今后的教學(xué)中，更加注重引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

教學(xué)總結(jié)方面，我覺得學(xué)生們在這節(jié)課上收獲了不少。他們對函數(shù)極值的概念有了更深入的理解，也學(xué)會了如何運用導(dǎo)數(shù)來求解極值。在情感態(tài)度方面，學(xué)生們對數(shù)學(xué)的興趣似乎也有所提升，這讓我感到非常高興。

針對教學(xué)中存在的問題和不足，我提出以下改進(jìn)措施和建議：

1.在講解新概念時，多結(jié)合實例，讓學(xué)生通過實例理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

2.在課堂活動中，更多地關(guān)注那些不太活躍的學(xué)生，鼓勵他們積極參與。

3.加強對學(xué)生的個別輔導(dǎo)，針對學(xué)生的不同需求，提