2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：相似模型之母子型（共邊共角）模型解讀與提分訓(xùn)練（原卷版+解析）

專題25相似模型之母子型（共邊共角）模型

相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，

是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解

模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。

目錄導(dǎo)航］

例題講模型

............................................................................1

模型L“母子型,，模型（共邊共角模型）........................................................1

習(xí)題練模型］

例題講模型］

【知識儲備】母子型相似證明題一般思路方法：

①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；

②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；

③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；

④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。

模型1.，，母子型，，模型（共邊共角模型）

模型解讀

“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三

角形相似。

DBC

圖2圖4

1）“母子，，模型（斜射影模型）

條件：如圖1,ZC=ZABD；結(jié)論：AABDS^ACB,AB2ADAC.

證明：'：ZC=ZABD,NDAB=NBAC,AAADB^/\BAC,.?.絲=絲，：.AB2=ADAC.

ABBC

2）雙垂直模型（射影模型）

條件：如圖2,ZACB=90°,CD±AB；

結(jié)論：AACDsAABCsACBD；CA2=ADAB,BC2=BDBA,CD'=DADB.

證明：ZACB=90°,CD1AB,：.ZA+ZACD=9Q°,ZA+ZB=9Q°,：.ZB^ZACD,

VZA=ZA,/.AACD^AABC,.?.生=絲，：.AC2=ADAB,同理可證：BC2^BDBA,CU=DA-DB.

ABAC

3）“母子”模型（變形）

條件：如圖3,ZD=ZCAE,AB=AC；結(jié)論：△A8OSZ\ECA；

證明：'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZDBA=ZACE,'：ZD=ZCAE,：.^ABD^AECA

4）共邊模型

條件：如圖1,在四邊形A3CD中，對角線平分/ABC,ZADB=ZDCB,結(jié)論：BD2=BA-BC-,

證明：：對角線平分NA8C,

VZADB=ZDCB,：.^ADB^/\DCB,:.理=些,：.BD2=BABC

DBBC

例1.（2024.河北石家莊.二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，ABAE=ZDAC,AB=9,

AD=12,則CE■長為（）

例2.（2023?湖北孝感?模擬預(yù)測）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點(diǎn)尸

RPAp

是線段A5上一點(diǎn)（AP〉5P）,若滿足黑=黑，則稱點(diǎn)尸是A5的黃金分割點(diǎn).黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)

APAB

習(xí)中也處處可見，比如我們把有一個(gè)內(nèi)角為36。的等腰三角形稱為“黃金三角形”.

⑴應(yīng)用：如圖1,若點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)（AC>BC）,若筋=1,則AC的長為.

（2）運(yùn)用：如圖2,已知等腰三角形ABC為“黃金三角形"，AB=AC,NA=36。，3D為/ABC的平分線.求

證：點(diǎn)。是AC的黃金分割點(diǎn).（3）如圖3中，AB^AC,ZA=36°,M平分/ABC交AC于尸，取A3的

中點(diǎn)E,連接E尸并延長交BC的延長線于BC=1,請你直接寫出CM的長為__________.

C

圖3

例3.（22-23八年級下?湖南衡陽?期中）如圖，在矩形A5CD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)0,CELBD于

點(diǎn)E,已知3E:DE=3:1,BD=26,則矩形ABCD的周長為

BT--------------------

例4.（2024?廣西南寧?三模）閱讀與思考，完成后面的問題.

射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理.如圖，在中，ZSAC=90°,是

斜邊8c上的高，則有如下結(jié)論：

①AD2=BDDC；?AB1=BDBC-,@AC2=CDBC.下面是該定理的證明過程（部分）：

：AO是斜邊BC上的高，AZADB^90°=ZADC.'：ZB+ZBAD=90°,ZB+ZC=90°,

/./BAD=NC./\ABD^Z^CAD（依據(jù)）.=.即AD2=BD-DC.

ADCD

H

⑴材料中的“依據(jù)”是指.;（2）選擇②或③其中一個(gè)結(jié)論加以證明;

（3）應(yīng)用：ABC中，ZA=90°,C（-3,0）,點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

例5.（2023?山東淄博?九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知一ABP,點(diǎn)C,。在邊上，連接PC,尸。，使ZADP=60。，

且（1）請判定了CD的形狀，并說明理由；（2）若AC=2,BD=3,求一AB尸的面積.

例6.（2024?浙江溫州?三模）如圖，在銳角三角形ABC中，AC>BC.以點(diǎn)C為圓心3C長為半徑畫弧，交

邊A3于點(diǎn)。，連接CD.點(diǎn)E是CB延長線上的一點(diǎn)，連接AE,若平分NC4E.

⑴求證：ACQsAE&（2）當(dāng)AZ）=RD時(shí)，求生的值.

例7.（2024?河南?二模）三角形的布洛卡點(diǎn)^Brocardpoint^是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾

（A.LCre//el780-1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意.1875年，布洛卡點(diǎn)被

一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡（Bracarrfl845-1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.如圖1,若一ABC內(nèi)

一點(diǎn)尸滿足===則點(diǎn)尸是，1BC的布洛卡點(diǎn)，是布洛卡角.

（1）如圖2,點(diǎn)P為等邊三角形ABC的布洛卡點(diǎn)，則布洛卡角的度數(shù)是；PA,PB、PC的數(shù)量關(guān)系

是；（2）如圖3,點(diǎn)尸為等腰直角三角形ABC（其中/BAC=90。）的布洛卡點(diǎn)，且N1=N2=N3.

①請找出圖中的一對相似三角形，并給出證明；②若的面積為求PBC的面積.

例8.（2024?四川廣元?中考真題）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是

培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段.小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形

（如圖1）產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決.

在一ABC中，點(diǎn)。為邊AB上一點(diǎn)，連接。"（1）初步探究：如圖2,若NACD=ZB,求證：AC2=ADAB；

（2）嘗試應(yīng)用：如圖3,在（1）的條件下，若點(diǎn)。為A2中點(diǎn)，BC=4,求CO的長；（3）創(chuàng)新提升：如圖4,

點(diǎn)E為8中點(diǎn)，連接8E,若NCDB=NCBD=30°,ZACD=NEBD,AC=2幣,求3E的長.

圖3圖4

習(xí)題練模型

1.（2022?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在J1BC中，AB=AC,ZB=36°.分別以點(diǎn)4C為圓心，大于

的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)DE,作直線DE分別交AC,8C于點(diǎn)RG.以G為圓心，GC長為半

徑畫弧，交BC于點(diǎn)H,連結(jié)AG,AH.則下列說法簿誤的是（）

A.AG=CGB.ZB=2,ZHABC._CAH二BAGD.BG2=CGCB

2.（2024?河北張家口?一模）如圖，點(diǎn)。在，ABC的邊AC上，添加一個(gè)條件，使得，AD3sA5c.以下是

天翼和往琛的做法.下列說法不正確的是（）

天冀的做法：添加條件ZA5O=NC.

證明：?：ZABD=ZC,NA=NA..ADB^ABC（兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）

往琛的做法：添加條件要=黃.

ACCn

證明：,??NA=/A,±|=哭.ADBsABC（兩組對應(yīng)邊成比例及一組對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似）

ACCB

A.天翼的做法證明過程沒有問題B.往琛的做法證明過程沒有問題

C.天翼的做法添加的條件沒有問題D.往琛的做法添加的條件有問題

3.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)E在線段上（不與點(diǎn)8,點(diǎn)。重

合），ZAED=2ZADE,則DE的長為（）

At--------------------------

A.7.8B.V51C.7.5D.8

4.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4,則這個(gè)正五邊形的對角線AC的長是

5.（2024?四川成都.中考真題）如圖，在中，NC=90。，AD是,ABC的一條角平分線，E為AD中

點(diǎn)，連接BE.若BE=BC,CD=2,貝|即=

6.（23-24九年級下?遼寧本溪?階段練習(xí)）如圖，在ABC中，AB=2AC.以點(diǎn)A為圓心，以AC的長為半徑

作弧交邊于點(diǎn)D分別以點(diǎn)D,C為圓心，以大于1C。的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作射線AP交

2

于點(diǎn)￡，則線的值為.

7.（23-24九年級上?陜西漢中?期中）如圖，點(diǎn)C、。在線段A3上，且C。是等腰直角」.PCD的底邊.當(dāng)

△PDfisaACP時(shí)（尸與A、8與尸分別為對應(yīng)頂點(diǎn)），ZAPB=

P

ACDB

8.（2024.河北邢臺?校考二模）如圖1,在［ABC中，AB=AC,BC=24,tanC=（，點(diǎn)P為8C邊上一

點(diǎn)，則點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離為.如圖2,連接AP,作NAPQ,使得NAPQ=NB,P。交AC于Q,

則當(dāng)3尸=11時(shí)，A。的長為.

9.（2023?山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，以點(diǎn)C為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AC,BC

于點(diǎn)。，E；分別以點(diǎn)。，E為圓心，大于;OE的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)尸；作射線C尸交A3于點(diǎn)G,

若AC=9,BC=6,3CG的面積為8,則ACG的面積為.

10.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，43,4）（￡是正五邊形4?8匠的對角線，與CE相交于點(diǎn)尸.下

列結(jié)論：①CP平分/ACD；②AF=2DF；③四邊形是菱形；@AB2^ADEF

其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

11.（2024.湖北黃石?三模）已知菱形ABCD中，點(diǎn)￡、G分別為邊AD、上一點(diǎn)，連接CE、EG.若

ZDCE=ZAEG,ED=2AE=4,EG=叵,則CE的長

3

12.（2024?廣東九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、。在線段上，且APC。是等邊三角形.ZAPB=120°.

（1）求證：AACPSAPDB；（2）當(dāng)AC=4,8。=9時(shí)，試求CD的值.

ADB

13.（2022?江西?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長線上，ZACD=ZABE.

⑴求證：ABCs一AEB；（2）當(dāng)AB=6,AC=4時(shí)，求AE的長.

14.（2024?上海?中考真題）如圖所示，在矩形A3CD中，E為邊CD上一點(diǎn)，且

⑵為線段延長線上一點(diǎn)，且滿足所尸二求證：CE=AD.

⑴求證:AD'OERC;bAE=C30,

15.（2024?四川南充?二模）在矩形ABC。中，AD>AB,在AD邊上截取AE,使AE=AB,點(diǎn)。為AC的中

點(diǎn).如圖1,連接E。并延長交BC于點(diǎn)尸，連接BE交AC于點(diǎn)G.

⑴求證：CD=CF；⑵若NACB=30。，證明G￡2=OC-OG.

（3汝口圖2,若AC=10,連接CE,當(dāng)CE取最小值時(shí)，求CE的最小值及矩形ABCD的面積.

16.（2023?山西臨汾?統(tǒng)考二模）閱讀與思考

請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

規(guī)定：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的"倍，則稱三角形為“"倍角三角形”.當(dāng)〃=1時(shí),

稱為“1倍角三角形”，顯然等腰三角形是“1倍角三角形"；當(dāng)"=2時(shí)，稱為“2倍角三角形”，小康通過探索

后發(fā)現(xiàn)：“2倍角三角形”的三邊有如下關(guān)系.

如圖，在，ABC中，NBAC,ZB,NC所對的邊分別為a,b,c,若ZBAC=2ZB,貝心之一萬三歷.

下面是小康對“2倍角三角形”的結(jié)論的兩種探索證明過程：

證法1：如圖1,作ZBAC的平分線AD,NBAD=NCAD=|ABAC.

/BAC=2/B,:./BAD=/CAD=ZB

ACDCAD

^ACD=^BCAs..心ACD?BCA---==---

BCACAB

設(shè)。C=x,貝UAZ>=5r）=a—九.AC=b,BC=a,AB=c

bXa-X2222

=~=----b=axja—ax=bc.\a-b—be

abc

證法2：如圖2,延長C4到點(diǎn)。，使得AD=AB=c,連接3。，……

任務(wù):（1）上述材料中的證法1是通過作輔助線,構(gòu)造出_________三角形來加以證明的（填“全等”或“相似”）.

（2）請補(bǔ)全證法2剩余的部分.

17.（23-24九年級下?河南南陽?階段練習(xí)）如圖，在ABC中，/被；=N54C=45。，點(diǎn)P為內(nèi)的

AP

一個(gè)動點(diǎn)，已知/母％=135。，ZAPC=90°.（1）求證：△BPAMCPB；（2）求一的值.

18.（2023?廣東深圳?一模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①所示，在等腰直角JWC中，點(diǎn)。，。分別為邊54,BC

上一點(diǎn)，且03=00,延長0。交射線C4于點(diǎn)E,則有下列命題：①②△￡ZMS/^ECO；

③ABDOsAEDA；請你從中選擇一個(gè)命題證明其真假，并寫出證明過程；

【類比遷移】（2）如圖②所示，在等腰，ABC中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)D,。分別為邊及1,8C上一

點(diǎn)，且6?=OD,延長0D交射線C4于點(diǎn)E,若03=2,求AE的值；

【拓展應(yīng)用】（3）在等腰_ABC中，AB=AC=a,BC=b,（a<b<2a）,點(diǎn)、D,。分別為射線54,BC±

一點(diǎn)，且。?=OD,延長。。交射線C4于點(diǎn)E,當(dāng)八位）。為等腰三角形時(shí)，請直接寫出。3的長（用a,b

④

③

19.（2024?遼寧大連?三模"課堂背景】大連市某中學(xué)的王老師以“幾何題目開放探索”為主題，開展了一節(jié)“綜

合與實(shí)踐”的數(shù)學(xué)課.課堂上，王老師給出了這樣一個(gè)圖形，供同學(xué)們發(fā)揮幾何思維.

【設(shè)置情景】王老師給出了如下幾何圖形：

“如圖1,已知中，點(diǎn)。為3C邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為一ABC外一點(diǎn)，連接AE、EC.此時(shí)我們假設(shè)這個(gè)幾

何圖形滿足=的數(shù)量關(guān)系.”

【提出問題】擅長幾何的小胖同學(xué)經(jīng)過思索后，為題目增加如下條件，請你幫他作答.

（1）“若/3+/石=，（0。＜。＜180。），AB=CE,再給出8。和AE的長度，可以求出8的長度.”為了簡

化計(jì)算，王老師提出令6=150。，BD=1,AE=2,求的長（結(jié)果無需化簡）；

（2）在小胖的啟發(fā)下，同學(xué)們紛紛開始積極地進(jìn)行討論.后來，小明與他的小組更改了題目的部分信息，

令點(diǎn)E在3C上運(yùn)動，將條件“//兇。=/區(qū)4。+/?6”改為了“2/朋￡）=2/胡。=/3"，其他條件不變，

想要探究邊的關(guān)系.王老師根據(jù)他們關(guān)于題目的修改，提出問題，請你解答.

【拓展探索】“如圖2,已知ABC中，點(diǎn)。為8C邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，2NBAD=2NEAC=NB,

若BC=2,探究AB、AC,EC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

20.（2023?寧夏?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

問題背景：數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36。的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣

并展開探究.

探究發(fā)現(xiàn)：如圖1,在中，ZA=36°,AB^AC.

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使邊3C落在邊54上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,折痕交AC于點(diǎn)O,連接DE,

DB,貝1!/&)￡=°,設(shè)AC=1,BC=x,那么AE=.（用含x的式子表示）;

（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：警^=必二1,這個(gè)比值被稱為黃金比.在（1）的條件下試證明：解G=好匚

腰AC2腰AC2

拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的，ABC是

黃金三角形.如圖2,在菱形ABCD中，ZBAD=72°,AB=1.求這個(gè)菱形較長對角線的長.

專題25相似模型之母子型（共邊共角）模型

相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，

是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解

模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。

目錄導(dǎo)航］

例題講模型

.......................................................................................................................................................14

模型L，，母子型，，模型（共邊共角模型）......................................................14

習(xí)題練模型［

.......................................................................................................................................................24

例題講模型n

【知識儲備】母子型相似證明題一般思路方法：

①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；

②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；

③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；

④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。

模型1.“母子型”模型（共邊共角模型）

模型解讀

“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三

角形相似。

14

模型證明

圖1圖2圖3圖4

1）“母子，，模型（斜射影模型）

條件：如圖1,ZC=ZABD；結(jié)論：AB2ADAC.

證明：'：ZC=ZABD,ZDAB=ZBAC,/.AADB^ABAC,.?.絲=絲，：.AB2=ADAC.

ABBC

2）雙垂直模型（射影模型）

條件：如圖2,ZACB=90°,CDLAB-,

結(jié)論：AACDsAABCsACBD；CA1=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB.

證明：ZACB=90°,CD1AB,：.ZA+ZACD=90°,ZA+ZB=90°,：.ZB^ZACD,

VZA=ZA,/.AACD^AABC,.?.生=絲，：.AC2=ADAB,同理可證：BC?=BD-BA,CU=DA，DB.

ABAC

3）“母子”模型（變形）

條件：如圖3,ZD=ZCAE,AB=AC；結(jié)論：△A8OSZ\ECA；

證明：'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZDBA=ZACE,'：ZD=ZCAE,：.^ABD^AECA

4）共邊模型

條件：如圖1,在四邊形A3CD中，對角線平分/ABC,ZADB=ZDCB,結(jié)論：BD2=BA-BC-,

證明：：對角線平分NA8C,

VZADB=ZDCB,：.^ADB^/\DCB,:.理=些,：,BD2=BABC

DBBC

模型運(yùn)用

例1.（2024.河北石家莊.二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，NBAE=NDAC,AB=9,

AD=12,則CE長為（）

15

-48

A.3B.3C.9D.——

47

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形ABCD,得到AD=3C=12,A。BC,繼而得到N3C4=,結(jié)合

NBAE=N/MC得到NBC4=/54E,結(jié)合=NB證明,列出比例式解答即可.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，相似的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】：平行四邊形A3CO,AD=BC=12,A￡)BC,：.ZBCA=ZDAC,

?：ZBAE=ZDAC,?.ZBCA=NBAE,

ABBE9看，解得公彳

VZB=ZB,：./\BAE^/\BCA,；

BCBA12

21

故=故選A.

例2.（2023?湖北孝感?模擬預(yù)測）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點(diǎn)尸

RPAp

是線段上一點(diǎn)（4尸>3尸），若滿足瓦=布,則稱點(diǎn)「是的黃金分割點(diǎn).黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)

習(xí)中也處處可見，比如我們把有一個(gè)內(nèi)角為36。的等腰三角形稱為“黃金三角形”.

A

A

圖1圖2圖3

（1）應(yīng)用：如圖1,若點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)（AC>BC）,若AB=1,則AC的長為

（2）運(yùn)用：如圖2,已知等腰三角形ABC為“黃金三角形"，AB=AC,ZA=36°,為/ABC的平分線.求

證：點(diǎn)。是AC的黃金分割點(diǎn).（3）如圖3中，AB=AC,ZA=36°,M平分/ABC交AC于先取A3的

中點(diǎn)E,連接E尸并延長交3C的延長線于BC=1,請你直接寫出CM的長為

【答案】⑴"⑵證明見解析⑶CM-與

【分析】⑴設(shè)AC”，則BC=?，根據(jù)黃金分割的含義可得：靠=*,即A—再解方

,CDBC3.CDAD?口/工、人

程即可；（2）證明△CBZ3z\C4B,推tn出拓二花‘推出通=花’可得結(jié)論.

(3)如圖，連接AM,同理可得：ZABC=ZACB=12°,Nl=N2=36。=N54C,可得AF=3R=8C=1,

16

證明ME，AB,MB=MA,Z.CAM=72°-36°=36°=ABAC,可得C是的黃金分割點(diǎn)，S.BC<CM,

可得三7=三7,設(shè)CM=x，再解方程可得答案?

CMBM

【詳解】(1)解：；點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AC>BC),AB=1,

設(shè)AC=a,則3c=1-。，，45=羋，即AC2=BCA8,

ACAB

**.a2=l-a,<72+(7—1=0?解得：a=--(負(fù)根舍去)，AC=--；

22

(2)證明：,：AB=AC,ZA=36°,AZABC=ZC=72°,

又BD平分ZABC,：.ZABD=ZCBD=-ZABC=36°,

2

ZBDC=360+36°=72°,Z.AD=BD,BC=BD,即AD=3D=3C,

又,/ZC=ZC,ZCBD=ZA,^CBD^Z\CAB,

.CDBC,CDAD

六。點(diǎn)是AC的黃金分割點(diǎn).

"BC"AC'"AZ)"AC

(3)如圖，連接AM,同理可得：ZABC=ZACB=12°,Zl=Z2=36°=ZBAC,

Z.AF=BF^BC^1,為AB的中點(diǎn)，AF=BF,MEYAB,AMB=MA,

圖3

ZABM=ZBAM=72°,ZAMB=36°,ZCAM=72°-36°=36°=ABAC,

同理可得C是8M的黃金分割點(diǎn)，且BC<CN,

.BCCM1

設(shè)CM=x,=上整理得:入1=0,

X

解得…鋁（負(fù)根舍去），.?加=”.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，黃金分割點(diǎn)的含義，相似三角形的

判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟記黃金分割的含義是解本題的關(guān)鍵.

例3.（22-23八年級下?湖南衡陽?期中）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC.BD交于點(diǎn)、O,CELBD于

點(diǎn)E,已知3E:￡）E=3:1,BD=2拒,則矩形A3CD的周長為

17

【答案】2用6/6+24

【分析】首先根據(jù)題意求出BE=士叵，DE力,然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得48=90。，然后證明

22

DFCE3

DCEs.CBE,得有二胃，求得CE=9,然后利用勾股定理求出CO和5C的長度，即可得出結(jié)果.

CEBE2

【詳解】解：???3石:。￡=3:1,BD=2y[i,：.BE=—,DE=—

22

???四邊形ABCD是矩形，AZBCD=90°,

VCELBD,:.NCED=NBEC=90。，/.ZDCE=ZCBE=90°-ZBCE,s.^DCE^CBE,

DFCF即。言=C。E解得以=3日（負(fù)值舍去）

CEBECE3,32

2

?；"ED=/BEC=90°CD=y/DE2+CE2=5BC=^BE2+CE2=3

矩形ABCD的周長為2（。+%?）=2（道+3）=2括+6.故答案為：2抬+6.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、同角的余角相等、相似三角形判定與性質(zhì)，證明&OCES_CBE是解題關(guān)鍵.

例4.（2024?廣西南寧?三模）閱讀與思考，完成后面的問題.

射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理.如圖，在中，ZBAC=90°,A。是

斜邊8C上的高，則有如下結(jié)論：

①AD2=BDDC；②AB?=BDBC;@AC2=CD-BC.下面是該定理的證明過程（部分）：

：是斜邊3C上的高，/.ZADB^90°=ZADC.'：ZB+ZBAD=90°,ZB+ZC=90°,

：.ZBAD=ZC.：.AABD^AC4D（依據(jù)）.即AZJ=BQQC.

（1）材料中的“依據(jù)”是指;（2）選擇②或③其中一個(gè)結(jié)論加以證明；

⑶應(yīng)用：一ABC中，ZA=90°,8（1,0）,C（-3,0）,點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

18

【答案】（1）兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似（2）見解析（3）頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,石）或（0,-力）

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理證

明和計(jì)算.（1）根據(jù)“兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”即可解答；

（2）②根據(jù)“兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似"證明即可得證；③根據(jù)“兩角分別對應(yīng)

相等的兩個(gè)三角形相似"證明.ACQsBCA；（3）根據(jù)題意以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用證

明的射影定理得。4。=OB.OC=1X3,即可求出=由此求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

【詳解】（1）解：“依據(jù)”是：兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，

故答案為：兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

（2）證明：②AB?=BD-BC,理由如下：

AD1BC,ZCAB=90°,：.ZADB=ACAB=90°,

ADBD

,：ZABD=ZCBA,：.；.—=——:.AB?=BDBC;

BCAB

@AC2=CDBC,理由如下：VAD1BC,ZC4B=90°,AZADC=ZCAB=90°,

VZACD=ZBCA,：.ACD^.BCA,AC2=CDBC-,

BCAC

（3）解：如圖，根據(jù)題意以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，VB（l,0）,C（-3,0）,：.OB=1,OC=3,

'：ZC4B=90°,AOJ.BC,：.OA1=OBOC=M,，OA=百，...頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（。,退）或（。,一石）.

例5.（2023?山東淄博?九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)C,。在邊上，連接尸C,尸口，使NADP=60。，

且二ACPs1P￡）3.（1）請判定二pa，的形狀，并說明理由；⑵若AC=2,BD=3,求尸的面積.

19

【答案】（1）PCD是等邊三角形，理由見解析（2）6?+15-

4

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出/4。尸=/尸/切=180。-/尸"=120。，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角得出

NPCD=60°,進(jìn)而即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：尸8是等邊三角形，理由如下，

；_ACPsPDB,ZADP=60°ZACP=NPDB=180°-/PDA=120°,

?.ZPCD=180°-APAC=60°,PCD是等邊三角形,

（2）解：：PCD是等邊三角形，設(shè)等邊三角形的邊長為。,

74cPC9a

,:ACPsPDB,-----=-----,XAC=2,BD=3,,解得：a=A/6（負(fù)值舍去）,

PDDBa3

如圖所示，過點(diǎn)P,作于點(diǎn)E,

/.PE=—CD=—x46=-yf2,：.AB=AC+DB+CD=2+3+46=5+46,

222

.AB尸的面積為+

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例6.（2024?浙江溫州?三模）如圖，在銳角三角形A3C中，AC>BC.以點(diǎn)C為圓心BC長為半徑畫弧，交

邊于點(diǎn)。，連接。.點(diǎn)E是CB延長線上的一點(diǎn)，連接AE,若平分NC4E.

⑴求證：ACD^^AEB.（2）當(dāng)4）=8。時(shí)，求——的值.

EB

【答案】（1）見解析（2）3

【分析】本題考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識

點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.（1）由題意得：BC=CD,由等邊對等角得出NCBD=NCDB,從而得出

ZADC=ZABE,再由角平分線的定義得出N/MC=NE4B,即可證明.ACE（s鉆歷

20

(2)由題意得出例=：,由相似三角形的性質(zhì)得出竺=之，從而即可得解.

AB2EB2

【詳解】(1)證明：由題意得：BC=CD,:.NCBD=NCDB,:.ZADC=ZABE,

A5平分NCAE,:.NDAC=NEAB,.^ACD^AEB-

AZ)1ADCDCD1BC_1

(2)解：AD=BD,——=一/\ACD^/\AEB,BC=CD,

AB2AB~EBEB~2~EB~2

例7.(2024?河南?二模)三角形的布洛卡點(diǎn)(Brocardpoim)是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾

(A.￡Cr^l780-1855)于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意.1875年，布洛卡點(diǎn)被

一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡(BrorarJl845-1922)重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.如圖1,若ABC內(nèi)

一點(diǎn)尸滿足===則點(diǎn)尸是一ABC的布洛卡點(diǎn)，/a是布洛卡角.

(1)如圖2,點(diǎn)P為等邊三角形4BC的布洛卡點(diǎn)，則布洛卡角的度數(shù)是；出、PB、PC的數(shù)量關(guān)系

是；(2)如圖3,點(diǎn)尸為等腰直角三角形42c(其中/BAC=90。)的布洛卡點(diǎn)，且Nl=/2=/3.

①請找出圖中的一對相似三角形，并給出證明；②若一ABC的面積為g,求一PBC的面積.

2

【答案】(1)30°,PA=PB=PC-.(2)①△ABPs^BCP,證明見解析；(3)5rac=1.

【分析】(1)根據(jù)題意理清布洛卡點(diǎn)、布洛卡角的概念，利用概念來解答；(2)①找△ABPS^BCP,證明

過程利用等腰直角三角形的性質(zhì)及布洛卡角的概念，通過找出三個(gè)角分別對應(yīng)相等來證明；②把三角形

ABC面積看作三個(gè)三角形面積之和來表示，除所求三角形面積之外的兩個(gè)，其中一個(gè)根據(jù)條件可以利用勾

股定理求出面積，另一個(gè)可以利用所求三角形面積來表示，建立等式即可求解.

【詳解】解：(1)由題意知：ZBAP=ZCBP=ZACP,

—MC為等邊三角形，ZABC=ZBCA=ZCAB,AB=BC=AC,

APB^,BPC,:.AP=BP,:.ZPAB=ZPBA,

NPBA=NPBC,/PBA+/PBC=60°,ZPBC=30。，同理可證得出：NBAP=NCBP=ZACP=30°,

ZABP=NBCP=NCBP=30。,PA=P3=PC故答案是：30°,PA=PB=PC.

(2)①△ABPSBCP

證明：：ABC是等腰直角三角形NABC=NACB=45。，BPZABP+Z2=Z3+ZBCP=45°,

21

：/2=/3,:.ZABP=NBCP,XVZ1=Z2,/.AABP^ABCP.

(3)?；ABC是等腰直角三角形，，S△項(xiàng)c=gARAC=〈AC2=g,...AC=0.

/PABs_PBC,.?.弛="=絲=正，AAP=—BP,CP=y/2BP,S^PAB=|sAPSC,ACP=2AP

CPBPBC222Ac

,/ZAP3=ZBPC=180O-(Nl+ZASP)=180O-(/2+ZABP)=135。，ZAPC=360O-ZAPS-ZBPC=90°.

在RtAlPC中，VCP=2AP,AC=5由勾股定理得AP=1,CP=2,

?,APC='CP,AP=1,..S^ABC=SNBC+S4PAe+^APAB=^APBC++萬^APBC=PBC=,

【點(diǎn)睛】本題考查了新概念問題、等邊三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性質(zhì)、相似三角形

的判定定理和性質(zhì)、勾股定理，涉及知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，題目較難，解題的關(guān)鍵是：通過閱讀材料，弄

明白題中的新定義或新概念，然后利用概念及靈活運(yùn)用所學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行解答.

例8.（2024?四川廣元?中考真題）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是

培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段.小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形

（如圖1）產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決.

在.ABC中，點(diǎn)。為邊45上一點(diǎn)，連接CO.⑴初步探究：如圖2,若ZACD=Zfi,求證：AC2=ADAB；

（2）嘗試應(yīng)用：如圖3,在（1）的條件下，若點(diǎn)。為A2中點(diǎn)，BC=4,求CO的長；（3）創(chuàng)新提升：如圖4,

22

點(diǎn)E為CO中點(diǎn)，連接BE,若NCDB=NCBD=30°,ZACD=ZEBD,AC=2用，求BE的長.

【答案】⑴證明見解析⑵CD=2也⑶回

【分析】（1）根據(jù)題意，由NACD=ZB,NA=NA,利用兩個(gè)三角形相似的判定定理即可得到

AACD^AABC,再由相似性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)AD=3Z）=M,由（1）中相似，代值求解得到AC=夜加，

4n1

從而根據(jù)，ACD與A5c的相似比為就=正求解即可得到答案；

（3）過點(diǎn)C作￡8的平行線交A3的延長線于點(diǎn)如圖1所示，設(shè)CE=DE=a,過點(diǎn)8作BF_LEC于點(diǎn)

F,如圖2所示，利用含30。的直角三角形性質(zhì)及勾股定理即可得到相關(guān)角度與線段長，再由三角形相似的

判定與性質(zhì)得至u槳=缶==-4，代值求解即可得到答案.

AC/\riIazv7civ7

A（JAn

【詳解】（1）證明：vZACD^ZB,ZA=ZA,AAACD^AABC,/.—=—,/.AC2=AD-AB■,

ABAC

（2）解：：點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，.?.設(shè)AD=BD=7〃，

由（1）知人486人0。，AAC2=ADAB=m-2m=2.m2,

:?ACfm，???—ACD與ABC的相似比為磐=W，=；BC=4；.CD=2也;

AC7Z￡>Cy/2

（3）解：過點(diǎn)C作EB的平行線交AB的延長線于點(diǎn)H,過C作Cy^AB,如圖1所示：

丁點(diǎn)E為C。中點(diǎn)，，設(shè)CE=DE=a,VZCDB=ZCBD=30°,：.CB=CD=2a,ZDCB=120°,

在Rt^BCy中，cy=gcn=。，則由