2025年新高考數(shù)學專項復習：函數(shù)值域十七大題型（原卷版）

專題3-2函數(shù)值域十七大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1直接法....................................................................1

題型2配方法....................................................................2

題型3反比例型函數(shù)的值域........................................................3

題型4簡單根號函數(shù)..............................................................4

題型5雙根號函數(shù)可以判斷單調(diào)性..................................................5

題型6雙根號函數(shù)平方法..........................................................5

題型7換元法....................................................................6

題型8分式型-分離常數(shù)法.........................................................7

題型9分式型-基本不等式（對勾函數(shù)）法..........................................8

題型10分式型-判別式法..........................................................9

題型11含有絕對值函數(shù)的值域....................................................10

題型12圖像法..................................................................11

題型13分段函數(shù)的值域..........................................................12

題型14單調(diào)性法................................................................13

題型15抽象函數(shù)的值域..........................................................14

題型16復合函數(shù)的值域..........................................................15

題型17取整函數(shù)的值域..........................................................16

Q題型分類

題型1直接法

【方法總結(jié)】

有些函數(shù)的結(jié)構(gòu)并不復雜，可以通過基本函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)直接觀察出函數(shù)的值

域.

【例題1]（2023秋?高一課時練習）函數(shù)“切=eR）的值域為.

【變式1-1]1.（2021秋高一課時練習）已知函數(shù)“X）=4-2比的值域為[-2,10],則函

數(shù)的定義域為.

【變式1-1]2.（2023秋?高一課前預習）已知函數(shù)y=-/+2%的定義域為{-1,0,1,2,3},

求其值域.

【變式1-1]3.(2023?全國?高一專題練習)函數(shù)/(%)=%+1,xe{—1,0,1}的值域

為,函數(shù)g(x)=%+1,xG[一1,1]的值域為.

【變式1-1]4.(2023?全國?高一專題練習)已知函數(shù)f⑴=|%|+1的定義域為{-1,0,1},

則其值域為()

A.{1,2}B.[1,2]C,{0,1}D.[l,+oo)

題型2配方法

【方法總結(jié)】

二次函數(shù)或轉(zhuǎn)化為形如FQ)=好(“)2+bf(x)+c類的函數(shù)的值域問題，均可以用酉昉法，

而后面的函數(shù)要注意的范圍.

【例題2](2023?全國?高一課堂例題)求下列函數(shù)的值域：

(1)/(%)=(X-I)2+1,XG{-1,0,1,2,3)；

(2)/0)=Q—I)2+1.

【變式2-1]1.(2023?全國?高一專題練習)求二次函數(shù)y=-x2+4x-2在區(qū)間[0,3]上的

值域.

【變式2-1]2.(2019秋?廣東江門?高一江門市第二中學?？茧A段練習)作出函數(shù)y=/-

4x+3的簡圖，并由圖象求函數(shù)f(x)的值域.

【變式2-1]3.（2022秋?河南?高三?？计谥校┮阎瘖浜芒?3x2-5x+2.

（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；

(2)分別求f(3),/(a),/(X+1)

【變式2-1]4.（多選）（2017?北京?高三強基計劃）設eR,函數(shù)f（x,y）=%2+6y2-

2xy-14x-6y+72的值域為M,則()

A.1GMB.2GMC.3GMD.4GM

【變式2-1]5.（2019秋?黑龍江齊齊哈爾?高一齊齊哈爾市第八中學校?？茧A段練習）已知

二次函數(shù)y=-4x2+8x—3.

（1）畫出它的圖像并指出圖像的開口方向、頂點坐標；

%

美

OX

（2）求函數(shù)y=在x6（0,3]時的值域.

題型3反比例型函數(shù)的值域

【方法總結(jié)】

通過平移畫出反比例函數(shù)的圖像，利用圖像求出函數(shù)的值域

【例題3]（2023?全國?高三專題練習）若函數(shù)y=的值域是（一8,0）U[|,+?）,則此函

數(shù)的定義域為（）

A.(—CO,3]B.(―OO,1)u(1,3)C.(-co,1)u[3,+co)D.(-CO,1)u(1,3]

【變式3-1]1.（2023秋甘肅蘭州?高三?？奸_學考試）函數(shù)y=二的值域是

X—1

【變式3-1]2.(2023?上海嘉定統(tǒng)考一模)若函數(shù)y=的值域是(-藝。)U[|,+<x>),

則此函數(shù)的定義域為

【變式3-1]3.(2023?全國?高一專題練習)已知g(x)=第

⑴函數(shù)g(x)的值域;

(2)用定義證明g(x)在區(qū)間[1,+8)上是增函數(shù)；

(3)求g。)函數(shù)在區(qū)間[2,4]上的最大值與最小值.

【變式3-1]4.(2023?江蘇?高一假期作業(yè))用平移圖像的方式作出y=2+七的圖像，并

說明函數(shù)y=2+々的值域.

【變式3-1]5.(多選)(2023秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末)關(guān)于函數(shù)/(久)=2+￡的性

質(zhì)描述，正確的是()

A./(x)的定義域為(—8,3)u(3,+8)B./(x)的值域為(―叫2)u(2,+8)

C.“X)的圖象關(guān)于點(3,2)對稱D./(%)在其定義域上是減函數(shù)

題型4簡單根號函數(shù)

【例題4](2022秋?高一課時練習)函數(shù)f(%)=737^2,xe{1,3,5}，則/⑺的值域是()

A.[1,V7,V13}B.[0,+oo]C.[1,+oo]D.R

【變式4-1J1.(2021秋?高一課時練習周數(shù)y=心的定義域是，值域是.

【變式4-1]2.(2022秋?江蘇常州?高一常州市第三中學校考期中)下列函數(shù)中，值域為

(0,+8)的是()

A.f(x)=VxB./(%)=~=

C.f(x)=1—|(x>1)D./(x)-x2+1

【變式4-1]3.(2022秋?湖南長沙?高一長沙市明德中學?？茧A段練習)已知集合A={x|y

=V7+2},若函數(shù)f(x)=-x,xwA,則函數(shù)f(x)的值域是

題型5雙根號函數(shù)可以判斷單調(diào)性

【方法總結(jié)】

判斷根號函數(shù)的單調(diào)性，進而求解出值域

【例題5]（2023春?河南信陽?高一信陽高中?？奸_學考試）若函數(shù)的

定義域為集合M，值域為集合N，則MCN=（）

A.[0,VT|B.[V3,3]C.（0,V3]D.[-V3,V3]

【變式5-1】1?.求函數(shù)y=Vx+-1的值域.

【變式5-1]2.求函數(shù)y=V7-x+4x+9的值域.

【變式5-1]3.（2022?全國?高三專題練習）求函數(shù)"X）=+7也—4x—12的值

域.

題型6雙根號函數(shù)平方法

【方法總結(jié)】

平方后可以消去未知數(shù)x即可.

【例題6]（2023?全國?高一專題練習）函數(shù)y=?+7^二9的值域為

【變式6-1]1.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)y=的值域為.

【變式6-1]2.（2022秋?云南?高二校聯(lián)考期中）函數(shù)y=?+^^的值域為（）

A.[V6,2V3]B.[V6,2網(wǎng)C.[2,2V3]D」2,2例

【變式6-1]3.（多選）（2022秋?青海海東?高一校考期中汜知函數(shù)f⑺=V^T,gM=

V2^,則下列說法中正確的是（）

A.函數(shù)y=/（久）+。（久）的定義域為[1,2]B.函數(shù)y=2f（x）+寸（久）的值域為（一8,2]

2

c.函數(shù)y=/(%)+g(x)的最大值為2D.函數(shù)y=[gg]在(1,2)上單調(diào)遞增

【變式6-1]4.(2022秋?河北?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)f(x)=Vl+I，5(x)=.

(1)求函數(shù)拉0)=/(x)+g(x)的值域；

(2)已知a為實數(shù)，函數(shù)瓶(久)=a/(x)g(K)+/(x)+g(x)的最大值為F(a),求尸(a).

題型7換元法

【方法總結(jié)】

換元法解含有根號的函數(shù)需要注意x的范圍

【例題7](2023?全國?高一專題練習)求函數(shù)y=%+2VI。的值域.

【變式7-1]1.(2019秋?吉林?高三輝南縣第一中學?？茧A段練習)函數(shù)=x-岳的

值域為()

A.[-|>+°°)B.[V2,+oo)

C1/閭D.(—co,—|]

【變式7-1]2.(2022秋?高一課時練習)已知函數(shù)f⑴=x+

(1)求函數(shù)/(*)的定義域；

(2)求函數(shù)/(x)的值域.

【變式7-1]3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(?=送豆.

(1)求函數(shù)/(x)的值域；

(2)證明：{巾(/(x))=x}={x|/(x)=x}；

【變式7-1]4.(2023?全國?高一專題練習)已知函數(shù)/(x)=x2+|.

(1)判斷在(0,1]上的單調(diào)性，并用定義加以證明；

(2)設函數(shù)g(x)=屈:公+^+3,x>1,求g(x)的值域.

【變式7-1]5.(2022秋?高一課時練習)已知函婁好(GI)=尤—

Q)求/⑺

⑵求y=/(%淀義域和值域

【變式7-1]6.(2023秋?江蘇揚州?高一期末)設函婁好㈤=Jp.

(1)證明：函數(shù)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減；

(2)求函數(shù)g(O=f(x)+/(I-x)+a1x(l-x)(aGR)的值域.

題型8分式型-分離常數(shù)法

【方法總結(jié)】

(分子分母均為一次；分子分母均有二次的；分子分母次數(shù)不同的一換元、配湊)

此種方法適用于求分式型函數(shù)的值域.

第1步：將函數(shù)關(guān)系式分子中含X的項分離，即使分子不含X項；

第2步：確定分離后的函數(shù)關(guān)系式的單調(diào)性；

第3步：借助函數(shù)的單調(diào)性，求的函數(shù)的值域.

特別注意：若分離較為困難，則可將分子或分母設為一個整體，用一個字母代替及換元再

分離常數(shù).

【例題8](2023?全國?高一專題練習)求下列函數(shù)的值域"")="

X—J

【變式8-1]1.(2022秋?寧夏銀川?高三?？茧A段練習)函數(shù)/O)2)的值域

X—1

為

【變式8-1]2.(2023?全國?高一專題練習)函數(shù)y=(-l<x<1)的值域為.

【變式8-1J3.(2021春?陜西西安?高二校考期末)已知/(久)=三5eR且x豐T),g(W=

X2—1(%GR).

Q)求f(2),g(3)；

(2)求/[g(3)],f[g(x)]；

(3)求/(x),g(;c)的值域.

【變式8-1]4.(2022秋?高一課時練習)函數(shù)y=奇的值域為

【變式8-1]5.(2022秋?廣西桂林?高一?？计谥?函數(shù)/⑶=言的值域為.

【變式8-1]6.(多選)(2022秋?江蘇鹽城?高一鹽城市伍佑中學校考階段練習)已知函數(shù)

/)=答，則().

X-Z

A./0)的值域是｛y|y*4)B./(x)的定義域為匯豐2

C./(2026)+/(-2022)=8D./(2023)+/(-2019)=8

2

【變式8-1]7.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)、=爰亮的，則其值域

為

題型9分式型-基本不等式(對勾函數(shù))法

【方法總結(jié)】

分子分母為單項式，或者換元成為單項式的，可以同時除以分子或分母，轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)

進行求解

【例題9](2023春?陜西商洛?高二?？茧A段練習)已知函數(shù)/(久)=合，則下列說法錯誤

的是()

A.f(x)的定義域為RB.f(x)的值域是卜得

C./(%)是奇函數(shù)D./O)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增

【變式9-1]1.(2023秋?廣東河源?高一龍川縣第一中學統(tǒng)考期末)求函數(shù)f(%)=2+工

X~￡,

的值域.

2

【變式9-1]2.(2023?高三課時練習)已知函數(shù)y=三，當久K2時，值域為；當

XG(一2,1)時，值域為.

【變式9-1]3.（2022秋廣東佛山?高一順德一中?？计谥校┮阎瘮?shù)f（久）=品

（1）判斷函數(shù)〃%）的奇偶性，并使用定義法說明理由

⑵判斷函數(shù)f（x）在（-1,1）上的單調(diào)性，并使用定義法說明理由

（3）求函婁好（x）的值域

【變式9-1]4.（2022秋?高一單元測試）已知1<x<4,則函數(shù)/（x）=代+；；1+4的值域

為

題型10分式型-判別式法

【方法總結(jié)】

把已知函數(shù)解析式經(jīng)過變形，轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的一元二次方程，因為x是實數(shù)，所以判別式

△20,解此不等式便得到函數(shù)的值域.但由于函數(shù)本身的特殊性，還必須對函數(shù)本身進行

具體分析.應用判別式求函數(shù)的值域應當注意，由于函數(shù)的變形可能產(chǎn)生值域的擴大或縮小.

【例題10]（2023秋?高一課時練習）函數(shù)y=若署的值域是

【變式10-1】1.（2023?高一課時練習）求函數(shù)y=8期的值域.

【變式10-1】2.已知尤>3,求函數(shù)丫="」的值域.

x-3

【變式10-1】3.求函數(shù)的值域：y=…2

X+X+1

題型11含有絕對值函數(shù)的值域

【例題111（2022秋?山東棗莊?高一棗莊市第三中學?？计谥校┖瘮?shù)f（幻=|2x-l|-|2x+

11的值域為

【變式11-1】1.（2023秋?山東青島?高一山東省萊西市第一中學校考階段練習）已知函數(shù)

/0）=1+宏（-2<%三2）.

（1）用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)/（久）；

（2）畫出函數(shù)f（乃的圖象，并寫出函數(shù)f（x）的值域.

【變式11-1】2.（2023?全國?高三專題練習）設函婁好㈤=》?

Q）將函數(shù)寫成分段函數(shù)；

（2）畫出函數(shù)的圖像；

（3）寫出函數(shù)的定義域和值域.

【變式11-1】3.（2022秋?重慶九龍坡?高一重慶市田家炳中學?？茧A段練習）已知函數(shù)

f（x）=|3x-1|+3|x+1|,則函數(shù)/O）的值域為記函婁好0）的值域為M若teM,

則t+為勺最小值為

【變式11-1]4.（2023秋?江蘇南通高一統(tǒng)考階段練習）函數(shù)“%）=/—2忱-1|-4的

值域為（）

A.[-8,+oo）B.[-7,+oo）C.[-5,+co）D.[-4,+oo）

【變式11-1]5.（多選）（2023秋?江西宜春?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)人久）=/,則下列

結(jié)論中正確的是（）

A./（x）是偶函數(shù)B./（乃在（-8,-2）上單調(diào)遞增

C.“X）的值域為RD.當xe（—2,2）時，/（久）有最大值

【變式11-1】6.（2022秋?浙江紹興?高一浙江省春暉中學?？计谥校┮阎瘮?shù)/（%）=毛.

⑴判斷函婁好0）在（-1,+8）的單調(diào)性;

⑵求函數(shù)“")在(一8,—2]U[0,+8)上的值域；

(3)作出函數(shù)y=|/(x)|,x￡[0,+8)的圖象.

題型12圖像法

【方法總結(jié)】

圖象法求函數(shù)最值的一般步驟

【例題12](2023秋?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？茧A段練習)定義在R上的函數(shù)八支)滿足

+1)=|f(x),且當％e[0,1)時，/(無)=1一|2萬一1|,當久eE，撲寸，y=/(久)的值域

為()

A.[|,1]B.[OJ]C,[^1]D.[04]

【變式多選I2023?全國?高三專題練習)已知函婁好⑺=1-黑的定義域是[a,b]

(a,beZ),值域為[0,1],則滿足條件的整數(shù)對(a,b)可以是()

A.(—2,0)B.(—1,1)

C.(0,2)D.(-1,2)

【變式12-1]2.(2023?山東東營?東營市第一中學?？级?已知函數(shù)/(%)=

X

---,XCL

x2+lr

1

—x乙7+4%+-,%>a

①若/(均的最大值為三，則a的一個取值為

②記函數(shù)/'(久)的最大值為g(a)，則g(a)的值域為

x+4,x<0,

【變式12-1]3.(2023秋?高一課時練習)已知函數(shù)/(%)=%2-2%,0<%<4,

—X+2,%>4.

(1)求f(f(f(5)))的值.

(2)畫出函數(shù)f(x)的圖像，觀察圖像寫出此函數(shù)的值域.

%2—1VXV1

【變式12-1]4.(2023秋?高一課時練習)已知/(久)=,'"

l,x>d1或比<一1

(1)畫出f(x)的圖象；

⑵求f(x)的值域

題型13分段函數(shù)的值域

【方法總結(jié)】

分段函數(shù)可以通過畫出每一段函數(shù)的圖像，求解函數(shù)的值域。

【例題13](2023-高一課時練習)設函數(shù)g(x)=/—2(xGR),/(%)=

+%+4,%Vg(%)

Ig(%)一%,%之g(%).

(1)求f(0)的值；

(2)求f(x)的值域.

【變式13-1J1.(2023?全國?高一專題練習XD已知函數(shù)f(久)=LIc

(1,1e(1,+8)u(-00,-1)

則函數(shù)的定義域為，值域為

(2)若定義運算a。,則函數(shù)f(%)=久。(2-久)的值域是.

【變式13-1]2.(2023秋?高一課時練習)已知函數(shù)f。)=「一”了：曾]

(x—3,xE[2,5」

(1)在直角坐標系內(nèi)畫出/(無)的圖象；

(2)根據(jù)函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.

【變式13-D3.(2023?全國?高一專題練習圮知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)目當x<0

時，/(X)-x2+2x.

(1)求出當%>。時，/(無)的解析式；

(2)如圖，請補出函數(shù)/(x)的完整圖象，根據(jù)圖象直接寫出函婁好(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，求當尤G[-3,1]時，函數(shù)f(%)的值域.

【變式13-1】4.(2023?全國?高一專題練習)已知函數(shù)〃久)=?若/⑷=6,

求實數(shù)a等于；函數(shù)/0)在區(qū)間[-2,2]上值域

題型14單調(diào)性法

【方法總結(jié)】

單調(diào)性法：先求出或證明函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的

值域

【例題14](2023秋?高一課時練習)已知函數(shù)/(*)=2%-i,%G(0,1],求/(%)的值域.

【變式14-1】1.(2023?全國?高一專題練習)若/O)=三,則函數(shù)在比G[0,1]上的值域

是?

【變式14-1]2.(2023春遼寧?高二校聯(lián)考階段練習)設函數(shù)/(久)=-%2+^(%>0),

函數(shù)在定義域9+8)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)目對于任意xG(0,+8),都有g(shù)(g(x)+/O))=1,

則g(x)在區(qū)間[1,2]上的值域為()

A.[l,y]B.[2,4]C.[1,4]D.?

【變式14-1]3.(2023秋?湖南婁底?高一?？计谀?已知“久-1)=x+三.

x—±

(1)求f(x)的解析式及定義域；

(2)求f(x)的值域,單調(diào)區(qū)間并判斷奇偶性.(不要求寫理由，只寫結(jié)果)

題型15抽象函數(shù)的值域

【例題15】（多選）（2023秋?湖南?高三湖南省祁東縣第一中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)

/0）的定義域和值域均為[-3,3],貝U（）

A.函數(shù)/（%-2）的定義域為[-1,5]B.函數(shù)售的定義域為[-1,1）

C.函數(shù)f0-2）的值域為[-3,3]D.函數(shù)f（2x）的值域為[-6,6]

【變式15-1]1.（2023?高一課時練習）若/Q）的值域為[4+8）,則g（X）=2/（%）+1的

值域為

【變式15-1】2.（2023春?陜西西安?高二校考階段練習）函數(shù)的定義域為[0,1],值域

為[1,2],那么函數(shù)/（X+2）的定義域和值域分別是（）

A.[0,1],[4,2]B.[2,3],[3,4]

C.[-2,-1],[3,4]D.[—2,—1],[1,2]

【變式15-1】3.（2023?全國?高三專題練習）若函數(shù)y=f（x）的值域是整,可，則函數(shù)FQ）=

f（2x+l）+總內(nèi)的值域是

【變式15-1】4.（2022秋?高一課時練習）若函數(shù)y=f（x）的值域是原可，則函數(shù)F（x）=

〃久）+急的值域是（）

A.[|,4]B.[2,^]C.[臀]D.[4,^]

題型16復合函數(shù)的值域

【例題16】（2022秋?安徽蕪湖?高一安徽省無為襄安中學校考期中）關(guān)于函數(shù)=

7—X2+2x+3的結(jié)論正確的是（）

A.值域是[0,+8）B.單調(diào)遞增區(qū)間是（-8,-1]

C.值域是[-1,3]D.單調(diào)遞增區(qū)間是[-1,1]

【變式16-1】1.（2023?全國?高一專題練習）函數(shù)y=的值域為

【變式16-1】2.(2022秋?高一課時練習)函數(shù)/(久)=4-，3+2%—/的值域為.

【變式16-1】3.(多選)(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中校考開學考試)已知函

數(shù)人久)=,下列說法正確的是()

I%—31—3

A./(x)定義域為[-3,0)u(0,3]B./⑺值域為(-3,3)

C./(%)為定義域內(nèi)的增函數(shù)D./(%)為(0,3]內(nèi)的增函數(shù)

【變式16-1】4.(2022秋?浙江寧波?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(%)=Vm+3心

(1)求/0)的定義域和值域；

(2)設F(x)=af2(x)+/