2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第7講二項(xiàng)分布及其應(yīng)用分層演練理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第7講二項(xiàng)分布及其應(yīng)用1．(2024·東北四市高考模擬)將一枚質(zhì)地勻稱的硬幣連續(xù)拋擲n次，事務(wù)“至少有一次正面對上”的概率為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P≥\f(15,16)))，則n的最小值為()A．4 B．5C．6 D．7解析：選A.由題意得P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)≥eq\f(15,16)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,16)，所以n≥4，故n的最小值為4.2．投擲一枚勻稱硬幣和一枚勻稱骰子各一次，記“硬幣正面對上”為事務(wù)A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事務(wù)B，則事務(wù)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,12) D.eq\f(3,4)解析：選C.依題意，得P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，且事務(wù)A，B相互獨(dú)立，則事務(wù)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率為1－P(eq\o(A,\s\up6(－))·eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(7,12)，故選C.3．(2024·廣西三市第一次聯(lián)考)某機(jī)械探討所對新研發(fā)的某批次機(jī)械元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，隨機(jī)抽查的200個(gè)機(jī)械元件狀況如下：運(yùn)用時(shí)間/天10～2021～3031～4041～5051～60個(gè)數(shù)1040805020若以頻率為概率，現(xiàn)從該批次機(jī)械元件中隨機(jī)抽取3個(gè)，則至少有2個(gè)元件的運(yùn)用壽命在30天以上的概率為()A.eq\f(13,16) B.eq\f(27,64)C.eq\f(25,32) D.eq\f(27,32)解析：選D.由表可知元件運(yùn)用壽命在30天以上的頻率為eq\f(150,200)＝eq\f(3,4)，則所求概率為Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,32).4．甲乙兩羽毛球運(yùn)動員之間的訓(xùn)練，要進(jìn)行三場競賽，且這三場競賽可看做三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若甲至少取勝一次的概率為eq\f(63,64)，則甲恰好取勝一次的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(9,64) D.eq\f(27,64)解析：選C.假設(shè)甲取勝事務(wù)為A，設(shè)每次甲勝的概率為p，由題意得，事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)X～B(3，p)，則有1－(1－p)3＝eq\f(63,64)，得p＝eq\f(3,4)，則事務(wù)A恰好發(fā)生一次的概率為Ceq\o\al(1,3)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,64).5．(2024·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”模擬)某個(gè)電路開關(guān)閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃耀，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,2)，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,5)，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下其次次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：選C.設(shè)“開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事務(wù)A，“其次次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事務(wù)B，則由題意可得P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,5)，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下其次次閉合出現(xiàn)紅燈的概率是P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).故選C.6.如圖所示的電路有a，b，c三個(gè)開關(guān)，每個(gè)開關(guān)開和關(guān)的概率都是eq\f(1,2)，且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為________．解析：設(shè)“a閉合”為事務(wù)A，“b閉合”為事務(wù)B，“c閉合”為事務(wù)C，則甲燈亮應(yīng)為事務(wù)ACeq\o(B,\s\up6(－))，且A，eq\o(B,\s\up6(－))，C之間彼此獨(dú)立，P(A)＝P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(C)＝eq\f(1,2).所以P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(C)＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)7．三支球隊(duì)中，甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.4，乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為0.5，丙隊(duì)勝甲隊(duì)的概率為0.6，競賽依次是：第一局是甲隊(duì)對乙隊(duì)，其次局是第一局的勝者對丙隊(duì)，第三局是其次局的勝者對第一局的敗者，第四局是第三局的勝者對其次局的敗者，則乙隊(duì)連勝四局的概率為________．解析：設(shè)乙隊(duì)連勝四局為事務(wù)A，有下列狀況：第一局中乙勝甲(A1)，其概率為1－0.4＝0.6；其次局中乙勝丙(A2)，其概率為0.5；第三局中乙勝甲(A3)，其概率為0.6；第四局中乙勝丙(A4)，其概率為0.5，因各局競賽中的事務(wù)相互獨(dú)立，故乙隊(duì)連勝四局的概率為：P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.答案：0.098．將一個(gè)大正方形平均分成9個(gè)小正方形，向大正方形區(qū)域隨機(jī)投擲一點(diǎn)(每次都能投中)，投中最左側(cè)3個(gè)小正方形區(qū)域的事務(wù)記為A，投中最上面3個(gè)小正方形或正中間的1個(gè)小正方形區(qū)域的事務(wù)記為B，則P(A|B)＝________．解析：依題意，隨機(jī)試驗(yàn)共有9個(gè)不同的基本結(jié)果．由于隨機(jī)投擲，且小正方形的面積大小相等．所以事務(wù)B包含4個(gè)基本結(jié)果，事務(wù)AB包含1個(gè)基本結(jié)果，所以P(B)＝eq\f(4,9)，P(AB)＝eq\f(1,9).所以P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(1,9),\f(4,9))＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)9．拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，設(shè)事務(wù)A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”，事務(wù)B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)當(dāng)已知藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí)，求兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率．解：(1)P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).因?yàn)閮深w骰子的點(diǎn)數(shù)之和共有36個(gè)等可能的結(jié)果，點(diǎn)數(shù)之和大于8的結(jié)果共有10個(gè)．所以P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).當(dāng)藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí)，兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8的結(jié)果有5個(gè)，故P(AB)＝eq\f(5,36).(2)由(1)知P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(5,36),\f(1,3))＝eq\f(5,12).10．(2024·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”模擬)空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityIndex，簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量依據(jù)AQI大小分為六級：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；300以上為嚴(yán)峻污染．一環(huán)保人士記錄去年某地六月10天的AQI的莖葉圖如圖．(1)利用該樣本估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)；(2)將頻率視為概率，從六月中隨機(jī)抽取3天，記三天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的分布列．解：(1)從莖葉圖中可以發(fā)覺樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量為良的天數(shù)為4，所以該樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的頻率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，從而估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為30×eq\f(3,5)＝18.(2)由(1)估計(jì)某天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為eq\f(3,5)，ξ的全部可能取值為0，1，2，3，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,5))).所以P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,125)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(36,125)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝eq\f(54,125)，P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,125).ξ的分布列為ξ0123Peq\f(8,125)eq\f(36,125)eq\f(54,125)eq\f(27,125)1．已知某種動物服用某種藥物一次后當(dāng)天出現(xiàn)A癥狀的概率為eq\f(1,3).某小組為了探討連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn)A癥狀的狀況，進(jìn)行了藥物試驗(yàn)．試驗(yàn)設(shè)計(jì)為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個(gè)用藥周期．假設(shè)每次用藥后當(dāng)天是否出現(xiàn)A癥狀與上次用藥無關(guān)．(1)若出現(xiàn)A癥狀，則馬上停止試驗(yàn)，求試驗(yàn)至多持續(xù)一個(gè)用藥周期的概率；(2)若在一個(gè)用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則在這個(gè)用藥周期結(jié)束后終止試驗(yàn)．若試驗(yàn)至多持續(xù)兩個(gè)周期，設(shè)藥物試驗(yàn)持續(xù)的用藥周期為η，求η的分布列．解：(1)法一：記試驗(yàn)持續(xù)i天為事務(wù)Ai，i＝1，2，3，4，試驗(yàn)至多持續(xù)一個(gè)周期為事務(wù)B，易知P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)，P(A4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,3)，則P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(65,81).法二：記試驗(yàn)至多持續(xù)一個(gè)周期為事務(wù)B，則eq\o(B,\s\up6(－))為試驗(yàn)持續(xù)超過一個(gè)周期，易知P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(16,81)，所以P(B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(65,81).(2)隨機(jī)變量η的全部可能取值為1，2，P(η＝1)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)·eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,9)，P(η＝2)＝1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9)，所以η的分布列為：η12Peq\f(1,9)eq\f(8,9)2.(2024·陜西省寶雞市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(一))現(xiàn)有4個(gè)人去參與春節(jié)聯(lián)歡活動，該活動有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可供參與者選擇，為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子確定自己去參與哪個(gè)項(xiàng)目聯(lián)歡，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參與甲項(xiàng)目聯(lián)歡，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參與乙項(xiàng)目聯(lián)歡．(1)求這4個(gè)人中恰好有2人去參與甲項(xiàng)目聯(lián)歡的概率；(2)求這4個(gè)人中去參與甲項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參與乙項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參與甲、乙項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列．解：依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參與甲項(xiàng)目聯(lián)歡的概率為eq\f(1,3)，去參與乙項(xiàng)目聯(lián)歡的概率為eq\f(2,3).設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參與甲項(xiàng)目聯(lián)歡”為事務(wù)Ai(i＝0，1，2，3，4)，則P(Ai)＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(i)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4－i).(1)這4個(gè)人中恰好有2人去參與甲項(xiàng)目聯(lián)歡的概率P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27).(2)設(shè)“這4個(gè)人中去參與甲項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參與乙項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)”為事務(wù)B，則B＝A3∪A4.故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,9).所以，這4個(gè)人中去參與甲項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參與乙項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)的概率為eq\f(1,9).(3)ξ的全部可能取值為0，2，4.P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝eq\f(17,81).所以ξ的分布列為ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)3.(2024·武漢調(diào)研)某次飛鏢競賽中，規(guī)定每人至多放射三鏢．在M處每射中一鏢得3分，在N處每射中一鏢得2分，假如前兩次得分之和超過3分即停止放射，否則放射第三鏢．某選手在M處的命中率q1＝0.25，在N處的命中率為q2.該選手選擇先在M處放射一鏢，以后都在N處放射，用X表示該選手競賽結(jié)束后所得的總分，其分布列為X02345P0.03P1P2P3P4(1)求隨機(jī)變量X的分布列；(2)試比較該選手選擇上述方式放射飛鏢得分超過3分的概率與選擇都在N處放射飛鏢得分超過3分的概率的大?。猓?1)設(shè)該選手在M處射中為事務(wù)A，在N處射中為事務(wù)B，則事務(wù)A，B相互獨(dú)立，且P(A)＝0.25，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.75，P(B)＝q2，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－q2.依據(jù)分布列知：當(dāng)X＝0時(shí)，P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.75(1－q2)2＝0.03，所以1－q2＝0.2，q2＝0.8.當(dāng)X＝2時(shí)，P1＝P(eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up