2025年新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：解三角形的圖形類問(wèn)題和重要模型【九大題型】（原卷版）

重難點(diǎn)11解三角形的圖形類問(wèn)題和重要模型【九大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1兩次使用余弦定理】...................................................................3

【題型2等面積法】...........................................................................3

【題型3解三角形中的中線模型】..............................................................4

【題型4解三角形中的倍角模型】..............................................................5

【題型5解三角中的角平分線模型】............................................................6

【題型6解三角中的高模型】...................................................................8

【題型7解三角形中的等分點(diǎn)模型】............................................................9

【題型8三角形的重心問(wèn)題】..................................................................10

【題型9三角形的外接圓、內(nèi)切圓問(wèn)題】.......................................................11

?命題規(guī)律

1、解三角形的圖形類問(wèn)題和重要模型

解三角形是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，正、余弦定理解三

角形在選擇題、填空題中考查較多，難度較易；解答題中解三角形的圖形類問(wèn)題和一些重要模型也是考查

的重要內(nèi)容，中等難度，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)綜合考查，解題方法多種多樣，需要靈活

求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1三角形圖形類問(wèn)題的解題策略】

1.解決三角形圖形類問(wèn)題的常用方法：

(1)兩次使用余弦定理：兩次使用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了二角形的性質(zhì)和正余弦定理

的性質(zhì)解題；

(2)等面積法：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)

題，相似是三角形中的常用思路；

(3)正、余弦定理結(jié)合：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；

(4)相似三角形：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的

不錯(cuò)選擇；

(5)平面向量：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法

則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

(6)建系：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更

加直觀化.

【知識(shí)點(diǎn)2解三角形中的重要模型】

1.中線模型

(1)中線長(zhǎng)定理：在△ABC中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,是8c邊上的中線，則

22

AB+AC=2(31)2+ADiy

(2)向量法：AD2=^(b2+c2+2bccos^4).

2.倍角模型

B=2Aob?=〃(q+c)

C=2BQC2=bQb+a),這樣的三角形稱為“倍角三角形”.

A=2C=/=0(0+6)

、人abc,cic

推論1：A=2Bo--------=-------=---------=b=---------=----------z—

sin25sin8sin352cos53-4sin2B

推論2：A=2B=3=1+2cosA<^>b+c=2acosB.

3.角平分線模型

iAriAD

角平分線張角定理：如圖，/。為N84C平分線，貝！Jcos/54D=—(—+——)

2bc

斯庫(kù)頓定理：如圖，4。是的角平分線，則可記憶：中方=上積-下積.

4.等分點(diǎn)模型

如圖，若尸在邊上，且滿足定=2而，|ZP|=冽，則延長(zhǎng)4尸至。，使麗=4/，連接O).

A

D

易知48〃DC,且Z)C=Xc,\AD\=(1+A)\AP\,

ABAC+ZACD=1SO0.

?舉一反三

【題型1兩次使用余弦定理】

【例1】(2024?河南?三模)在△力BC中，AB=3V2,coszB/lC=~^,AD1AC,且4D交BC于點(diǎn)D,AD=3,

貝（JsinC=（）

A1TJV3r，V6c2V2

A.§B.TC.-D.—

【變式1-1］（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知△力BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,hc,且a=6,BC邊上中

線長(zhǎng)為1,則6c最大值為（）

77

A.B.-C.V3D.2V3

74Z

【變式1-2】（2024?浙江臺(tái)州?二模）在△ABC中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若acosC=2ccos

A,則占的最大值為（）

A.V3B.IC.yD.3

【變式1-3］（2024?陜西咸陽(yáng)?三模）在△ABC中，a、b、c分別為△ABC的內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊，M為邊4c

上一點(diǎn)，滿足MC=34M,若a?+c2—房+公=0,c—2,a=4,貝1萬(wàn)方|=（）

【題型2等面積法】

【例2】（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）在aaBC中，乙4cB的平分線與對(duì)邊A8交于點(diǎn)。，若△C2D的面積為△C8D

的2倍，且CD=2/ACB=120°,則BC=()

A.3B.4C.6D.8

【變式2-1］（2024?遼寧丹東?二模）在△力BC中，點(diǎn)。在BC邊上，4D平分ABAC,ABAC=120°,AB=2

V3,力。=苧，則4C=（）

A.2B.V3C.3D.2V3

【變式2-2](2024?湖南長(zhǎng)沙?三模)記△4BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,Ac,已知a=2/=4.

(1)若cosB+2cos4=ccosC,求C的值；

(2)若。是邊力B上的一點(diǎn)，且CD平分N4CB,cosN力CB=求CD的長(zhǎng).

【變式2-3](2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知△4BC內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,b(sinB+sinC)=(a-c)(

sinA+sinC).

⑴求/;

(2)/的平分線力D交BC于D點(diǎn)，9b+c=64,求4。的最大值.

【題型3解三角形中的中線模型】

【例3】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))記△48C的內(nèi)角NBAC/B/C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知2bcos8cos2C=a-2c

cosfcos2B.

(1)求乙84c.

(2)若b+c=8,且邊BC上的中線2。=竽，求△ABC的面積.

【變式3-1](2024?湖南長(zhǎng)沙?三模)如圖，在△2BC中，已知AB=3/C=6/為銳角，BC/C邊上的兩條

中線力MBN相交于點(diǎn)P,△ABC的面積為竽.

(1)求BC的長(zhǎng)度；

(2)求乙4PB的余弦值.

【變式3-2](2024?陜西西安?三模)在△4BC中，角A,B,C的對(duì)邊是a,b,c,已知b(l+cosA)=c(l-cos2B).

(1)證明:6=c;

⑵若BC邊上的高力。為2,AC邊上的中線BE為2近,求△ABC的面積.

【變式3-3](2024?新疆烏魯木齊?二模)在△A8C中，點(diǎn)M,N分別為BC/C的中點(diǎn)，AM與BN交于點(diǎn)G,

AM=3/AMB=45°.

(1)若4C=5立，求中線BN的長(zhǎng)；

(2)若△ABC是銳角三角形，求四邊形GMCN面積的取值范圍.

【題型4解三角形中的倍角模型】

【例4】(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))己知銳角△ABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中a=8,

巴=1+sin"—Sin2c

且QWC.

csin2B

(1)求證：B=2C；

(2)已知點(diǎn)M在線段AC上，^ABM=Z.CBM,求的取值范圍.

【變式4-1](2024?內(nèi)蒙古?三模)在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,瓦c,且(a—V^))cosC=c

(V2cosB-cos/l).

(1)求一的值；

(2)若B=2C,證明：△2BC為直角三角形.

【變式4-2](2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè))在銳角△ABC中.內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知

a—2ccosB=c.

(1)求證：B=2C-

(2)求sinB4-2V^cos2c的取值范圍.

【變式4-3](2024?天津河北?二模)在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=4,6=3.

(1)若cosC=-j求a的值和△ABC的面積；

(2)在(1)的條件下，求cos(2C+p的值；

(3)若力=2B,求a的值.

【題型5解三角中的角平分線模型】

【例5】(2024?河北張家口?三模)在△ABC中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,點(diǎn)。為邊BC上一

點(diǎn)，且滿足(前+尼)?近=0.

(1)證明：AD=b-,

(2)若an為內(nèi)角/的平分線，且而=|?荏+|而，求sina.

【變式5-1](2024?四川攀枝花?三模)請(qǐng)?jiān)冖?a—6=2ccosB,②於篇=tanC+tanB,

③信也(4+B)=3-2cos2^三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,己知

(1)求角C；

(2)若b=4,點(diǎn)D在邊4B上，CD為N4CB的平分線，求邊長(zhǎng)a的值.

【變式5-2](2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))已知△ABC中內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足遮c+b

sinA=V3acosB.

(1)求角4的大?。?/p>

(2)若。是邊8C上一點(diǎn)，且ND是角力的角平分線，求案的最小值.

【變式5-3】(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))從①^=嘴2②黑:黑=一,③2asin2?=V^sin2這三個(gè)

條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中.

已知△4BC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c且.

⑴求角8的大?。?/p>

(2)若2的角平分線交邊8c于點(diǎn)D,且逐，c=2,求邊6.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【題型6解三角中的高模型】

【例6】(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))在△4BC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且V^csinB+bcos(4+B)

=b.

(1)求角C的大小；

(2)若a=8,△ABC的面積為4g,求ZB邊上的高.

【變式6-1](2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))設(shè)△4BC的內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且有26cos(4-三

=a+c,

⑴求角8：

(2)若NC邊上的高h(yuǎn)=fb,求cosAcosC.

【變式6-2](2024?河北秦皇島?三模)在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,C4且

a+b=7,△4BC的外接圓半徑為竽.

(1)求△4BC的面積；

(2)求△4BC邊力B上的高比

【變式6-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知△A8C的內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=l,sinB+V3

bcosA=0.

(i)求角a；

(2)設(shè)AM是△ABC的高，求AM的最大值.

【題型7解三角形中的等分點(diǎn)模型】

【例7】(23-24高二上?云南?期末)在△ABC中，點(diǎn)D為線段8c的四等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)B,乙82。與NB4C互補(bǔ).

⑴求票的值；

(2)若4艮4。=30。,48=4,求4D的長(zhǎng).

【變式7-1](2023?湖北?模擬預(yù)測(cè))在△4BC中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a2(l+cosA)

=2bcsin2a.

⑴判斷△ABC的形狀；

(2)已知。為BC上一點(diǎn)，則當(dāng)4=爭(zhēng)a=3技20=舊時(shí)，。為BC的幾等分點(diǎn)？

【變式7-2]（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC—

—csinfi

3

(1)求角8

(2)過(guò)B作BD1BA,交線段AC于。，且AD=2DC,求角C.

【變式7-3]（23-24高三上?湖南長(zhǎng)沙?期中）設(shè)a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊，AD為BC

邊上的中線，c=l,Z.BAC—y-,2csinXcosB=asinX—fosinB+jfosinC.

⑴求4D的長(zhǎng)度；

（2）若E為NB上靠近8的四等分點(diǎn)，G為△ABC的重心，連接EG并延長(zhǎng)與NC交于點(diǎn)尸，求/尸的長(zhǎng)度.

【題型8三角形的重心問(wèn)題】

【例8】（2024?江蘇蘇州?二模）記△4BC的內(nèi)角ASC的對(duì)邊分別為a,b,c,已知竺=包戶嗎.

csin71—sine

⑴求角4；

（2）若a=6,點(diǎn)M為△28C的重心，且4M=2b，求△ABC的面積.

【變式8-1]（2023?四川內(nèi)江?一模）△4BC的內(nèi)角4、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,a=6,bsin—=asin

B.

(1)求角力的大?。?/p>

(2)M為△4BC的重心，AM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D,且AM=2g，求△ABC的面積.

【變式8-2](2023?江西景德鎮(zhèn)?一模)如圖，已知A4AD的重心為C,AABC三內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別

為a,b,c.且cos2^=g^

Z2c

⑴求乙4cB的大小；

(2)若求sin/CZM的大小.

【變式8-3](2023?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè))在△ABC中,角4B,C的對(duì)邊為a,hc,c?sin4=a?cosC,設(shè)△ABC

的面積為S,S=*bc.

(1)求角B的大??；

(2)若a=3,過(guò)aaBC的重心點(diǎn)G的直線I與邊a,c的交點(diǎn)分別為E,F,麗=4方，BA=1iBF,請(qǐng)計(jì)算4+〃的

值.

【題型9三角形的外接圓、內(nèi)切圓問(wèn)題】

【例9】(2024?云南曲靖?二模)在△A8C中，角45。的對(duì)邊分別為a,4以MacosC+V3csin71=b+c.

(1)求角8的取值范圍；

(2)已知△ABC內(nèi)切圓的半徑等于烏，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

【變式9-1](2023?河南?模擬預(yù)測(cè))已知△4BC的外心為0,點(diǎn)分別在線段4B/C上，且。恰為MN的中

點(diǎn).

(1)若BC=g,04=l,求△ABC面積的最大值；

(2)證明：AM-MB=AN-NC.

【變式9-2](2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面內(nèi)的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)4B,C,D構(gòu)成的四邊形4BCD中,

48=1,BC=2,CD=3,AD=4.

D

(1)求△ac。面積的取值范圍;

(2)若四邊形4BCD存在外接圓，求外接圓面積.

【變式9-3］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知△4BC中，角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,遮6—csin2=V^a

cosC.

（i）求角a的大??；

（2）若a=7,△ABC外接圓的半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,求￡的最小值.

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?貴州六盤水?三模）在△ABC中，4B=2,AC=3,〃=今則△ABC外接圓的半徑為（）

夕V21迫2V21

3333

2.（2024?新疆喀什?三模）在△4BC中，AB=2,BC=?ABAC=120。，。是BC邊一點(diǎn)，是NB4C的

角平分線，則（）

A.|B.1C.2D.V3

3.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）在△4BC中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,c（sin4—sinC）=（a—b）

（sin4+sinB）,若△力8c的面積為苧，周長(zhǎng)為36,則/C邊上的高為（）

A.亨B.亨C.V3D.2V3

4.（2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）在△4BC中，角4B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,6,c,點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，若

AM=AC,cos2B=cos（4+C）,則sin/RAC=（）

A.叵B.逅C.叵D.”

3377

5.（2024?山西?三模）在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,hc.已知4=專爐+?2=24,△4BC的外接

圓半徑R=2b,D是邊4C的中點(diǎn)，則BD長(zhǎng)為（）

A.V2+1B.2V3C.6V2D.

6.（2024?山東泰安?三模）在△ABC中，內(nèi)角48,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且智—a=（…乎。,延長(zhǎng)江

至點(diǎn)。，使得BC=CD,若4。=2舊/8=2,則a=（）

A.IB.V3C.2D.3

7.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角力、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若c=3,6=2,ABAC的

平分線4。的長(zhǎng)為華，則BC邊上的中線4"的長(zhǎng)等于（）

迫4V2叵D.迪

2343

8.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角4SC的對(duì)邊分別為見(jiàn)瓦c,2sin/=acos&c=2.若G為AABC

的重心，則G%2+GB2—GC2的最小值為（）

A12-4?B8+4?C4?-2D4+2近

?9?-9—?-3-?-3-

二、多選題

1

9.（2024?廣西?二模）已知△48C內(nèi)角45。的對(duì)邊分別為a,瓦c,。為△ABC的重心，cos4=g/O=2,則

（）

A.AO=+^ACB.AB-AC<3

C.△ABC的面積的最大值為3乃D.a的最小值為2遍

10.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，內(nèi)角N,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.己知a=2,△ABC

的面積S=李歷?尼，則以下說(shuō)法正確的是（）

A.4=30°

B.△ABC的周長(zhǎng)的最大值為6

C.若be=4,則△ABC為正三角形

D.若4B邊上的中線長(zhǎng)等于竽，貝口=仃

11.（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=4,2C=6,4=去。為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，貝U（）

A.SC=2V7

B.當(dāng)4。為角4的角平分線時(shí)，2￡>=喑

C.當(dāng)。為邊8c中點(diǎn)時(shí)，AD=3五

D.若點(diǎn)P為△4BC內(nèi)任一點(diǎn)，成?（麗