2025年新高考數(shù)學復習突破講義：三角恒等變換（含解析）

專題19三角恒等變換

【考點預測】

知識點一：兩角和與差的正余弦與正切

①sin(cr±0)=sinacos/3±cosasinp；

@cos(cr±/3)=cosacosJ3+sinasin/3；

③tan(a±￡)=tanc土tan.

1+tanatan0

知識點二：二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos?a-sin2a=2cos26z-l=l-2sin2a；

gc2tana

(3)tan2a=-------z-

1-tana

知識點三：降次（然）公式

.1.3.21-cos2a21+cos2a

sinacosa=-sm2a:sina=------------;cosa=

222

知識點四：輔助角公式

bab、

asina+bcosa=ya2+b2sin(a+9)(其中sin9=/，COS(P=.,tan(p=—).

yla2+b2y/a2+b2a

【方法技巧與總結】

1、兩角和與差正切公式變形

tana±tan/=tan(a±t)(1+tanatan/?)；

c_tana+tanBtana-tanB,

tana?tanQ=1-----------------=----------------1

tan(a+￡)tan(cr-/3)

2、降幕公式與升事公式

.71-cos2a71+cos2a；；

sina=------------；cosa=---s-i-n--a--c--o--sa=Lsin2a

222

1+COS26Z=2cos2a；l—cos2a=2sin2a；1+sin2cr=(sina+cosa)1；l—sin2a=(sincr-cos6z)2.

【典型例題】

例L（2024?四川南充?二模）已知角。頂點在原點，始邊與工軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點

34

P,則cos1a+：二()

555

V2RV2772

A.C.

而10記

【答案】C

【解析】因為角a的終邊與單位圓相交于點尸

43

所以sina=cosa=--,

5

，兀、兀.兀3V24V2

cosa+—=cosacos----sincrsin—=—x----------x——7c

(4)445252"Io

故選：c

2sin(a+g

例2.（2024?云南?一模）已知tana=-3，則)

2sinI—+j-sin(cr-7i

A.-3-V3B.-l-35/3C.I'?D.1+了

【答案】B

【解析】已知tana=-3,

2sinaH-----/—.

I6J一，3sma+cosa

則7\~：

c.(兀)./\2cosa+sina

2sin\—+a\-sin\a-兀)

-A/Stana+13^/3+12)-x[31

2+tana-1

故選：B.

例3.（2024?全國?模擬預測）已知cosx=-g,xe]兀，受，則cos[x+|■卜（）

6V2+1-6V2+1?2V6+V3

A..感r-----------]_/.--------------

10101010

【答案】A

「兀、71..7111昱66-1

/.cosx-\——=cosxcos——sinxsin—=----x—

13)3352

故選：A.

則sin,+mj=(

例4.(2024?全國?模擬預測)已知sin)

3-V6口3+V6D.辛

A.--------r>.--------

66

【答案】B

【解析】由與“W可得七"涔,又可唱等則“嗚卜,，

44T.（八兀1.（八兀兀、.（八兀）71（八疝.JiV3A/3A/613+而

故sin，+—=sm，+—+—=sm，+—cosTeos，+Tsm——x―F—x=--------.

13）（66j16）6I6）632326

故選：B.

例5.(2024?全國?模擬預測)已知cos［a+￡)+sincz=；,則()

【答案】B

【解析】由cos［a+：］+sina==，oJW-^-cosa--sina+sina=—>

I6J5225

即工sintz+蟲costz=？，可得sinje+丁］=三，

225I3J5

所以cosla--=cos

故選：B.

『zawq聲、cos55°+sin25°sin30°小k,、

例6.（2024?陜西西安?一模）-----------------等于（）

cos25°

A.yB.—C.—

222

【答案】C

■An+r▼cos550+sin25°sin30°

［解析］----------------

cos25

_cos（25°+30°）+sin25°sin30°

cos25°

_cos25°cos30°-sin25°sin300+sin25°sin30°

cos25°

cos25°cos30°

=cos30°=—

cos25°2

故選：C

例7.⑵24?高三?湖南長沙?階段練習)已知tan*2,則2cos晨"<

1

A.B.2C.1D.|

3

【答案】D

【解析】由題意知tan。=2,

sin262sinOcos。2tan。42

所以

2cos20+4sin202cos20+4sin202+4tan202+4x49

故選：D.

例8.（2024?高三?江蘇揚州?階段練習）若々為第一象限角，且cosa+:,貝Ucoscr=

【答案】Vio

1010

jr

【解析】因為。為第一象限角，即2E#a2H+-,kZ,

2

所以2E+-￡a+-￡2析+型,ktZ.

444

所以sin[a+；)>0,

71

因為cosa+一

4

2V5

所以sin

5

.71

所以+sina/sin-

I44

=旦巫+拽X巫二巫

525210

故答案為：士何

10

jlcjrjr

例9.（2024?高三?全國?專題練習）已知tana—Jcosp——,71)f4￡(0,—),貝！Ja+p=

54

【答案】

4

由cosP=9，0G(0,y),WsinP=26

【解析】，tanp=2,

5

--+2

tana+tan/?3_

所以tan（a+夕）1.

1-tanatan01+2

3

所以［，

因為（一，兀），0G（0,一）,<a+S<^

2"2

57

所以。+夕=

4

例10.（2024?高三?江蘇淮安?階段練習）已知々為第二象限角，且滿足sinaj-cos"+cosa1-sinor7

V1+cosa1+sina5

【答案】—/0.96

【解析】因為a為第二象限角，所以0<5也￡<1,一1<0）5￡<0,

.l-coscifJl-sina(1-coscz)(l-sma)

sinaA-----------+cosaA-----；——=sma.-------———-------+cosa.-——-———--------

V1+cosaYl+sma'(l+cosa)(l—cosa)'(l+sina)(l—sina)

.1-cosa1-sin?7

=sina——；---------cosa-----------=1-cosa—14+sma=—,

sinacosa5

724

所以sina-cosa=—,兩邊平方可得sin2a=-----

525

(3K)24

則NI叫才-2a=-sinZz=——

)25

故答案為：—.

例U.⑵24?高三?河北保定?期末）已知[%）一則暇守一

2

【答案】

sin2a-2sin2a2sinacosa—2sin2a_2sinacosa—2sin2a

【解析】

Jl-cos2a72sin2aV5gina|

=±V2(COScr-sincr)=±2cos]a+：卜士§.

故答案為：±2|.

例12.（2024?高三?上海?期中）設點尸是以原點為圓心的單位圓上的動點，它從初始位置兄（1,0）出發(fā)，沿單

位圓按逆時針方向轉動角a后到達點召，然后繼續(xù)沿單位圓按逆時針方向轉動角:到達巴.若

3

點打的橫坐標為-《，則點耳的縱坐標為.

【答案】拽

10

【解析】由題可知。山+牛-|,因為K+冷,

所以sin[a+；）=g

_V2<43A7V2

故答案為：述

10

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?山東煙臺?一模）若cos|a—；j=g,貝!jsin2a=（

7

D.

9

【答案】C

17

【解析】由COS3-9-

,,o兀/

故cos[2a-,J=sin2a=-—,

故選：C

2.(2024?高三?山東荷澤?階段練習)若tan[c-；)=2,則sin2a=()

33-44

A.-B.—C.一D.——

5555

【答案】B

■【解析】由?I"W7i卜1t干ana啟-l-

‘a(chǎn)n=2,得tana=-3,

c.2sinacosa2tana_3

sin2a=2sincrcosa=--------------

sina+cosa1+tan2a5

故選：B.

3.(2024?湖南衡陽?二模)已知cos[2a+g]二仁?貝ljtana=()

A.—B.1C.2D.4

42

【答案】A

【解析】由cos(2a+nsin2a=&,

\2)\717

c.82smacosa82tana81

所以2sinacosa=-n^―：------；—=一n-----；—=一ntana=4或tana=一

17sin2cr+cos2a171+tan2a174

又所以0<tana<l.

所以tana=L

4

故選：A

4.（2024?貴州畢節(jié)?二模）若"￡（一右鼻，且tan9=—Jf?,貝Ucosg=（）

A.逅B.巫C.+逅D.+巫

4444

【答案】B

【解析】因為夕一旦tan6=-Vf?,

（xfan°_sin8_

所以6￡卜3，（）］,又「ancos。，解得cosO=；或cos<9=—J（舍去）,

1工）［sin20+cos2^^l44

又cose=2cos2g—l=L解得cos2=畫或cosg=—亟，

242424

又,°1，所以I"］，所以cos5>0,所以cosg=^^.

故選：B

5.（2024?高三?云南?階段練習）已知角a的終邊經(jīng)過點々：,-乎，則2cos?■|+sina=（

.5-V150-V15-5?5+V15V15-5

A.------D.-------C.------D.

4444

【答案】A

【解析】由三角函數(shù)定義得sina=-巫，cosa」

44

而［“c2a.1-1I5—y/15

所以2cos一+sma=1+cosa+sina=1--------b—=----------

2444

故選：A.

771TTIT

6.（2024?高三?全國?專題練習）已知sin（萬+a）=,，且一，〈好。，則cos（a—§）的值是（

C.-yD.1

【答案】c

【解析】由sin15+c］=cosc=5，且一］<a<0,可得sina=-Jl-cos2c=-

匚匚2『九、冗.%.13

所以cosa----=cos—cosa+sin—sina=---------

3J33442

故選:c.

7.（2024?江西九江?二模）已知,cos（6Z-/?）=—,tan67-tan/?=—,貝［ja+〃=）

64

7171_712兀

A.-B.—c.一D.——

3463

【答案】A

【解析】因為cos（a-月）=3,tan^ztan^=—,

cosacosyS+sincrsin=—

所以..Al6,

sinasinp_1

cosacos/4

一2

COSCOSB=一

解得；,

sinasin/?=一

I6

所以cos（a+/?）=cosacos,一sinasin/?=；,

又所以夕+6€（0,兀），所以e+￡=1.

故選：A

8.（2024?高三?全國?專題練習）已知1@11。=3，1&114=—3，則tan（2a+份的值為（）

331

A.——B.——

417

31

C.1D.—

17

【答案】C

【解析】因為tana=

1

?

,tanP=—

1

7

,所以tan（a+4）=

tana+tanp

1—tanatan/5

X1

2-7

5

14

L4

,所以tan(2a+￡)=tan[a+(a+￡)]=

tana+tan(a+4)

1—tanatan(a+8)

2+3

1-壬

【考查意圖】

利用和差倍角公式化簡求值.

13

9.(2024?安徽黃山?一模)已知sinasin〃=y,cos(a—〃)=《，則cos(a+/?)=()

111823

A.—B.-C.—D.——r

552525

【答案】B

113

【解析】因為sinasin，=—,cos(cr-=cosacos4-sincrsinf3=cosacosP+—=—.

2211

解得cosacos4,因此，cos(a+〃)=cosacos/?—sinasin,=y--=-1

故選：B.

10.(2024?高一?云南大理?階段練習)設sine-cos6=1則sin20=()

3

7117

A.-B.-C.——D.——

9999

【答案】A

【解析】由sin6-cos6=—，

3

平方可得（sin。-cos6）2=sin26+cos26-2sin6cos6=1—sin2。=—

9

7

解得sin2ej

故選：A.

11.(2024?吉林延邊?一模)已tan&=1二L則厘竺_=(

)

22l-cos26>

A.yB.C.2D.V5+1

22

【答案】A

1-tan2—

sin10_2sin9cos9_1_1______2

【解析】由題意得1Y°S202sin26>tan。tan-

2c2,tan—e,

_____22

1"

2

12。

nZ7_il—tan-

將tan-=尖」代入可得----小

222tan-2

2

故選：A.

12.（2024?遼寧大連?一模）設?！闧0,萬），若cose=1,則sin26（）

1224

C.D.

2525

【答案】D

【解析】因為夕€

4324

從而sin2e=2sin6cose=2x—x—二——.

5525

故選：D.

13.（2024?陜西咸陽?二模）已知角。的始邊為工軸的非負半軸，頂點為坐標原點，若它的終邊經(jīng)過點。（1,-2）,

則sin2a+cos2a=()

1

D.

5

【答案】C

【解析】因為角。的終邊經(jīng)過點尸（1,-2）,

-2-2>/5

所以sma=

^12+(-2)25

所以sin2a+cos2a=2sinacosa+2cos2a-1

故選：C

14.（2024?河南?一模）若sine=gee［o,］）,則cos?［孩一三）的值為（）

A6+3A/3口6-3,\/3「6+>/36-V3

20202020

【答案】A

【解析】因為sine=：,6￡[o,|^,則cos8=Jl—sii?'=g,

1+cos9cos@+sin夕isn@

336+36.

220

故選：A.

二、多選題

15.（2024?高三?安徽安慶?階段練習）下列等式中正確的是（）

tan71°-tan26°.

A.sinl50cosl50=—B.=1

4l+tan71°tan26°

6

C.2sin222.5°-l=—D.sin26°cos340+cos26°sin34°二—

22

【答案】AB

【解析】對于選項A：sinl50cosl50=-sin30°=-,故A正確;

24

tan710-tan26°

對于選項B：=tan(71°-26°)=tan45°=l,故B正確;

1+tan71°tan26°

5

對于選項C：2sin222.5°-l=-(1-2sin222.5°)--cos45°-,故C錯誤；

對于選項D：sin26°cos34°+cos26°sin34°-sin(26°+34°)=sin600-y--故D錯誤;

故選：AB.

16.（2024?高一?湖北武漢?期末）計算下列各式的值，其結果為2的有（）

R1G

A.tanl5O+tan60°

sin10°cos10°

C.(l+tanl8°)(l+tan27°)D.4sin18°cos36°

【答案】AC

tan45。_tan40。

【解析】對于A：tan15°+tan60°=tan(45°-30°)+tan60°=

1)1+tan45°tan30°+6()O

+6=2,A正確;

3

\_6_cosl0°-瓜inl0°_2cos(10o+60°)

對于B：

sin10°cos10°sin10°cos10°sin10°cos10°

4cos70°4sin20°

=4,B錯誤;

2sin10°cos10°sin20°

對于C：(l+tanl8°)(l+tan27o)=l+tanl8o+tan27o+tan27otanl8°

=l+tan(18°+27°)(l-tan270tanl80tan27°tanl80=l+l-tan27°tanl8+tan27tan18=2,C正確;

4sin18°cos18°cos36°_2sin36°cos36°_sin72°_cos18°

對于D：4sin18°cos36°==1，D錯誤.

cos18°cosl8°cosl8°=cosl8°

故選：AC.

17.（2024?高三?河南?階段練習）已知。為銳角,sinctr=—,則

3

3^/3cos2?=Z

A.cosa+—B.

I3109

tan2”逑

C.tan[a+[二7D.

7

【答案】BD

【解析】由々為銳角，sina=1,貝1Jc0sa=^^tan”正

34

兀.兀理二回，A錯誤;

貝Ucosf6Z+y=cosacos-----smasin—

336

.7

cos2a=\-2sin2a=—,B正確；

1+tana9+4^/2

tana+—，C錯誤;

I41-tana7

2tana警，D正確;

tan2a=

1-tan2cr

故選：BD.

18.（2024?高一?河南三門峽?期末）下列等式正確的有（）

6

A.cosl35°=--B.sinl50cosl5°

24

5兀5兀

tan----1-tan——

412

C.cos74°sin14°-sin74°cos14°=——D.

15兀

21—tan—

12

【答案】ABD

旦,A選項正確;

【解析】對A,cosl350=cos(180°-450)=-cos45°=

2

對B,sin15°cos15°=—sin30°=—,B選項正確;

24

對C,cos74°sin140-sin74°cos14°=sin(14°-74°)=sin(-60°)=-sin60°=,C選項錯誤；

5兀5兀715兀兀5兀

tan—+tan——tan兀+—+tan—tan——btan—

4122兀

對D,412412=tan——

571571i715兀3

1-tanl-tan1-tan—tan—

1212412

所以D選項正確.

故選：ABD

19.（2024?高三?江蘇常州?期末）下列四個選項中，化簡正確的是（）

A/14。)屈一后

A.cos(-15)=----------

B.cos15°cos105°+sin15°sin105°=0

C.cos(a—35o)cos(25。+a)+sin(a—35)sin(25。+a)

D.sin14°cos160+sin76°cos74°=—

2

【答案】BCD

業(yè)+立=痛+行,故A項

【解析】對于A項，cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos30°cos450+sin30°sin45°=

444

錯誤;

對于B項，cos15°cos105°+sin15°sin105°=cos(15°-105°)=cos(-90°)=0,故B項正確;

「卜in(25°+a)=cos[(a-35°)-(25°+a)]=cos(-60°)=；，故

對于C項,cos(a-35。)cos(25。+a)+sin(a-35

C項正確;

對于D項，sinl4°cosl6°+sin76°cos74°=sinl40cos16°+cos14°sin16°=sin30°=—,故D項正確.

2

故選：BCD.

三、填空題

2°-（2。24?全國?模擬預測）已知sm。1,則需——.

【答案】v

O

sin262smecos。2z）

-----——=2cos，=2o-sin20）=-

【解析】tan。sin"）8.

cos。

故答案為：

o

21.（2024?河北滄州?模擬預測）已知cos（a-看]-sina=；,則cos[2a+2）=

7

【答案】

【解析】因為cos|a一二一sina=—,cosacos—4-sin?sin--sincr=—

y6J3663

所以1cosa-」sina=，，所以以）5（戊+占]=彳，

223I6J3

所以cos[2a+^\=2cos2[a+^]-1=2x--l=-—,

7

故答案為：

22.（2024?高三?浙江寧波?階段練習）若sin,-力=，，則$26+會

7

【答案】—/0.28

JT4

【解析】令9-",則sinf=￡,

65

所以cos[29+g]=cos21+彳]+胃=co《Z+兀）

=—cos2,=2sin?t-1=2x-----1——.

2525

故答案為：

23.（2024?四川綿陽?二模）已知a為鈍角，sina=貝l|sin[a+：

【答案】顯

10

43

【解析】因為a為鈍角，sma=所以cosa=

5

.兀.兀4V23V2C

所以sin]a+:=sincrcos——Fcosasin—=一x---------x——=—,

44525210

故答案為：交

10

24.（2024?高三?河北保定?期末）若tan6=3,貝!!sin2，-3cos

3

【答案】*0.3

【解析】因為tan6=3,

2sin0cos0-3cos2^2tan0-32x3-3_3

又。=。一*2*二

sin29-3cos22sin6cos3cos02-

sin20+COS2<9tan2^+l3+lW

3

故答案為：—.

1+tanjoc—j

25.(2024?河南鄭州?一模)已矢口-----z------^=2,貝Ijsin2dz=.

1_tanOL—

I4J

4

【答案】y/0.8

1+tancc—tan—Ftancc—(、

[解析]由-----7-----^=2可得---------7~~^=tan(，+a_2]=tana=2,

1-tanf6Z--j1-tan—tanfcr-—|)

I4j4I