2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：四邊形 壓軸解答題練習(xí)題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：四邊形壓軸解答題練習(xí)題

解答題(共25小題)

1.課本再現(xiàn)

(1)如圖1,△ABC和△(?￡>￡都是等邊三角形，且點2、C、E在一條直線上，連接8。和AE相交于

點P,線段8。與AE有什么關(guān)系？你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明上述關(guān)系成立的理由嗎？

深入探究

(2)如圖2,將△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，其他條件與(1)中相同.

①線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系是；

@ZDPE的度數(shù)為.

拓展應(yīng)用

(3)如圖3,四邊形ABCD中，AB=BC,ZABC=60°,ZADC=3Q°,AD=6,BD=1Q,求邊CO

的長度.

2.問題探索：

(1)如圖1,在RtzSABC中，ZC=90°,AC=BC,。為AB中點，點、E,尸分別在邊BC,AC上且

ZEDF=9Q°,則DE與DF的數(shù)量關(guān)系是；

問題解決：

(2)如圖2,某大學(xué)校園內(nèi)有一塊四邊形的花圃ABC。，滿足AB=80〃3BC=20m,ZABC=120°,

ZADC=60°,花圃內(nèi)鋪設(shè)了一條小路BD,8。平分為方便學(xué)生賞花，現(xiàn)計劃修建一條徑直的

通道。E與小路8。相連，且入口點E恰好在BA的延長線上.解答下列問題：

①求證：AD=CD；

②求入口到點A的距離AE的長.

EE

3.如圖，在正方形ABC。中，點E為對角線AC上一動點(點￡不與A、C重合)，連接BE,過點￡作

EfUBE交直線于尸，將線段BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BG,連接GA,GC,GF.

(1)求證：△ABEZACBG；

(2)試探究CE+CG與BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)若正方形ABCD的邊長為2,求GA+G2的最小值.

4.【定義】

如果一個四邊形的其中一組對角互補，那么這個四邊形叫做“對補四邊形

如圖1,在四邊形ABCD中，若/A+/C=180°,則四邊形ABCD是對補四邊形.

【應(yīng)用】

(1)如圖1,在對補四邊形ABCD中，ZA=100°,則/C=:

(2)如圖2,在對補四邊形ABCD中，NA=90°,A3=3,A￡>=4,DC=2,則BC=；

(3)如圖3,在對補四邊形ABC。中，AC平分/BAD

①求證：BC=CD；

②若/BAD=60°,請?zhí)骄緼B,AC>AD的數(shù)量關(guān)系并說明理

圖2

備用圖

1

(1)如圖1,是△ABC的中位線，求證：DE//AC,DE=^AC.

證明：延長即至點FDF=DE,連接AF

請你把證明過程補充完整.

【類比遷移】

(2)如圖2,是△ABC的中位線，尸是平面內(nèi)任意一點，將點E分別繞著點。，E旋轉(zhuǎn)180°得到

點G和〃，連接GH,猜想G”和AC的關(guān)系，并證明；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在中，NA4c=90°,AB=3,AC=4,D,E分別是邊AB,BC的中點，點、F

在△ABC內(nèi)部，將點尸分別繞著點O,E旋轉(zhuǎn)180°得到點G和H,順次連接AG,GB,BH,得到

四邊形AGBH,試求四邊形AGB”的面積.

A

AA

6.“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：如圖1,RCABC中，ZABC=90°,BD為AC邊上的中線.將

△AB。沿射線BC的方向平移，得到其中點A,B,。的對應(yīng)點分別為E,F,G,如圖2,當(dāng)

線段￡廠經(jīng)過點。時，連接DG,GC,請解決下列問題:

【數(shù)學(xué)思考】

(1)請直接寫出四邊形DFCG的形狀：

【深入探究】

(2)如圖3所示，老師將圖2中的△EPG繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△PFQ,其中點及G的對應(yīng)

點分別為尸、Q,線段尸尸、。尸分別與邊8。交于點M、N.

①“勤學(xué)小組”提出問題:當(dāng)尸?！?。時，試猜想線段和AW的數(shù)量關(guān)系，并證明;

②“善思小組”提出問題:若△ABC中，AB=6,BC=8,當(dāng)△/MN為等腰三角形時，請直接寫出△

■WN的面積.

圖2

ZACB=9Q°,在邊BC上任取一點。，連接AO,將△ADB沿著翻折,

得到且點9在直線AC的上方.連接23并延長與AC的延長線交于點E.

①40與BE之間有怎樣的位置關(guān)系？請證明你的結(jié)論;

②若sinNA4C=&,請?zhí)骄緼Z)與3E之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

A.AE3

(2)如圖2,在平行四邊形4BC。中，sinA=XAB=5,AD=6,點E是AB邊上的點，滿足一=

5EB2

將BE繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ME.過點E作EfUCE交AO于點N,連接MD,MN,DF、若

EF=EC,則四邊形的面積為

B

C

B

圖1圖2

8.綜合與實踐

線段的計算和角的計算有緊密聯(lián)系，它們之間的解法可以互相遷移.下面是某節(jié)課的學(xué)習(xí)片段，請完成

探索過程：

【探索發(fā)現(xiàn)】

(1)課上老師提出問題：如圖1,點。是線段上一點，C,。分別是線段的中點，當(dāng)

=16時，求線段CD的長度.下面是小華根據(jù)老師的要求進行的分析及解答過程，請你補全解答過程：

未知線段1______________1_____________1________1________1線段中點的定義

AC0DB

圖1線段的和、差等式的性質(zhì)

轉(zhuǎn)因為C,。分別是線段04,的中點，

化

11

所以。C=2。4,0D=2________①，

11

已知線段所以CD=OC+OD=^OA+寺_________②，

=2________③.

因為AB=12,

所以CD=_______④.

【知識遷移】

(2)小華舉一反三，發(fā)現(xiàn)有些角度的計算也可以用類似的方法進行轉(zhuǎn)化.如圖2,已知NAOC=80°,

08是角內(nèi)部的一條射線，0D,0E分別是NA。8NB0C的平分線，求NOOE的度數(shù).請同學(xué)們嘗

試解決該問題.

【拓展延伸】

(3)老師提出這樣一個問題：如圖3,長方形紙片ABC。，點E在邊A3上，點、F,G在邊CD上，連

接EREG,將NBEG對折，點B落在直線EG上的點中處，得折痕將NAEP對折，點A落在

直線EE上的點A'處，得折痕EN.若/FEG=26°,請直接寫出/MEN的度數(shù)

為.圖2圖3圖3備用圖

9.【綜合與探究】數(shù)學(xué)課上，李老師布置了一道題目：如圖①，點E,尸分別在正方形A8CD的邊

8C上，ZEDF=45Q,連接ER,求證：EF=AE+CF.

【思路梳理】(1)“勤奮”小組的同學(xué)給出了如下的思路分析過程，請你補充完整:

"：AD=CD,...將△AOE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG,可使AD與CD重合,

AZA=ZDCG,ZADE=ZCDG,AE=CG,DE=DG,

'：ZDCB=ZA=90°,AZFCG=180°,即點RC,G共線,

ZEDG=ZEDC+ZCDG=ZEDC+ZADE=ZADC=9Q°,

VZEDF=45°,：.ZGDF=ZEDF=45°,

又,：DF=DF,；.0ADEF,()(寫依據(jù))

EF=FG=CG+CF=AE+CF.

【類比引申】(2)“智慧”小組的同學(xué)在“勤奮”小組同學(xué)的基礎(chǔ)上，改變了條件：如圖②，在四邊形

ABCD中，AD=DC,ZADC=90°，點E,尸分別在邊AB,BC±,ZEDF=45°,連接EF.若/A,

/C都不是直角，且/A+/C=180°,貝。(1)中的結(jié)論是否還成立？并說明理由.

【聯(lián)想拓展】(3)“創(chuàng)新”小組的同學(xué)提出了下面的問題：如圖③，在△A2C中，ZABC=90Q,AB=

BC,點、D,E均在邊AC上，且/。BE=45°.當(dāng)AO=1,CE=2時，直接寫出DE的長度.

10.我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形

為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.

(1)寫出兩種你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的圖形的名稱,

(2)如圖(1),請你在圖中畫出以格點為頂點，04為勾股邊，且對角線相等的所有勾股四邊形

OAMB.

(3)如圖(2),在四邊形ABCD中，ZB=60°，ZZ)=30°，S.AB=BC,連接BD探究8。、AD.

和CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖⑴圖(2)

11.如圖1,在長方形ABCO中，AB=6cm,8c=8c機.點P從點8出發(fā)，以lcm/s的速度沿BC方向運

動到點C停止，點。從點C出發(fā)，以2c機/s的速度沿C-8-C方向運動到點C停止，連接。尸、DQ-,

若尸、。兩點同時出發(fā)，設(shè)點尸的運動時間為/秒(f>0),△DPQ的面積為5。層(S>0).

(2)當(dāng)點尸和點。相遇時，求f的值.

(3)當(dāng)0<反4時，用含f的代數(shù)式表示S.

(4)如圖2,在點尸和點。不重合的情況下，連接AP,四邊形的面積是長方形ABCD的面積

的!時，直接寫出f的值.

12.【操作思考】

(1)如圖1,已知方格紙每個小方格都是長為1個單位的正方形，已知線段AB的端點均在正方形網(wǎng)格

格點上，其位置如圖所示.請在網(wǎng)格紙上畫出以AB為斜邊的所有互不全等的直角三角形，要求這些三

角形的頂點均在正方形網(wǎng)格格點上.

【聯(lián)系應(yīng)用】

AC1

(2)如圖2,在RtZ\ABC中，ZC=90°E是BC邊的三等分點，連接AD,AE,求/

BC3

1+Z2+Z3的度數(shù).

【拓展延伸】

(3)如圖3,已知正方形ABCD的邊長為3,當(dāng)點H是邊AB的三等分點時，把△BCH沿C"翻折得

△GCH,延長HG交AD于點求必)的長.

圖1圖2圖3

13.綜合與探究

問題情境：在△ABC中，AC=BC,。為A3的中點.將△CDB以點。為中心逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點、B,

C的對應(yīng)點分別為點夕，C',夕C與AC的交點為E.猜想證明:

(1)如圖1,當(dāng)8,C〃A3時，判斷四邊形ADB'E的形狀，并說明理由;

深入探究

(2)如圖2,當(dāng)點8,恰好落在BC邊上時,

①猜想線段AE,B'E的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

②若AC=10,AB=12,請直接寫出線段88'的長度.

14.在長方形ABC。中，AD=6,E,尸分別是AD,AB邊上的動點.在長方形ABCD的內(nèi)部(包含邊界),

以斯為直角邊作等腰直角三角形EEP,且/EFP=90°.過點尸作尸。，48,垂足為。.

(1)如圖①，當(dāng)AE=1時，設(shè)AQ=x,PQ=y,求y與尤之間的函數(shù)表達式;

(2)當(dāng)點E的位置如圖②所示時，點尸在AB邊上運動，用直尺和圓規(guī)在圖②中作出所有滿足條件的

點P;(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)

(3)當(dāng)點E,歹分別在AD,邊上運動時，滿足條件的點尸所形成的區(qū)域的面積隨著A2的長度變

化而變化，設(shè)點P所形成的區(qū)域的面積為s,AB的長度為小請直接寫出s與〃的函數(shù)表達式及對應(yīng)〃

的取值范圍.

15.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AD=12cm,BC=16cm.點P仄點D出發(fā),以lcm/s的速度向

點A運動，同時點。從點8出發(fā)，沿著射線2C以3cm/s的速度向右運動，當(dāng)動點P到達端點A時另

一個動點Q也隨之停止運動.設(shè)運動時間為fs.

(1)在點尸，Q運動過程中，AP=cm,BQ=cvn；(用含f的代數(shù)式表示)

(2)連接8尸，AQ,若8尸與AQ互相平分，求此時f的值；

(3)在點尸，。運動過程中，是否存在以點尸，Q,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，求

出此時的運動時間f；若不存在，請說明理由.

16.【學(xué)習(xí)新知】等邊對等角是等腰三角形的性質(zhì)定理.如圖1,可以表述為:

'：AB=AC,

：.ZB=ZC.

【新知應(yīng)用】已知：在△ABC中，AB=AC,若/A=110°則/8=；若/B=70°,則

ZA=.

圖1圖2圖3

【嘗試探究】如圖2,四邊形ABC。中，42=4。，ZB+ZAZ)C=180°,若連接C4,則CA平分/BCD.

某數(shù)學(xué)小組成員通過觀察、實驗，提出以下想法：延長CD到點E,使得DE=BC,連接AE,利用三角

形全等的判定和等腰三角形的性質(zhì)可以證明.請你參考他們的想法，寫出完整的證明過程.

【拓展應(yīng)用】借助上一問的嘗試，繼續(xù)探究：如圖3所示，在五邊形A2CDE中，AB=AE,BC+DE=

CD,ZB+ZA￡D=180°,連接CA,CA平分NBC。嗎？請說明理由.

17.在平面直角坐標系中，點A(0,4),點、B(4,0),動點尸Cm,0)(-4<m<4),M、N分別為點P

關(guān)于直線AB、0A的對稱點，連接AM,AN.

(1)如圖1,當(dāng)0<m<4時，ZMAN=；

BM

(2)如圖2,當(dāng)-4<加<0時，是否存在點P,使得l=3,若存在，求點P坐標；若不存在，請說

明理由；

(3)當(dāng)-4<m<0時，四邊形的面積是否隨點P的運動而改變？若不變，請求出四邊形

的面積；若改變，請描述四邊形的面積隨點P運動的變化規(guī)律.

將正方形的四個頂點用線段連接，什么樣的連法最短？研究發(fā)現(xiàn)，并非對角線最短，而是如圖所示的連

法最短(即用線段AE、DE、EF、BF、C廠把四個頂點連接起來).已知如圖1：ZDAE=ZADE=30°,

ZAEF=ZBFE=\2Q0.

(1)由圖1可知，線段AB和所的位置關(guān)系為：；

【問題探究】

(2)某數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)，圖1所示圖形(是/不是)軸對稱圖形，于是他們?nèi)鐖D2構(gòu)造了△

AF'△BFC,發(fā)現(xiàn)△AF'E是三角形，請結(jié)合以上結(jié)論，猜想線段AE與OE的數(shù)量關(guān)系，

并證明.

【問題解決】

(3)在第(2)間的基礎(chǔ)上，若AB=6,求最短連法的線段和，即AE+DE+EF+BF+CF的值.

19.在菱形A2CD中，ZABC=60°,AC與相交于點。，點尸是射線2。上一動點，以AP為邊向右

側(cè)作等邊△APE.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)點尸與點O重合時，點E在邊A。上，連結(jié)CE,8尸與CE的數(shù)量關(guān)系

是;CE與的位置關(guān)系是;

(2)拓展探究：如圖2,當(dāng)點E在菱形ABC。外部時，猜想BP與CE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

(3)解決問題：如圖3,若。。=遮，AP=2V13,請直接寫出四邊形ACDE的面積.

C

圖2

20.對于點P,直線/和圖形N,給出如下定義：若點尸關(guān)于直線/的對稱點P在圖形N的內(nèi)部或邊上，

則稱點尸為圖形N關(guān)于直線/的“鏡像點”.

在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(2,1),B(-1,1),C(-1,-

2),設(shè)點7(0,f),直線/i為過點T(0,力且與y軸垂直的直線.

(1)若f=-2,在點Pi(0,-4),尸2(2,-5.5),尸3(-1，-2.2)中，點是△A2C

關(guān)于直線/1的“鏡像點”；

(2)當(dāng)fWO時，若x軸上存在△A2C關(guān)于直線/1的“鏡像點”，則/的最小值為；

(3)已知直線/2過點T(0,力且與第一、三象限的角平分線平行.

①若直線/2上存在△A2C關(guān)于直線/1的“鏡像點”，直接寫出/的取值范圍；

②已知邊長為1的正方形?！昵械膶蔷€的交點為。(30),且正方形DEPH的邊與坐標軸平行.若

正方形DEM邊上的所有點都是△ABC關(guān)于直線h的“鏡像點”，直接寫出t的取值范圍.

21.在平面直角坐標系中，。為原點，點B在x軸的正半軸上，D(0,8),將矩形08C。折疊，使得頂

點2落在CD邊上的尸點處.

BxA

Si圖2

(1)若圖1中的點尸恰好是CD邊的中點，求/A08的度數(shù)；

(2)如圖1,已知折痕與邊BC交于點A,若0D=2CP,求點A的坐標；

(3)如圖2,在(2)的條件下，擦去折痕A0,線段AP,連接8尸，動點M在線段。尸上(點M與尸，

。不重合)，動點N在線段OB的延長線上，且.BN=PM,連接MN交尸B于點兒作ME,BP于點E,

試問當(dāng)點M,N在移動過程中，線段所的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段

EF的長度.

22.(1)【觀察猜想】我們知道，正方形的四條邊都相等，四個角都為直角.如圖1,在正方形ABCD中，

點E,尸分別在邊BC,CD±,連接AE,AF,EF,并延長CB到點G,使BG=DF,連接AG.若/

EAF=45：則BE,EF,之間的數(shù)量關(guān)系為；

(2)【類比探究】如圖2,當(dāng)點E在線段BC的延長線上，且/EAF=45°時，試探究BE,EF、DF之

間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,在RtZ\ABC中，AB=AC,D,E在BC上，ZDAE=45°,若△ABC的面積

為18,BD*CE=4,請求出△ADE的面積.

23.折疊問題是幾何變換中常見的數(shù)學(xué)問題，經(jīng)常利用軸對稱的性質(zhì)解決相關(guān)問題，而有直角的圖形折疊

又往往會與勾股定理相關(guān)聯(lián).數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以“折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動：

圖①圖②

(1)【初步感知】如圖①，在三角形紙片ABC中，ZC=90°,BC=12,將/A沿。E折疊，使點A

與點2重合，折痕和AC交于點E,折痕和交于點，A￡=13,則CE的長為

(2)【深入探究】如圖②，在平行四邊形紙片ABCO中，ZB=90°,現(xiàn)將紙片折疊，使點C與點A重

合，折痕為匹，如果AB=3,BC=6.求BE的長；

(3)【拓展延伸】如圖③，在平行四邊形紙片ABCO中，ZA=90°,AB=5,BC=8,點E為射線A。

上一個動點，把△A2E沿直線BE折疊，當(dāng)點A的對應(yīng)點廠剛好落在線段BC的垂直平分線上時，直接

寫出AE的長為.

24.【概念呈現(xiàn)】：當(dāng)一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個三角形.若其中有一個三角形是等腰

直角三角形，則把這條對角線叫做這個四邊形的“等腰直角線”，把這個四邊形叫做“等腰直角四邊形”；

當(dāng)一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個三角形，若其中一個三角形是等腰直角三角形，另一

個三角形是等腰三角形，則把這條對角線叫做這個四邊形的“真等腰直角線”，把這個四邊形叫做“真

等腰直角四邊形”.

(1)【概念理解】：如圖①，若AO=1,AD=DB=DC,BC=y[2,則四邊形ABC。(填“是”

或“不是”)真等腰直角四邊形；

(2)【性質(zhì)應(yīng)用】：如果四邊形ABCO是真等腰直角四邊形，且/BOC=90°,對角線8。是這個四邊

形的真等腰直角線，當(dāng)AB=1時，BC2=；

(3)【深度理解】：如圖②，四邊形ABCD與四邊形ABDE都是等腰直角四邊形，ZBDC=90°,ZADE

=90°,BD>AD>AB,對角線BD,AD分別是這兩個四邊形的等腰直角線，試猜想并說明AC與BE

的數(shù)量關(guān)系；

(4)【拓展提高】：已知：四邊形A2CD是等腰直角四邊形，對角線2D是這個四邊形的等腰直角線，

且/。BC=90°,若AO=2,AB=3,ZBAD=45a,請直接寫出AC的長.

25.問題背景：”半角模型”問題.如圖1,在四邊形A3CD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC

=90°,點E,廠分別是BC,CD上的點，且N￡AF=60°,連接ER探究線段BE,EF,D尸之間的

數(shù)量關(guān)系.

G

圖1圖2圖3

E

(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長如到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明AABE絲ZiADG,

再證明△AEF會△AGF,從而得出結(jié)論:

(2)拓展延伸：如圖2,在四邊形ABCD中，AB^AD,ZB+Z￡>=180°,E、尸分別是邊3C,CD1.

的點，且/EAF=2/BA。，請問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立,

請說明理由;

(3)嘗試應(yīng)用：如圖3,在四邊形ABC。中，AB^AD,NB+NADC=180°,E、尸分別是邊BC,CD

延長線上的點，且/E4尸=：/BAD,請?zhí)骄烤€段BE,EF,DF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明.

參考答案與試題解析

一.解答題(共25小題)

1.課本再現(xiàn)

(1)如圖1,2XABC和△<?￡>￡都是等邊三角形，且點8、C、E在一條直線上，連接8。和AE相交于

點尸，線段2D與AE有什么關(guān)系？你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明上述關(guān)系成立的理由嗎？

深入探究

(2)如圖2,將△€?￡繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，其他條件與(1)中相同.

①線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系是BD=AE；

②/DPE的度數(shù)為60°.

拓展應(yīng)用

(3)如圖3,四邊形ABCD中，AB=BC,ZABC=6O°,ZADC=30°,4。=6,BD=1O,求邊CD

的長度.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【答案】(1)BD=AE,理由見解答；

(2)BD=AE；60°；

(3)8.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,然后求出/ACE

=ZBCD,再利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得

根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)

角的和求出NDCE；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC,CZ)=CE,NACB=NZ)CE=60°,然后求出NACE=N2CD,

再利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=AE,根據(jù)全等三

角形對應(yīng)角相等可得ZAEC=ZBDC,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出ZDPE=/DEC；

(3)把△AC。繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,連接OE,判斷出△口)￡是等邊三角形，根據(jù)等邊

三角形的性質(zhì)可得DE=C。，/CED=60°,再求出/BED=90°,然后利用勾股定理列式求出DE,

從而得解.

【解答】解：(1)可以看成是△ACE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60度角得△BCD,

理由如下：

AABC和都是等邊三角形，

：.AB=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

:ZACB+ZACD^ZDCE+ZACD,

即ZACE=ZBCD,

在△ACE和中，

AB=AC

Z-ACE=乙BCD,

CD=CE

：.AACE=^\BCD(SAS),

：.BD=AE；

(2)①線段8。與AE的數(shù)量關(guān)系是BD=AE；②/DPE的度數(shù)為60°,理由如下：

AABC和△(?￡)￡都是等邊三角形，

：.AB=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即ZACE=ZBCD,

在△ACE和△BCD中，

AB=AC

Z-ACE=乙BCD,

CD=CE

：.AACE=ABCD(SAS),

:?BD=AE,NAEC=NBDC,

9：NBDC+/CDE+NAED=/AEC+NCDE+NAED=NCDE+NCED=122°,

???/DPE=180°-(/BDC+/CDE+/AED)=180°-120°=60°；/DCE=/BDC+/DBC,

；./DPE=NDCE=60°；

故答案為：BD=AE；60°；

(3)如圖，AB^BC,ZABC=60°,

：.AABC是等邊三角形，

把△AC。繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,連接DE,

則是等邊三角形，

：.DE=CD,ZCED=60°,

VZADC=30°,

:.NBED=30°+60°=90°,

在RtABDE中，DE=y/BD2-BE2=V102-62=8,

:.CD=DE=8.

【點評】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟記性質(zhì)

與判定方法是解題的關(guān)鍵，難點在于作出輔助線構(gòu)造成等邊三角形和直角三角形.

2.問題探索：

(1)如圖1,在RtZkABC中，ZC=90°,AC=BC,。為AB中點，點E,尸分別在邊BC,AC上且

ZEDF=90Q,則DE與DF的數(shù)量關(guān)系是DE=DF；

問題解決：

(2)如圖2,某大學(xué)校園內(nèi)有一塊四邊形的花圃ABCZ),滿足43=80m，BC=20m,ZABC=120°,

ZADC=6Q°,花圃內(nèi)鋪設(shè)了一條小路B。，8。平分/ABC,為方便學(xué)生賞花，現(xiàn)計劃修建一條徑直的

通道與小路2D相連，且DEL8。，入口點E恰好在BA的延長線上.解答下列問題：

①求證：AD=CD-,

②求入口到點A的距離AE的長.

EE

圖1圖2備用圖

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【答案】⑴DE=DF；

（2）①證明過程見解答；

②120%

【分析】（1）連接CD,證明△AOEgZXC。尸即可解決問題；

（2）①連接AC,在上截取BG,使2G=3C,連接CG,可證A,B,C,。四點共圓，△ADC是

等邊三角形，故/ACD=60°,AC=CD；

②結(jié)合①證明AG3c是等邊三角形，即可證明△A2C2△￡>GC,得A3=DG,BD=DG+BG=DG+BC,

在RtABDE中可得BE=2BO,進而可以解決問題.

【解答】（1）解：DE=DF,理由如下：

如圖（1）,連接CD,

圖1

?：CA=CB,ZACB=90°,。為A3中點，

：.CD±AB,

:./A=/B=/ACD=/BCD=45°,AD=DC=DB,

VZADC=ZEDF=90°,

：.ZADE=ZCDF,

在△ADE和△CZ)P中，

24=乙DCF

AD=CD,

/-ADE=乙CDF

:?△ADE"ACDF(ASA),

：.DE=DF,

故答案為：DE=DF；

(2)①證明：連接AC,在5。上截取5G,使BG=BC,連接CG,如圖:

VZABC=120°,平分NA3C,

AZABD=ZDBC=60°,

VZA￡)C=60°,ZABC=120°,

AZADC+ZABC=180°,

???A,B,C,。四點共圓，

AZDAC=ZDBC=60°,

ZDAC=ZADC=60°,

.*?AADC是等邊三角形，

ZAC￡>=60°,AC=CD；

②解：???NDBC=60°,BG=BC,

???△G5C是等邊三角形，

AZBCG=60°,BC=CG,

：./BCG=/ACD,

???/BCA=/GCD,

在△ABC和△DGC中，

AC=CD

Z-BCA=乙GCD,

、BC=CG

：.AABC^ADGC(SAS),

：.AB=DG^SOm,

：.BD=DG+BG=DG+BC=80+20=100(m),

:DELBD,

：.ZBDE=9Q°,

在RtZ^BDE中，NEBD=60°,

：.Z￡=30°,

BE=2BD=200/71,

：.AE=BE-AB=200-80=120(m).

【點評】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，四點共圓，全等三角形的判定和

性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

3.如圖，在正方形A8CD中，點￡為對角線AC上一動點(點￡不與A、C重合)，連接BE,過點E作

EfUBE交直線CO于尸，將線段BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BG,連接GA,GC,GF.

(1)求證：LABE義4CBG；

(2)試探究CE+CG與BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)若正方形ABCD的邊長為2,求GA+GB的最小值.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【答案】(1)證明過程見解答；

(2)CG+CE=V2BC,理由見解答；

(3)AG+BG的最小值為2V5.

【分析】(1)過E作EAf_LBC,ENLCD,可證ABEM咨AFEN得BE=EF,可證四邊形BEEG是正方

形，得NEBG=90°,BE=BG,可證進而得到△ABE@ZSCBG；

(2)結(jié)合(1)得/BAE=/BCG,證明/ACG=90°,根據(jù)AE=CG,CG+CE=AE+CE=AC,利用

等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題；

(3)延長。。至H,使CH=BC=2,連接BG,GH,由“SAS”可證△3CG也△〃CG,可得BG=GH,

當(dāng)點G,點A,點H三點共線時，AG+G”有最小值，由勾股定理求AH的長即可.

【解答】(1)證明：過E作助fJ_8C于點"，作硒J_CD于點N,作于“，連接3G,

??四邊形A3C0是正方形，AC平分N3CQ,

??EM=EN,

：ZEMC=ZMCN=ZENC=90°,

??/MEN=90°,

：EF±BE,

\ZBEM+ZMEF=NFEN+/MEF=90°,

??/BEM=/FEN,

：/EMB=NENF=9U°,EM=EN,

??△BEMQAFEN(ASA),

?.BE=EF,

：ZBEF=ZEBG=90°,BE=BG,BE=EF,

??EF=BG,EF//BG,

,?四邊形BEFG是平行四邊形，

；NBEF=90°,BE=EF,

??四邊形3石FG是正方形，

??/EBG=90°,BE=BG,

：ZABC=90°,

*.NABE+NEBC=ZEBC+ZCBG=90°,

*.ZABE=ZCBG,

：AB=BC,BE=BG,

??△ABEmACBG(SAS)；

(2)解：CG+CE=aBC,理由如下:

由(1)知：AABE^^CBG,

:./BAE=/BCG=45°,AE=CG,

：.ZBAE+ZBCA=90°,

：.ZBCA+ZBCG=90°,即/ACG=90°,

：.AC.LGC,

'：AE=CG,

：.CG+CE=AE+CE=AC,

VZACB=45°,

：.AC=V2BC,

：.CG+CE=V2BC；

(3)解：如圖，延長QC至H,使CH=BC=2,連接BG,GH,

'：ZBCG=45°,ZBCH=90°,

：.ZBCG=ZGCH=45°,

又,：BC=CH,CG=CG,

/.△BCG^AHCG(SAS),

：.BG=GH,

：.AG+BG=AG+GH,

當(dāng)點G,點A,點H三點共線時，AG+GH有最小值，即AG+BG有最小值為AH的長,

：.AH=y/AD2+DH2=V22+42=2A/5,

：.AG+BG的最小值為2事).

【點評】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理,

全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合運用正方形的判定與性質(zhì)定理，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵.

4.【定義】

如果一個四邊形的其中一組對角互補，那么這個四邊形叫做“對補四邊形”.

如圖1,在四邊形ABCD中，若/A+/C=180°,則四邊形ABCD是對補四邊形.

【應(yīng)用】

(1)如圖1,在對補四邊形ABCD中，ZA=100°,則/C=80°；

(2)如圖2,在對補四邊形ABCD中，ZA=90°,AB=3,AD=4,DC=2,則BC=_&T_；

(3)如圖3,在對補四邊形ABCD中，AC平分/BAD

①求證：BC=CD；

②若/BAD=60°,請?zhí)骄緼B、AC、AD的數(shù)量關(guān)系并說明理

圖1圖2

A

由.圖3備用圖

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【答案】(1)80°；

(2)V21;

(3)①證明過程見解答；

@AD+AB=痘AC,證明過程見解答.

【分析】(1)根據(jù)對補四邊形定義和/A=100°,可得NC；

(2)根據(jù)對補四邊形定義和/A=90°,AB=3,AD=4,DC=2,利用勾股定理即可求出BC；

(3)①過點C作CELAL(交延長線于點E,CPLA2于點尸，證明△(?￡>￡之△C3F(A4S),得CD

=BC；

②證明△ACE0Z\ACP(A4S),AE=AF,由①得△C￡L>gZ\CPB,得ED=BF,所以AO+A8=2AE,

然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】(1)解：二?對補四邊形一組對角互補，ZA=100°,

.*.ZC=180°-100°=80°,

故答案為：80°；

圖2

VZA=90°,

/.ZC=180°-90°=90°,

\'AB=3,AD=4,

：.BD=y/AB2+AD2=5,

'：DC=2,

：.BC=ylBD2-CD2=V25-4=VH,

故答案為：V21;

(3)①證明：如圖3,過點C作CEJ_AD交AO延長線于點E,"LAB于點F

圖3

〈AC平分N84Z),

：.CE=CF,

??,四邊形ABCD是對補四邊形，

：.ZCDA+ZB=1SO°,

VZCDA+ZC￡>E=180°,

ZCDE=ZB,

在ACDE和△CB/中，

2CDE=￡B

Z-CED=乙乙CFB=90°,

CE=CF

:.ACDEmACBF(A4S),

：.CD=BC；

②解：AD+AB=V3AC,理由如下：

〈AC平分NBA。，

/.ZEAC=ZBAC=^BAD=30°,

■:NCED=NCFB=90°,CE=CF,

：.AACE^AACF(AAS),

：.AE=AF,

由①知：ACED之ACFB,

：.ED=BF,

：.AD+AB=AE-ED+AF+BF=2AE,

在Rt^AEC中，ZEAC=30°,

：.AE=亨AC,

：.AD+AB=2AE=V3AC.

【點評】本題是四邊形綜合題，考查全等三角形的判定與性質(zhì)，對補四邊形，角平分線性質(zhì)，含30度

角的直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握對補四邊形定義.

5.【課本再現(xiàn)】

1

(1)如圖1,OE是△A2C的中位線，求證：DE//AC,DE=^AC.

證明：延長即至點R使。連接AP

請你把證明過程補充完整.

【類比遷移】

(2)如圖2,OE是△ABC的中位線，廠是平面內(nèi)任意一點，將點尸分別繞著點D,E旋轉(zhuǎn)180°得到

點G和”，連接GH,猜想G”和AC的關(guān)系，并證明;

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,D,E分別是邊AB,BC的中點，點尸

在△ABC內(nèi)部，將點尸分別繞著點D,E旋轉(zhuǎn)180°得到點G和X,順次連接AG,GB,BH,得到

四邊形AGBH,試求四邊形AGB”的面積.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【答案】(1)證明過程見解答；

(2)AC〃G，(或AC與GH在同一直線上)，AC=GH.理由見解答;

(3)6.

【分析】(1)證明四△2DE,得AF=BE,ZF=ZFEB,然后證明