2025年新高考數(shù)學模擬試卷（附答案解析）

2025年新高考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z（1+z）=2-i（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

3.3.33

A.—Q,iB.—iC.—D.一

2222

2.（5分）已知條件p；1<1,則使得條件〃成立的一個充分不必要條件是（）

A.x<-1B.QIC.xVO或x>lD.xWO

3.（5分）函數(shù)y=-3久+看）的單調(diào)區(qū)間是（）

TTTT

A.［kic—可，ku+可］（左6Z）

B.（/CTT-,g/k.71H--g-）（fcGZ）

c.俘一察空+等］（kez）

D.（"g，竽+籌）（keZ）

4.（5分）已知數(shù)列｛斯｝是公比為4的等比數(shù)列，前"項和為S”且S6=2S2W0,則下列說法正確的是

（）

A.q2=B.｛即｝為遞增數(shù)列

SA3-V5

C.｛斯｝為遞減數(shù)列D.—=--—

、_.TTBABCV2BD,

5.（5分）在四邊形45CQ中，A（0,0）,B（1,2）,AB=DC,則四邊形45c7）

\BA\\BC\\BD\

的面積為（）

A.2B.3C.4D.5

6.（5分）在△/5C中，AB=4,BC=6,ZABC=90°,點。在△NBC內(nèi)部，且N5PC=90°,AP=2,

記/4BP=a,則tan2a=（）

3243

A.-B.-C.-D.一

2334

7i（x）/（%VO）

7.（5分）已知函數(shù)/（%）=i.將函數(shù)〃（x）向左平移一個單位，再向上平移一個單

（-（?-1,（%>o）

位后得函數(shù)y=-*若/（x+2）</（x2）,則實數(shù)x的取值范圍是（）

第1頁（共22頁）

A.(-1,2)B.(-8,-i)u(2,+8)

C.（-2,-1）U（2,+8）D.（-8,-1]U[2,+8）

8.（5分）如圖，在直三棱柱NBC-出21cl中，側(cè)棱長為2,ACLBC,/C=3C=1,點。在上底面為歷。

（包含邊界）上運動，則三棱錐。-/2C外接球半徑的取值范圍為（）

A?[L卦B.謂,第]。.謂，|]D.信,|]

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

（多選）9.（6分）已知Q>0,b>0,a+b=3f貝U（）

，?一9

A.ab的取大值為了

B.四+VF的最小值為金

b3+b

c.一+七一的最小值為4

ab

Mb29

D.-7+「■的取小值為？

a+1b+15

（多選）10.（6分）下列四個命題為真命題的是（）

A.在△ZBC中，角4,B,。所對的邊分別為a,b,c,若。=遍，b=2,4=①要使?jié)M足條件的三

角形有且只有兩個，則。6（0,

TTTT

B.若向量a=（5,0）,b=（2,1）,貝la在b上的投影向量為（4,2）

TT—>->

C.已知向量a=（cosa,sina）,b-（2,1）,則|a-的最大值為有+1

D.函數(shù)/G）的定義域為R,若/（x+1）為偶函數(shù)，/（x+2）為奇函數(shù)，則/（2024）=0

（多選）11.（6分）如圖，在長方體/BCD-/'B'CD'中，AB=BC=2,AA'=4,N為棱C'D'

中點，。何=去，P為線段3上一動點，下列結(jié)論正確的是（）

第2頁（共22頁）

A.線段。尸長度的最小值為可

B.存在點尸，使4P+PC=2b

C.存在點尸，使HC_L平面ACVP

17

D.以B為球心，二為半徑的球體被平面/夕C所截的截面面積為6TT

6

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）已知xo滿足焉即+o=0（0VroVI）,則—辿3里=______.

%。

13.（5分）如圖所示，在棱長均為2的平行六面體45cz）-480中，ZA'AB=ZA'AD=ZBAD=60°,

點〃為BC與FC的交點，則的長為.

14.（5分）已知數(shù)列｛斯｝滿足：對于任意正整數(shù)"有ane（0,分且的=//（冊+1）=6仙）,其中/

（x）=tanx,若―=（-？,數(shù)列也｝的前〃項和為丁小則7440=_________.

CCL7TCI九+1LCLiTCl.fi

四、解答題：本題共5小題，共77分.

_-TT2-7T1

15.已知函數(shù)/'（X）=si?i（x+耳）?sin（x+與）-之，角"為△4SC的內(nèi)角，且/（，）=0.

（1）求角N的大小；

9V3

（2）如圖，若角/為銳角，48=3,且△/BC的面積S為丁，點￡、尸為邊AB上的三等分點，點、D

4

為邊/C的中點，連接。尸和EC交于點M,求線段的長.

第3頁（共22頁）

16.在△4BC中,角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知(cosN+cosB)(cos/-cos5)=sinC(sinC-V2siik4).

(1)求3；

(2)若cos4=^^^,b+c=V5+2V2,求△4BC的面積.

17.如圖，三棱錐尸-48。中，乙48c=*AB=BC=2,PA=PB,。是棱4g的中點，點￡在棱NC上.

(1)下面有①②③三個命題，能否從中選取兩個命題作為條件，證明另外一個命題成立？如果能，

請你選取并證明(只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分)；

①平面平面ABC；

(2)DE±AC；

③PEL4c.

2

(2)若三棱錐尸-4BC的體積為3,以你在(1)所選的兩個條件作為條件，求平面尸與平面P8C

所成二面角的大小.

18.某次生日會上，餐桌上有一個披薩餅，小華同學準備用刀切的方式分給在座的小伙伴，由此思考一個

數(shù)學問題：假設(shè)披薩近似可看成平面上的一個圓，第左條切痕看作直線晶設(shè)切〃下，最多能切出的塊

數(shù)為好(不考慮大小不如圖易知61=2,歷=4.

(1)試寫出方3，方4，作出對應(yīng)簡圖；

(2)這是一個平面幾何問題，利用“降維”思想，聯(lián)想到一條線段被切〃下最多能分成”+1段，由此

求出數(shù)列｛6“｝的通項公式；

(3)若將披薩換成一個蛋糕(近似看成空間中的一個圓柱體)，同樣用刀切方式分蛋糕，可以從上下底

面和側(cè)面各方向切入，每次切面都看作一個平面.若切〃下，最多能切出的塊數(shù)為Cn,求出｛Cn｝的通項

公式，并指出這時最少需要切幾下能分成15塊(不考慮大小).(已知12+22+-+?2=1?(〃+1)(2〃+1))

O

第4頁(共22頁)

(1)討論/(X)在區(qū)間(0,TT)上的單調(diào)性；

(2)求了(X)的最大值和最小值；

27

3n

(3)設(shè)〃>10,n6N*,證明：cosxsin3%/(x)/(2x)/(4x)???/(2%)<^3n+3.

第5頁(共22頁)

2025年新高考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+力=27(，為虛數(shù)單位)，則z的虛部為()

3.3.33

A.—iB.—iC.—D.一

2222

【解答】解：z(1+z)=2-i(i為虛數(shù)單位)，

；.z(1+z)(1-z)=(2-z)(1-z),

_13.

z=2~21'

a

則z的虛部為一

故選：C.

2.(5分)已知條件p：1<1,則使得條件p成立的一個充分不必要條件是()

A.x<-1B.C.xVO或%>1D.xWO

1

【解答】解：由一VL得x>l或x<0,

x

故使得條件夕成立的一個充分不必要條件應(yīng)為X>1或xVO的真子集，XV-1滿足要求.

故選：A.

3.(5分)函數(shù)y=tern(-3%+看)的單調(diào)區(qū)間是()

7TTT

A.[ku—可,kjr+(JcGZ)

B.(/CTT-,g/k.71H--g-)(fcGZ)

c.俘-空+旨(kez)

D.(竽g，竽+野)(keZ)

【解答】解：因為y=_3%+.)=__1),

“yrnn-「knnkn27r

令k"—5V3%—大〈Mr+亍左WZ,解得———<x<—+—，kEZ,

/。/3939

所以函數(shù)y=tan(—3x+1)的單調(diào)遞減區(qū)間為(苧—，空+eZ).

故選：D.

第6頁(共22頁)

4.(5分)已知數(shù)列｛斯｝是公比為g的等比數(shù)列，前"項和為S”且S6=2S2W0,則下列說法正確的是

()

A.才=二字B.｛斯｝為遞增數(shù)列

SA3-V5

C.｛即｝為遞減數(shù)列D.—=--—

白2L

【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛劭｝中，

s.5口1(1一口6)2al(1—q2)

若S6=2S2W0,必有夕#±1,則：=—;——,

1-q1-q

變形可得：1-96=(1-/)(1+/+q4),gW±l且Q1W0,

則有/+/+1=2,解得才=二黃，故/對；

q=±戶獎，數(shù)列｛斯｝不一定為單調(diào)數(shù)列，故8,C錯;

q(i-q4)

i-q1,Q1+V5

+q,，故。錯.

2

l-q

故選：A.

BABCV2BD,

5.(5分)在四邊形/BCD中，A(0,0),B(I,2),AB=DC,-+=---,則r四m>邊1形45cZ)

\BA\\BC\\BD\

的面積為()

A.2B.3C.4D.5

—T—?

【解答】解：在四邊形4HCQ中，A(0,0),B(I,2),AB=DC,弊+黑=熠2,

\BA\\BC\\BD\

—>—>

9：AB=DC=(1,2),???四邊形458是平行四邊形，如圖,

AB

BABCBD_ttt

t，t，t分別表示R4,BC,BD的單位向量,

\BA\\BC\\BD\

BABC42BD—>

T+T=~-~,.?.平方可得1+1+2BA-BC=2,

田川\BC\\BD\

第7頁(共22頁)

—>—>

：.BA-BC=O,：.AB±BC,，四邊形N3CD矩形，

：8。平分/NBC,...四邊形N5C是菱形，

四邊形N2CO是正方形，且43=遍，

此四邊形的面積為5.

故選：D.

6.(5分)在△N8C中，AB=4,BC=6,ZABC=90°,點尸在△/BC內(nèi)部，且/3PC=90°,AP=2,

記NABP=a.,貝ljtan2a=()

3243

A.-B.-C.-D.一

2334

【解答】解：由題意可得N5CP=N/BP=a,

在△BC尸中，BP=5Csina=6sina,

在△人臺尸中，AP2=AB2+BP2-2AB?BPcoscc,

即4=36sin2a+16-2X6sina*4cosa,化簡得3cos2a+4sin2a=5,

兩邊平方得9cos22a+16sin22a+24cos2asin2a=25,

9cos22a-^-16sin22a-^-24cos2asin2a

貝U-----------------n----------5-----------------=25,

cosL2a+sin2a

化簡可得9tan22a-24tan2a+16=0,

解得tern2a=于

故選：C.

h(x),(%<0)

7.(5分)已知函數(shù)/(%)=i.將函數(shù)〃(x)向左平移一個單位，再向上平移一個單

卜(?-1,(x>0)

位后得函數(shù)y=—若/(x+2)</(/),則實數(shù)x的取值范圍是()

A.(-1,2)B.(-°°,-1)U(2,+8)

C.(-2,-1)U(2,+8)D.(-8,-1]U[2,+8)

第8頁（共22頁）

【解答】解：根據(jù)題意，將函數(shù)人（X）的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位后得函數(shù)y=-9

的圖象，

4

所以九（%）=_豆a一1>

4

當x<0時，h（x）=/（x）,h（x）單調(diào)遞增，又—高>0，則<3,

又x?0時，/（X）=—（：）x—1,單調(diào)遞增，又一（：尸<0,貝IJ-2W/G）<-1,

由f（x+2）<f（x2）,

而必有0<》+2</,

解得-2Vx<-1或x>2,

所以實數(shù)x的取值范圍為（-2,-1）U（2,+8）.

故選：C.

8.（5分）如圖，在直三棱柱NBC-421cl中，側(cè)棱長為2,AC±BC,/C=3C=1,點。在上底面出囪。

（包含邊界）上運動，則三棱錐。-4BC外接球半徑的取值范圍為（）

--------------3

A.[1,萼]B.謂,苧]。,后,f3]D.在5,f3l

【解答】解：根據(jù)題意可得△/BC為等腰直角三角形,且NC=3C=1,

.?.△4BC的外接圓的圓心為48的中點Q,且力。1=區(qū)2

T'

設(shè)481的中點為￡,連接。1￡,則OiE〃44i,

從而可得Oi￡_L平面ABC,

設(shè)三棱錐。-4BC外接球的球心為。，半徑為R,

由球的性質(zhì)可得點。在。化上，

設(shè)。。i=x,DE=t,?G[0,W""1，

?：OA=OD=R,/.Jx2+（專）2=J（2—%）2+t2,

即產(chǎn)=4%-<，又0<t4埠,<%<1,

//8

第9頁（共22頁）

?/R27=%92+1.?814R223,

乙64z

9V6

</?<—.

82

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

（多選）9.（6分）已知a>0,6>0,0+6=3,則（）

9

A.ab的最大值為了

4

B.8+VF的最小值為迎

b3+b

C.一+丁的最小值為4

ab

a2b29

D.示+幣的最小值為M

【解答】解：由題意，a,b為正實數(shù)，且。+6=3,

對于4,ab<（^^）2=（1）2=當且僅當a=b=|■時，等號成立，故/正確；

對于5,y/a+Vb<2^^=V6,

當且僅當Q=b=|時等號成立，故5錯誤；

對于C,胃=2+上槌=2+,+￡22+2摩|=4,當且僅當〃時，故C正確;

ababab\ab2

對于Z）,令加=Q+1,n=b+\,則加+〃=a+b+2=5,

▼,小b2(m—l)2(n—l)21111

所以而■+幣==m+n-\------1------41H-----1—

mnmnmn

m+nm+n_7nm7[mn'_9

l++=+++Q2",

^T^r55^5^-5A/5?I'5^5

當且僅當加=",即時取等號，D正確.

故選：ACD.

（多選）10.（6分）下列四個命題為真命題的是（）

第10頁（共22頁）

A.在△NBC中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,若。=百，6=2,A=Q,要使?jié)M足條件的三

角形有且只有兩個，貝Ijee(o,

TTTT

B.若向量a=(5,0),b=(2,1),貝b在b上的投影向量為(4,2)

—>T―T

C.已知向量a=(cosa,sina),b=(2,1),則|a—b|的最大值為遙+1

D.函數(shù)/(%)的定義域為R,若/(x+1)為偶函數(shù),f(x+2)為奇函數(shù)，則/(2024)=0

【解答】解：對于/,因為在△48C中，角4B,。所對的邊分別為a,b,c,若。=遮，b=2,A=

0,

ab

所以根據(jù)正弦定理可求得一~；==丁，所以bsirUVaVb,

sinAsinB

所以sitL4V存=^^且/V5,0<4V*可求得OVJV全故/錯誤；

->T

對于2,因為向量a=(5,0),6=(2,1),

所以"在「上的投影向量為(2)力=挈*(2,1)=(4,2),故8正確；

b25

,,7T

對于C,因為向量a=(cosa,sina),b=(2,1),

〉—>________________________________________

所以|a_b\=yj^cosa—2)2+(sina—l)2=A/6—4cosa—2sina,

2121

又6—4cosa—2sina=6—2遍(而cosa+-j=sina),令stn(i=~^=,cosp=而，

貝!J區(qū)一b|=J5-2V5sm(a+￡)+1,

T->

所以當sin(a+B)=-1時，|a—b|取最大值，最大值為強+1,故C正確；

對于D,函數(shù)y=/(x+1)是偶函數(shù)，/(x+1)=f(1-x),f(x)=f(2-x),

所以/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，函數(shù)y=/(x+2)是奇函數(shù)，

所以/(x)的圖象關(guān)于(2,0)對稱，

則/(2-x)+f(2+x)=0,可得/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以/(x)是周期為4的周期函數(shù).

所以/(2024)=/(4X506)=/(0)=0,故。正確.

故選：BCD.

(多選)11.(6分)如圖，在長方體NBC。-/'B'CD'中，AB=BC=2,AA'=4,N為棱C'D'

中點，DfM=^,P為線段3上一動點，下列結(jié)論正確的是()

第11頁(共22頁)

A.線段。尸長度的最小值為可

B.存在點尸，使AP+PC=2遮

C.存在點尸，使HC_L平面ACVP

17

D.以8為球心，二為半徑的球體被平面/夕C所截的截面面積為611

6

【解答】解：對于A,如圖1,

圖I

因為4，B=A'D=V42+22=2V5,BD=2vL

故當。尸，4'3時，線段。尸長度最小，

此時由等面積得;x2々xJ（2強2_電）2|xDP,

=x2A/5

解得?！?親=等，故/正確；

對于8,如圖2,

第12頁（共22頁）

圖2

將平面D'C3旋轉(zhuǎn)至平面BCYDiH,使之與平面H43共面,

連接NCi與HB交于點、Pi,此時4Pi+PCi=/G為最小值,

4_2

sinZ-ArBA—/⑷5Ci=90°,

南一TT

2

7

^HcosZ-ABC1=cos(Z-A，BA+90°)=—sinZ-ABA=—忑,

由余弦定理得4穹=22+22-2X2X2cos乙4BC\=8—8x(-柞)=8+當,

故力的=2V2-J1+-^>2V2■"=2代,

因此不存在這樣的點尸，使4P+PC=2b，故3錯誤;

對于C,如圖3,

AD

圖3

1Q

取B但=1,B乍A,G=j,連接尸G交HB于P,

下證N'C±MN,

。WDrD

連接。'C,由y=——=2,可得乙ND'M?AD'DC,則得￡>'C±MN,

DVIDC

因為。'A'_L平面。CC，D',因為AWu平面。CC，D',則。'A'LMN,

第13頁（共22頁）

因為￡>'CA￡>,A'=D',D'C,D'A'u平面D'C,

故MALL平面HD'C,

又卬Cu平面HD'C,故⑷C±MN.

同理，A'CLEN,因為MNCEN=N,MN,ENu平面MEN,

故C_L平面MEN.

下證所〃GM.

取線段/'G的三等分點J,K,取HD'的中點〃，連接￡〃，HJ,JF,D'K,

易證EH〃A'B'//FJ,EH=A'B'=FJ,則得口EK/H,得EF〃JH,

易得JH〃。K,因。'M//GK,D'M=GK,得口》MJK,得。'K//GM,故得防〃GM,

同理可得MN〃尸G,因此N,E,F,G五點共面，

由C_L平面MEN可得/'CL^MNEFG.

所以存在這樣的點尸使HC上面MAP,故C正確；

對于。，如圖4,

圖4

17

以點5為球心，二為半徑的球面被面C所截的截面為圓形,

6

記其半徑為r,貝b=J（今/一d2（*）,其中4為點3到平面/夕C的距離.

由VB'-ABC=VB-AB'C，

,1

XS&ABCXBB，=—XS4AB9Xd,

ix2x2x44

則&==可代入（*）,

|x2V2xj(2V5)2-(72)2

得r=I，

所以截面面積5=?！?=苧兀，故。錯誤.

第14頁（共22頁）

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(5分)已知xo滿足就由十o=0(0〈刈)VI),則e*?！?濟％。+1=_&

xo

【解答】解：因為就戲。+lnxQ=0(0<x0VI)，

所噢耶%o呼=—In—=(Zn—)eZ?lxo,

因為O<xo<l,

所以工>1,

此時ITL——>0,

xo

x

設(shè)g(x)=xef函數(shù)定義域為(0,+8),

可得g’(x)=(x+1)/>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

1

此時第o=In—，

xo

1

即e*o=一,且刈=-lnxo

xof

則口。3仇出+1=3仇9=3

'的x0

故答案為：3.

13.(5分)如圖所示，在棱長均為2的平行六面體/BCD-N5C7T中，ZA'AB=ZA'AD=ZBAD=60a,

點"為8。與夕c的交點，則的長為_VH_.

T7T

【解答】解：因為=AB-AA'=AA^AD=2x2xcos600=2,

—>—>—>—>4T-

且4M=AB+BM=AB+^AD+AA"),

——>[———?—>—>[—b]―?[——>

所以\AM\2=(AB+^QAD+AA^2=AB2+AB-AD+AB-AAf+^\AD\2+^\AA]2+^AD-AAf=

4+2+2+1+1+1=11,

所以4M=VTl.

第15頁(共22頁)

故答案為：Vil.

14.(5分)已知數(shù)列｛斯｝滿足：對于任意正整數(shù)"有ane(0,J),且的=r/(冊+。=其中/

(x)=tanx,若——iJ1LCLTLCLf'i數(shù)列｛仇｝的前"項和為則540=20.

【解答】解：:/(x)=tanx,

?c)、_rs^nx\/_cosx-cosx—sinx'(—sinx)_cos2x+sin^x_

??/(%)—()—n—n—1ILCLTL2X,

1'JkCOSXJCOSZXCOSZX

：/(a“+i)=J/?n),

2

tanan+1=-y/1+tanan,

2222

tanan+1=1+tanan,EPtanan+1—tanan=1,

?1。九。1=tan-^—1,

...｛tan?即｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

??tan斯="，

「a九€(0,2)，

tanq〃>0,

??tCLTlCL^i=7T,

n

?*-bn=(-2；=i(T)'—=(-l)(V(n+1)+y/n).

tanan+1-tanan(八+1)_赤

北40=61+歷+63+i+人439+6440

=-(V2+1)+(V3+V2)-(V4+V3)+…-(V440+V439)+(V441+V440)

=V441-1=21-1=20.

故答案為：20.

四、解答題：本題共5小題，共77分.

_JT1

15.已知函數(shù)/（久）=sin。+可）?sin（K+木）一2，角/為△48C的內(nèi)角，且/（/）=0.

（1）求角A的大小;

I9V3

⑵如圖,若角，為銳角，/1，且△的的面積S為丁點E、歹為邊居上的三等分點，點〃

為邊4C的中點，連接。廠和EC交于點求線段的長.

ADC

第16頁（共22頁）

【解答】解：(1)因為f(%)=s譏(％+3),sin(%+於^)—

易得s譏(久+竽)=sin(^—%),

所以/(%)=—x),x)

化簡得，/(%)=(^cos2x-^sin2x)-i,

_1

由平方關(guān)系得，/(x)=sin2%,

在△4SC中，由/(/)=0,得sin2/=4，

所以4=看或/=等

(2)若角Z為銳角，即4=強c=AB=3,

由題知S=i&c-sin^-=則b=3V3,

連接CF,因為點￡、歹為邊N8上的三等分點，

所以點E是/尸的中點，

又因為點。是/C中點，

所以點〃是NCF的重心，

―>[T[TTT_

則4M=-4F+扣C,\AF\=2,\AC\=3V3,

則MTM/=白1川T2+微D川T?"T+言1T"2=卷AQ，

yyyzf

7

即AM=

16.在△4SC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(cosA+cosB)(cosA-cosB)=sinC(sinC-V2siih4).

(1)求5；

(2)若cos/=-j①，b+c=V5+2V2,求△/5C的面積.

【解答】解：(1)因為(cosA+cosB)(cosA-cosB)=sinC^sinC—y/2sinA),

整理可得COS2^4-cos25=sin2C—V2sinCsiib4,

即1-sin24-(1-sin25)=sin2C—V2sinCsiiL4,

整理可得si?12c+sin2A—sin2B=yllsinCsinA,

由正弦定理得c2+豆一扶=y[2ca,

c2+a2—b42ac42

由余弦定理可得cosB=

2aclac7

第17頁(共22頁)

由加(0,TC),可得8=多

(2)由cos/=可得AG(0/?

進而可得SiTlZ=噌，

由8=多可得s譏8=多

-■T/曰--_.//in、_?門iA,r>3J10y[2.J10-\/~2,"Zy/S

PjsinC=sin(/+B)=siiLA4cos3+cos/sin5=-~x—I—x=―—,

_LUZu_LU乙*J

?一、一—，力sinBV10

由正弦定理可知-=--二——,

csinC4

又因為b+c=V5+2V2,解得b=V5/c=2V2,

所以△48C的面積為S=^bcsinA=|xV5x2近x邛架=3.

17.如圖，三棱錐尸-4BC中，LABC=pAB=BC=2,PA=PB,。是棱48的中點，點￡在棱/C上.

(1)下面有①②③三個命題，能否從中選取兩個命題作為條件，證明另外一個命題成立？如果能，

請你選取并證明(只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分)；

①平面工平面ABC；

@DE±AC；

@PELAC.

2

(2)若三棱錐P-N5C的體積為Q,以你在(1)所選的兩個條件作為條件，求平面尸與平面尸3c

所成二面角的大小.

【解答】解：(1)證明：選擇①②，可證明③.

因為刃=必，。是線段的中點，所以尸r>_L/8.

又平面以3_1_平面4BC,平面以2。平面48c=48,且PDu平面R13；

所以尸￡>_L平面/3C,又/Cu平面/3C,所以尸DL4C,

XDELAC,PDCDE=D,PD,DEu平面PDE,

所以NC_L平面尸￡>￡,又尸￡u平面尸￡)￡,所以/C_LPE,

若選擇①③，可證明②.

第18頁(共22頁)

因為。是線段的中點，所以

又平面平面4BC,平面HBD平面48c=48,且PDu平面以3,

所以PD_L平面/8C,又/Cu平面N8C,

所以PD_L4C,XPELAC,PDCPE=P,PD,PEu平面尸DE,

所以NC_L平面尸D￡,又?！陁平面尸￡)￡,所以/CJ_DE.

選擇②③，可證明①.

因為E4=P8,。是線段的中點，所以

因為PE_L/C,DELAC,PD,PEu平面PDE,DECPE=E,

所以NC_L平面尸DE,又P￡>u平面PD￡,所以PD_L/C,

ABQAC^A,AB,/Cu平面ABC,

所以尸￡>_L平面/3C,又尸Du平面

所以平面BIB，平面ABC；

(2)如圖，延長ED交C3的延長線于°,連接尸。，

則平面POEC與平面PBC=PQ.

2TT

由三棱錐尸-48。的體積為g,且乙4BC=。

3乙

211.,

AB=BC=2,得百=x2x2).PD,解得PD=1.

又由乙48c=*及。是線段48的中點，DELAC,

在等腰直角三角形CE0中，CE=CQ=3,

連結(jié)CD,在RtZXCPD中，PD=\,CD=V5,PC=巫,

在等腰直角三角形即。中，BD=BQ=1,QD=V2,

在Rt△。尸。中，PQ=?

在△CPQ中，由尸。2+尸02=。02,所以尸C_LPQ,

又由(1)知，C￡_L平面尸￡>￡,尸E是PC在面尸￡)￡內(nèi)射影,

由三垂線逆定理得：PELPQ,

第19頁(共22頁)

則ACPE即為二面角C-PQ-E的平面角，

.CE誣慮

siWPE=——

TT

所以面PDE與面PBC所成二面角的大小為］

18.某次生日會上，餐桌上有一個披薩餅，小華同學準備用刀切的方式分給在座的小伙伴，由此思考一個

數(shù)學問題：假設(shè)披薩近似可看成平面上的一個圓，第左條切痕看作直線/設(shè)切〃下，最多能切出的塊

數(shù)為6”(不考慮大小不如圖易知61=2,歷=4.

(1)試寫出63，64，作出對應(yīng)簡圖；

(2)這是一個平面幾何問題，利用“降維”思想，聯(lián)想到一條線段被切〃下最多能分成〃+1段，由此

求出數(shù)列｛%“｝的通項公式；

(3)若將披薩換成一個蛋糕(近似看成空間中的一個圓柱體)，同樣用刀切方式分蛋糕，可以從上下底

面和側(cè)面各方向切入，每次切面都看作一個平面.若切"下，最多能切出的塊數(shù)為cn,求出｛cn｝的通項

公式，并指出這時最少需要切幾下能分成15塊(不考慮大小)