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文檔簡介
專題2-1直線與圓對稱問題八大題型匯總
。常考題型目錄
題型1點關(guān)于點對稱..............................................................2
題型2點關(guān)于直線對稱............................................................4
題型3直線關(guān)于點對稱...........................................................10
題型4直線關(guān)于直線對稱.........................................................13
題型5圓關(guān)于點對稱.............................................................18
題型6圓關(guān)于直線的對稱.........................................................20
題型7圓與圓關(guān)于直線對稱.......................................................26
題型8反射光線問題.............................................................32
但知識梳理
知識點一.軸對稱
1.兩點關(guān)于直線對稱設(shè)Pl,P2,關(guān)于直線?對稱,則直線P1P2,與I垂直,目P1P2的中
點在I上。這類問題的關(guān)鍵就是根據(jù)"垂直"和"平分”構(gòu)造方程組。
特別的,A(x,y)關(guān)于x軸對稱的點為A1(x,-y)
A(x,y)關(guān)于y軸對稱的點為A1(-x,y),
A(x,y)關(guān)于x=a對稱的點為A(2a-x,y),
A(x,y)關(guān)于y=b對稱的點為A1(x,2b-y),
A(x,y)關(guān)于y=x+b對稱的點為A1(y-b,x+b),
A(x,y)關(guān)于y=-x+b對稱的點為A1(b-y,b-x)0、、//
2.兩直線關(guān)于直線對稱:設(shè)k,12關(guān)于直線I對稱。
(1)當(dāng)三條直線11,12,1共點時,I上任一點到11,12,的距離相等,且k上的
任意一點關(guān)于I的對稱點一定在直線12上。
(2)當(dāng)11//12//1時,11到I的距離等于L至!11的距離。
知識點二.中心對稱
1、兩點關(guān)于點對稱:設(shè)匕f,yiJ,P(a,b),貝!IP】(xr,yr)關(guān)于P(a,b)對稱
的點為P2(2a-%1,2b-yi),即P為線段PF2P的中點。
特別的,A(x,y)關(guān)于原點的對稱點A1(-x,-y)
2、兩直線關(guān)于點對稱:設(shè)直線li,b關(guān)于點P對稱,這時k上的任意一點關(guān)于P的對稱點
在b上.且k〃b
但題型分類
題型1點關(guān)于點對稱
【方法總結(jié)】
點關(guān)于點對稱實質(zhì):該點是兩對稱點連線段的中點
方法:利用中點坐標(biāo)公式
說明:平面內(nèi)點關(guān)于P(a㈤對稱點坐標(biāo)為(2。-%,26-2))平面內(nèi)點
AG,%),A'(X2,乃)關(guān)于點五產(chǎn),歸比]對稱;
I227
【例題U2023?全國?高二課堂例題)已知不同的兩點P(a,-b)與Q(b+1,。-1)關(guān)于點(3,4)
對稱,則防=()
A.—5B.14C.—14D.5
【答案】C
【分析】根據(jù)中點公式,列出方程,求得a,b的值,進而求得ab的值.
【詳解】因為兩點P(a,-b)與Q(b+l,a-1)關(guān)于點(3,4)對稱,
fa+b+l=3
可得卜乙,,即仁二,解得a=7,b=-2,
所以ab=7x(-2)=-14.
故選:C.
【變式1-1】1.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知直線2x-y+r=。與圓C:(x+I)2+
(y—37=產(chǎn)(r>o)交于A,B兩點,且線段AB關(guān)于圓心對稱,則r=()
A.1B.2C.4D.5
【答案】D
【分析】先求得圓心C的坐標(biāo),進而列出關(guān)于r的方程,解之即可求得r的值.
【詳解】圓C:(x+1尸+(y-3)2=,的圓心以-1,3),
由圓心C(—1,3)在直線2%—y+r=0上,可彳導(dǎo)一2—3+r=0,
解之得r=5.
故選:D
【變式1-U2..(2023?全國?高二專題練習(xí))點4(-3,1)((1,y)關(guān)于點8(-1,-3)對稱,則
MC|=___________
【答案】4V5
【分析】由中點坐標(biāo)公式得出y,再有距離公式求解即可.
【詳解】由已知得等=-3,解得y=-7,即CQ-7),
\AC\=7[1-(-3)]2+(-7-1)2=4V5
故答案為:4V5
【變式1-U3.(2023秋?高二課時練習(xí))已知不同的兩點P(a,-6),Q(b+1,a-1)關(guān)于點
(3,4)對稱,則25=.
【答案】-14
【分析】由點對稱,應(yīng)用中點公式列方程組求出參數(shù),即可得結(jié)果.
'a+b+1_3
【詳解】由題意知ZIZI,即{:tb=l'解得{「二,2,故帥=T4.
-4
2
故答案為:-14
【變式1-U4.(2023秋?高二課時練習(xí))已知A,B兩點是圓C:x2+(y-I)2=4上的兩
點,若A,B關(guān)于直線x+ay-3=0對稱,則實數(shù)a=_;若點A,B關(guān)于點(1,2)對
稱,則直線AB的方程為.
【答案】3x+y-3=0
【分析】由圓上點關(guān)于直線對稱,則直線過圓心,將圓心坐標(biāo)代入求參數(shù);根據(jù)圓上點關(guān)于
點對稱,結(jié)合直線垂直求斜率,應(yīng)用點斜式寫出直線方程.
【詳解】若4B關(guān)于直線比+ay-3=。對稱,則直線經(jīng)過圓心C(0,l),
將點代入可得a=3.
若圓上存在4B兩點關(guān)于點P(l,2)中心對稱,則CP±AB,且P為AB的中點,
':kcp=言=1,故七B=-1,
二直線AB的方程為y—2=-(x-1),即x+y-3-0.
故答案為:3,x+y-3=0
題型2點關(guān)于直線對稱
【方法總結(jié)】
實質(zhì):軸(直線)是對稱點連線段的中垂線
L當(dāng)直線斜率存在時:方法:利用"垂直"和"平分"這兩個條件建立方程組,就可求出
對稱點的坐標(biāo),
一般地:設(shè)點(加,yo)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點(N,y'),則
=4-3=-1
X-/kB)
<
A』+BZ±A+C=。
[22
2.當(dāng)直線斜率不存在時:點(%,%)關(guān)于X=M的對稱點為(2m-x0,y0)
【例題2](2022秋?四川瀘州?高二統(tǒng)考期末)點(0,0)與點(-2,2)關(guān)于直線I對稱,則I的方
程是()
A.x+y+2=0B.x—y+2=0C.x+y-2=0D.x—y—2=0
【答案】B
【分析】求出兩個定點的中點坐標(biāo)及這兩個定點確定的直線斜率作答.
【詳解】過點(0,0)與點(-2,2)直線的斜率為學(xué);=-1,則直線I的斜率為—吃=1,
點(0,0)與點(—2,2)的中點為(—1,1),
所以直線I的方程為y-1=x+1,即x-y+2—0.
故選:B
【變式2-1]1.(2023?全國?高二課堂例題)已知直線Ly=3%+3,則點P(4,5)關(guān)于I的
對稱點的坐標(biāo)為.
【答案】(-2,7)
【分析】設(shè)點P關(guān)于直線I的對稱點為匕(乙,為),根據(jù)題意,列出方程組,即可求解.
【詳解】設(shè)點P關(guān)于直線/的對稱點為PM/,為),則線段PP1的中點”(竽,竽)在直線1上,
且直線PP'垂直于直線/,
仁=3?0+3
2
可得,y_-5,解得=-2,%=7,
——x3=-1
I%1-4
所以點Pi的坐標(biāo)為(-2,7).
故答案為:(—2,7).
【變式2-1】2.(多選)(2023秋?江西宜春?高二江西省宜豐中學(xué)??奸_學(xué)考試)下列說法
正確的是()
A.過(久】,乃),(右,%)兩點的直線方程為人=工
y2-yi
B.直線x-y-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8
C.點(1,0)關(guān)于直線y=x+1的對稱點為(-1,1)
D.直線mx+y+m=0(mGR)必過定點
【答案】BD
【分析】對于A,根據(jù)兩點式直線方程的使用條件判斷即可;對于B,求出直線分別在x軸和y軸
上的截距,再用三角形面積公式求解即可;對于G設(shè)點(1,0)關(guān)于直線y=x+1的對稱點為
O,y),列方程組求解即可;對于D,將直線山久+y+m=0可轉(zhuǎn)化為y=-m(x+1)即可進行
判斷.
【詳解】對于A,當(dāng)山=久2或%=丫2時,不存在選項中的兩點式直線方程,故A錯誤;
對于B,直線在久軸上的截距為4,在y軸上的截距為-4,所以直線x-y-4=。與兩坐標(biāo)軸圍成
的三角形的面積是[x4x4|=8,故B正確;
對于G設(shè)點(1,0)關(guān)于直線y=x+1的對稱點為(x,y),
叫」二口,解得。二1,
(22
即點(1,0)關(guān)于直線y=X+1的對稱點為(-1,2),故C錯誤;
對于D,直線7nx+y+m=0(meR)可轉(zhuǎn)化為y=-m(x+1),過定點(一1,0),故D正確.
故選:BD.
【變式2-1】3.(多選)(2022秋?廣東珠海?高二珠海市第一中學(xué)??计谀?下列結(jié)論正確
的是()
A.若直線a久+y+l=0與直線4x+ay+2=。平行,則它們的距離為?
B.點(5,0)關(guān)于直線y=2x的對稱點的坐標(biāo)為(-3,4)
C.原點到直線kx+(2k+l)y-3k-l=。的距離的最大值為魚
D.直線*+高=1與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為小,+m
【答案】BC
【分析】由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)求得a的值,再利用兩條平行直線間的距離公式,
計算求得結(jié)果判斷A;利用對稱知識求出對稱點判斷選項B;求出直線系經(jīng)過的定點,利用
兩點間距離公式求解最大值即可判斷C;求解三角形的面積判斷D.
【詳解】又寸于A,?直線a久+y+1-0與直線4K+ay+2-0平彳亍,
顯然a*0,所以—a=--,且—1,解得a=-2,
aa
故兩條平行直線即為直線2%-y-1=0與直線2%-y+1=0z
則它們之間的距離為蔣=亭,所以A不正確;
V55
'b-0__1
對于B假設(shè)點(5,0)關(guān)于直線y=2%的對稱點的坐標(biāo)為(a,b)則|~解得a=-3,
—=2x—
V22
b=4,
即點(5,0)關(guān)于直線y=2x的對稱點的坐標(biāo)為(-3,4),故B正確;
(X+2y_0
對于C,由/c%+(2k+l)y—3k—1=0彳導(dǎo)+2y-3)+y—1=0,由)_13—,
Iy=上
得%=y=1,
故直線k%+(2/c+l)y-3k-1=0過定點(1,1),
所以原點到直線依+(2k+l)y-3k-l=。的距離的最大值為『TN=近故C正確;
對于D,令%=0,得y=2m+2,令y=0,得%=m,
所以直線A+嘉=1與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為[|2m+2|-\m\=|m2+,故D不
正確.
故選:BC.
【變式2-1]4.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知半徑為3的圓C的圓心與點P(-2,1)關(guān)于
直線x-y+l=。對稱,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()
A.(x+I)2+(y—l)2=9B.(x—l)2+(y—l)2=81
C.x2+(y+l)2=9D.x2+y2=9
【答案】C
【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo),根據(jù)對稱關(guān)系列出方程組,求出圓心坐標(biāo),結(jié)合半徑為3,即可求
解.
【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)C(a,6),由圓心C與點P關(guān)于直線y=比+1對稱,
得到直線CP與y="+1垂直,
結(jié)合y=尤+1的斜率為1,得直線CP的斜率為-1,
所以宇=-1,化簡得a+b+l=0?
再由CP的中點在直線y=x+l上,+=等+1,化簡得a-b-1=0②
聯(lián)立①②,可得a=o,b=-1,
所以圓心C的坐標(biāo)為(0,-1),
所以半徑為3的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+⑶+1)2=9.
故選:C
【變式2-1]5.(2023,全國偏二專題練習(xí)塔點4(a+2,b+2),B(b—4,a—6)關(guān)于直線4x+
3y—11=0又寸稱,貝!ja=;b=.
【答案】42
【分析】根據(jù)給定條件,利用軸對稱的性質(zhì)列出方程組,解方程組即可作答.
【詳解】依題意,直線的斜率為慧=產(chǎn),線段AB的中點(二二,”白),
D—4—(a+z)D—CL—bZZ
ci—b—83
于是Ib-a-64整理得fa-b-2解得a=4b=2
4,a+b-2+3b+a-4_口=0,工理[守Ia+6=6,用牛恬',
v22
所以a=4,b=2.
故答案為:4;2
【變式2-1]6.(2023?全國?高二專題練習(xí))設(shè)點P(2,5)關(guān)于直線x+y=1的對稱點為Q,
則點Q的坐標(biāo)為過點Q且與直線x+y-3=0垂直的直線方程
為.
【答案】(-4,—1)x-y+3=0
【分析】先利用對稱的性質(zhì)得到關(guān)于Q的坐標(biāo)的方程組,解之即可求得點Q的坐標(biāo);再利用
直線垂直的性質(zhì),結(jié)合待定系數(shù)法即可得解.
f—x(-l)=-l
【詳解】依題意,設(shè)Q(a,b),則(宜+2b+5?解得。=-4,6=-1,
I—+—=1
即點Q的坐標(biāo)為(-4,-1),
設(shè)與直線久+y-3-。垂直的直線方程為%-y+c-0,
將Q(—4,—1)代入該式,得—4+1+c=0,故c=3,
所以所求直線方程為x-y+3=0.
故答案為:(—4,—1)'x—y+3—0.
【變式2-1]7.(2023秋?河北保定?高二河北省唐縣第一中學(xué)??茧A段練習(xí))已知直線珀勺
方程為3x-4y+2=0.
(1)求圓心為(1,0)且與直線,相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵求直線久-y-1=0與2久+y-2=0的交點力坐標(biāo),并求點4關(guān)于直線/的對稱的點的坐
標(biāo).
【答案】(l)(x-1)2+y2=1
(2)4(1,0),對稱的點的坐標(biāo)為(-!》
【分析】(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(尤-I)2+y2=*,再根據(jù)直線與圓相切列式可得「=1,
進而可得方程;
(2)解方程組二;即可得4(1,0),設(shè)點力(1,0)關(guān)于直線3久-4y+2=0的對稱
的點的坐標(biāo)為(犯幾),根據(jù)4(1,0)與對稱點的連線中點在直線3x-4y+2=0上,且與3尤-
4y+2=0垂直列式求解即可.
【詳解】(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(%-1)2+y2=r2,
由題意可知廠_|1X3_O+2|_
-V32+(-4)2-1.
所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(支-I)2+y2=L
(2)解方程組LU:一,得仁.
所以直線久一y—1=。與2%+y—2=0的交點為4(1,0).
設(shè)點4(1,0)關(guān)于直線3尤-4y+2=0的對稱的點的坐標(biāo)為(皿碼,則
所以點4(1,0)關(guān)于直線3x-4y+2=0的對稱的點的坐標(biāo)為(-g)
題型3直線關(guān)于點對稱
【方法總結(jié)】
直線關(guān)于點對稱實質(zhì):兩直線平行
法一:轉(zhuǎn)化為"點關(guān)于點'的對稱問題(在/上找兩個特殊點(通常取直線與坐標(biāo)軸的交點),
求出各自關(guān)于A對稱的點,然后求出直線方程)
法二:利用平行性質(zhì)解(求出一個對稱點,且斜率相等或設(shè)出平行直線系,利用點到直線
距離相等)
【例題3](2023?全國?高二專題練習(xí))直線2%-y+3=0關(guān)于點P(3,2)對稱的直線的一般
式方程為—.
【答案】2x-y-11=0
【分析】由直線勿-y+3=。關(guān)于點P(3,2)對稱的直線與已知直線平行,設(shè)出所求直線方
程,再根據(jù)點P(3,2)到兩條直線的距離相等可解出答案.
【詳解】設(shè)對稱直線為2x-y+C=0,
根據(jù)點P(3,2)到兩條直線的距離相等,
則有需黑=需黑,即|4+C|=7,解得C=3(舍)或。=-11.
所以對稱直線的方程為2x-y-11=0.
故答案為:2x—y-11=0.
【變式3-1]1.(2023秋?高二課時練習(xí))直線/:2%-3y+1=0關(guān)于點4(-1,一2)對稱的
直線,'的方程為.
【答案】2x-3y-9=0
【分析】根據(jù)直線關(guān)于點對稱,設(shè)廠上的點坐標(biāo),寫出關(guān)于4對稱的點坐標(biāo),根據(jù)點在已知
直線上求直線方程.
【詳解】設(shè)P(x,y)為,'上任意一點,則PO,y)關(guān)于點4(-1,-2)的對稱點為4-2-居-4-y),
因為P'在直線I上所以2(—2-x)-3(-4一y)+1=0,即直線廠的方程為2光—3y—9=0.
故答案為:2x—3y—9=0
【變式3-1]2.(2023?全國?高二課堂例題)求直線3x-y-4=0關(guān)于點(2,-1)對稱的直
線I的方程.
【答案】3x-y-10=0.
【分析】解法一設(shè)M(x,y),得到對稱點坐標(biāo),再代入直線3x-y-4=0即可得到答案;解
法二在直線上取兩特殊點,得到其關(guān)于(2,-1)的對稱點,則得到直線I方程;解法三根據(jù)對
稱特點設(shè)I的方程為3*-y+C=0。力-4),代入一個具體的對稱點坐標(biāo)即可得到答案.
【詳解】解法一:設(shè)直線I上任意一點M的坐標(biāo)為(x,y),
則此點關(guān)于點(2,-1)的對稱點為Mi(4-x,-2-y),
且風(fēng)在直線3比—y—4=0上,
所以3(4—x)—(—2—y)—4=0,
即3x—y—10=0.
所以所求直線I的方程為3x-y-10=0.
解法二:在直線3x-y-4=。上取兩點4(0,-4),8(1,-1),
則點4(0,—4)關(guān)于點(2,—1)的對稱點為公(2X2-0,-2+4),即4(4,2)
點8(1,-1)關(guān)于點(2,-1)的對稱點為Bi(3,-1),
%述1=2:;)=3,所以直線為當(dāng)?shù)姆匠虨閥-2=3(%-4)
化簡彳導(dǎo)3x-y-10=0,
即所求直線I的方程為3x-y-10=0.
解法三:由平面幾何知識易知所求直線I與直線3久-y-4=0平行,
則可設(shè)I的方程為3比-y+C=0(C力-4).
在直線3*-y-4=。上取一點(0,-4),
則點(0,-4)關(guān)于點(2,-1)的對稱點(4,2)在直線3x-y+C=0±,
所以3x4-2+C=0,所以C=-10,
所以所求直線I的方程為3x-y-10=0.
題型4直線關(guān)于直線對稱
【方法總結(jié)】
1:當(dāng)h與/相交時方法:此問題可轉(zhuǎn)化為"點關(guān)于直線”的對稱問題
2:當(dāng)li與/平行時方法:對稱直線與已知直線平行
【例題4】(2023秋?山西大同?高二大同一中??茧A段練習(xí))已知直線:l1-.y=ax+3與"關(guān)
于直線y=X對稱,12與,3:X+2y-1=0平行,貝(ja=()
A-4B-1C「2D.2
【答案】C
【分析】點(x,y)關(guān)于直線y=%的對稱點為(%%)可得。的方程,再根據(jù)相互平行可得答
案.
【詳解】直線4關(guān)于直線y=%對稱的直線,即是交換位置所得,
即%:%-ay+3,G/相互平行,l3-x+2y-l-。的斜率為一J
故a=-2.
故選:C.
【變式4-1]1.(2023?全國?高二專題練習(xí))若直線y-2=(k-l)x和直線4關(guān)于直線
y=x+1對稱,則直線%恒過定點()
A.(2,0)B,(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)
【答案】C
【分析】先求出直線過定點(0,2),再根據(jù)對稱性求得直線I?所過定點.
【詳解】因為直線4:y-2=(fc-l)x過定點(0,2),
點(0,2)關(guān)于直線y=比+1對稱的點為(1,1),
故直線,2恒過定點(1,D
故選:c
【變式4-1J2.(2023?全國?高二專題練習(xí)股直線y尤-2y-2=。與%關(guān)于直線刀2x-y-
4=。對稱,則直線%的方程是()
A.11%+2y—22=0B.11%+y+22=0
C.5x+y-11=0D.10x+y-22=0
【答案】A
【分析】根據(jù)三條直線交于一點,再利用點關(guān)于直線的對稱點公式,求直線L上一點,即可
求解.
【詳解】聯(lián)立會多二仁〉得憂〉
取直線船刀—2y-2=0上一點(0,—1),設(shè)點(0,—1)關(guān)于直線1:2%—y—4=0的對稱點為
b+l__1
,解得:a=11=_-,
{2x|一等―4=055
直線,2的斜率k=W,所以直線。的方程為y=-弓(尤-2),
整理為:llx+2y-22=0.
故選:A
【變式4-1J3.(多選X2023?江蘇?高二假期作業(yè))已知直線中ax-y+1=0,l2:x+ay+
1=0,aeR,以下結(jié)論錯誤的是()
A.無論a為何值,4與%都互相平行
B.當(dāng)a變化時,。與%分別經(jīng)過定點4(0,1)和耿-1,0)
C.無論a為何值,4與%都關(guān)于直線%+y=。對稱
D.若。與%交于點M,則|MO|的最大值是企
【答案】AC
【分析】結(jié)合直線平行或垂直、直線過定點、直線與直線對稱、直線與直線交點、兩點間距
離公式等知識分別對各選項分析,即可求解.
【詳解】對于A,因為ax1+(-1)xa=0,故無論a為何值,。與"都相互垂直,故A錯
誤;
對于B,直線ax-y+l=O,當(dāng)a變化,久=。時,y=1恒成立,所以入恒過定點2(0,1);
/2:x+ay+l=0,當(dāng)a變化,y=0時,x=一1恒成立,所以恒過定點8(-1,0),故B正
確;
對于C,在人上任取一點(居ax+1),關(guān)于直線x+y=0對稱的點的坐標(biāo)為(-ax-1,-x),
代入必x+ay+1-0,得2ax=0,不滿足無論a為何值,2ax-0恒成立,故C不正確;
-a-1
X=—
:二雷::,解得a2+l
對于D,聯(lián)立?-a+1
所以|MO|=W/(當(dāng)a=。時取等號),所以阿。|的最大值是
a,故D正確.
故選:AC.
【變式4-1]4.(2022秋?湖北黃岡?高二統(tǒng)考期中)過直線y=x+l上的點P作圓
C:(久-+(y—6/=2的兩條切線4,12,當(dāng)直線4,G關(guān)于直線V=X+1對稱時,兩切
點間的距離為()
A.1B.2C.V3D.V6
【答案】D
【分析】由兩條切線關(guān)于直線y=%+1對稱,可確定PC與直線y=x+1互相垂直,即可求
得PC得長,再結(jié)合直角三角函數(shù)和垂徑定理,即可求解.
【詳解】依題意,設(shè)兩切點分別為人B,并連接4B交PC于點。,作出示意圖:
7O\x
當(dāng)直線k12關(guān)于直線y=x+1對稱時,則兩條直線4/2與直線y=x+1的夾角相等,且PC
與直線y=x+1互相垂直,
???IPCI的長為圓心C(l,6)到直線y=%+1的距離,即IPCI=匕科=2V2,
V2
又???圓的半徑r=\BC\=V2,:在Rt△BCP中,coszBCP=昌=]故NBCP=三,
.?.結(jié)合垂徑定理得1=2|BC|sinzBCP=2x/義苧=①,即兩切點間的距離為連,
故選:D.
【變式4-1】5.(多選)(2023秋?河北唐山?高二唐山一中??计谀┤鐖D所示,邊長為2的
等邊△。4B從起始位置(。&與y軸重合)繞著。點順時針旋轉(zhuǎn)至。B與久軸重合得到小。為多,
在旋轉(zhuǎn)的過程中,下列說法正確的是()
y
2
◎
2x
A.線段4B的中點在圓/+*=3上運動
B.直線4遇2與直線Bi為關(guān)于直線久-y=。對稱
C.邊&&與邊Bi/所在直線的交點為(3-舊,3-百)
D.乙40B的角平分線所在直線方程是y=*,直線。4的方程為y=
【答案】AB
【分析】由題意,設(shè)4B邊的中點為E,則|。回=V3,所以E的軌跡方程是。為圓心,半徑為
次的圓可判斷A;求出4(0,2),42(1,8)關(guān)于直線%-曠=0對稱點可判斷B;求出邊4遇2
與邊B/2所在直線的交點坐標(biāo),可判斷C;求出直線。4的方程可判斷D.
【詳解】由題意可知,4(0,2)、為(暮1)、&(1,百)、B2(2,0),
對于A,設(shè)力B邊的中點為E,則|?;?V3,S.OE1AB,
所以E的軌跡方程是。為圓心,半徑為舊的圓,
所以線段48的中點E在圓/+y2=3上運動,所以A正確;
對于B,4(0,2),X2(l,V3),其中4(0,2)關(guān)于直線x-y-。對稱點為4(2,0),
其中4(1,8)關(guān)于直線久-y-。對稱點為名(百,1),
所以直線與直線當(dāng)殳關(guān)于直線比-y=。對稱,故B正確;
對于C,直線4遇2的方程為y=(V3-2)x+2,直線B/2的方程為y=(%-2),
(V=(V3-2)x+2fx=l+—
聯(lián)立1,「可得北,所以C不正確;
(y=*d)[y=l+1
對于D,設(shè)。力的傾斜角為a,~1。8的角平分線的傾斜角為£,
所以a=°十,即tana=tan(S琛)=福=9=|遙,
623
直線。力的方程為y=誓無,故D不正確.
故選:AB.
【變式4-1】6(2023秋?湖南邵陽?高二??茧A段練習(xí)直線仁3尤-y-3=。關(guān)于直線%:%+
y-l=。的對稱直線方程為.
【答案】x-3y-1=0
【分析】兩直線方程聯(lián)立可求得交點在所求對稱直線上;在直線4上取一點4(0,-3),求得
其關(guān)于直線%對稱的點的坐標(biāo)4(4,1),該點也在對稱直線上;由直線兩點式可整理得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)直線4關(guān)于直線%對稱的直線為%,
由胃;;二;二;得:{;二;,則點(1,。)在直判上;
在直線人上取一點2(0,-3),設(shè)其關(guān)于直線)對稱的點為4(“幾),
'n+3y
則良;3_]=0,解得:{:二:,即4(4,D;
、22—
???直線k的方程為:衿=的,即%-3y-1=0.
(J—11—4
故答案為:x-3y-1=0.
題型5圓關(guān)于點對稱
【方法總結(jié)】
轉(zhuǎn)化為圓心關(guān)于點對稱問題
【例題5](2021秋?江蘇南通?高二金沙中學(xué)??茧A段練習(xí))圓(x+2)2+*=6關(guān)于點
P(l,l)對稱的圓的方程為()
A.(x—4)2+(y—2)2=6B./+(y_4)2=6
C.(x+2)2+(y+2/=6D.比2+5+4)2=g
【答案】A
【分析】求得圓心關(guān)于點P的對稱點的坐標(biāo),由此求得對稱圓的方程.
【詳解】圓(久+2)2+y2=6的圓心為(—2.0),半徑為佃,
(-2.0)關(guān)于點P(l,l)的對稱點為(4,2),
所以對稱圓的方程為(%—4)2+(y-2)2=6.
故選:A
【變式5-1]1.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知圓C:/+/=25,則圓C關(guān)于點(-3,4)對
稱的圓的方程為()
A.(x+3)2+(y—4)2=16B.(x+3)2+(y—4)2=25
C.(x+6)2+(y—8)2=16D.(x+6)2+(y—8)2=25
【答案】D
【分析】圓關(guān)于點對稱只是圓心的位置發(fā)生了變化,因此只需求圓心關(guān)于點(-3,4)對稱后的
坐標(biāo)即可解決.
【詳解】圓C:/+*=25的圓心為(0,0),半徑為5,
(0,0)關(guān)于(-3,4)對稱的點為(-6,8),
圓C對稱后只是圓心位置改變,圓的半徑不會變化,仍為5,
因此所求的圓的方程為(X+6/+(y-8)2=25.
故選:D
【變式5-1]2.(2023?全國?高二課堂例題)已知P是圓C:(x-5產(chǎn)+(y-5)2=r2(r>0)
上的一個動點,它關(guān)于點4(9,0)的對稱點為Q,O為原點,線段OP繞原點O逆時針方向
旋轉(zhuǎn)90。后,所得線段為OR,求|QR|的最小值與最大值.
【答案】IQRlmin=V2|2V53-r|,IQRlmax=V2(2A/53+r).
【分析】設(shè)點P的坐標(biāo)是(x,y),根據(jù)題意分析可得|QR|=V2-JO—9乃+(y+9尸,可知
—9尸+(y+9尸的幾何意義為點M(9,—9)到圓C上的點P(*,y)的距離,結(jié)合圓的性質(zhì)
運算求解.
【詳解】如圖所示,設(shè)點P的坐標(biāo)是(x,y),則點Q的坐標(biāo)是(18-x,-y),
線段OR由0P繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到,則點R的坐標(biāo)為(-y,x),
則|QR|=7(18—x+y')2+(―y—%)2=72^/(%—9)2+(y+9)2.
因為P(x,y)為圓C:?!?)2+(y—5)2="上的點,
則—9尸+。+9》的幾何意義為點M(9,—9)到圓C上的點P?y)的距離,
連接PM,當(dāng)|PM|最小時,|QR|也最?。划?dāng)|PM|最大時,|QR|也最大;
連接MC,如圖所示,則|MC|=J(9—5尸+(—9—5)2=2753,
當(dāng)點P為R時,則|PM|取到最小值||MC|—"=|2V53-r|;
當(dāng)點P為22時,則IPM取到最大值|MC|+r=2V53+r;
所以|QR|的最小值為&憎,最大值為V^(2V^+r).
題型6圓關(guān)于直線的對稱
【方法總結(jié)】
轉(zhuǎn)化為直線過圓心問題
【例題6】(2023?全國?高二課堂例題)若圓C:/+*+2%-4y+3=。關(guān)于直線2a無+
by+6=。對稱,則由點(a,6)向圓所作的切線長的最小值是()
A.2B.3C.4D.6
【答案】C
【分析】可以用兩種方法求最小值:(1)代數(shù)法:直接利用勾股定理求出切線長,把切線
長中的變量統(tǒng)一成一個,利用函數(shù)求最值;
(2)幾何法:把切線長最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題.
【詳解】方法一:由/+y2+2x-4y+3=0,得(x+l)2+(y-2)2=2,
依題意得圓心2)在直線2a比+by+6-0上,
即2ax(-1)+2b+6=0,整理得a=b+3①.
易知由點(a,b)向圓所作的切線長/=J(a+l)2+(b—2尸一2②,
將①代入②,得/=+4'+S-21—2=J2(b+1)2+16.
又bER,所以當(dāng)b--1時,Zmin=4.
方法二:因為過圓外一點的圓的切線長人半徑r和該點到圓心的距離d滿足勾股定理,
即J=-/,所以切線長最短時該點到圓心的距離最小,則原問題轉(zhuǎn)化成求該點與圓心
的距離的最小值問題.
由題意知圓心。(一1,2),半徑r=V2,點(a,b)滿足a-b+3,即點(a,b)在直線y=x—3上;
所以點(a,b)與圓心的距離的最小值即圓心到直線y=x—3的距離出,
易求得d,=累m=3V2,所以切線長的最小值為J(3/『-2=4.
故選:C
【變式6-1]1.(2023秋?重慶沙坪壩?高二重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí))公元前3世紀(jì),古
希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果,寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》,在此著作第
七卷《平面軌跡》中,有眾多關(guān)于平面軌跡的問題,例如:平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定
值(不為1)的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點
力(-1,0)和B(2,l)且該平面內(nèi)的點P滿足|P4|=V2|PB|若點P的軌跡關(guān)于直線mx+ny-
2=0(m,n>0)對稱,則導(dǎo)+:的最小值是()
A.10B.20C.30D.40
【答案】B
【分析】由題意計算得P的軌跡方程為(乂-5)2+(y-2/=20,根據(jù)對稱性可得圓心在直
線方程上,即5nl+2n-2,從而利用乘T法即可得到最值.
【詳解】設(shè)點P的坐標(biāo)為?y),因為|P*=V2\PB\,則|P*2=21PBi2,
即(久+I)2+y2=2[(x—2)2+(y—l)2],
所以點P的軌跡方程為(%—5>+(y-2)2=20,
因為P點的軌跡關(guān)于直線mx+ny-2-0(m>0,n>0)對稱,
所以圓心(5,2)在此直線上,即+2幾=2,
所以2+三=l(5m+2n)(-+-)=,20+鯉+%)210+工x2/----20,
當(dāng)且僅當(dāng)肝=—,即巾=Q=泄,等號成立,
所以巳+三的最小值是20.
mn
故選:B.
【變式6-1]2.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知圓(X-I)?+(y-2)2=4關(guān)于直線ax+
by-2=。對稱,則,a?+爐的最小值為()
A.-B.謔C.-D.1
555
【答案】B
【分析】根據(jù)題意分析可得表示直線a+2b-2=0上任一點P(a,b)到坐標(biāo)原點
。(0,0)的距離,結(jié)合點到直線的距離運算求解.
【詳解】已知圓(%-I)2+(y-2>=4的圓心為(1,2),半徑r=2,
由題意可知:直線a久+by-2=0過圓心(1,2),即a+2b-2=0,
7a2+#表示直線a+26-2=0上任一點P(a,b)到坐標(biāo)原點。(0,0)的距離,
故GTP的最小值即為。(0,0)到直線a+2h-2=0的距離d="寄ZZ1=管.
V1+25
故選:B.
【變式6-1】3.(2023?全國?高二專題練習(xí))點M、N在圓C:/+y2+2"+2my—4=。
上,目M、N兩點關(guān)于直線久-y+l=0對稱,則圓C的半徑()
A.最大值為*B.最小值為?C.最小值為學(xué)D.最大值為言
【答案】C
【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得出圓心坐標(biāo)和半徑的表達(dá)式,利用已知條件,得
到圓心在直線上,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
2222
【詳解】由r+y2+2kx+2my-4=0,得(%+fc)+(y+m)=/c+m+4z
22
所以圓心C為(-々,一瓶),半徑為丁=V/c+m+4z
由題意可得直線%-y+1=。經(jīng)過圓心C,
故有—k+771+1=0,即/c=771+lf
所以半徑為廠=Vfc2+m2+4=yj(m+l)2+m2+4=J2(m+0+1>誓,
當(dāng)巾=-泄,圓c的半徑的最小值為挈
故選:C.
【變式6-1]4.(多選)(2023秋?全國?高二隨堂練習(xí))(多選)若圓上的點(2,1)關(guān)于直線
x+y=。的對稱點仍在圓上,且圓的半徑為迷,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是()
A.x2+y2=5B.(x—l)2+V=5C.x2+(y+l)2=5D.(x—l)2+(y+l)2=5
【答案】AD
【分析】由題意可知圓心在直線x+y=0上,設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,—a),由(2-a)2+(1+a)2=
5求得a=。或a=1,再根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.
【詳解】.?圓上的點(2,1)關(guān)于直線久+y=。的對稱點仍在圓上,,圓心在直線x+y=0上.
設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a),則由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=?;騛=1,
,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-I)2+(y+I)2=5或/+y2=5.
故選:AD.
【變式6-1]5.(多選)(2023秋?廣東廣州?高二廣州市天河中學(xué)??计谀?已知圓
M:(X-1)2+(y-2)2=1,則()
A.圓M關(guān)于直線x—y+1=。對稱
B.圓M關(guān)于直線久+y+l=。對稱的圓為O+3)2+(y+2>=1
C.直線/過點(2,0)且與圓M相切,則直線/的方程為3x+4y-6=0
D.若點P(a,6)在圓M上,則J(a+3。+(6—2人的最小值為3
【答案】ABD
【分析】利用圓心在直線上判斷A;利用圓心關(guān)于直線對稱判斷B;利用直線x=2也符合
題意判斷C;利用圓心到定點的距離減去半徑判斷D.
【詳解】圓“:0-I)2+(y-2)2=1的半徑為1,圓心為“(1,2)在直線x—y+1=
。上,所以圓M關(guān)于直線%-y+1-。對稱,A正確;
因為O+3尸+(y+2)2=1的半徑為1,圓心為N(-3,-2),所以MN的中點坐標(biāo)為E(-1,0),
E(—1,0)在直線久+y+1=0上,
又因為kMN=鬻=1,直線/:X+y+1=。的斜率為-1,所以MN1I,所以M,N關(guān)于直
線1對稱,即兩圓半徑相等圓心關(guān)于直線/:x+y+1=0對稱,所以兩圓關(guān)于直線Z:x+y+
1=。對稱,B正確;
因為直線久=2經(jīng)過(2,0),且其到圓心M(l,2)的距離等于半徑1,所以直線x=2也與圓”相
切,故C錯誤;
J(a+3/+(b—2)2表示。(。匕)到尸(—3,2)的距離,因MF=y/(l+3)2+(2-2)2=4,
所以J(a+3尸+(b—2)2的最小值為MF—1=4—1=3,D正確.
故選:ABD.
【變式6-1】6.(2023?全國?高二課堂例題)圓。%2+?!?)2=16關(guān)于直線a久+by-12=
。對稱,動點S在直線y+b=0上,過點S弓|圓C的兩條切線S4sB,切點分別為4B,則直線
48必過定點,那么定點的坐標(biāo)為.
【答案】(0,0)
【分析】根據(jù)已知條件求出b=6,設(shè)S(t,-6),根據(jù)C4ISA,CB1SB,求出過四點S,4C,B
的圓的方程,利用兩個圓的方程相減得直線4B的方程,從而可得定點坐標(biāo).
【詳解】因為圓C關(guān)于直線ax+by-12=。對稱,
所以直線ax+—12=。過圓C的圓心(0,2),得b=6,
故動點S在直線y+6=
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