2025屆陜西、山西、青海、寧夏高三下學(xué)期第一次四省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西、山西、青海、寧夏2025屆高三下學(xué)期第一次四省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為集合，，所以．故選：A.2.復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，所以復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第二象限.故選：B.3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，可知拋物線的焦點在的正半軸上，又，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：B.4.采用隨機抽樣抽到一個容量為100

的樣本，由樣本數(shù)據(jù)得到如下的頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)1015x252010若用每組的中點值來代表該組數(shù)據(jù)，則估計總體的平均數(shù)為（）A.42 B.44 C.46 D.48【答案】C【解析】由已知得，估計總體的平均數(shù)為．故選：C.5.已知圓錐的高為4，側(cè)面積是底面積的3倍，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意知，所以，又，所以，所以圓錐的體積．故選：D.6.已知函數(shù)，若，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知得的最小正周期：，因為，，而，所以的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，所以，所以．不妨令，若，則，符合題意，若，則，不符合題意，故．故選：C.7.已知正方體的棱長為常數(shù)，點P在線段上（端點除外），過點P且垂直于的平面截正方體所得截面的周長為y，若，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)平面和平面分別與交于點Q，R，當(dāng)點P在線段AQ和線段上時，截面是正三角形，當(dāng)點P越靠近點A或越靠近點時，截面周長越小，且變化是線性的．當(dāng)點P在線段QR上（不含點Q，R）時，截面是六邊形EFGHMN，且，，，，所以，所以，所以六邊形EFGHMN的周長與的周長相等．綜上可知y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為D．故選：D.8.已知橢圓C：的左焦點為F，經(jīng)過點F且傾斜角為30°的直線l與C交于A，B兩點，若，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，則l的方程為，由，得，設(shè)，，則，①．因為，所以②．由①②可得，再結(jié)合，，得，解得．故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若向量，，，則（）A.B.C.D.在上的投影向量是【答案】CD【解析】因為向量，，，對于A，，故A錯誤；對于B，，與不平行，故B錯誤；對于C，因為，則，，故C正確；對于D，在上的投影向量為，故D正確．故選：CD.10.記等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，已知，且，，成等差數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.B.，，成等比數(shù)列C.若，則數(shù)列的前n項和為D.若，則存正整數(shù)M，使得當(dāng)時，【答案】ACD【解析】對于A，因為，且，，成等差數(shù)列，所以，故A正確；對于B，由，得，解得或，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，若，則，，所以，所以的前n項和為，故C正確；對于D，當(dāng)時，，，由于呈指數(shù)增長，而呈線性增長，因此當(dāng)n足夠大時，必有，故D正確．故選：ACD.11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則稱是“T函數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.是T函數(shù)B.若是定義域為的T函數(shù)，則C.若對任意成遞增等差數(shù)列的4個數(shù)，，，，都有,則是T函數(shù)D.若是定義域為的T函數(shù)，且當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】對于A，由題意得，，所以是T函數(shù)，故A正確；對于B，設(shè)，則，因為是T函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，所以，即，所以，故B正確；對于C，因為，，，成遞增的等差數(shù)列，故可設(shè)：，，，，，考慮函數(shù)，因為，所以，但，，所以不T函數(shù)，故C錯誤；對于D，因為是T函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，任意選取，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)時，因為，所以，左邊是關(guān)于x的一次函數(shù)，根據(jù)直線的性質(zhì)知，這里的是任意選取的，所以，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，且，則______．【答案】【解析】因，則，，又，則，又，則.故答案為：.13.A，B，C三人計劃假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四個景點供選擇，若每人隨機選一個景點，則三人選擇的景點互不相同的概率為______．【答案】或【解析】三個人任意選擇景點，不同的選擇方案有種，若三人選擇的景點互不相同，則不同的選擇方案有種，故所求的概率為．故答案為：.14.設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)，如，，若正數(shù)a滿足，則______．【答案】12【解析】因為，所以該式的前項都為，后項都為，所以，，所以且，得，因為，，所以，所以，故．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若D為AC的中點，且，求．解：（1）因為，所以由正弦定理得，又因為，化簡得，因為，則，可得，且，所以．（2）因為D為AC的中點，則，可得，所以．由余弦定理可得，因為，則，整理得，即，解得或．16.如圖，在三棱臺中，平面ABC，，，，，M為的中點．（1）證明：平面AMC；（2）求平面和平面AMC夾角的余弦值．（1）證明：如圖，連接，由題意知平面，所以，又，，所以，因為M是的中點，所以．因為平面ABC，所以，又，，所以平面，所以．因為，所以平面AMC．（2）解：以A為坐標(biāo)原點，以直線AB，AC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.，，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，取，由（1）知平面AMC的一個法向量為，因為，所以平面和平面AMC夾角的余弦值為．17.在一次軍事演習(xí)中，某炮兵部隊有甲、乙、丙三門火炮對敵方目標(biāo)M進行射擊，現(xiàn)設(shè)計了以下規(guī)則：每次讓一門火炮對M射擊一次，如果沒有擊中M就換另一門火炮進行射擊，如果擊中M或甲、乙、丙都射擊過一次就停止射擊．已知甲、乙、丙每次射擊擊中M的概率分別為，，，且每次射擊相互獨立．（1）若按甲、乙、丙的順序進行射擊，且，，，求M被擊中的概率；（2）若安排乙第二個射擊，且，要使射擊總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望較小，應(yīng)該安排哪一門火炮第一個射擊？解：（1）設(shè)事件A表示“M被擊中”，則．（2）設(shè)射擊的總次數(shù)為X，則X的所有可能取值為1，2，3．若按甲、乙、丙的順序射擊，則，，，所以．若按丙、乙、甲的順序射擊，同理得．因為，又因為，，所以，所以要使射擊總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望較小，應(yīng)該讓甲先射擊．18.已知，函數(shù)在處取得極值．（1）求a；（2）證明：對任意的m，，都有；（3）若存在實數(shù)，使得成立，求k的最小整數(shù)值．（1）解：，因為在處取得極值，所以，所以，解得．經(jīng)驗證當(dāng)時，在處取得極小值，符合題意，故．（2）證明：對任意的m，，設(shè)，則，由（1）知，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，故．（3）解：存在實數(shù)，使得成立，即成立．令，，則，，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增．又，，故存在唯一的，使得，即．當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，結(jié)合，得，故k的最小整數(shù)值為5．19.已知雙曲線C：的離心率為，且C經(jīng)過點．（1）求C的方程；（2）作C在點P處的切線l，設(shè)l與C的兩條漸近線分別交于點Q，R，求；（3）將橫、縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點稱為“格點”，記C上的所有格點為，，，…，，證明：為定值．（1）解：由題意得，解得，所以C的方程為．（2）解：當(dāng)時，由得，所以，所以l的斜率為，l的方程為，即，由得C的漸近線方程為，聯(lián)立與，解得，所以．（3）證明：在方程中，令，得，令，得，則．因為，所以，得是C上的一個格點，，得是C上的一個格點．按這種構(gòu)造方式，由可以得到一系列格點．下面證明C上的任意一個格點都滿足該式：任取兩個由上述方式得到的相鄰格點和，假設(shè)在點和之間存在另外的格點，即存在，，滿足．因為是C上的格點，所以，所以，得，設(shè)，，則．由點，在C上，可得，，且，所以，，再由，，，，得，，故也是C上的格點．另一方面，因為，，所以，即，所以．而，即．顯然，C上不存在格點滿足該式，矛盾，假設(shè)不成立，故C上的所有格點都滿足．由，，得．所以所以，為定值．陜西、山西、青海、寧夏2025屆高三下學(xué)期第一次四省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為集合，，所以．故選：A.2.復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，所以復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第二象限.故選：B.3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，可知拋物線的焦點在的正半軸上，又，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：B.4.采用隨機抽樣抽到一個容量為100

的樣本，由樣本數(shù)據(jù)得到如下的頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)1015x252010若用每組的中點值來代表該組數(shù)據(jù)，則估計總體的平均數(shù)為（）A.42 B.44 C.46 D.48【答案】C【解析】由已知得，估計總體的平均數(shù)為．故選：C.5.已知圓錐的高為4，側(cè)面積是底面積的3倍，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意知，所以，又，所以，所以圓錐的體積．故選：D.6.已知函數(shù)，若，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知得的最小正周期：，因為，，而，所以的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，所以，所以．不妨令，若，則，符合題意，若，則，不符合題意，故．故選：C.7.已知正方體的棱長為常數(shù)，點P在線段上（端點除外），過點P且垂直于的平面截正方體所得截面的周長為y，若，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)平面和平面分別與交于點Q，R，當(dāng)點P在線段AQ和線段上時，截面是正三角形，當(dāng)點P越靠近點A或越靠近點時，截面周長越小，且變化是線性的．當(dāng)點P在線段QR上（不含點Q，R）時，截面是六邊形EFGHMN，且，，，，所以，所以，所以六邊形EFGHMN的周長與的周長相等．綜上可知y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為D．故選：D.8.已知橢圓C：的左焦點為F，經(jīng)過點F且傾斜角為30°的直線l與C交于A，B兩點，若，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，則l的方程為，由，得，設(shè)，，則，①．因為，所以②．由①②可得，再結(jié)合，，得，解得．故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若向量，，，則（）A.B.C.D.在上的投影向量是【答案】CD【解析】因為向量，，，對于A，，故A錯誤；對于B，，與不平行，故B錯誤；對于C，因為，則，，故C正確；對于D，在上的投影向量為，故D正確．故選：CD.10.記等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，已知，且，，成等差數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.B.，，成等比數(shù)列C.若，則數(shù)列的前n項和為D.若，則存正整數(shù)M，使得當(dāng)時，【答案】ACD【解析】對于A，因為，且，，成等差數(shù)列，所以，故A正確；對于B，由，得，解得或，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，若，則，，所以，所以的前n項和為，故C正確；對于D，當(dāng)時，，，由于呈指數(shù)增長，而呈線性增長，因此當(dāng)n足夠大時，必有，故D正確．故選：ACD.11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則稱是“T函數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.是T函數(shù)B.若是定義域為的T函數(shù)，則C.若對任意成遞增等差數(shù)列的4個數(shù)，，，，都有,則是T函數(shù)D.若是定義域為的T函數(shù)，且當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】對于A，由題意得，，所以是T函數(shù)，故A正確；對于B，設(shè)，則，因為是T函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，所以，即，所以，故B正確；對于C，因為，，，成遞增的等差數(shù)列，故可設(shè)：，，，，，考慮函數(shù)，因為，所以，但，，所以不T函數(shù)，故C錯誤；對于D，因為是T函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，任意選取，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)時，因為，所以，左邊是關(guān)于x的一次函數(shù)，根據(jù)直線的性質(zhì)知，這里的是任意選取的，所以，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，且，則______．【答案】【解析】因，則，，又，則，又，則.故答案為：.13.A，B，C三人計劃假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四個景點供選擇，若每人隨機選一個景點，則三人選擇的景點互不相同的概率為______．【答案】或【解析】三個人任意選擇景點，不同的選擇方案有種，若三人選擇的景點互不相同，則不同的選擇方案有種，故所求的概率為．故答案為：.14.設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)，如，，若正數(shù)a滿足，則______．【答案】12【解析】因為，所以該式的前項都為，后項都為，所以，，所以且，得，因為，，所以，所以，故．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若D為AC的中點，且，求．解：（1）因為，所以由正弦定理得，又因為，化簡得，因為，則，可得，且，所以．（2）因為D為AC的中點，則，可得，所以．由余弦定理可得，因為，則，整理得，即，解得或．16.如圖，在三棱臺中，平面ABC，，，，，M為的中點．（1）證明：平面AMC；（2）求平面和平面AMC夾角的余弦值．（1）證明：如圖，連接，由題意知平面，所以，又，，所以，因為M是的中點，所以．因為平面ABC，所以，又，，所以平面，所以．因為，所以平面AMC．（2）解：以A為坐標(biāo)原點，以直線AB，AC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.，，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，取，由（1）知平面AMC的一個法向量為，因為，所以平面和平面AMC夾角的余弦值為．17.在一次軍事演習(xí)中，某炮兵部隊有甲、乙、丙三門火炮對敵方目標(biāo)M進行射擊，現(xiàn)設(shè)計了以下規(guī)則：每次讓一門火炮對M射擊一次，如果沒有擊中M就換另一門火炮進行射擊，如果擊中M或甲、乙、丙都射擊過一次就停止射擊．已知甲、乙、丙每次射擊擊中M的概率分別為，，，且每次射擊相互獨立．（1）若按甲、乙、丙的順序進行射擊，且，，，求M被擊中的概率；（2）若安排乙第二個射擊，且，要使射擊總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望較小，應(yīng)該安排哪一門火炮第一個射擊？解：（1）設(shè)事件A表示“M被擊中”，則．（2）設(shè)射擊的總次數(shù)為X，則X的所有可能取值為1，2，3．若按甲、乙、丙的順序射擊，則，，，所以．若按丙、乙、甲的順序射擊，同理得．因為，又因為，，所以，所以要使射擊總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望較小