2025屆遼寧省錦州市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省錦州市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，又，故，，，，故A正確，其它選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.2.已知P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，且，P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，即，，所以，故選：C.3.以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）①兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近0；②設(shè)是隨機(jī)變量，則，；③設(shè)隨機(jī)變量，若，則；④設(shè)隨機(jī)變量，則．A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】B【解析】?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故①錯(cuò)誤；若是隨機(jī)變量，則，故②正確；隨機(jī)變量，若，則，故③錯(cuò)誤；設(shè)隨機(jī)變量，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故④錯(cuò)誤；故選：B.4.大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，?，則此數(shù)列的第20項(xiàng)為（）A162 B.180 C.200 D.220【答案】C【解析】由數(shù)列前10項(xiàng)的規(guī)律可知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，故選：C.5.若函數(shù)，且滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，則在R上遞增.則函數(shù)遞增，遞增，，即.故選：D.6.已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，平面平面，，，，，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，則為直角三角形，取AB中點(diǎn)為，則為外心.取BC中點(diǎn)為D，連接PD，則外心在PD上.因，則，又平面平面，平面平面，平面，則平面.連接，因平面，則，現(xiàn)分別過(guò)外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂線，交點(diǎn)為O，因過(guò)三角形外心垂直于三角形所在平面上的垂線上的點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)距離相同，則兩垂線交點(diǎn)O到三棱錐各頂點(diǎn)距離相同，即O為球心.又注意到，則四邊形為矩形.因，，，則.則，，得在外.因?yàn)橥庑?，則，設(shè)，則，則.又，，則，則球體半徑為3，故球體體積為：.故選：B.7.已知函數(shù)，，若和圖象存在3個(gè)交點(diǎn)，，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)?，又，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又，所以也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋?，所以交點(diǎn)，，中必定含有一個(gè)點(diǎn)為，且剩余兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故．故選：C.8.對(duì)，設(shè)是關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根，，其中符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則（）A.1013 B.1015 C.2023 D.2025【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，可得，則為增函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且，所以當(dāng)時(shí)，方程有唯一的實(shí)數(shù)根且，所以，因此.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.若，則B.若，則C.是的充分不必要條件D.，，，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A，令，滿足，顯然不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，滿足，顯然不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，滿足，此時(shí)不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，可得，可得：，所以,所以，則，正確；故選：ABC.10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作斜率為的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)（在第一象限），，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B.雙曲線的離心率為2C.的面積為 D.直線的斜率為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，設(shè)，由雙曲線定義得，故，所以，由雙曲線定義得，所以，故，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)橹本€的斜率為，故，故，為鈍角，，又，，解得，，在中，由余弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，方程兩邊同除以得，解得，負(fù)值舍去，故雙曲線的離心率為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，，即，故又，由三角形面積公式得，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，，故，直線方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則，則，故，，所以直線的斜率為，D正確.故選：ACD.11.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.的最大值為C.在單調(diào)遞增 D.在單調(diào)遞減【答案】AD【解析】的定義域?yàn)椋?，，故A正確；又，令，則，其中，故即，故，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)即，故，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)，故D正確；當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)且，而在為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故在有唯一解，故當(dāng)時(shí)，即，故在為減函數(shù)，故C不正確．故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正數(shù)滿足，則的最小值為______.【答案】12【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為12.故答案為：12.13.如圖，左邊是編號(hào)為、、、的型鋼板，右邊是編號(hào)為甲、乙、丙的型鋼板，現(xiàn)將兩堆鋼板自上而下地混合堆放在一起，則型鋼板均不相鄰的放法共________種，乙號(hào)鋼板上方的型鋼板的編號(hào)之和與其下方的型鋼板的編號(hào)之和相等的放法共________種．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】若型鋼板均不相鄰，先將型鋼板任意排列，然后將型鋼板插入型鋼板形成的個(gè)空位中的個(gè)空位，由插空法可知，型鋼板均不相鄰的放法種數(shù)為種；若乙號(hào)鋼板上方的型鋼板的編號(hào)之和與其下方的型鋼板的編號(hào)之和相等，則乙號(hào)鋼板上方的型鋼板為、號(hào)或、號(hào)，此時(shí)不同的放法種數(shù)為，然后再放置甲、丙號(hào)鋼板，分兩種情況討論，若甲、丙號(hào)鋼板相鄰，則將甲、丙號(hào)鋼板捆綁，插入其余塊鋼板形成的個(gè)空位中的個(gè)空位，此時(shí)，不同的放法種數(shù)為種；若甲、丙號(hào)鋼板不相鄰，則將甲、丙號(hào)鋼板插入其余塊鋼板形成的個(gè)空位中的個(gè)空位中，此時(shí)，不同的放法種數(shù)為種.綜上所述，乙號(hào)鋼板上方型鋼板的編號(hào)之和與其下方的型鋼板的編號(hào)之和相等的放法種數(shù)為種.故答案為：；.14.實(shí)數(shù)，滿足，，則的最小值是________．【答案】2【解析】.對(duì)于，，則在R上單調(diào)遞增，又，則，故，表示函數(shù)圖象上一點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的平方，則最小值為函數(shù)圖象與直線平行切線上一點(diǎn)到直線的距離的平方.，令，則與直線平行切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為：，其到直線距離為.則最小值為2.故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在銳角中，為邊上一點(diǎn)，，，．（1）若，求；（2）設(shè)，若，求的面積．解：（1）在銳角中，由，得，而，，則，所以.（2）銳角中，由，得，，由，得，在中，設(shè)，則，，由余弦定理得，解得，即，由正弦定理，得，解得，所以的面積.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，且是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形是矩形，，M為BC的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的大小.（1）證明：取CD的中點(diǎn)E，連接PE?EM?EA.∵為正三角形，∴.∵平面平面，面，平面平面，∴平面.又∵面，∴.∵四邊形是矩形，∴??均為直角三角形，由勾股定理可求得：，，，∴，即.又，面，面，∴面，又面，∴.（2）解：由（1）可知，，∴是二面角的平面角.∴在中，，∴，∴二面角的大小為.17.某學(xué)校為了迎接黨的二十大召開，增進(jìn)全體教職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，組織開展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，比賽中要求每個(gè)支部在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)題目放回原紙箱中.（1）如果第一支部從乙箱中抽取了2個(gè)題目，求第2題抽到的是填空題的概率；（2）若第二支部從甲箱中抽取了2個(gè)題目，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時(shí)，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個(gè)題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個(gè)選擇題的概率.解：（1）設(shè)表示“第次從乙箱中取到填空題”，，2，，，由全概率公式得：第2次抽到填空題的概率為：；（2）設(shè)事件為“第三支部從乙箱中抽1個(gè)選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，則??彼此互斥，且，，，，，，，所求概率即是發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：.18.已知.（1）若的圖象在處的切線與的圖象也相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求證：.（1）解：因?yàn)?，所以所以，，所以圖象在處的切線方程為，即，與聯(lián)立得，，因?yàn)橹本€與的圖象相切，所以，解得.（2）證明：，，若，是增函數(shù)，最多有一個(gè)實(shí)根，最多有一個(gè)極值點(diǎn)，不滿足題意，所以，由題意知，兩式相減得，由，設(shè)，則，要證，即證時(shí)，恒成立，即恒成立，即恒成立，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，所以，所以時(shí)，恒成立，即.19.已知點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，則在點(diǎn)P處的切線方程為．若A，B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使得在點(diǎn)A與點(diǎn)B處的兩條切線相互垂直．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)這兩條切線交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）（?。┣笞C：由點(diǎn)A，B及拋物線的頂點(diǎn)所成三角形的重心的軌跡為一拋物線；（ⅱ）對(duì)再重復(fù)上述過(guò)程，又得一拋物線，以此類推，設(shè)得到的拋物線序列為，，，…，，試求的方程．（1）解：設(shè)，，，則，，聯(lián)立得∴，∴，∴，∴，故點(diǎn)Q軌跡方程為．（2）（?。┳C明：由已知可得，，∴，∴，∴①，因?yàn)閽佄锞€C的頂點(diǎn)為O，設(shè)的重心坐標(biāo)為，則②由①②得，故由點(diǎn)A，B及拋物線C的頂點(diǎn)所成三角形的重心的軌跡方程為，它是頂點(diǎn)在，開口向右的拋物線．（ⅱ）解：由變?yōu)?，相?dāng)于把常數(shù)a換成，把頂點(diǎn)向右移個(gè)單位長(zhǎng)度；由變?yōu)?，只需把常?shù)換成，把頂點(diǎn)再向右移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，以此類推，拋物線的方程為．遼寧省錦州市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，又，故，，，，故A正確，其它選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.2.已知P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，且，P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，即，，所以，故選：C.3.以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）①兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近0；②設(shè)是隨機(jī)變量，則，；③設(shè)隨機(jī)變量，若，則；④設(shè)隨機(jī)變量，則．A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】B【解析】?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故①錯(cuò)誤；若是隨機(jī)變量，則，故②正確；隨機(jī)變量，若，則，故③錯(cuò)誤；設(shè)隨機(jī)變量，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故④錯(cuò)誤；故選：B.4.大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，?，則此數(shù)列的第20項(xiàng)為（）A162 B.180 C.200 D.220【答案】C【解析】由數(shù)列前10項(xiàng)的規(guī)律可知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，故選：C.5.若函數(shù)，且滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，則在R上遞增.則函數(shù)遞增，遞增，，即.故選：D.6.已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，平面平面，，，，，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，則為直角三角形，取AB中點(diǎn)為，則為外心.取BC中點(diǎn)為D，連接PD，則外心在PD上.因，則，又平面平面，平面平面，平面，則平面.連接，因平面，則，現(xiàn)分別過(guò)外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂線，交點(diǎn)為O，因過(guò)三角形外心垂直于三角形所在平面上的垂線上的點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)距離相同，則兩垂線交點(diǎn)O到三棱錐各頂點(diǎn)距離相同，即O為球心.又注意到，則四邊形為矩形.因，，，則.則，，得在外.因?yàn)橥庑?，則，設(shè)，則，則.又，，則，則球體半徑為3，故球體體積為：.故選：B.7.已知函數(shù)，，若和圖象存在3個(gè)交點(diǎn)，，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)?，又，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又，所以也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋?，所以交點(diǎn)，，中必定含有一個(gè)點(diǎn)為，且剩余兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故．故選：C.8.對(duì)，設(shè)是關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根，，其中符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則（）A.1013 B.1015 C.2023 D.2025【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，可得，則為增函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且，所以當(dāng)時(shí)，方程有唯一的實(shí)數(shù)根且，所以，因此.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.若，則B.若，則C.是的充分不必要條件D.，，，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A，令，滿足，顯然不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，滿足，顯然不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，滿足，此時(shí)不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，可得，可得：，所以,所以，則，正確；故選：ABC.10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作斜率為的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)（在第一象限），，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B.雙曲線的離心率為2C.的面積為 D.直線的斜率為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，設(shè)，由雙曲線定義得，故，所以，由雙曲線定義得，所以，故，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)橹本€的斜率為，故，故，為鈍角，，又，，解得，，在中，由余弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，方程兩邊同除以得，解得，負(fù)值舍去，故雙曲線的離心率為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，，即，故又，由三角形面積公式得，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故，直線方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則，則，故，，所以直線的斜率為，D正確.故選：ACD.11.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.的最大值為C.在單調(diào)遞增 D.在單調(diào)遞減【答案】AD【解析】的定義域?yàn)椋?，，故A正確；又，令，則，其中，故即，故，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)即，故，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)，故D正確；當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)且，而在為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故在有唯一解，故當(dāng)時(shí)，即，故在為減函數(shù)，故C不正確．故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正數(shù)滿足，則的最小值為______.【答案】12【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為12.故答案為：12.13.如圖，左邊是編號(hào)為、、、的型鋼板，右邊是編號(hào)為甲、乙、丙的型鋼板，現(xiàn)將兩堆鋼板自上而下地混合堆放在一起，則型鋼板均不相鄰的放法共________種，乙號(hào)鋼板上方的型鋼板的編號(hào)之和與其下方的型鋼板的編號(hào)之和相等的放法共________種．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】若型鋼板均不相鄰，先將型鋼板任意排列，然后將型鋼板插入型鋼板形成的個(gè)空位中的個(gè)空位，由插空法可知，型鋼板均不相鄰的放法種數(shù)為種；若乙號(hào)鋼板上方的型鋼板的編號(hào)之和與其下方的型鋼板的編號(hào)之和相等，則乙號(hào)鋼板上方的型鋼板為、號(hào)或、號(hào)，此時(shí)不同的放法種數(shù)為，然后再放置甲、丙號(hào)鋼板，分兩種情況討論，若甲、丙號(hào)鋼板相鄰，則將甲、丙號(hào)鋼板捆綁，插入其余塊鋼板形成的個(gè)空位中的個(gè)空位，此時(shí)，不同的放法種數(shù)為種；若甲、丙號(hào)鋼板不相鄰，則將甲、丙號(hào)鋼板插入其余塊鋼板形成的個(gè)空位中的個(gè)空位中，此時(shí)，不同的放法種數(shù)為種.綜上所述，乙號(hào)鋼板上方型鋼板的編號(hào)之和與其下方的型鋼板的編號(hào)之和相等的放法種數(shù)為種.故答案為：；.14.實(shí)數(shù)，滿足，，則的最小值是________．【答案】2【解析】.對(duì)于，，則在R上單調(diào)遞增，又，則，故，表示函數(shù)圖象上一點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的平方，則最小值為函數(shù)圖象與直線平行切線上一點(diǎn)到直線的距離的平方.，令，則與直線平行切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為：，其到直線距離為.則最小值為2.故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在銳角中，為邊上一點(diǎn)，，，．（1）若，求；（2）設(shè)，若，求的面積．解：（1）在銳角中，由，得，而，，則，所以.（2）銳角中，由，得，，由，得，在中，設(shè)，則，，由余弦定理得，解得，即，由正弦定理，得，解得，所以的面積.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，且是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形是矩形，，M為BC的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的大小.（1）證明：取CD的中點(diǎn)E，連接PE?EM?EA.∵為正三角形，∴.∵平面平面，面，平面平面，∴平面.又∵面，∴.∵四邊形是矩形，∴??均為直角三角形，由勾股定理可求得：，，，∴，即.又，面，面，∴面，又面，∴.（2）解：由（1）可知，，∴是二面角的平面角.∴在中，，∴，∴二面角的大小為.17.某學(xué)校為了迎接黨的二十大召開，增進(jìn)全體教職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，組織開展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，比賽中要求每個(gè)支部在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)題目放回原紙箱中.（1）如果第一支部從乙箱中抽取了2個(gè)題目，求第2題抽到的是填空題的概率；（2）若第二支部從甲箱中抽取了2個(gè)題目，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著第三支部答