信號與系統(tǒng)習題課

信號的定義、分類、描述典型的連續(xù)時間信號信號的運算奇異信號信號的分解內(nèi)容摘要信號系統(tǒng)系統(tǒng)的定義、分類線性時不變系統(tǒng)信號的自變量的變換信號的時域運算線性特性時不變性微分特性因果性例題例題1：畫函數(shù)波形例題2：沖激函數(shù)的性質(zhì)例題3：信號的運算例題4：列寫系統(tǒng)的微分方程例題5：系統(tǒng)的線性特性例題6：系統(tǒng)的時不變特性例題7：系統(tǒng)的因果性例1-1粗略繪出下列各函數(shù)式的波形圖描繪信號波形是本課程的一項基本訓練，在繪圖時應注意信號的基本特征，對所繪出的波形，應標出信號的初值、終值及一些關(guān)鍵的值，如極大值和極小值等，同時應注意階躍、沖激信號的特點。從而求得波形圖為此題應注意沖激信號的性質(zhì)波形如下圖例1-2求下列函數(shù)值本例目的在于熟悉并正確應用沖激函數(shù)的性質(zhì)。方法一：方法二：方法二沒有注意利用沖激函數(shù)的性質(zhì)，求解過程較繁。另外，對沖激偶信號的性質(zhì)往往被錯誤寫成從而得出錯誤結(jié)論在描繪某些信號的波形時，有時不必求出函數(shù)的表達式，而可直接利用信號運算及相應的波形變換圖解。畫(2)的波形時，應先畫出(1)的波形。需要注意，對信號的基本運算都是對獨立的、單一的變量t而言的，而不是對變量at或at+b進行變換。例1-3已知信號f(t)的波形如圖(a)所示，請畫出下列函數(shù)的波形對信號的波形進行微分變換時，應注意在函數(shù)的跳變點處會出現(xiàn)沖激信號。例1-4某連續(xù)系統(tǒng)的框圖如圖(a)所示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。系統(tǒng)框圖有兩個積分器。故描述該系統(tǒng)的是二階微分方程。由于積分器的輸出是其輸入信號的積分，因而積分器的輸入信號是輸出信號的一階導數(shù)。左方積分器的輸入信號為從加法器入手，找其入出關(guān)系。則其輸入信號為圖中設右方積分器的輸出信號為將上式除f(t)以外的各項移到等號左端，得由加法器的輸出，得連續(xù)系統(tǒng)或離散系統(tǒng)除用數(shù)學方程描述外，還可用框圖表示系統(tǒng)的激勵與響應之間的數(shù)學運算關(guān)系，一個方框圖可以表示一個具有某種功能的部件，也可以表示一個子系統(tǒng)。每個方框內(nèi)部的具體結(jié)構(gòu)并非是考察重點，只注重其輸入輸出之間的關(guān)系。由系統(tǒng)框圖列寫微分（或差分）方程的步驟選中間變量x(·)。對于連續(xù)系統(tǒng)，設其最右端積分器的輸出為x(t)；對于離散系統(tǒng)，設其最左端遲延單元的輸入為x(n)；寫出各加法器輸出信號的方程；消去中間變量x(·)。如果已知系統(tǒng)的微分或差分方程，也可以畫出相應的框圖。但解不是唯一的。在檢驗一個系統(tǒng)的線性時，重要的是要牢記：系統(tǒng)必須同時滿足可加性和齊次性。例1-5先經(jīng)系統(tǒng)再線性運算先經(jīng)系統(tǒng)再線性運算與先線性運算再經(jīng)系統(tǒng)結(jié)果不等，所以系統(tǒng)是非線性的。,先線性運算再經(jīng)系統(tǒng)例1-6此系統(tǒng)的作用是展寬輸入系統(tǒng)的信號，一切變換都是對t而言經(jīng)系統(tǒng)右移1右移1經(jīng)系統(tǒng)圖解說明例1-7系統(tǒng)的輸入為x(t)，輸出為y(t)，系統(tǒng)關(guān)系如下,判斷系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng).在檢驗一個系統(tǒng)的因果性時，重要的是要考查系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系，同時要把輸入信號的影響仔細地從在系統(tǒng)定義中所用到的其它函數(shù)的的影響區(qū)分開來。在某個正的時刻t0的輸出y(t0)=x(-t0)，僅僅決定于輸入在時刻(-t0)的值，(-t0)是負的，因此屬于t0的過去時刻，這時可能要得出該系統(tǒng)是因果的結(jié)論。然而，我們總是要檢查在全部時間上的輸入-輸出關(guān)系，對于t<0，如所以在這一時間上輸出就與輸入的將來有關(guān)。因此，該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。在這個系統(tǒng)中，任何時刻t的輸出等于在同一時刻的輸入再乘以一個隨時間變化的函數(shù)，因此僅僅是輸入的當前值影響了輸出的當前值，可以得出該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。經(jīng)典法：雙零法卷積積分法：求零狀態(tài)響應內(nèi)容摘要求解系統(tǒng)響應→定初始條件滿足換路定則起始點有跳變：求跳變量零輸入響應：用經(jīng)典法求解零狀態(tài)響應：卷積積分法求解例題例題1：連續(xù)時間系統(tǒng)求解（經(jīng)典法，雙零法）例題2：求沖激響應（n>m）例題3：求沖激響應（n＜m）例題4：求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應例題5：卷積例題6：系統(tǒng)互聯(lián)例2-1分別利用求零狀態(tài)響應和完全響應，需先確定微分方程的特解。這三個量之間的關(guān)系是分析在求解系統(tǒng)的完全響應時，要用到有關(guān)的三個量是：：起始狀態(tài)，它決定零輸入響應；：跳變量，它決定零狀態(tài)響應；：初始條件，它決定完全響應；解：方法二：用方法一求零輸入響應后，利用跳變量來求零狀態(tài)響應，零狀態(tài)響應加上零輸入響應等于完全響應。方法一：利用響應，零狀態(tài)響應等于完全響應減去零輸入響應。

先來求完全響應，再求零輸入本題也可以用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。方法一該完全響應是方程（1）方程（1）的特征方程為特征根為完全響應方程（1）的齊次解為因為方程（1）在t>0時，可寫為顯然，方程（1）的特解可設為常數(shù)D，把D代入方程（2）求得所以方程（1）的解為下面由沖激函數(shù)匹配法定初始條件（2）由沖激函數(shù)匹配法定初始條件據(jù)方程（1）可設代入方程（1），得匹配方程兩端的，及其各階導數(shù)項，得所以，所以系統(tǒng)的完全響應為2.求零輸入響應（3）（3）式的特征根為方程（3）的齊次解即系統(tǒng)的零輸入響應為

（4）

所以，系統(tǒng)的零輸入響應為下面求零狀態(tài)響應3.求零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應=完全響應—零輸入響應，即因為特解為3，所以強迫響應是3，自由響應是方法二（5）以上分析可用下面的數(shù)學過程描述代入（5）式根據(jù)在t=0時刻，微分方程兩端的及其各階導數(shù)應該平衡相等，得于是t>0時，方程為齊次解為，特解為3，于是有所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為方法一求出系統(tǒng)的零輸入響應為完全響應=零狀態(tài)響應+零輸入響應，即例2-2沖激響應是系統(tǒng)對單位沖激信號激勵時的零狀態(tài)響應。在系統(tǒng)分析中，它起著重要的作用。下面我們用兩種方法來求解本例。方法一：奇異函數(shù)項相平衡法方法二：齊次解法方法一：奇異函數(shù)項相平衡法首先求方程的特征根，得因為微分方程左邊的微分階次高于右邊的微分階次，沖激響應為對上式求導，得(1)

則得解得代入（1）得方法二：齊次解法初始條件得解得即

其中C0是微分方程中項前面的系數(shù)，因而給計算帶來了方便。說明：齊次解法相對于奇異函數(shù)項相平衡法和沖激函數(shù)匹配法的優(yōu)點是在求時，只可能n>m,無需考慮其它情況；由于n個初始條件是固定不變的，即X例2-3方法一：奇異函數(shù)項相平衡法方法二：沖激函數(shù)匹配法(1)方法一：奇異函數(shù)項相平衡法由于微分方程的右端比左端還高一階，故沖激響應設成將（2）式代入（1）式，得解得沖激響應階躍響應（2）方法二：沖激函數(shù)匹配法微分方程的齊次解為下面用沖激函數(shù)匹配法求初始條件，設上述兩等式代入方程（1），經(jīng)整理得(3)(1)根據(jù)在t=0時刻，微分方程兩端的沖激函數(shù)及其各階導數(shù)應該平衡相等，解得于是（3）式，，考慮n=1,m=2,n<m,

故沖激響應為說明：兩種方法求得的結(jié)果一致。一般說來，第二種方法比第一種方法簡單，特別是對高階方程。X例2-4已知線性時不變系統(tǒng)的一對激勵和響應波形如下圖所示，求該系統(tǒng)對激勵的零狀態(tài)響應。對激勵和響應分別微分一次，得此題如果直接利用卷積微分與積分性質(zhì)計算，則將得出錯誤的結(jié)果。例2-5顯然，所有的時限信號都滿足上式。對于時限信號，可以放心地利用卷積的微分與積分性質(zhì)進行卷積計算。從原理上看，如果則應有很容易證明，上式成立的充要條件是此題若將f1(t)看成兩個信號的疊加，則也可以利用該性質(zhì)計算：

X此題如果直接利用卷積微分與積分性質(zhì)計算，則將得出錯誤的結(jié)果。例2-5顯然，所有的時限信號都滿足上式。對于時限信號，可以放心地利用卷積的微分與積分性質(zhì)進行卷積計算。從原理上看，如果則應有很容易證明，上式成立的充要條件是此題若將f1(t)看成兩個信號的疊加，則也可以利用該性質(zhì)計算：

X例2-6對圖(a)所示的復合系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)構(gòu)成，已知各子系統(tǒng)的沖激響應如圖(b)所示。(1)求復合系統(tǒng)的沖激響應h(t)，畫出它的波形；(2)用積分器、加法器和延時器構(gòu)成子系統(tǒng)的框圖;分析本例的總系統(tǒng)是幾個子系統(tǒng)串、并聯(lián)組合而成的。對因果系統(tǒng)而言，串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應等于各串聯(lián)子系統(tǒng)的沖激響應卷積；并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應等于各并聯(lián)子系統(tǒng)的沖激響應相加。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，可以用系統(tǒng)的微分方程求解，也可以用系統(tǒng)的沖激響應與激勵信號的卷積求解。后一種方法回避了起始點跳變問題，但是，這種方法只限于求零狀態(tài)響應，不能求完全響應。其原因在于卷積運算是一種線性運算，它滿足疊加性、齊次性與時不變性。而當系統(tǒng)的起始狀態(tài)不為零時，系統(tǒng)的完全響應不滿足疊加性、齊次性與時不變性。（1）求h(t)其波形如圖(c)(2)由于框圖如圖(d)所示內(nèi)容摘要一.周期信號的傅里葉級數(shù)形式頻譜：離散性、諧波性、收斂性周期矩形脈沖信號的頻譜特點三角形式：單邊頻譜指數(shù)形式：雙邊頻譜二.傅里葉變換定義及傅里葉變換存在的條件典型非周期信號的頻譜沖激函數(shù)和階躍信號的傅里葉變換性質(zhì)→應用：調(diào)制和解調(diào)→頻分復用周期信號的傅里葉變換：由一些沖激函數(shù)組成抽樣信號的傅里葉變換→抽樣定理→應用：時分復用例題例題1：傅里葉級數(shù)——頻譜圖例題2：傅里葉變換的性質(zhì)例題3：傅里葉變換的定義例題4：傅里葉變換的性質(zhì)例題5：傅里葉變換的性質(zhì)例題6：傅里葉變換的性質(zhì)例題7：傅里葉變換的性質(zhì)、頻響特性例題8：傅里葉變換的性質(zhì)例題9：抽樣定理例題10：周期信號的傅里葉變換例3-1周期信號畫出單邊幅度譜和相位譜；畫出雙邊幅度譜和相位譜。單邊幅度譜和相位譜雙邊幅度譜和相位譜例3-2分析：f(t)不滿足絕對可積條件，故無法用定義求其傅里葉變換，只能利用已知典型信號的傅里葉變換和性質(zhì)求解。下面用三種方法求解此題。方法一：利用傅里葉變換的微分性質(zhì)方法二：利用傅里葉變換的積分性質(zhì)方法三：線性性質(zhì)方法一：利用傅里葉變換的微分性質(zhì)要注意直流，設fA(t)為交流分量，fD(t)為直流分量，則其中方法二：利用傅里葉變換的積分性質(zhì)

方法三：利用線性性質(zhì)進行分解此信號也可以利用線性性質(zhì)進行分解，例如

例3-3已知信號f(t)波形如下，其頻譜密度為F(jω)，不必求出F(jω)的表達式，試計算下列值：

令t=0，則則例3-4.按反褶－尺度－時移次序求解方法一：方法二：按反褶－時移－尺度次序求解利用傅里葉變換的性質(zhì)其它方法自己練習。方法三例3-5解：例3-5解：升余弦脈沖的頻譜比較例3-6.已知雙Sa信號試求其頻譜。令已知由時移特性得到

從中可以得到幅度譜為雙Sa信號的波形和頻譜如圖（d）（e）所示。例3-7-8(a)(b)求圖(a)所示函數(shù)的傅里葉變換。又因為得由對稱關(guān)系求頻譜圖由對稱關(guān)系求(b)且由圖(b)可得所以由對稱性，已知X

(c)

(d)幅頻、相頻特性幅頻、相頻特性分別如圖（c)(d)所示。幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜分析：該信號是一個截斷函數(shù)，我們既可以把該信號看成是周期信號例3-8已知信號求該信號的傅里葉變換。經(jīng)過門函數(shù)的截取，被信號調(diào)制所得的信號.也可以看成是有以下三種解法:

方法一：利用頻移性質(zhì)方法二：利用頻域卷積定理方法三：利用傅里葉變換的時域微積分特性方法一：利用頻移性質(zhì)利用頻移性質(zhì)：由于利用歐拉公式，將化為虛指數(shù)信號，就可以看成是門函數(shù)被虛指數(shù)信號調(diào)制的結(jié)果。在頻域上，就相當于對的頻譜進行平移。

又因所以根據(jù)頻移性質(zhì)，可得方法二：用頻域卷積定理將看成是信號經(jīng)過窗函數(shù)的截取，即時域中兩信號相乘根據(jù)頻域卷積定理有方法三：利用傅里葉變換的時域微積分特性信號f(t)是余弦函數(shù)的截斷函數(shù)，而余弦函數(shù)的二次導數(shù)又是余弦函數(shù)。利用傅里葉變換的時域微積分特性可以列方程求解。由圖可知對上式兩端取傅里葉變換，可得即例3-9(1)要求出信號的頻寬，首先應求出信號的傅里葉變換F(ω)已知所以信號的頻帶寬度為f(t)的波形和頻譜圖如下利用傅里葉變換的對稱性即（2）最高抽樣頻率（奈奎斯特頻率）為奈奎斯特間隔（即最大允許抽樣間隔）為例3-10分析：求信號的傅里葉變換一般有兩種解法。

方法一：將信號轉(zhuǎn)化為單周期信號與單位沖激串 的卷積，用時域卷積定理來求解；

方法二：利用周期信號的傅里葉級數(shù)求解。已知周期信號f(t)的波形如下圖所示，求f(t)的傅里葉變換F(ω)。截取f(t)在的信號構(gòu)成單周期信號f1(t)，即有方法一將信號轉(zhuǎn)化為單周期信號與單位沖激串的卷積。則易知f(t)的周期為2，則有由時域卷積定理可得方法二：利用周期信號的傅里葉級數(shù)求解f(t)的傅里葉級數(shù)為所以內(nèi)容摘要拉氏變換的定義和收斂域典型信號的拉氏變換三．拉氏變換的基本性質(zhì)二．單邊拉氏變換逆變換的求法一．拉普拉斯變換四．用拉普拉斯變換法分析電路五．系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)的定義由零極點的決定系統(tǒng)的時域特性由零極點的分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性由零極點的分析系統(tǒng)的頻響特性部分分式展開法圍線積分法例題例題1：求拉氏變換例題2：求拉氏變換，拉氏變換的性質(zhì)例題3：拉氏變換的微分性質(zhì)例題4：系統(tǒng)函數(shù)，求解系統(tǒng)的響應例題5：用拉氏變換法分析電路例4-1求下列函數(shù)的拉氏變換

拉氏變換有單邊和雙邊拉氏變換,為了區(qū)別起見,本書以表示單邊拉氏變換,以表示雙邊拉氏變換.若文字中未作說明,則指單邊拉氏變換.單邊拉氏變換只研究的時間函數(shù),因此,它和傅里葉變換之間有一些差異,例如在時移定理,微分定理和初值定理等方面.本例只討論時移定理.請注意本例各函數(shù)間的差異和時移定理的正確應用。例4-24-2（a）求三角脈沖函數(shù)如圖4-2（a）所示的象函數(shù)和傅里葉變換類似，求拉氏變換的時，往往要借助基本信號的拉氏變換和拉氏變換的性質(zhì)，這比按拉氏變換的定義式積分簡單，為比較起見，本例用多種方法求解。方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時移性質(zhì)求解方法三：利用微分性質(zhì)求解方法四：利用卷積性質(zhì)求解方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時移性質(zhì)求解

于是由于方法三：利用微分性質(zhì)求解信號的波形僅由直線組成，信號導數(shù)的象函數(shù)容易求得，或者信號經(jīng)過幾次微分后出現(xiàn)原信號，這時利用微分性質(zhì)比較簡單。將微分兩次，所得波形如圖4-2（b）所示圖4-2（b）顯然根據(jù)微分性質(zhì)由圖4-2（b）可以看出于是方法四：利用卷積性質(zhì)求解

可看作是圖4-2(c）所示的矩形脈沖自身的卷積所以于是，根據(jù)卷積性質(zhì)而圖4-2（c）例4-3應用微分性質(zhì)求圖4-3（a）中的象函數(shù)圖4-3（a）的導數(shù)的波形。下面說明應用微分性質(zhì)應注意的問題，圖4-3（b）是（1）對于單邊拉氏變換,故二者的象函數(shù)相同，即這是應用微分性質(zhì)應特別注意的問題。因而XX由圖4-3（b）知例4-4某線性時不變系統(tǒng)，在非零狀條件不變的情況下，三種不同的激勵信號作用于系統(tǒng)為圖中所示的矩形脈沖時，求此時系統(tǒng)的輸出則階躍響應X例4-5電路如圖4-5（a）所示（1）求系統(tǒng)的沖激響應。（3）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)，使系統(tǒng)的零輸（2）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)入響應等于沖激響應。（1）求系統(tǒng)的沖激響應。利用s域模型圖4-5（b）可直寫出圖4-5（a）電路的系統(tǒng)函數(shù)沖激響應（2）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)為求得系統(tǒng)的零輸入響應，應寫出系統(tǒng)的微分方程或給出帶有初值的s域模型。下面我們用s域模型求解。圖4-5(a)電路的s域模型如圖4-5(b)。由圖4-5(b)可以寫出上式中第二項只和系統(tǒng)起始狀態(tài)有關(guān)，因此該項是零輸入響應的拉氏變換。依題意的要求，該項應和相等，從而得故系統(tǒng)的起始狀態(tài)通過本例可以看出，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)可以使系統(tǒng)的完全響應滿足某些特定要求。本質(zhì)上，系統(tǒng)的零輸入響應完全由系統(tǒng)的起始狀態(tài)決定，對一個穩(wěn)定系統(tǒng)而言，零輸入響應是暫態(tài)響應中的一部分，因此，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)只能改變系統(tǒng)的暫態(tài)響應，使暫態(tài)響應滿足某些特定要求，例如，本例要求暫態(tài)響應為零。（3）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)，從而求得系統(tǒng)的起始狀態(tài)定義：求法：應用：內(nèi)容摘要研究信號的基本傳輸特性：無失真?zhèn)鬏斀V波器的基本概念：理想低通濾波器頻率響應特性的物理意義一.系統(tǒng)函數(shù)二.調(diào)制與解調(diào)三.希爾伯特變換例題例題1：由系統(tǒng)函數(shù)求沖激響應例題2：求系統(tǒng)函數(shù)及零狀態(tài)響應例題3：正弦信號作為輸入的穩(wěn)態(tài)響應例題4：希爾伯特變換例題5：抽樣，低通濾波器，調(diào)幅例5-1題圖（a）是理想高通濾波器的幅頻特性和相頻特性，求此理想高通濾波器的沖激響應。因為所以例5-2系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示，這是一種零階保持器，它廣泛應用在采樣控制系統(tǒng)中。(1)求出該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(jω)。(2)若輸入,求輸出y(t)。

例5-3，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y(t)。已知某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，輸入信號x(t)為（1）方法1方法2方法2即幅度加權(quán),相移作為輸入的輸出為（2）同理sint

作為輸入的輸出為例5-4試利用另一種方法證明因果系統(tǒng)的被希爾伯特變換相互約束。(2)由傅氏變換的奇偶虛實關(guān)系已知利用上述關(guān)系證明之間滿足希爾伯特變換關(guān)系。證明（1）根據(jù)定義所以(2)（2）根據(jù)頻域卷積定理 例5-5圖（a）所示為幅度調(diào)制系統(tǒng)，輸入信號e(t)為限帶實信號，帶寬為fm；s(t)為周期性沖激序列，如圖（b

）所示；H(jω)為理想低通濾波器，帶寬為3fm如圖（c

）所示，，求系統(tǒng)的輸出r(t)。Xe(t)與s(t)相乘相當于以奈奎斯特抽樣率對e(t)進行理想抽樣，所以乘法器輸出可表示為其對應的傅里葉變換為解：因為抽樣滿足奈奎斯特抽樣率，因而e(t)被抽樣后，ys(t)信號對應的頻譜不會重疊。如圖（d

）所示抽樣信號與原信號在加法器中進行減法運算，因而加法器輸出信號的傅里葉變換為頻譜Y(jω)如圖（e）所示這樣總的輸出信號的傅立葉變換為頻譜R(jω)如圖（f）所示因此系統(tǒng)的輸出為這是一個抑制載波的調(diào)幅系統(tǒng)內(nèi)容摘要五.相關(guān)、能量譜和功率譜的應用三.相關(guān)一.信號的正交函數(shù)分解二.完備正交函數(shù)分集、帕塞瓦爾定理線性系統(tǒng)的傳輸特性碼分復用、碼分多址通信匹配濾波器四．能量譜和功率譜例題例題1：信號的正交分解例題2：相關(guān)函數(shù)例題3：功率密度譜例題4：能量密度譜例題5：匹配濾波器例6-1用正弦波逼近三角函數(shù),.例6-2

三種情況的波形如圖（a）（b）（c）所示例6-3試確定下列信號的功率，并畫出它們的功率譜

總功率為

方法二功率譜（功率密度）為：總功率為：例6-4試求響應的能量譜密度，以圖形示出。其能量譜密度響應信號的能量譜密度為：例6-5若匹配濾波器輸入信號為，沖激響應為（1）給出描述輸出信號的表達式；時刻的輸出（3）由以上結(jié)果證明，可利用題圖(a)的框圖來實現(xiàn)匹配濾波器之功能。，求：（2）求在開關(guān)前：經(jīng)開關(guān)后，時有輸出等式右邊是定積分，結(jié)果與變量無關(guān)。（3）由題圖(a）可知：離散時間信號

離散時間系統(tǒng)的時域分析

離散時間系統(tǒng)的單位樣值響應

卷積和：定義、求法、性質(zhì)內(nèi)容摘要表示運算：相加、相乘、反褶、標度變換移位、差分、求和基本的離散時間信號建立系統(tǒng)的數(shù)學模型：差分方程時域法求系統(tǒng)的響應迭代法經(jīng)典法雙零法例題例題1：時域運算，作圖例題2：判斷信號的周期性，求周期例題3：求解系統(tǒng)的響應（多種方法）例題4：求系統(tǒng)的單位樣值響應例題5：卷積和例7-1已知序列如圖（a）所示，試求序列，并作圖。本例是關(guān)于離散信號運算的例題，離散信號的移位、反褶、標度運算與連續(xù)信號的運算相同。但需注意，序列的尺度倍乘將波形壓縮或擴展，這時要按規(guī)律去除某些點或補足相應的零值。如圖（b）所示。把改寫為第一步設則如圖（c）所示第二步設則如圖（d）所示。第三步將右移2位即得例7-2序列。若是周期序列試確定其基波周期N。判斷下列離散信號是周期序列還是非周期X的序列，所以它的基波周期是這三個周期序列周期的最小公倍數(shù)。是三個周期序列代數(shù)和組成X例7-3已知描述某系統(tǒng)的差分方程為且設激勵求響應序列用三種方法求解此題方法一：經(jīng)典法方法二：雙零法方法三：用離散卷積求零狀態(tài)響應方法一：經(jīng)典法（1）

求齊次解特征方程為故特征根為則齊次解為（2）求特解由題知激勵是指數(shù)序列形式，可設特解為將其代入差分方程得（3）求全解由原差分方程得即初始值：代入全解有解得所以系統(tǒng)的全解為（1）求零輸入響應在零輸入情況下，響應滿足齊次方程，解的形式為而齊次方程的特征根，則這一點一定要注意。如果已知系統(tǒng)的初始值,欲求零輸入響應，還必須經(jīng)過迭代求出初始狀態(tài)。方法二：雙零法由題知代入得解得，則（2）

零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應是滿足非齊次方程，且初始狀態(tài)全部為零的解，即滿足因此仍然可用經(jīng)典法求得所以系統(tǒng)的全解為零輸入響應可由方法二的經(jīng)典法求得，下面用卷積求零狀態(tài)求響應。（1）

求該系統(tǒng)的單位樣值響應根據(jù)的定義，題中方程可寫作其特征方程為故特征根為單位樣值響應方法三：用離散卷積求零狀態(tài)響應利用邊界條件解得則，單位樣值響應利用等比級數(shù)求和公式，得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應（2）離散卷積求零狀態(tài)響應例7-4如圖（a）所示一線性離散系統(tǒng)，試求該系統(tǒng)的單位樣值響應則單位樣值響應滿足方程由系統(tǒng)圖可寫出該系統(tǒng)的差分方程上式的右邊是單位樣值信號的加權(quán)與移位，故先令滿足方程利用一組邊界條件其特征根為，則解得，則由此可知，故系統(tǒng)的單位樣值響應還可寫為即根據(jù)系統(tǒng)的線性與移位特性，得例7-5已知離散信號求卷積，求離散信號的卷積有多種方法，本例只介紹其中的幾種方法一：利用單位樣值信號求卷積方法二：借助圖解，分區(qū)間求卷積方法三：利用對位相乘法求卷積方法一：利用單位樣值信號求卷積任何一個離散信號可以用單位樣值信號表示為對于本例利用單位樣值信號的卷積性質(zhì)X結(jié)果如圖（a）所示這種方法雖然計算比較簡單，但表達式較長，因而只適應于較短的時限序列。另外，用這種方法求得的卷積結(jié)果有時不容易寫出其函數(shù)表達式的閉式形式。說明首先將反褶，然后確定非零值區(qū)間的橫坐標，其下限為，上限為，如圖（b）所示根據(jù)卷積的定義式X方法二：借助圖解，分區(qū)間求卷積再將平移，并分區(qū)間求出卷積結(jié)果。X結(jié)果與方法一相同。則X方法三：利用對位相乘法求卷積此方法適應于時限序列。所以內(nèi)容摘要Z變換的定義和收斂域典型信號的z變換Z變換的性質(zhì)求Z逆變換系統(tǒng)函數(shù)H(z)冪級數(shù)展開法部分分式法圍線積分法定義由零極點決定系統(tǒng)的時域特性由零極點決定系統(tǒng)的頻域特性由零極點決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性例題例題1：求z變換例題2：求逆變換例題3：求系統(tǒng)的響應例題4：求系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應等例題5：零極點，初值定理例8-1利用性質(zhì)求序列的z變換方法一：利用典型序列的z變換及線性性質(zhì)求解若則X方法二：利用z變換時移性質(zhì)直接求解X方法三把原序列如下表示所以例8-2，求其逆變換。方法一：因為X(z)不是真分式，首先把X(z)寫成多項式與真分式兩相之和的形式，即其中所以X則觀察X(z)的分子多項式的根，其中含有一個零點為z=0，式中方法二兩種方法求逆z變換，其結(jié)果完全一致。X所以原序列為則例8-3描述某離散系統(tǒng)的差分方程為且設激勵;求響應序列并指出零輸入響應與零狀態(tài)響應。對差分方程取單邊z變換

（1）式中只與激勵有關(guān)，稱為零狀態(tài)響應的變換式；僅僅與起始狀態(tài)有關(guān)，稱為零輸入響應的變換式(1)式表明需要條件而已知條件是為此可用迭代法把代入原方程，即X解得：則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應（a）求零狀態(tài)響應由整理得求得系數(shù)故得X則系統(tǒng)的零輸入響應（b）求零輸入響應用部分分式展開法，得（c）求全響應X例8-4離散系統(tǒng)如圖（a）所示，（1）

列寫系統(tǒng)差分方程的表示式；（2）

求系統(tǒng)函數(shù)H(z)；（3）

畫H(z)的零、極點分布圖并指出收斂域；（4）

求系統(tǒng)的單位樣值響應；（5）

求該系統(tǒng)的頻率