2025年湖南省永州市高考數(shù)學(xué)二模試卷+答案解析

2025年湖南省永州市高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={劍一34力<2},B={x\x=2n+l,neZ},則4c_B=（）

A.{-3,-1,1,3}B.{-3,-1,1}C.{-1,1}D.{1}

2.已知復(fù)數(shù)z=H，則⑶=（）

3—4z11

A.^2B.V3C.^5D.1

3.已知非零向量才，了滿足（才―！"）.（/—3了）=0，且=3|用，則方與了的關(guān)系是（）

7T7T

A.垂直B.共線C.夾角為3D.夾角為刁

36

1+4a①〉0

2'"2八是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)q的取值范圍是（）

{—X+。力+。，力<（J

A.[0,4]B.（0,4）C,（0,4]D.[0,4）

22

5.設(shè)田，尸2分別是橢圓。：4+《=l（a〉b〉0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)用作X軸的垂線交C于4,3兩點(diǎn),

azbz

其中點(diǎn)工在第一象限，且|4西|=2|4凡|.若尸是C上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足△PF1E是直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)

為（）

A.0B.2C.4D.6

6.正三棱臺(tái)AB。-43G的上、下底邊長分別為6,18,該正三棱臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球（與上、下底面和

三個(gè)側(cè)面都相切），則正三棱臺(tái)的高為（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知數(shù)列{廝}滿足廝+1=號(hào)+工，則下列說法正確的是（）

A.{廝}所有項(xiàng)恒大于等于，萬

B.若W=1,則{廝}是單調(diào)遞增數(shù)列

C.若{廝}是常數(shù)列，則的=代

D.若?=2,貝*%+1+導(dǎo)}是單調(diào)遞增數(shù)列

8.在平面直角坐標(biāo)系中，4（1,0）,F（-l,p）,Q（l,q）,其中夕〉0,q〉0,AAOQ=APOQ,則當(dāng)

p

△OPQ面積最小時(shí)，-=（）

A+1BV/3+1cA/5—1口-1

?2222

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二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分,

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.設(shè)樣本空間Q={1,2,3,4}含有等可能的樣本點(diǎn)，且4={1,2},B={1,3},。={1,4},則下列結(jié)論

正確的是()

A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A|C)=P(C\A)

C.P(ABC)=P⑷P(B)尸(C)D.P(BC)=P(B)P(C)

22

10.斜率為2的直線/與雙曲線,一口=l(a>0,b>0)的兩條漸近線交于陰)，B(X2,42)兩點(diǎn)，與雙

曲線交于C,D兩點(diǎn),P是線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的是()

22

A.之_《=。是雙曲線兩條漸近線所構(gòu)成的“r'形圖象的方程

a20-

B.尸也是線段CD的中點(diǎn)

C.若/過雙曲線的焦點(diǎn)，則直線O尸的斜率是——

D.若/過雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,1),則a=b

11.已知/Q)的定義域?yàn)榉橇阌欣頂?shù)集，且滿足下面三個(gè)性質(zhì)：

①f(±y)=f⑺+于⑻；

②f(x+妨》min{/3)"(g)}；

③當(dāng)/⑶#/?)時(shí),+沙)=min{/(x)J?)},

/

其中min{a,b}=<A。

下列說法正確的是()

A.若〃2)>r,/(y)>r,則/(立一0)〉r

B.f(*=0恰有兩個(gè)整數(shù)解

C.若c+g+z=0,xyz^O,則/(，)，f(y),/(z)中至少有兩個(gè)相等

D.若/⑵=1,則/(240)=3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知cos(a+1)=cos(a-7r),則cos2a+sin2a=.

13.用紅、橙、黃、綠四種顏色給一些大小相同的正四面體模具上色，要求每個(gè)正四面體四個(gè)面顏色各不相

同.我們規(guī)定：如果兩個(gè)已上色的四面體，可以通過旋轉(zhuǎn)將其中一個(gè)變得與另一個(gè)完全相同，則認(rèn)為它們用

了同一種上色模式.那么不同的上色模式共有種.

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14.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，射線八：沙=c(/20),，2：y=0(s>0),半圓C：,=J1_(2_4產(chǎn).現(xiàn)

從點(diǎn)4(1,0)向上方區(qū)域的某方向發(fā)射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線I時(shí)會(huì)發(fā)生鏡面反射.

設(shè)光線在發(fā)生反射前所在直線的斜率為左，若光線始終與半圓C沒有交點(diǎn)，則左的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△48。中，角N,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,c=l,asi"—smC=4+申.

a-b

(1)求△ARC的外接圓半徑；

⑵若△ARC為銳角三角形，求△48。周長的取值范圍.

16.(本小題15分)

如圖，正方體AB。?！?bBic15的棱長為1,點(diǎn)N分別在線段481，BCi上,M|AM|=A|ABi|,

CiN|=〃|G卻

(1)若A=〃=g,證明：DDJMN；

⑵若=點(diǎn)P,。分別在直線皿，MN上,且PQLDDi，PQLMN,求|PQ|的取值范圍.

17.(本小題15分)

箱子里有四張卡片，分別寫有數(shù)字1，2,3,4,每次從箱子中隨機(jī)抽取一張卡片，各卡片被抽到的概率均

為;，記錄卡片上的數(shù)字，然后將卡片放回箱子.重復(fù)這個(gè)操作，直到滿足下列條件之一結(jié)束：

(a)第一次抽取的卡片上寫的數(shù)字是4；

⑹設(shè)n為大于等于2的整數(shù)，第n次抽取的卡片上寫的數(shù)字大于第n-1次抽取的卡片上寫的數(shù)字.例如，

當(dāng)記錄的數(shù)字依次為3,2,2,4時(shí)，這個(gè)操作在第4次結(jié)束.

(1)若操作進(jìn)行了4次仍未結(jié)束，求前四次抽取的情況總數(shù)；

⑵求操作在第〃次結(jié)束的概率.

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18.(本小題17分)

〃-2e~a

已知函數(shù)/⑸=(e。+2e-a)V^+—〉0.

y/X

(1)設(shè)直線刀=4與曲線沙=/儂)交于點(diǎn)尸，求尸點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值；

⑵a取遍全體正實(shí)數(shù)時(shí)，曲線4=/(乃在坐標(biāo)平面上掃過一片區(qū)域，該區(qū)域的下邊界為函數(shù)g(①)，求9他)

的解析式；

(3)證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,“為》21na;+2.(附：el?3.49)

19.(本小題17分)

22

在直角坐標(biāo)系X。"中，橢圓C：4+q=i(a>b〉0)經(jīng)過點(diǎn)P(—2禽,1),短半軸長為，和過點(diǎn)S(0,5)作

a2爐

直線/交C于/,2兩點(diǎn)，直線尸/交〉軸于點(diǎn)直線尸2交y軸于點(diǎn)N,記直線尸/,尸2的斜率分別為島

和M

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明二+3是定值，并求出該定值；

卜2

(3)設(shè)點(diǎn)H(0,l),證明C上存在異于其上下頂點(diǎn)的點(diǎn)0,使得NMQR=NNQR恒成立，并求出所有滿足

條件的。點(diǎn)坐標(biāo).

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合a={劍-34尤w2},B={x\x=2n+l,nEZ},

則月門5={—3,—1,1}.

故選：B.

利用交集定義、不等式性質(zhì)求解.

本題考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：復(fù)數(shù)z=1

3-42

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：設(shè)定與了的夾角為仇

由（下—了）?（才一3了）=0.

可得/2一4才.了+372=o，又同=3|用，

則有Z?丁=3|用2，則COS0=」一乂=司=1;

同|b|31bl2

因此。=0，即丁與了共線.

故選：B.

設(shè)丁與了的夾角為出由已知條件，進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，可求得cos。=1,從而得出結(jié)論.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

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I1+4a/〉0

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(*=<2'/2是尺上的增函數(shù)，

—X+ax+a<U

—20

則〈2,解可得0WQ<4,即〃的取值范圍為[0,4].

4a2a2

故選：A.

根據(jù)題意，由函數(shù)單調(diào)性的定義可得(一220,解可得答案.

[4Q2Q2

本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，注意函數(shù)單調(diào)性的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由題意可得MF2|=L|4FI|+ME|=2Q,M碎=2|4瑪,

a

i29fa2=3力，

.?2=等，即《y=2力，

a3[c2=t

取上頂點(diǎn)時(shí)最大.

P^F1PF2

a2+a2—(2c)231+3力一411八

COS/F1PF2=----------=—〉0，

2a?a6力3

/./丹9片不會(huì)為直角，二只有當(dāng)NPF1E或/。用丹是直角才符合題意.

則滿足△PB凡是直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4個(gè).

故選：C.

由橢圓的性質(zhì)及定義可得匿b的關(guān)系，利用余弦定理可得尸取上頂點(diǎn)時(shí)//「凡不會(huì)為直角，從而可得結(jié)

論.

本題主要考查直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意可得上下底面內(nèi)切圓的半徑分別為工X遺x6=禽，工義武義18=3通，

3232

.?.該正三棱臺(tái)的斜高為，^+3禽=4\8，

:該正三棱臺(tái)的高為^(4\/3)2-(3^-\/3)2=6.

故選：D.

根據(jù)題意可得該正三棱臺(tái)的斜高為上下底面內(nèi)切圓的半徑之和，從而可求解.

本題考查正三棱臺(tái)的內(nèi)切球問題，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

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【解析】解：數(shù)列｛廝｝滿足廝+1=8+',

NQn

當(dāng)電<0,可得廝<0,故N錯(cuò)誤；

3

若Ql=1,可得。2=],

由。計(jì)1-an=----三廝，可得幾=1時(shí)，。2-。1=三〉0,

an22

9R

々=2時(shí)，a3-a2=|-|<0,故｛QzJ不是單調(diào)遞增數(shù)列，故5錯(cuò)誤；

若｛%｝是常數(shù)列，即有Q計(jì)1=Q/即%九=廝，解得廝=±故C錯(cuò)誤；

若向=2,可得%〉0,且a〃+i=—anH---2\—=\/2，可得Qiz〉，

2anV2

11a

可得%+1+耳勾=狐+一,由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可得｛r即+1+”ny｝是單調(diào)遞增數(shù)列，故。正確.

2an2

故選：D.

由數(shù)列的遞推式和數(shù)列的單調(diào)性、對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)選項(xiàng)分析，可得結(jié)論.

本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的單調(diào)性，以及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬

于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意知，tanZAOQ=q,tanZAOP=-p,

「Ltifee//sc/5八、tan/LAOP—tanZAOQ—p—Q

所以tanAPOQ=tanZAOF-AAOQ)=———―/Ann=1-----，

1+tanAAOPtanZ.AOQ1—pq

因?yàn)閆.AOQ=Z.POQ,

所以tan乙4OQ=tan/尸。Q,即q=d-'整理得P=:。

1-pqqz—1

又p>0,q〉0,所以q>1,

由尸（一1,0）,Q（l,q）,知QP|=，p2+i,QQ|=vV+l,

由tanAPOQ=tanZ.AOQ—q,知sinZPOQ=+1,

q，p2+i

所以AOrQ面積S=1|OF|-|OQ|sinZFOQ，/+i.，g2+i.q

,4+1

2.J（3_）2+i，q（/+i）

2VV-1+—2十一i

2

設(shè)/（".罕3q〉1,

/_仞2_]

則尸⑷=

2d-I》

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令/⑷=0,則q4—4q2—1=0,解得/=2+通(負(fù)值已舍)，即〃=&+后

所以當(dāng)qe(1,12+6)時(shí)，f'(q)<。，〃q)在(1,^2+通)上單調(diào)遞減;

當(dāng)qe(j2+通,+oo)時(shí)，f'S))。，/(。)在(/2+西,+oo)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)/(q)取到最小值時(shí)，q2=2+冷，

此時(shí)面積S取得最小值，

,_2Q22v^-1

由°=~1r>知P一=——-=---7=—=--—■

Q2-1qQ2-12+^/5-12

故選：C.

利用NAOQ=NPOQ,結(jié)合兩角差的正切公式，推出「=”7,再利用三角形的面積公式，可得△OPQ

面積5=1.叫+1),然后設(shè)/(q)=1.嗎±U,q>l,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得

2qz—12q/—1

解.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，還涉及兩角差的正切公式，直線斜率的求法等，考查轉(zhuǎn)

化與化歸思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，P(A)=P(B)=P(C)=I，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4AB={1},則P(AB)=；,而P(4)=P(B)=；,

則P(4B)=P(⑷尸仍),Z正確;

對(duì)于5,40={1},P(AC)=:,則。(川。)=^^=、

4/

p?閨一耳廠了

故P(川。)=。(。|4),8正確;

對(duì)于C,ABC={1},P(ABC)=：,

而P(A)=P(B)=P(C)=：,則P(A)P(B)P(C)=J,

28

則有P(4BC)#P(4)P(B)尸(C),C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,B={2,4}-5={2,3}，BC={2}'

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——1——1

P(B)=P?=,則尸(BO)="

則有P(Z。)=P宙)尸(5),。正確.

故選：ABD.

根據(jù)題意，由古典概型公式可得P(4)=P(B)=P(C)=；,由古典概型公式分析/、C、D,由條件概率

公式分析2,綜合可得答案.

本題考查條件概率的計(jì)算，涉及古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

22

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)4易知"半=弓_?+=0，

所以——X￡V=0或X_+V:=0,

a0ab

即g=紇或y=——x,

aa

該直線方程恰好為雙曲線的兩條漸近線，故選項(xiàng)/正確；

對(duì)于選項(xiàng)公設(shè)直線/的方程為g=2/+m，。(73,明)，。(74,%)，

(x2y2

聯(lián)立Ia2匕2—1,消去y并整理得(b2—4Q2)/2_4Q2ml-Q2m2—Q2b2—0,

Iy=2xm

若昭―4Q2=0,漸近線方程為V=±2%

此時(shí)與直線/平行，不符合題意，

由韋達(dá)定理得磔+24=/￡%；

儼—4az

(x2y2

聯(lián)立\混—京一°，消去歹并整理得(62-4(?)/_4Q2m工-a2m2=0,

Iy=2xm

由韋達(dá)定理得力i+沖=工產(chǎn)7?'

儼—4Q‘

所以CQ共用同一個(gè)中點(diǎn)，故選項(xiàng)5正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若直線/過焦點(diǎn)(G。)，

此時(shí)直線I的方程為y=2x—2(m=-2c),

石、4T石二f4Q2m-8a2c

由選項(xiàng)2知碇+工4=廬下=廬下'

所以叼=屋￡,

廿—4出

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代入直線方程中,

一4。2c_-2b2c

解得yp=2x2C2

b—4Q2b—4Q2

—2b2cb2

此時(shí)kop=—

xp—4Q2c2a2

若直線/過焦點(diǎn)(一c,0),

此時(shí)直線方程為y=2x+2clm=2c),

石、4T石「f4a2m8Q2c

由選項(xiàng)2知的+&=廬二審=位二室，

所以"=廬中’

代入直線方程中，

妊+2c=-2*乙

解得yp=2x

N—4。2N—4蟆

此時(shí)dp="=粵=2，故選項(xiàng)c錯(cuò)誤;

xp4a'c2az

;)21

對(duì)于選項(xiàng)。：由選項(xiàng)。知二=上,

2a22

即02=火

因?yàn)閍〉0,b>Q,

所以a=b,故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

22

由題意，易知"也=「—令*+§=0,求出直線方程，結(jié)合雙曲線的漸近線方程即可判斷選項(xiàng)/；設(shè)

22

出直線/的方程，將直線方程分別與雙曲線方程以及之-4=0聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可判斷選項(xiàng)氏設(shè)出

a2b2

直線/的方程，結(jié)合選項(xiàng)3中信息以及斜率公式即可判斷選項(xiàng)C；結(jié)合選項(xiàng)C中信息即可判斷選項(xiàng)ZZ

本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：A：令x=y=l,有/(1x1)=/(1)+/(1),即〃1)=0；

令z=V=—1,有〃1)=/(一1)+/(一1),即〃-1)=0；

令y=-1,有/(一①)=/(①)+/(—1)=/3),即/(g)是偶函數(shù);

因?yàn)閒{x-y)=f(x+(-妨)》min{/⑶"(-=}=min{/⑶,/⑼},

/(e)>r，/(y)>r,所以/(c-g)〉r,/正確；

B-.假設(shè)選項(xiàng)正確，對(duì)于任意除1和-以外的整數(shù)a,有/(a)/),

即/(2厚0,〃3)網(wǎng),而/⑵=/(l+l)》min{〃l),/(l)}20,且/⑵邦,

第10頁，共20頁

所以/⑵>0,/⑶=/(l+2)=min{/(l)"(2)}=0,矛盾,故8錯(cuò)誤；

C：x+y+z=0^x+y=-z^f(x+y)=f(-z)=/(2),所以/(z)》min{/(c)"Q/)},

若于⑸=于⑻,結(jié)論顯然成立；

若/⑶"?),則f(z)=min{/(a;),/(y)},

即/(z)=/(c)或/(2)=/?),結(jié)論依然成立，C正確:

D：/⑶=/(2+1)==/⑴=0,

/(5)=/(3+2)=min{/⑶"⑵}=/⑶=0,

7(240)=/(24x3x5)=/(24)+/(3)+/⑸=4/(2)=4,D錯(cuò)誤.

故選：AC.

應(yīng)用特殊值法及奇偶性定義判斷/(乃奇偶性，進(jìn)而有/(力-力)min{/(z),/(妨},即可判斷出

應(yīng)用反證法，對(duì)于任意除1和-1以外的整數(shù)。有/(a)/。，根據(jù)已知推出矛盾判斷3

根據(jù)已知得/(z)》min{/(x),/(?/)},討論/(研=f(y)、/(立厚/⑻判斷上述結(jié)論是否成立判斷C；

由函數(shù)性質(zhì)得/⑶=/(5)=0、/(240)=/(24)+/⑶+/(5)求值判斷D.

本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】二T

2

【解析】解：由己知可得一sina=—A/3cosa，貝Itana=通，

；匚［、1門.小cos2a—sin2a+2sinacosa1—tan2a+2tana1—3+2\/3—1

JTT以cos2a+sin2a=-------------------------=------------------=-----——---=-------.

sin2a+cos2atan2a+13+12

故答案為：)T.

2

利用誘導(dǎo)公式求出正切值，然后根據(jù)正余弦的倍角公式以及弦化切化簡即可求解.

本題考查了誘導(dǎo)公式，倍角公式以及同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】6

【解析】解：先將紅、橙、黃、綠四種顏色正四面體模具4-上色，

有用=24種不同的上色模式，

又如果兩個(gè)己上色的四面體，可以通過旋轉(zhuǎn)將其中一個(gè)變得與另一個(gè)完全相同，則認(rèn)為它們用了同一種上

色模式.

24

那么不同的上色模式共有了=6種.

4

故答案為：6.

第11頁，共20頁

由排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合染色問題求解.

本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了染色問題，屬中檔題.

14.【答案】［—目）u（苧,+刈

o124

【解析】解：將半圓依次沿著沙=應(yīng)2=0，v=—，作對(duì)稱，如圖所示:

光線在鏡面發(fā)生反射可以等效處理為：光線進(jìn)入了鏡子后的空間，

因此問題就轉(zhuǎn)化為光線如何與鏡子內(nèi)外的圓沒有交點(diǎn)，光線變化的范圍如圖所示，

當(dāng)光線與3—4）2+/=1僅20）相切時(shí)，光線所在直線斜率為自=—4——=工2，

由對(duì)稱性可知當(dāng)光線遇射線。時(shí)反射光線若與（X-4）2+/=l（y20）相切，

則入射光線所在直線為1與圓/+僅—4）2=1相切，

當(dāng)光線與圓/+（y-4）2=1相切但遇射線A時(shí)反射光線不與（x-4）2+/=l（y》0）相切時(shí)，

此時(shí)tan。=所以光線斜率為k2=—tan4-20）=—二=考，

42tan202tan008

2X4

當(dāng)光線與（2+4）2+/=1僅》0）相切時(shí)，光線斜率為扁=-/，=—尊，

v52—112

所以由圖可知k的取值范圍是（-竺，-遺）U（逛,+OO）.

<8127k45）

故答案為：（弋，—第U（孚+8）.

o1Z4

求出光線與（，—4日+“2=1（“（工+4）2+/=1（“20）,/+@—4）2=1相切時(shí)的斜率，數(shù)形結(jié)

合即可得解.

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

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15.【答案】解：⑴因?yàn)閏=l，asm4—廣0二+”

a-b

asmA—csinC.門

可得--------------=smB,

a—b

22

由正弦定理可得Q2—c=b(Q—6)=ab—bf

即a2+b2—c2=ab，

由余弦定理可得：a2+b2—c2=2abcosC,

可得cosC=；,而Ce(0,7T),

7T

可得。=可，

o

所以sinC=，

2

設(shè)△48。的外接圓的半徑為R,

C1一通

由正弦定理可得＜}=2H,即“—一Vf一飛，

smC9-—

2

所以△ABC的外接圓的半徑為迎；

3

abc12

(2)由正弦定理可得sinAsinBsinC遮通，

~T

22

所以a=sinA,b=~^=sinB,

2,、

所以△4BC的周長為a+b-\-c=—(sinA+sinB)+1

A/3

2

=71叵114+sin(3+4)]+1

27T7T

=—7=(sinA+sin—cosA+cos—sinA)+1

v333

23.\/3八

=smA+—cosA)+1

7T

=2sin(A+—)+1,

o

[AC%)

可得ae*?),

在銳角△ABC中，\27r7r

=A€(o,-)02

IBo/

可得嗚等,

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所以sin（4+‘）e1],

o/

所以a+6+cC（\/3+1,3].

【解析】（1）由題意及正弦定理，余弦定理可得cos。的值，再由角。的范圍，可得角C的大小，由正弦定

理可得△4BC的外接圓的半徑的大??；

（2）由正弦定理可得°,6的表達(dá)式，再由輔助角公式及銳角三角形的性質(zhì)可得三角形周長的范圍.

本題考查正弦定理，余弦定理及輔助角公式的應(yīng)用，銳角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】證明：（1）連接Bi。，AC,當(dāng)》=〃=：,

則M是』口1的中點(diǎn)，N是場。的中點(diǎn)，

所以

因?yàn)镃面/BCD,。1。_1面/8。，所以。1OL4C,

所以O(shè)iOLMN；

解：（2）以。點(diǎn)為原點(diǎn)，咒，虎，方方方向?yàn)閤,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

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ZA

則4(1,0,0),Ci(0,l,l),B(l,l,0),01(0,0,1)

AB[=(0,l,l),C^=(1,0,-1);所以皿=(0,入X),亦=(出0,—〃)，

所以,所以MR=(〃—1,1-入1—〃-,

又DDi=(0,0,1),設(shè)直線尸。的方向向量為方=儂,。,2),

皿1da/萬,DDi=0zgf2=0

[7?.M^=0I(M-l^+(l-A)y+(l-M-A>=0>

取7?=(1—A,1—也0),又D就=(1,1X)，

_1

所以\PQ\=|%不|=”=2

yA2+/12—2(A+4)+2+〃)2—2(A+4)+1

11

=X=2,

a+〃-ii從+々_1|'

2A

(0A1]

易知沙=X+《—1在心彳］單調(diào)遞減，［彳,1］單調(diào)遞增,

所以沙口0一1,口，所以|PQ|e［1,烏力.

/2

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【解析】(1)當(dāng)X=〃=g時(shí)分別找到點(diǎn)M和點(diǎn)N的位置，利用線面垂直，可證線線垂直；

⑵根據(jù)題中垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，把|PQ|表示為人的函數(shù)，求函數(shù)值域即可.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由題意，前四次抽取的情況有：

1111,2111,3111,2211,3211,3311,2221,3221,

3321,3331,2222,3222,3322,3332,3333,共有15種；

(2)設(shè)操作在第n次結(jié)束的概率為Pn,操作在第n次未結(jié)束的概率為Q”

當(dāng)n22時(shí)，Pn—Qn-i-Qn>當(dāng)n=l時(shí)，馬=；，

接下來我們討論操作進(jìn)行了“次，但是并沒有結(jié)束的情形，

抽取的數(shù)字結(jié)構(gòu)如下所示：

3,…,3,2,…,2,1,…,1刀,,

分別設(shè)序列中的3,2,1的個(gè)數(shù)為x,?z,可知c+v+2=n(/

利用隔板法，可以知道對(duì)應(yīng)情形的數(shù)量，操作如下:

令X=z+1,Y=y+1,Z=z+1,即X+y+Z=n+3(X2l,y2l,Z》l),

一共有a+2=國土”巴地種情形，

各情形概率均為所以有Qn=(九+1"2)鏟,

當(dāng)打》2時(shí)，Pn=Q——Qn=亞異—(n+lXn+2)(l)w(n+l)(3n-2)1

2卬’

經(jīng)檢驗(yàn)，其對(duì)n=1依然成立，即P“二仇+I',九一2)(].

【解析】(1)根據(jù)題設(shè)，列舉出對(duì)應(yīng)的結(jié)果即可；

(2)設(shè)操作在第〃次結(jié)束的概率為操作在第〃次未結(jié)束的概率為Qn，再利用隔板法進(jìn)行討論，即可求

得結(jié)論.

本題考查概率的綜合應(yīng)用，屬難題.

15

18.【答案】解：(1)2=4時(shí)，/(x)=2ea+4e-a+-ea-e-a=-ea+Se-0,

令h{a)=""+3e~a>2^/1ea-3e~a—V3O,

In6

當(dāng)且僅當(dāng)5。。2。_6物時(shí)等號(hào)成立，

所以P點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為v/30；

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(2)/(2；)=(V^+7)e°+2(近一

，力

3)e。+2(垓--W）e-。，

令/l(Q)={y/x+-

JX.

3)e,-2陷--X-\-lcl—1n力+lc6一

則h，(Q)=(y/x+-~^=)e~na=~^ena-2^^e~a=~^e~na/(e92na-2——-),

\JXy/Xy/Xy/Xy/XX1

T一1

①當(dāng)2J<1,即0＜力W3時(shí)，h\a）》0,九（Q）在（0,+oo）上單調(diào)遞增，

x+1

/z(Q)>/i(0)=3y/x---

vx

x—1

②當(dāng)2」＞1,即-3時(shí)，由e2-2三今小芳

1+1，

X+12

無（Q）在m（E）、上單調(diào)遞減，在J"2—;）、上單調(diào)遞增,

（0,----2----）（----2----'+0°）

（3）證明:由第⑵問可知/（，）》g（c）恒成立,所以只需證明g（M）21n2+2即可.

①若xG［1,3］,構(gòu)造九（力）—3y—.——21nl—2,

31211

則“3=5+五西一1=—（3x-4v^+l）=五方（33一1）（3一1）,

因?yàn)棰佟?,所以\（乃》0在［1,3］上恒成立，Mr）在［1,3］上單調(diào)遞增,

所以h[x)2/i(l)=0,

即3，^—-/=22In力+2在[1,3]上恒成立;

②若xE[3,+oo),g(力)=2\/2A/rr——,

Vx

因?yàn)?23,所以2四工》2代{x—\，

構(gòu)造h(工)=x—g—2Inx-2>

'1

■一2X--

3

則?。?—一1=

\x~sX

第17頁，共20頁

令9（力）=V2x—2

/（力）=A/2—

則」

I3

所以久乃在[3,+00）單調(diào)遞增，

L4L

而『（3）=3\/2--y6>0,所以3（乃〉00力（乃>0恒成立,

O

八(化)在［3,+oo)單調(diào)遞增，h(x)》fi⑶=-\/3—2In3—2.

o