2025年湖北省襄陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年湖北省襄陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.(5分)若集合/=-2,-3},B={x+y\x&A,y&A},貝()

A.{-2}B.{-3}C.{-2,-3}D.{-1,-2,-3}

2.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足-----=1+23貝!|z=()

z

11,11.

A.-2—訝？B.一^+訝？C.-1+zD.~1~i

—TT—T

3.(5分)已知非零向量Q=(0,t),b=(1,-4),若向量b在a方向上的投影向量為2a,則，=(

A.-2B.-4C.2D.4

4.（5分）某工廠生產(chǎn)了500件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度（單位：厘米），將測量數(shù)據(jù)分成6組，整理得

到如圖所示的頻率分布直方圖.如果要讓90%的產(chǎn)品長度不超過〃厘米，根據(jù)直方圖估計(jì)，下列最接近

。的數(shù)是（）

5.（5分）下列選項(xiàng)中，與tan55°不相等的是（）

l+sin20°

B.-tan125°

cos20°

]1—tanl0°

D.-------------

tan350l+tanl0°

6.（5分）已知直三棱柱/3C-48iCi中，AB=AC=2,NB4C=竽，C點(diǎn)到直線4用的距離為V7,則

三棱柱/2C-421cl的外接球表面積為（）

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C.20nD.24K

7.(5分)蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓

/v2

被稱為“蒙日圓”.已知橢圓C—++=1的焦點(diǎn)在工軸上，4、5為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在直

m3

線1-魚y-6=0上.若N4尸5恒為銳角，根據(jù)蒙日圓的相關(guān)知識得橢圓。的離心率的取值范圍為

()

A.(0,B.(0,C.)1)D.)1)

8.(5分)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,g'(x)是g(x)的導(dǎo)數(shù)，且/(x)+g'(x)=5,f(x

(5-x)=5,若g(x)為偶函數(shù)，則f(k)=()

A.80B.75C.70D.65

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

(多選)9.(6分)已知函數(shù)/。)=2s譏(3x—卷)，下列說法正確的是()

A.“久一2竽7r)=/(無)

B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(6，0)中心對稱

7T

C.將/(x)的圖象向左平移二個(gè)單位長度，可得到g(x)=2sin3x的圖象

D.函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,給上單調(diào)遞增

(多選)10.(6分)已知函數(shù)/(%)=也久-1-11T定義域?yàn)?。，則下列結(jié)論正確的是()

A.若a,6&D且a<6,則/(a)</(6)

B.已知a,b&D且aWb,則“仍=1”是uf(a)+f(6)=0”的充分條件

C.方程/(/(x))=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

D.若ae(1,2),貝！>/(a)

(多選)11.(6分)雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，同時(shí)也具

有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美.雙紐線的圖形輪廓像“8”，是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.已知

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在平面直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)i（-2,0）,F2（2,0）,滿足|尸為卜『尸2|=4的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲線C.則下

列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C既是中心對稱又是軸對稱圖形

B.曲線。上滿足尸尸i[=|尸尸2|的點(diǎn)尸有2個(gè)

C.\OP\<2V2

D.曲線C上存在四個(gè)不同的點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)處切線的斜率為0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，且其前〃項(xiàng)和為若$3=9,5,6=36,貝.

13.（5分）若直線y=2x為曲線>=6鵬6的一條切線，則"的最大值為.

14.（5分）克羅狄斯?托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師.托勒密定

理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對角線與邊長的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為:

圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對角線長的乘積等于兩組對邊長的乘積之和.已知四邊形/BCD是圓O的內(nèi)

接四邊形，且ZADC=2ZBAD.AB-CD+BC-AD=4y/3,貝I]

（1）圓。的半徑是；

（2）四邊形N3O面積的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）如圖，在直三棱柱4BC-/i3iCi中，△48C是邊長為2的正三角形，|44i|=3,。為/C中

-?->

點(diǎn)，點(diǎn)E在棱CO上，且CE=/LCCi，0<A<l.

（1）當(dāng)4=拿寸，求證：平面3DE；

（2）當(dāng)4=4時(shí)，求直線/避1與平面ADE所成角的正弦值.

16.（15分）已知雙曲線C：l（a>0,b〉0）的左頂點(diǎn)為/，右焦點(diǎn)為凡動(dòng)點(diǎn)B在雙曲線C上.當(dāng)

時(shí)，|4F|=|8F|.

（1）求C的離心率；

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—

(2)已知a=l,M,N兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限.若MB=2BN,求△VON

的面積.

17.(15分)2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會(huì)在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型，

其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：

紅色外觀藍(lán)色外觀

棕色內(nèi)飾128

米色內(nèi)飾23

(1)若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件/為小明取到紅色外觀的模型，事件2為小明取到

棕色內(nèi)飾的模型，求P(B)和P(B\A),并判斷事件/和事件8是否獨(dú)立；

(2)該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車模型,

給出以下假設(shè)：

假設(shè)1：拿到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或

僅內(nèi)飾同色；

假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；

假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元、三等獎(jiǎng)150元；

請你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎(jiǎng)金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學(xué)期望.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=2x+cosx,g(x)-ax2+l.

(1)當(dāng)°=1時(shí)，判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(2)對任意的時(shí)g'(x)》為(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)記/(X)=h(x)-若/(XI)=/(X2),且0<Xl<X2<TT,求證：八巧；.2)<0.

(參考公式：cos9—coscp=-2sinsin)

19.(17分)已知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為若對每一個(gè)"WN*,有且僅有一個(gè)加6N*,使得加+1,

則稱｛即｝為“X數(shù)列”.記加=S?+L即，"CN*,稱數(shù)列｛為｝為｛即｝的“余項(xiàng)數(shù)列飛

(1)若｛即｝的前四項(xiàng)依次為0,1，-1,2,試判斷｛斯｝是否為“X數(shù)列”，并說明理由；

(2)若S7=2"+1,證明｛即｝為“X數(shù)列”，并求它的“余項(xiàng)數(shù)列”的通項(xiàng)公式；

(3)已知也=1的正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝為“X數(shù)列”，且｛斯｝的“余項(xiàng)數(shù)列”為等差數(shù)列，證明S”Wl+2"-2.

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2025年湖北省襄陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.(5分)若集合4={-1,-2,-3},B={x+y\xEA,yEA},貝()

A.{-2}B.{-3}C.{-2,-3)D.{-1,-2,-3)

【解答】解：集合A={-1,-2,一3},

B={x+y\xEA,yEA}={-2,-3,-4,-5,-6},

：.AHB={-2,-3}.

故選：C.

2.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足二^---=1+2i,

則2=(

Z

11.11

AA.~2-2lB--2+2lc.-1+zD.-1-z

z+1—i1-i

【解答］解：-----=1+—=1+21,

zz

1—i

則一=2i,

z

故戶彎=一?亂

故選：A.

—>—>

3.（5分）己知非零向量"=（0,力,b(1,-4）,若向量b在之方向上的投影向量為2總貝！|f=（)

A.-2B.-4C.2D.4

TT

【解答】解：由。=（0,t）,b=(b-4),

可得力在最方向上的投影向量為（贊）?各=普三22

|a|klt

解得t=-2.

故選：A.

4.（5分）某工廠生產(chǎn)了500件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度（單位：厘米），將測量數(shù)據(jù)分成6組，整理得

到如圖所示的頻率分布直方圖.如果要讓90%的產(chǎn)品長度不超過。厘米，根據(jù)直方圖估計(jì)，下列最接近

。的數(shù)是（）

第5頁（共19頁）

D.95.5

【解答】解：由圖可得1-(0.05+0.15)X1=0.80,1-0.05X1=0.95,

又0.80V0.9V0.95,

所以ae(94,95),且(a-94)X0.15+0.8=0.9,

得。=94.67.

故選：C.

5.（5分）下列選項(xiàng)中，與tan55°不相等的是（）

1+s譏20°

B.-tan125

cos20°

1l-tanl00

C.---------D.-------------

tan3501+tanlO

1+s譏20°(sinl00+cosl00)2sml0°4-cosl0°l+tanl0°

【解答】解:/：=tan(45°+10°)=tan55°；

cos20°cos210°—sin210°cosl00—sinl0°l—tanl00

B：-tanl25°=-tan(180°-55°)=tan55

1

C：-------=tan(90°-35°)=tan55°；

tan35

l-tanl0°

D：-------------=tan(450—10°)=tan35°Wtan55

l+tanl0°

故選：D.

6.（5分）已知直三棱柱4BC-/bBiCi中，AB=AC=2,NB4C=苧，C點(diǎn)到直線為用的距離為近，則

三棱柱/8C-N181cl的外接球表面積為（)

C.20TTD.24n

【解答】解：如圖，過C作C￡_LA4于點(diǎn)￡,過E作EF〃/1/,5.EFCiBiAi=F,

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:三棱柱/BC-NbBCi為直三棱柱，可得平面4821/1，

：.BiAi±CE,又BiAi_LEF,1.CEDEF=E,

平面CEF,又CFu平面CEF,

：.CFLB\A\,又易知CE=2Xsin60°=V3,

，C點(diǎn)到直線/1囪的距離為CF=V￡F2+CE2=VEF2+3=V7

解得昉=2,:.BBi=EF=2,

O77-

又易知BC=2遮，ABAC=

:.AABC的外接圓直徑2T==4^

設(shè)三棱柱/8C-4B,C的外接球半徑R,

則爐=「2+(竽)2=5,

.-.外接球表面積為4TT/?2=20TT.

故選：C.

7.(5分)蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓

/y2

被稱為“蒙日圓”.已知橢圓C—++=1的焦點(diǎn)在工軸上，/、5為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在直

m3

線1-迎y-6=0上.若恒為銳角，根據(jù)蒙日圓的相關(guān)知識得橢圓。的離心率的取值范圍為

()

A.(0,B.(0/C.(-^/1)D.(-^/1)

【解答】解：易知加＞3,

12/

因?yàn)橹本€％=±而，y=±8都與橢圓一++=1(血〉0)相切，

m3

_/2

所以直線％=±y/m,y=±8所圍成矩形的外接圓x2+y2=3+m即為橢圓一+—=1的蒙日圓，

m3

芯2y2

因?yàn)?8兩點(diǎn)均在橢圓一++=1上，

m3

若N4PB恒為銳角,

第7頁(共19頁)

此時(shí)點(diǎn)尸在圓x2+y2=3+m外，

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線％-V2y-6=0±,

所以直線X—V2y—6=0與圓x2+y2=3+m相離，

I-61/----

即-/>73+m,

Jl2+(-V2)2

解得m<9,

則e2=^=1-Ae(o,|),

mmv37

解得0VeV等，

所以橢圓c的離心率的取值范圍為(0,整).

故選：B.

8.(5分)已知函數(shù)/'(x),g(x)的定義域?yàn)镽,g'(x)是g(x)的導(dǎo)數(shù)，且/(x)+g'(x)=5,f(x

-1)-g'(5-x)=5,若g(x)為偶函數(shù)，則f(k)=()

A.80B.75C.70D.65

【解答】解：因?yàn)間(x)為偶函數(shù)，所以gG)=g(-x),所以g，(x)=-g，(-x),g'(x)是奇

函數(shù)，

所以g'(0)=0,

因?yàn)?(x)+g'(x)=5,所以f(0)+g'(0)=5,所以f(0)=5；

f(x)+g'(x)=5,①

/(x-1)-g1(5-x)=5,②

在②中，用5-x替換x,得/(4-x)-g'(x)=5,③

聯(lián)立①③，得/(4-x)+f(x)=10,

所以/(l)+f(3)=10,f(2)=5,f(4)=/(0)=5,

又/(x)=5-g'(x)=5+g'(-x)=/(x+4),所以/(x)是周期為4的函數(shù)，

則f[k)=/(1)4/(2)+…4/(15)=3X|/(1)4/(2)+f(3)+f(4)+f(2)4/(3)=

75.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

第8頁(共19頁)

（多選）9.（6分）已知函數(shù)/⑶=2s譏（3%一看），下列說法正確的是（）

A."久―2寫7r）=/（%）

B.函數(shù)/G）的圖象關(guān)于點(diǎn)（備，0）中心對稱

7T

C.將/（x）的圖象向左平移二個(gè)單位長度，可得到g（x）=2sin3x的圖象

D.函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,引上單調(diào)遞增

【解答】解：函數(shù)f（X）=2sin（3x

則/（x）的周期7=稱，

所以/（%—委）=/（%）,所以4正確；

令/（%）=2sin（3x—5）—0,

故3x—W=/c7r,左EZ,解得X=左EZ,

得對稱中心為（粵+0）（fcGZ）,故8正確；

將/（x）的圖象向左平移，單位長度，得到/（比+看）=2s譏（3%+引的，故C錯(cuò)誤；

由/（x）的對稱軸為％=髻+竽，keZ,比=等6（0,/（%）在（0,引上不單調(diào)，故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

（多選）10.（6分）已知函數(shù)/（無）=）》-1-高定義域?yàn)椤?，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若Q,且a＜b,則/（。）＜/（6）

B.已知〃，灰。且aWb,則“仍=1”是"/（a）4/（6）=0”的充分條件

C.方程/（/CO）=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

D.若托（1,2）,則/（Q-1）〉/（Q）

【解答】解：易知/（x）的定義域?yàn)椋?,1）U（1,+8）,

可得“%）寸+占＞°，

所以/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）,（1,+8）,

1

對于選項(xiàng)4：令。="，b=e,

17P7

可得/弓）=-2+含＞0,〃）=一含＜0，

第9頁（共19頁）

所以f〈)>f(e)，故選項(xiàng)/錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：易知/《)+/(久)=一2+冬卷=0,

則“ab=l”是“f(a)V(Z))=0”的充分條件，故選項(xiàng)3正確；

對于選項(xiàng)C：當(dāng)x-0時(shí)，/G)--8,且/(：)=一2+含>0,/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以/(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)％一+8時(shí)，f(%)f+8,且/1)<o,f(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(%)在(1,4-00)上有一個(gè)零點(diǎn)，

所以/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)XI，X2,

即/(XI)=0，f(X2)=0,

因?yàn)?(%)=%1與/(X)=%2分別有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

所以方程/(/(%))=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，故選項(xiàng)C正確；

對于選項(xiàng)。：若/(Q-1)>/(Q),

17

即/(a-1)-f(a)=伍(1Q—2)(a-1)，

設(shè)g(%)=-L函數(shù)定義域?yàn)?o,i),

可得g3=J-9=裳<。，

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以g(x)>g(1)=0,

1

即仇％>1——,

因?yàn)?1,2),

—11

所以1—萬E(。，2),

所以m(1一%>1一號

即/(a-1)-以a)>1—言一__2；a_1)=(a-l)^-2)>0'

則/(a-1)>/(a),故選項(xiàng)。正確.

故選：BCD.

(多選)11.(6分)雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，同時(shí)也具

有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美.雙紐線的圖形輪廓像“8”，是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.已知

第10頁(共19頁)

在平面直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)i(-2,0),F2(2,0),滿足|尸為卜『尸2|=4的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲線C.則下

列結(jié)論正確的是()

A.曲線C既是中心對稱又是軸對稱圖形

B.曲線。上滿足尸尸1］=尸尸2|的點(diǎn)尸有2個(gè)

C.\OP\<2V2

D.曲線C上存在四個(gè)不同的點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)處切線的斜率為0

【解答】解：設(shè)尸(x,y),由乃(-2,0),尸2(2,0),滿足|尸7計(jì)斤2|=4,

可得JQ+2尸+y2.J。-2)2+y2=4,即有曲線C既是中心對稱又是軸對稱圖形，故/正確；

若『為|=|舊畫=2,可得這樣的P點(diǎn)只有一個(gè)，即為原點(diǎn)，故8錯(cuò)誤；

兩邊平方可得［(X-2)2+/卜［(x+2)2+為=16,化為(/力2)2=8(%2_廿),

即為，+產(chǎn)=笑譽(yù)238,可得QPFW8,故C正確；

從雙紐線的圖形看有四個(gè)點(diǎn)處的切線的斜率為0,

又由(/+y2)2=8(x2-y2),可得產(chǎn)=4，乂2+1一(x2+4),

可得2處'A-=-7==-2x,令y'=0,解得x=0或±舊，

Vx2+1x

計(jì)算可得在原點(diǎn)處的切線方程方程為》=±2x.故。正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，且其前〃項(xiàng)和為S,.若$3=9,5,6=36,貝J

【解答】解：數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，$3=9,56=36,

由S3=3ai+3d=9,S6=64I+15d=36,則d=2,a\=\.

故答案為：1.

13.(5分)若直線y=2x為曲線>=6叱&的一條切線，則成的最大值為

【解答】解：設(shè)/(x)=eax+b,則，(x)=aeax+b,

設(shè)切點(diǎn)為(殉,e-o+b),則/3))=ae的+b,

ax+bax+ax+bax+b

則切線方程為y-e°=ae°\x-殉)，整理可得y=ae<>x+(1-ax0)e0,

第11頁(共19頁)

所以產(chǎn)°一。，解得%o=J,aeax°+b=ae1+b=2,

{aeax0+b—2CL

所以。=百3，所以=

設(shè)g(%)=磊，則g。)=2、1：),

當(dāng)xE(-8,1)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)(1,+8)時(shí)，g'(%)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取得最大值g(l)=會(huì)，

2

所以的最大值為三.

14.(5分)克羅狄斯?托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師.托勒密定

理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對角線與邊長的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為:

圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對角線長的乘積等于兩組對邊長的乘積之和.已知四邊形是圓。的內(nèi)

接四邊形，S.AC=V3BD,/ADC=2/BAD.若AB?CD+BU4D=4后則

(1)圓。的半徑是2；

(2)四邊形48CD面積的取值范圍是(V3,2V3).

【解答】解：(1)由托勒密定理，得4C?BD=4B?CD+BC?4D=4后

結(jié)合=解得/C=2亞BD=2,

ACBD

設(shè)圓。的半徑為心由正弦定理得=2R,

sin乙ADCsinZ-BAD

2V32

即s譏N4DC=sin^BAD'整理得sin/4DC=y/3sinZBAD,

因?yàn)?ADC=2/3AD,所以2sin/BADcos/3AD=y[3sinZBAD,

結(jié)合/BADC(0,TT),sinZBAD>0,解得COSNBAD=字，

所以/氏4。屋，smZBAD^1可得2R==%,=4,R=2；

OZSlTlZ-D/iU

⑵如圖，假設(shè)2。邊固定，由力C=2后可得圓心O到直線/C的距離d=^ta唬=1,

所以/C是以。為圓心、半徑為1的圓的切線，

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A

過8（或D）分別作小圓的切線，與大圓的交點(diǎn)分別為出、/2、43、A4,

當(dāng)C點(diǎn)在劣弧皿時(shí)，頂點(diǎn)/可以在劣弧而，砌上運(yùn)動(dòng)，

由對稱性，考慮點(diǎn)/在劣弧罰2上時(shí)，

通過計(jì)算可知：AzBLBD,ZAiDB=g,所以/C與AD的夾角a6/，J）,

由此可得：四邊形/BCD面積S=%C?5Dsina=2bsinae（V3,2b）.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）如圖，在直三棱柱4BC-431cl中，△48C是邊長為2的正三角形，|44i|=3,。為/C中

—

點(diǎn)，點(diǎn)E在棱CC1上，且CE=/lCCi，0c入＜1.

（1）當(dāng)4=飄，求證：NiE_L平面3DE；

（2）當(dāng)2時(shí)，求直線出歷與平面BDE所成角的正弦值.

【解答】解：（1）證明：為正三角形，。為/C中點(diǎn)，,臺(tái)。，/。.

在直三棱柱A8C-418I。中，平面/CCi/i_L平面ABC,又平面/CC/iD平面N2C=/C,

故8D_L平面/CG4,又/i￡u平面NCCi/i,

則BDLAiE,

當(dāng)4=1■時(shí)，tan/4ECi=2,tan/.DEC-p

則4&ECi+ADEC=，，

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.?.//1ED=9O°,BPA\ELDE,[fnBDdDE=D,

：./i￡_L平面BDE.

（2）當(dāng);1=號時(shí)，|CE|=1,易證NiE_LD￡,由（1）可得：平面8D￡,

-?—>—>

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB,DC,D%方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系,

則。(0,0,0),A(0,-1,0),AlCO,-1.3),B(V3,0,0),E(0,1,1),

->-?

由Ni￡_L平面可得：平面3DE的一個(gè)法向量是瓦4i=(0,-2,2),且B4=(一百，一1,0),

記直線AB\與平面BDE所成角為a,

貝Usina=\cos{EAr,BA）\=|-號,%=字，

Mil田川4

V2

所以直線AB\與平面BDE所成角的正弦值是下.

16.（15分）已知雙曲線C：盤―，=l（a>0,b〉0）的左頂點(diǎn)為N,右焦點(diǎn)為凡動(dòng)點(diǎn)3在雙曲線。上.當(dāng)

時(shí)，磔2|=內(nèi)尸

（I）求C的離心率；

（2）已知a=l,M,N兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限.若詁=2畝V,求△MON

的面積.

【解答】解：（1）當(dāng)班LL4b時(shí)，目=|5月時(shí)，c+a=^-=^—^-,

整理得a=c-a,

即2q=c,

所以雙曲線C的離心率e=。=2；

(2)因?yàn)镼=l,

第14頁（共T9頁）

由（1）知c=2,b-V3,

所以雙曲線。的方程為久2—1=1,漸近線方程分別為y=土舊x,

設(shè)V3m）,N（n,—V3n）（m>0,〃>0）,

—>—>

因?yàn)镸B=2BN,

解得B（空,V3(m—2n).

3)'

因?yàn)辄c(diǎn)3在雙曲線。上，

所以（小一修

解得nm=

因?yàn)镹M9N=120°,\MO\=2mf\NO\=2n.

所以S^MON=^\MO\\NO\sinl200=V3mn=竽?

17.（15分）2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會(huì)在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型,

其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示:

紅色外觀藍(lán)色外觀

棕色內(nèi)飾128

米色內(nèi)飾23

（1）若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件/為小明取到紅色外觀的模型，事件8為小明取到

棕色內(nèi)飾的模型，求P（B）和P并判斷事件力和事件3是否獨(dú)立;

（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車模型,

給出以下假設(shè):

假設(shè)1：拿到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或

僅內(nèi)飾同色；

假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；

假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元、三等獎(jiǎng)150元；

請你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎(jiǎng)金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：（1）若紅色外觀的模型，則分棕色內(nèi)飾12個(gè)，米色內(nèi)飾2個(gè)，

則對應(yīng)的概率P（4）=專督=基，

若小明取到棕色內(nèi)飾，分紅色外觀12個(gè)，藍(lán)色外觀8個(gè),

第15頁（共19頁）

則對應(yīng)的概率P(B)=當(dāng)普=|^=1

取到紅色外觀的模型同時(shí)是棕色內(nèi)飾的有12個(gè)，即PQ4B)=

則P(B|A)=g翳=笠=蓋=表

J25

144S612

???尸(2)尸(8)=奈':=患。蕓，：.P(A)P(5)于PCAB),

乙jj.乙J乙J

即事件/和事件8不獨(dú)立；

(2)由題意知X=600,300,150,

則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率P=4+f產(chǎn)+G=66+第3+1=慕=普

LDUUJUU±3U

外觀和內(nèi)飾都異色的概率p=42c誓=蓋，

僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率p=1-普-蓋=攝

,1〉4-9-->一13

?215075

1984913

???P(X=150)=京P(X=300)=益=漁，P(X=600)=於,

則X的分布列為:

X150300600

P14913

215075

149

則E(X)=150X亍+300x向+600x笆=277.

乙.LOV//KJ

18.(17分)已知函數(shù)〃(x)=2x+cosx,g(x)-tzx2+l.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(2)對任意的％三0時(shí)g'(x)沁(x)恒成立，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍；

(3)記/(%)=/i(%)-若/(xi)=/(%2),且0Vxi〈X2〈n,求證：fX)<0.

(參考公式：cos3—coscp=—2sin

【解答】解：(1)當(dāng)。=1時(shí)，g(x)="--+1,函數(shù)定義域?yàn)镽,

可得gr(x)="-2x,

令加(x)="-2x,函數(shù)定義域?yàn)镽,

可得m'(x)="-2,

第16頁(共T9頁)

當(dāng)x</〃2時(shí)，m'(x)<0,m(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)了>勿2時(shí)，m'(x)>0,m(x)單調(diào)遞增，

所以加(x)》加(歷2)=2-2/?2>0,

即g'(x)>0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增；

(2)因?yàn)間(x)-ox2+l,函數(shù)定義域?yàn)镽,

可得g'(x)—e^-lax,

設(shè)9(x)=g'(x)-h(x)=e*-2ax-lx-cosx,函數(shù)定義域?yàn)椋?,+°°),

可得/'(x)="-2a-2+sinr,

令"(x)="-2a-2+sinx,函數(shù)定義域?yàn)椋?,+°°),

可得(x)=e^+cosx1+cosx0,

所以"(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

即P(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以尸'(x)W(0)=1-2a-2=-2a-1,

當(dāng)aW-★時(shí)，P(x)2P(0)=-2a-120,

此時(shí)9(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以尸(x)NF(0)20,符合題意；

1

當(dāng)￡1>一2時(shí)，尸'(0)=-2a-l<0,

又P(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，且當(dāng)X-+8時(shí)，F(xiàn)'(x)—+8,

所以存在xo>O使得尸(xo)=0,

所以尸(x)在(0,xo)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x€［0,xo)時(shí)，F(xiàn)(x)WF(0)=0,不符合題意，

綜上所述，a的取值范圍為(-8,—.1］；

9

(3)證明：易知/(%)=2—元］—s譏%,

因?yàn)?(R)=/(X2),

%2%2

以2%］——4~cos%］=2%2—^"+cos%2，

］

所以2(%1—%2)----(%1+%2)(%1—%2)+COS%1—COSX2=0,

兩邊同時(shí)除以XI-X2,

第17頁(共T9頁)

可得2—9(/+玷+%三戶=。，

JL入1人2

c.X-1+x.Xy-x

一一,1—2sin￡?sinz?

所以2—元(/+冷)-------xr----------=0'

今超,xl+x2

q人o-2'

此時(shí)2