2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專練：平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【七大題型】

專題4.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【七大題型】

【新高考專用】

1、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

平面向量是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，平面向量基本定理、平

面向量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時(shí)也會(huì)與三角函

數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等.在高考復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注意加強(qiáng)對(duì)平面向量基本定理、向

量共線與垂直的條件的理解，熟記平面向量的相關(guān)公式，靈活進(jìn)行求解.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1平面向量基本定理及其解題策略】

1.平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果3,3是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量】，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九，

—>—>->—>_>—>

九2，使。=4ei+%202.若02不共線，我們把｛勺，02｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

(2)定理的實(shí)質(zhì)

由平面向量基本定理知，可將任一向量。在給出基底｛G,C2｝的條件下進(jìn)行分解——平面內(nèi)的任一向量

都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實(shí)質(zhì).

2.用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路：

用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向

量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分

解都是唯一的.

【知識(shí)點(diǎn)2平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及其解題策略】

1.平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

（1）兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示

由于向量a=（%,%）,6=（%2,、2）等價(jià)于。=%1，+%j，b=x2i+y2j,所以。+6=（%/+歹1/）+（%2，+^2，）=（汨

+%2”+（乃+%）/，即〃+6=（%1+%2,%+%）.同理可得二（X1-X2,%-%）.

這就是說(shuō)，兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）.

（2）向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示

由。二（x,y）,可得。貝1」2。=2（笛.+）/）=/1%，+/1>/,即4a=（2x,2y）.

這就是說(shuō)，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).

2.共線的坐標(biāo)表示

（1）兩向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)4=（汨,為），6=。2,%），其中「和?我們知道,a,b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)2，使a如果用

坐標(biāo)表示，可寫(xiě)為0,歹1）=/1（%2,為），即‘為I”?’消去2,得X1^2-必>1=。.這就是說(shuō)，向量b（人知）

［弘="

共線的充要條件是汨y2-x2y1=0.

（2）三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示

若AO/i）,B（X2,必）,C（X3,%）三點(diǎn)共線，則有冠=4茲,

從而（龍2-尤1M）=2（兀-》2,了3-必），即（尤2-尤1）（了3-線）=（%372）（夕2叫1），

或由AB=flAC得到（必-X1）（乃-yi）=（為-%）（了2-%），

或由AC=yBC得至U（X3-X\）（"-竺）=（尤3-尤2）（為■JPi）.

由此可知，當(dāng)這些條件中有一個(gè)成立時(shí)，A,2,C三點(diǎn)共線.

3.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的

坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

（2）解題過(guò)程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程（組）來(lái)進(jìn)行求解.

【方法技巧與總結(jié)】

1.右［與6不共線，且丸Q+,貝ijz=〃=o.

2.已知尸為線段AB的中點(diǎn)，若A（X］，M）,B（x2,y2）,則尸點(diǎn)坐標(biāo)為（上尹?，丐業(yè)）.

3.已知AABC的重心為G,若4%,%），B（x2,y2）,C（x3,y3）,則G（“十個(gè)+與產(chǎn)+彳+巧.

?舉一反三

【題型1平面向量基本定理的應(yīng)用】

【例1】（2024?山西呂梁三模）已知等邊AABC的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)O,E分別為的中點(diǎn)，若加=3而,

則存=（）

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【解題思路】?。?，屈｝為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.

【解答過(guò)程】在AABC中，取｛左，屈｝為基底，

因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，DF=3EF,

所以麗=三屁=工前，

24

所以標(biāo)=AE+EF=^（AB+AC"）+沼=+河.

故選：B.

【變式1-1］（2024.山東濰坊.二模）在△ZBC中，8。點(diǎn)E是40的中點(diǎn)，記說(shuō)=落AC=b,則屁

（）

112一1—1.1-?2-1一

A.--a+-bB.--a+-bC.--a--bD.-a--b

33363336

【解題思路】根據(jù)三角形中向量對(duì)應(yīng)線段的數(shù)量及位置關(guān)系，用血、就表示出麗即可.

【解答過(guò)程】由題設(shè)屁=1瓦1+前）=j（BX+|fiC）=^［BA+^（BA+XC）］=-1AB+^AC,

所以阮=~-a+-b.

36

故選：B.

【變式1-2](2024?內(nèi)蒙古呼和浩特.一模)在△ABC中，。為線段4C的一個(gè)三等分點(diǎn)，依。|=2|DC|.連接8。，

在線段BD上任取一點(diǎn)E,連接4E,若荏=。前+6話，則a?+。2的最小值為()

A.-B.-C.-D.-

42135

【解題思路】根據(jù)E在線段BD上得到版=2而+(1-4)存，結(jié)合已知條件得到a,b和4的關(guān)系式，最后轉(zhuǎn)

化為二次函數(shù)求最小值.

【解答過(guò)程】???E在線段8。上，AE=XAD+(1-2)屈，Ae[0,1],

???D為線段4C的一個(gè)三等分點(diǎn)，\AD\=2\DC\,AD=jAC,

AE=|沆+(1-A)XB=aAC+bAB,

由平面向量基本定理得a=|九b=l-A,

,-,a2+b2=-A2+(1-A)2=-A2-2A+1=-(A--f+

9',99V13/13

當(dāng)；l=,時(shí),a2+?取得最小值總

故選：C.

【變式1-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖所示，在△ABC中，M為線段BC的中點(diǎn)，G為線段4M上一點(diǎn)，AG=

2GM,過(guò)點(diǎn)G的直線分別交直線AB,AC于P,Q兩點(diǎn).設(shè)國(guó)=xQ(x>0),前=y而(y>0),則京+會(huì)

的最小值為()

A.-3B.3-C.3D.6

42

【解題思路】由中點(diǎn)和三等分點(diǎn)得到尼=式樂(lè)+前)，結(jié)合樂(lè)=%而。>0),AC=yAQ(y>Q},得至!J

AG=^AP+^AQf

33<

由三點(diǎn)共線得到x+y=3,利用均值不等式中“1的代換”求得圭+盍的最小值.

【解答過(guò)程】因?yàn)镸為線段BC的中點(diǎn)，所以宿=^(AB+AC),又因?yàn)槟?2GM,所以而=|XM=|(^S+

AC),

又混=xAP(x>0),AC=yAQ^y>0),則而=^AP+^AQ,

而P,G,Q三點(diǎn)共線，所以：+g=L即x+y=3,

則上+工=4（%+2）+@+1）]（±+工）=14+整+—+1]245+2修例=必=

x+2y+16LV'7\x+2y+lJ6Ly+1x+2J6[y]y+1x+26

3

2f

當(dāng)且僅當(dāng)上=曳匕2即x=2,y=l時(shí)取等號(hào).

y+1x+2,

故選：B.

【題型2利用平面向量基本定理求參數(shù)】

【例2】（2024?湖南益陽(yáng)?一模）在平行四邊形28CD中，BE-jfiC,AF=^AE,若灰=小屈+n而，則

m+n=（）

A.-B.-C.-D.1

326

【解題思路】利用平面向量的線性運(yùn)算求出m,幾即可求出加+n.

【解答過(guò)程】由題意如圖所示：

因?yàn)榉?：版=式荏+甌）

^lAB+^AD^mAB+nAD,

所以tn=-,n=-,

36

1

所以m+n=-,

故選：B.

【變式2-1]（2024?陜西西安?一模）在△ABC中，點(diǎn)。是線段4C上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，且無(wú)=市,

AP^^AB+AAC,則2=（）

1125

A.-B.-C.-D.-

6336

【解題思路】依題意可得前=2而，即可得到族=|荏+2元而，再根據(jù)平面向量共線定理的推論得到|十

2A=1,解得即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)榉?市，所以而=:就，即尼=2而,

又存=|屈+2尼，所以?=|屈+2；C詬，

因?yàn)辄c(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，即B、P、。三點(diǎn)共線，

所以2+22=1,解得;1=士

36

故選：A.

【變式2-2]（2024?湖南邵陽(yáng)?三模）在平行四邊形4BCD中，4C與BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)E滿足反=4反，OE=

AAC+[1BD,則；1-〃=（）

A.--B.--C.-D.-

4242

【解題思路】由平面向量的線性運(yùn)算可得荏=;左+9而，即可求出尢〃的值，進(jìn)而求出；1—〃.

88

【解答過(guò)程】因?yàn)榍?反+胃=反+|而=方+《（而一擊）

=-OC+-OD=-AC+-JD,

4488

又因?yàn)辂?2前+〃麗，

所r*r*以[\J2131131

8,Tu=-8,A—ru=-8----8=—4.

故選：A.

【變式2-3]（2024?陜西榆林?三模）在△ZBC中，E在邊上，且EC=3BE,。是邊48上任意一點(diǎn)，AE^CD

交于點(diǎn)P,若麗=久刀+、方，則3x+4y=（）

A.-3B.--3C.3D.-3

44

【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算，得而=謂+麗=1方+?-荏，再利用平面向量基本定理，可

得X=—然后就可得到結(jié)果.

44

【解答過(guò)程】???4P、E三點(diǎn)共線，設(shè)前=tE4(0<t<1),

則方=CE+~EP=^CB+tEA=|CS+t(GA-河)=tcX+

又,而=萬(wàn)方+丫而，所以x=t,y=|-|t,即3x+4y=3.

故選：C.

【題型3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】

【例3】(2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系久。y內(nèi)，已知點(diǎn)4(—1,1),屈=(1,—2),則礪=()

A.(2,-3)B.(0,-1)C.(-2,3)D.(0,1)

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算，即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)4(一1,1),荏=(1,—2),則65=(—1,1),

可得而=+屈=(-1,1)+(1,-2)=(0,-1).

故選:B.

【變式3-1](2024?河北?模擬預(yù)測(cè))在正六邊形ABC。所中，直線即上的點(diǎn)M滿足前=芯+小前，則

m=()

A.1B.-C.-D.-

234

【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法列關(guān)于6的方程，解之即可求得m的值.

【解答過(guò)程】在正六邊形ABCDEE中，以A為原點(diǎn)，

分別以2B,4E所在直線為居y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

不妨令A(yù)B=1,^71(0,0),C(|,y),D(l,V3),M(t,A/3),

AC=(|,y),XO=(1,V3),4M=(t,V3),

t=-+m(_i

4,解之得17n—5

{V3=^+V3mlt=2

【變式3-2](2024?河南關(guān)B州?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)A,B,C,。為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若麗=2萬(wàn)5-3反，

且前=(-2,1),則荏=()

A.(4,一2)B.(-4,2)C.(6,-3)D.(-6,3)

【解題思路】由已知整理可得荏=3尼，然后由坐標(biāo)運(yùn)算可得.

【解答過(guò)程】由前=2育一3瓦得麗+市=3育-3反，BPB1=3CA,即荏=3就，

又前=(-2,1),所以荏=3前=(-6,3).

故選：D.

【變式3-3](2024?寧夏銀川?二模)已知向量五二(2,—3),B=(1,2),8=(9,4),若"mHnB,則m+九=

()

A.5B.6C.7D.8

【解題思路】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】由題意，得3=(2m+弭-3??1+2幾)=(9,4),

所以｛解得｛巾=1，

所以m+n=7.

故選：C.

【題型4由向量共線(平行)求參數(shù)】

【例4】(2024?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè))已知向量江=(1,2)1=(尢-1)]=(〃,一1),若0+>IIb,則4+〃=

()

A.-2B.-1C.0D.1

【解題思路】由向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.

【解答過(guò)程】由條件可得五+d=(1+〃,1)

因?yàn)?+1||b,

所以—(1+〃)=a

所以a+〃=—1

故選：B.

【變式4-1](2024.河南南陽(yáng)?一模)已知向量2=(1,—2),3=⑶―1),0=(—4,%),若2^+3,"限向共

線，則實(shí)數(shù)x的值為()

A.-7B.3C.3或一7D.-3或7

【解題思路】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)榻?(l,-2),b=(x,-l),c=(-4,%),所以2江+另=(2+x,-5),a-c=(5,-2-x).

因?yàn)?N+3,N—共線，所以(2+x)x(-2—x)—(―5)x5=0,解得x=3或x=—7.

又22+江日一3反向共線，代入驗(yàn)證可知x=3時(shí)為同向，舍去.

而x=—7滿足條件，所以x=-7.

故選：A.

【變式4-2](2024?內(nèi)蒙古包頭?三模)已知向量江=(1,—1),b=(m+l,2m-4),若值+B)〃Q—3),

則?n=()

A.4B.3C.2D.1

【解題思路】結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行定義計(jì)算即可得.

【解答過(guò)程】由2=b-(jn+1,2m-4),

則N+3=(m+2,2m—5),a.—b=(—m,3—2m),

由Q+h)//(a—b),則有(m+2)(3—2m)+m(2m—5)=0,

即6-6m=0,故m=1.

故選：D.

【變式4-3](2024?貴州貴陽(yáng)?二模)已知向量日=(l,-2),b=(2,%),若(3a一月)〃R+2司，則實(shí)數(shù)X=()

A.2B.1C.0D.-4

【解題思路】借助向量坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得.

【解答過(guò)程】32-3=(1,-6-x),a+2b=(5,2%-2),

由(32-b)//(a+2b),則有1x(2x-2)-5x(-6一x)=0,

解得％=-4.

故選：D.

【題型5利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)】

【例5】(2024?陜西寶雞?三模)己知向量2=⑺,2)與3=(—2,-4)共線，則22—3=()

A.(10,8)B.(4,8)C.(0,0)D.(1,2)

【解題思路】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示即可求解

TT

【解答過(guò)程】因?yàn)閍=(m,2)fb=(—2,—4)共線，

所以-47n=-4,解得m=l,

所以a=(1,2)=>2a=(2,4),

~TT

所以2a—b=(4,8).

故選：B.

【變式5-1](2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知M(4,—2),N(—6,—4),且加=一視而，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(1,1)B.(9,-1)C.(-2,2)D.(2,-1)

【解題思路】由M,N的坐標(biāo)得出而，設(shè)點(diǎn)P(x,y),得出前F,根據(jù)加=-1而列出方程組求解即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)镸(4,-2),N(—6,—4),

所以_[而=-|(-10,-2)=(5,1),

設(shè)P(x,y),則而=(x-4,y+2),

又麗=

所以*<=-r

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9,—1).

故選：B.

【變式5-2](2024.河北邯鄲.三模)已知向量2=(皿2)與3=(—2,—4)共線，則3N—3=()

A.(1,10)B.(5,10)C.(5,2)D.(1,2)

【解題思路】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式建立方程，解得參數(shù)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得答案.

【解答過(guò)程】因?yàn)榻?，所?一4)xm=2x(-2),解得m=1,

所以32-b=3(1,2)-(-2,-4)=(5,10).

故選：B.

【變式5-3](2024?陜西寶雞?一模)設(shè)向量五=(2,-1),b=若向量江與江一反共線，則石+另=()

A.(—2,1)B.(—2,—1)C.(—4,2)D.(—2,—4)

【解題思路】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求出m的值，再由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求五+改

【解答過(guò)程】向量五二(2,—1),b=(jn,2),貝囁一3二(2—TH,—3),

若向量d與Z—反共線，有2義(-3)=—(2—爪)，解得巾=-4,貝悟=(—4,2),

所以d+b=(-2,1).

故選：A.

【題型6向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算解決幾何問(wèn)題】

【例61（23-24高一下?河南鄭州?期中）如圖，在直角梯形2BCD中,4B||DC,AD1DC,AD=DC=2AB=4,

E為2D的中點(diǎn)，若5=4厘+〃礪（尢則4+〃的值（）

【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，由襦=ACE+廊（入平eR）,利用向量相等求解.

【解答過(guò)程】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：

則D(0,0),C(4,0),4(0,4),8(2,4),E(0,2),

所以需=(-4,4),CE=(-4,2),DB=(2,4),

因?yàn)橐遥?4無(wú)+〃礪(尢4eR),

所以(—4,4)=4(—4,2)+以2,4),

則『沉沈］解得―

所以4+〃=g,

故選：B.

【變式6-1］（2024?江蘇南通?二模）如圖，點(diǎn)C在半徑為2的48上運(yùn)動(dòng)，NAOB=若赤=小瓦？+九麗,

則m+n的最大值為（）

B,

y

OA

A.1B.V2C.乎D.V3

【解題思路】建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)乙40C=a,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到私”與a的關(guān)系，進(jìn)而得到根+〃

關(guān)于a的三角函數(shù)表達(dá)式，利用輔助角公式整理后，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值.

【解答過(guò)程】以。為原點(diǎn)、市的方向?yàn)閤軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，

則有色？=(2,0),OB=(1,V3).

設(shè)乙4OC=a,則OC=(2cosa,2sina).

由題意可知了臂n；2cosa

所以TH+71=cosa+jsina=手sin(a+

因?yàn)閍e[0,外,所以a+1殍用,

故加+n的最大值為竽.

故選：C.

【變式6-2](23-24高一下?安徽合肥?期中)設(shè)。為△力BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足2瓦？-7布-3反=6,

則A4BC的面積與ABOC的面積的比值為()

A.2.5B.3C.3.5D.4

【解題思路】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，8c所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)8(0,0)、C(a,0)(a力0)、

A(b,c),。(皿m，根據(jù)已知條件求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.

【解答過(guò)程】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，8C所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)0)(aW0)、A(b,c)>O(jn,n),

則。4=(b—m,c—n),OB={-m,—ri),OC=(a—m,—ri),

由2市一7而一3瓦=6可得戶。f3匕+26：。，解得加=，一4，n=--c,

i8n+2c=0844

ShABC

所以,S^ABC=^|ac|,S^B0C=1|a|x|c|=\ac\,因此,=4.

2248S&BOC

故選：D.

【變式6-3](23-24高三上.江蘇揚(yáng)州.階段練習(xí))已知直角梯形2BCD中，AD//BC,乙4DC=90。，2。=2,

BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|西+3麗|的最小值為()

A.-4B.5C.-5D.4

【解題思路】以D4DC為%,y軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示求模長(zhǎng)的最小值.

由題：以D4DC為%,y軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：

^C(0,a),P(0,b),B(l,a)M(2,0),0<b<a,

則方+3PB=(2,-fa)+3(1,a—b)=(5,3a-4b)

\PA+3網(wǎng)=J25+(3a-46)2>5,當(dāng)匕=半取得最小值5.

故選:B.

【題型7由向量線性運(yùn)算解決最值和范圍問(wèn)題】

【例7】(23-24高三?全國(guó)?階段練習(xí))在直角梯形A8C。中方?麗=0,NB=30。，AB=2陋,BC=2,點(diǎn)、

￡為2C邊上一點(diǎn)，且族=比屈+y而，貝反y的取值范圍是()

A.(-8,0B.[0,|]C.[0,f]D.[j,2V3]

【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.

【解答過(guò)程】建立如圖所示的直角坐角坐標(biāo)系，過(guò)C作CF14B,垂足為F,

因?yàn)镹B=30°,BC=2,

=CF=2sin30°=1,BF=2cos30°=V3,

^(0,0),B(2V3,0),C(V3,1),￡)(0,1),設(shè)E(a,6),BE=mBC(me[0,1]),

因此有(a-2V3,b)=m(-V3,1)今卜一28=-V3m今卜=2百一V3m

(b=m(b=m

因?yàn)檐?%^+y同,

y/3a

a=2A/3XX=——

所以有(a,b)=x(2y/3,0)+y(0,1)=(2y/3x,y)=>6

b=yy=b

而ja=2V3—V3m,

(b=m

所以第y=—(2V3—V3m)m=(1—-m)m=~~(m—l)2+

6222

當(dāng)zn=l時(shí)，孫有最大值點(diǎn)當(dāng)血=0,孫有最小值0,

所以孫的取值范圍是

故選：B.

【變式7-11（23-24高一下?山東?期中）在矩形A8CQ中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)A為圓心的單

位圓上.若9=4荏+〃通（尢〃eR）,貝iU+〃的最大值為（）

A.3B.V5C.—D.2

2

【解題思路】構(gòu)建直角坐標(biāo)系，令而=（cose,sin。），66[0,2%），根據(jù)向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程組

得cost=2〃，結(jié)合輔助角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.

sm6=A

【解答過(guò)程】構(gòu)建如下直角坐標(biāo)系：AB=（0,1）,^40=（2,0）,令羽=（cosasin。），8G[0,2/r）,

則4+〃=sin。+=-ysin(0+g)且tang=

所以當(dāng)sin(。+0)=1時(shí)，4+〃的最大值為手.

故選：C.

【變式7-21(23-24高三上.山西.階段練習(xí))在等腰直角△ABC中，。為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為△ACD內(nèi)

一點(diǎn)(含邊界)，若?=加+流，則泄取值范圍為()

【解題思路】設(shè)48=ac=4,以2為原點(diǎn)，AB,旅的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向

量相等，即可求出2的取值范圍.

【解答過(guò)程】設(shè)4B=4C=4,以力為原點(diǎn)，AB,前的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，則而=

7(4,0)+2(0,4)=(1,44).要使點(diǎn)。為4&CD內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)，直線=x,8C:x+y=4,所以1W42W3,

4

即；4W

44

故選：D.

【變式7-3](23-24高一下?山西朔州.階段練習(xí))在矩形ABC。中，2B=聲，BC=遮，P為矩形內(nèi)一點(diǎn),

且2P=,若Q=4存+〃而(4,〃eR),則近4+島的最大值為()

AV5DVioc3+V3nV6+3V2

A.—D.C.----D.-----------

2244

【解題思路】由題意，以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，以4B所在直線為x軸，4。所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

0

X-V-5cos

設(shè)p@,y),根據(jù)題中條件，得至聽(tīng)二阻，/+/=/〉。/>。)，令,20G化

■e

y-V25s1npr

求式子為遙％+V^z=x+y=￥sin(0+9,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出最值.

【解答過(guò)程】由題意，以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，以4B所在直線為久軸，4。所在直線為y軸，建立如圖所示的平面

直角坐標(biāo)系，

則4(0,0),B(V5,0),￡)(0,V3),設(shè)PQc,y),

則而=(x,y),AAB+(1AD=(V52,V3/z),

因?yàn)槎?2荏+〃布(4,〃CR),所以卜=噂'，

(y=V3〃

又P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且4P=與貝！J/+y2=2>0,y>0),

24

X-VT5ce

不妨令4OmS

y-VT5s0

則逐/1+A/3/Z=%+y=Y(cos0+sin。)=sin(6+*

又0?0,9,所以9+為&m,

因此，當(dāng)。=抑，手sin(。+習(xí)取得最大值手，

即+百〃的最大值為

1.(2022?全國(guó)?高考真題)已知向量石=(3,4)/=(1,0)第=之+S，a,c>=<b,c>,則t=()

A.-6B.—5C.5D.6

【解題思路】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得

【解答過(guò)程】解：c=(3+t,4),coscosc>,BP9+f^16=筆，解得t=5,

<a,c>=<b,51cl|c|

故選：C.

2.(2023?全國(guó)?高考真題)已知向量N=(1,1),B=若Q+高)10+〃3),則()

A.a+〃=iB.a+〃=—1

C.A/i=1D,4〃=—1

【解題思路】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出五+2九五+〃丸再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【解答過(guò)程】因?yàn)槲?(1,1),b—(1,—1),所以五+Xb-(1+A,1—A),a.+林b-(1+出1—〃)，

由Q+Xb)1(a+可得,(a+Ah)*(a+=0,

即(1+4)(1+〃)+(1—4)(1—〃)=0,整理得：2〃=一1.

故選：D.

3.(2024?全國(guó)?高考真題)設(shè)向量4=(久+1,%)4=(%,2),貝1()

A.“無(wú)=—3”是*1亦的必要條件B."x=1+遮”是％〃戶的必要條件

C.“x=0”是*1戶的充分條件D.“x=-1+遮”是2〃鏟的充分條件

【解題思路】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【解答過(guò)程】對(duì)A,當(dāng)213時(shí)，貝展不=0,

所以“(x+l)+2x=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)x=0時(shí)，2=(1,0),3=(0,2),故鼠3=0,

所以a13,即充分性成立，故c正確；

對(duì)B,當(dāng)2〃那寸，貝眨(x+l)=%2,解得x=i土百，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)x=-l+V^時(shí)，不滿足2(x+1)=/,所以五〃另不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

4.(2022.天津.高考真題)在AABC中，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足荏=2就.記?1=%荏=3,用匕3表

示礪=與-為，若ABIDE,則N4CB的最大值為?.

226

【解題思路】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出反，以｛五，司為基底，表示出荏，赤，由AB1

DE可得3留+彥=4。出再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點(diǎn)E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),B(l,0),C(3,0),a(x,y),由10E可得點(diǎn)4的軌跡為以

”(-L0)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(x+l)2+y2=4,即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)C4與。M

相切時(shí)，NC最大，即求出.

【解答過(guò)程】方法一:

DE=CE-CD=^b-^a,AB=CB-~CA-a,ABLDE(3b-a)?(