2025年二項式定理試題及答案

二項式定理試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共25分）

1.若\((a+b)^n\)展開式的中間項是\(T_{k+1}\)，則\(T_{k+1}\)的系數(shù)為（）

A.\(C_n^{\frac{n}{2}}\)

B.\(C_n^{\frac{n-1}{2}}\)

C.\(C_n^{\frac{n+1}{2}}\)

D.\(C_n^{\frac{n-2}{2}}\)

2.若\((2x-3)^n\)展開式中\(zhòng)(x^3\)的系數(shù)為12，則\(n\)的值為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.若\((a+b)^n\)展開式的末項系數(shù)為80，則\(n\)的最小值為（）

A.4

B.5

C.6

D.7

4.若\((3x-2y)^n\)展開式中\(zhòng)(x^2y^3\)的系數(shù)為720，則\(n\)的值為（）

A.4

B.5

C.6

D.7

5.若\((2x+y)^n\)展開式中\(zhòng)(x^4y^2\)的系數(shù)為90，則\(n\)的值為（）

A.3

B.4

C.5

D.6

二、填空題（每題5分，共25分）

1.若\((a+b)^n\)展開式中\(zhòng)(x^3y^2\)的系數(shù)為90，則\(n\)的值為________。

2.若\((x+1)^n\)展開式中\(zhòng)(x^5\)的系數(shù)為5，則\(n\)的值為________。

3.若\((a+b)^n\)展開式的末項系數(shù)為80，則\(n\)的最小值為________。

4.若\((2x-3)^n\)展開式中\(zhòng)(x^3\)的系數(shù)為12，則\(n\)的值為________。

5.若\((a+b)^n\)展開式中\(zhòng)(x^4y^3\)的系數(shù)為720，則\(n\)的值為________。

三、解答題（每題15分，共30分）

1.求\((3x-2)^5\)的展開式中\(zhòng)(x^2\)的系數(shù)。

2.若\((2x+y)^n\)展開式中\(zhòng)(x^3y^2\)的系數(shù)為120，求\(n\)的值。

四、解答題（每題15分，共30分）

3.若\((x-2y)^n\)展開式中\(zhòng)(x^2y^3\)的系數(shù)為80，求\(n\)的值。

4.若\((x+2)^n\)展開式中\(zhòng)(x^4\)的系數(shù)為120，求\(n\)的值。

五、應用題（每題20分，共40分）

5.一個長方體的長、寬、高分別為\(2x\)、\(3x\)、\(4x\)，求長方體表面積的\((x-1)^2\)展開式中的\(x^3\)項的系數(shù)。

6.若\((x+y)^n\)展開式中\(zhòng)(x^2y^3\)的系數(shù)為80，且\(x^3y\)的系數(shù)為24，求\(n\)的值。

六、證明題（每題25分，共50分）

7.證明：對于任意正整數(shù)\(n\)，\((1+x)^n\)的展開式中\(zhòng)(x^k\)的系數(shù)等于\(C_n^k\)。

8.證明：對于任意正整數(shù)\(n\)，\((1-x)^n\)的展開式中\(zhòng)(x^k\)的系數(shù)等于\((-1)^kC_n^k\)。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題5分，共25分）

1.B

解析思路：根據(jù)二項式定理，展開式的中間項是\(T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k\)，系數(shù)即為\(C_n^k\)，所以答案為B。

2.B

解析思路：\((2x-3)^n\)展開式中\(zhòng)(x^3\)的系數(shù)為\(C_n^3\cdot2^3\cdot(-3)^{n-3}\)，令其等于12，解得\(n=3\)。

3.B

解析思路：\((a+b)^n\)展開式的末項系數(shù)為\(C_n^{n-1}\cdota\cdotb^{n-1}\)，即\(C_n^{n-1}\cdota\cdotb^{n-1}=80\)，由于\(a\)和\(b\)均為正數(shù)，\(n\)的最小值為5。

4.B

解析思路：\((3x-2y)^n\)展開式中\(zhòng)(x^3y^2\)的系數(shù)為\(C_n^3\cdot3^3\cdot(-2)^{n-3}\cdotC_n^2\cdot(-2)^{n-2}\)，令其等于720，解得\(n=5\)。

5.C

解析思路：\((2x+y)^n\)展開式中\(zhòng)(x^4y^2\)的系數(shù)為\(C_n^4\cdot2^4\cdotC_n^2\cdoty^2\)，令其等于90，解得\(n=5\)。

二、填空題（每題5分，共25分）

1.6

解析思路：\((a+b)^n\)展開式中\(zhòng)(x^3y^2\)的系數(shù)為\(C_n^3\cdota^3\cdotb^2\)，由于\(a\)和\(b\)均為正數(shù)，\(n\)的值為6。

2.5

解析思路：\((x+1)^n\)展開式中\(zhòng)(x^5\)的系數(shù)為\(C_n^5\cdot1^5\cdotC_n^{n-5}\cdot1^{n-5}\)，由于\(1\)的任意次冪均為1，\(n\)的值為5。

3.5

解析思路：\((a+b)^n\)展開式的末項系數(shù)為\(C_n^{n-1}\cdota\cdotb^{n-1}\)，即\(C_n^{n-1}\cdota\cdotb^{n-1}=80\)，由于\(a\)和\(b\)均為正數(shù)，\(n\)的最小值為5。

4.3

解析思路：\((2x-3)^n\)展開式中\(zhòng)(x^3\)的系數(shù)為\(C_n^3\cdot2^3\cdot(-3)^{n-3}\)，令其等于12，解得\(n=3\)。

5.6

解析思路：\((a+b)^n\)展開式中\(zhòng)(x^4y^3\)的系數(shù)為\(C_n^4\cdota^4\cdotb^3\)，由于\(a\)和\(b\)均為正數(shù)，\(n\)的值為6。

三、解答題（每題15分，共30分）

1.系數(shù)為-40

解析思路：\((3x-2)^5\)展開式中\(zhòng)(x^2\)的系數(shù)為\(C_5^2\cdot3^2\cdot(-2)^{5-2}\)，計算得系數(shù)為-40。

2.\(n=4\)

解析思路：\((2x+y)^n\)展開式中\(zhòng)(x^3y^2\)的系數(shù)為\(C_n^3\cdot2^3\cdotC_n^2\cdoty^2\)，令其等于120，解得\(n=4\)。

四、解答題（每題15分，共30分）

3.\(n=4\)

解析思路：\((x-2y)^n\)展開式中\(zhòng)(x^2y^3\)的系數(shù)為\(C_n^2\cdotx^2\cdot(-2y)^{n-2}\)，令其等于80，解得\(n=4\)。

4.\(n=5\)

解析思路：\((x+2)^n\)展開式中\(zhòng)(x^4\)的系數(shù)為\(C_n^4\cdotx^4\cdotC_n^{n-4}\cdot2^{n-4}\)，令其等于120，解得\(n=5\)。

五、應用題（每題20分，共40分）

5.系數(shù)為-480

解析思路：長方體表面積為\(2(2x\cdot3x+2x\cdot4x+3x\cdot4x)\)，展開\((x-1)^2\)得\(x^2-2x+1\)，所以\(x^3\)項的系數(shù)為\(2(2x\cdot4x+3x\cdot4x)\cdot(-1)=-480\)。

6.\(n=6\)

解析思路：\((x+y)^n\)展開式中\(zhòng)(x^2y^3\)的系數(shù)為\(C_n^2\cdotx^2\cdotC_n^{n-2}\cdoty^3\)，\(x^3y\)的系數(shù)為\(C_n^3\cdotx^3\cdotC_n^{n-3}\cdoty\)，根據(jù)題意得到兩個方程，解得\(n=6\)。

六、證明題（每題25分，共50分）

7.證明：\((1+x)^n\)展開式為\(C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+\ldots+C_n^kx^k+\ldots+C_n^nx^n\)，其中\(zhòng)(C_n^k\)表示組合數(shù)，根據(jù)組合數(shù)的性質，\(C_n^k=C_n^{n-k}\)，所以\(x^k