2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：等比數(shù)列

第三節(jié)等比數(shù)列

課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)

預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)從以下兩個(gè)角度來(lái)考查：

1.理解等比數(shù)列的概念.(1)等比數(shù)列及其前〃項(xiàng)和的基本運(yùn)算與性質(zhì)，

2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.可能與等差數(shù)列綜合出題，難度較?。?2)等

3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.比數(shù)列的綜合應(yīng)用，可能與函數(shù)、方程、不

等式結(jié)合考查，難度中檔.

必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.等比數(shù)列的概念

(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于畫(huà)同一個(gè)常數(shù),那么

這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然#0).

數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：衛(wèi)=畫(huà)式w22,q為非零常數(shù)).

〃〃一1

(2)等比中項(xiàng)：如果在。與6中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,6成等比數(shù)列，那么G叫做a與b

的等比中項(xiàng).此時(shí)32=畫(huà)磴.

提醒:⑴“G2=a)”是“a,G,6成等比數(shù)列”的必要不充分條件.

(2)只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號(hào)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

(3)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同.

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式

(1)若等比數(shù)列｛a.｝的首項(xiàng)為可，公比是分則其通項(xiàng)公式為斯=畫(huà)力仁1；

nm

通項(xiàng)公式的推廣：an=amq~.

(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=l時(shí)，Sn=nai；當(dāng)申時(shí)，S“=畫(huà)也［：):.

3.等比數(shù)列的性質(zhì)

已知｛斯｝是等比數(shù)列，S,是數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.

(1)若女+/=m+〃(左，I,m,n€N*),則有內(nèi)回=叵同生皿.

(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即公，ak+m,詼+2如…仍是等比數(shù)列，公比為

（3）當(dāng)行一1,或q=—1且〃為奇數(shù)時(shí)，S?,S2?-Sn,S3,,—S2“，…仍成等比數(shù)歹U,其公比為畫(huà)

常用

1.若數(shù)列｛斯｝,｛勿｝（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，貝IJ數(shù)列｛w｝（分0）,｛%|｝,｛屆｝,［十，｛。,瓦｝,

（到也是等比數(shù)列.

2.由斯+i=qa”，q半0,并不能立即斷言｛斯｝為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證內(nèi)加.

3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q=l與分類(lèi)討論，防止因忽略4=1

這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.

4.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為*尤，xq；四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為千，?

xq,xq5.

5.若已知等比數(shù)列｛④｝,公比為q,前九項(xiàng)和為S"則二^-=言/+為=勿〃

-W0,^1）,即S”為關(guān)于〃的指數(shù)型函數(shù)，且q"的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).

6.｛斯｝為等比數(shù)列，若am…則T”，景,要，…成等比數(shù)列.

7.若｛詼｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，貝U｛logca"｝（c>0,存1）為等差數(shù)列.

8.若｛斯｝為等差數(shù)列,則｛ca〃｝（c>0,存1）為等比數(shù)列.

9.若｛斯｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列=｛詼｝是非零常數(shù)列.

10.（1）項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)，在等比數(shù)列｛④｝中，公比為/

①若共有2”項(xiàng)，貝!IS假：S奇=q；

②若共有2n+1項(xiàng)，則%包=%

3偶

n

（2）分段求和：Sn+m=Sn~\~qnSm=q=&—一為公比）.

11.等比數(shù)列的單調(diào)性

當(dāng)4>1,句>0或5<0時(shí),｛%｝是遞增數(shù)列；

當(dāng)q>l,m<0或0<q<l,的>0時(shí)，｛“”｝是遞減數(shù)列；

當(dāng)4=1時(shí)，｛詼｝是常數(shù)列.

診斷自測(cè)

1.概念辨析(正確的打W"，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)三個(gè)數(shù)mb,C成等比數(shù)列的充要條件是反=℃.()

(2)數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，則S4,S8-S4,S12—S8成等比數(shù)列.()

⑶滿(mǎn)足*1=M(，7€N*,4為常數(shù))的數(shù)列｛為｝為等比數(shù)列.()

(4)如果數(shù)列｛詼｝為等比數(shù)列，則數(shù)列｛In斯｝是等差數(shù)列.()

答案(l)x(2)x(3)x(4)x

2.小題熱身

(1)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛詼｝的前4項(xiàng)和為15,且的=3。3+46，則侑=()

A.16B.8

C.4D.2

答案C

fai+ai<7+tzi<72+<7i<73=15>

解析設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝的公比為小貝乂42,解得

團(tuán)1=1，

1一2所以。3=?？?=4.故選C.

(2)若等比數(shù)列｛跖｝的前”項(xiàng)和S〃=3"+b,則6=()

A.3B.1

C.-1D.0

答案C

解析當(dāng)”=1時(shí)，m=Si=3+6,當(dāng)兒22時(shí)，斯=5”一5"—1=(3"+6)-(3『1+3=2351,當(dāng)

6=—1時(shí),。1=2適合a”=2?3"-i,｛斯｝是等比數(shù)列.當(dāng)厚一1時(shí)，的不適合詼=2?3"-1,｛an｝

不是等比數(shù)列.故選C.

(3)(人教A選擇性必修第二冊(cè)4.3.1練習(xí)T2改編)在等比數(shù)列｛詼｝中，的=2,s=8,則°5=()

A.5B.±5

C.4D.+4

答案C

解析,底=°3。7=2義8=16,，。5=±4.又。5=a3q2>。，，。5=4.故選C.

(4)(人教A選擇性必修第二冊(cè)432練習(xí)T4改編)已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13,

積等于27,則這三個(gè)數(shù)為.

答案1,3,9或9,3,1

。+北的=13，卜=3，g=3，

解析設(shè)這三個(gè)數(shù)為Sa,aq,貝、解得＜1或＜，這三個(gè)數(shù)為1,

qIa”q=a〔4=3，

\jzqaq=27，［乜3

3,9或9,3,1.

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算

例1(1)(2023?全國(guó)甲卷)設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前w項(xiàng)和為S“，若?=1,$5=

5加一4,則$4=()

15「65

AA-TB.g

C.15D.40

答案C

解析由題意知l+q+q2+g3+g4=5(]+q+g2)—%gp^3_|_^4—即以g—2)(q+l)(q

+2)=0.由題意知4>0,所以q=2,所以$4=1+2+4+8=15.故選C.

39

(2)在等比數(shù)列｛斯｝中，a3=2>$3=]，則。2的值為()

3

A.2B.—3

C.—D.—3或方

答案D

解析由S3=ai+〃2+〃3=〃3(9-2+9一1+1),得/2+g-1+1=3,即2/一夕―i=0,解得夕=

1或4=一所以42='=1或一3.故選D.

【通性通法】

等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略

等比數(shù)列的基本量為首項(xiàng)at和公比q,通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和

方程思想

公式列方程(組)求解，等比數(shù)列中包含⑶，q,n,an,S“五個(gè)量，可“知三求二”

當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí)，可將已知和所求都用的，q表示，尋求兩者間的聯(lián)系，

整體思想

整體代換即可求解

分類(lèi)討論若題目中公比q未知，則運(yùn)用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式時(shí)要分q=l和qWl兩種情

思想況進(jìn)行討論

【鞏固遷移】

1.（2024?福建泉州中學(xué)階段考試）記S”為等比數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，若4一的=12,期一國(guó)=

24,貝嚕=（）

A.2"~1B.2-21-"

C.2一2"一1D.2廣"一1

答案B

j。5-。3=。均4一，ftZl=1，

解析解法一：設(shè)等比數(shù)列｛“〃｝的公比為q,則由彳_53_?解得彳_c所

-。4—aiq-ct\Q_24，[q—2，

以S"="1?[4）=2"T,詼=刃/-1=2"-1,所以==W3=2—21".故選B.

解法二：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,因?yàn)?衛(wèi)二。4了；-4號(hào)=2,所以q=2,所

1

。5一。3。3（夕1）〃3121

（1—始）

i—q2〃一]L〃,,、生「

以一n-\—o鹿-1—2—2.故選B.

anaiq2

2.（2023?全國(guó)甲卷）記&為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若8s6=7S3,則｛〃〃｝的公比為.

答案一:

解析若q=l,則由8s6=7S3得8-6的=7?3的，則。1=0,不符合題意，所以存1.當(dāng)好1時(shí)，

因?yàn)?56=75，所以8?一匚二一=7--=—,即8（1一統(tǒng)）=7（1—“3）,即8（1+?3）（1一

爐）=7（1—?3）,即8（l+q3）=7,解得q=一/

考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（多考向探究）

考向1等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)

例2⑴在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛詼｝中，已知0＜勾＜1,其前〃項(xiàng)之積為T(mén).,且『2=外，

則G取得最小值時(shí)，〃的值是.

答案9

解析由712=7^,得關(guān)^=1'即07。8。9。10。11。12=（。9。10）3=1,故°9。10=1，因?yàn)椤?。18=。9410,

貝I]01018=1，由于得。18＞1，所以等比數(shù)列｛詼｝是遞增數(shù)列，故貝I。

取得最小值時(shí)，77=9.

12

（2）（2023?湖南師大附中模擬）在等比數(shù)列｛斯｝中，+。2+〃3+。4+。5+。6+。7+〃8=5，〃4〃5

2l,1,111I1,11111

=一三，則nt—|+—+—+—+—+—+—+-=?

5。2。3〃4。5〃6〃7。8-------------------

答案一6

j。1+恁+〃2+〃7+。3+〃6+〃4+〃5

解析x???在等比數(shù)列｛斯｝

a\3ais。4。5"6。7〃8〃1〃8a2a7a3a6〃4〃5

22.,5

中，。4。5=一亍貝U。1。8=。2。7=。3。6=。4〃5=—亍???原式=—](〃1+。2+〃3+〃4+。5+。6+〃7

+〃8)=_|x*-6.

【通性通法】

利用項(xiàng)的性質(zhì)的解題策略

在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件、利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若

策略一

m+n=p+q=2k,貝4Pq=〃針，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度

在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此

策略二

外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用

【鞏固遷移】

3.公比不為1的等比數(shù)列｛念｝滿(mǎn)足〃5〃6+。4〃7=8,若〃2am=4,則根的值為（）

A.8B.9

C.10D.11

答案B

解析?公比不為1的等比數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足。5〃6+〃4〃7=8,，恁恁=團(tuán)劭二%又“2。加=4,.二？

+加=5+6=11,解得機(jī)=9.故選B.

4.（2023?北京東城區(qū)模擬）設(shè)等比數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足〃I+〃2=48,04+05=6,則公比q=,

10g2（〃l〃2〃3…斯）的最大值為?

答案115

解析因?yàn)椤?+。2=48,所以由〃4+。5=6,可得夕3（的+〃2）=6,^3=g,9=3.由。1+。2=48,

1mn_1__

6n546n

可得。1+于1=48=〃1=32,所以an=32-\^J=2~flog2（?i6Z2?3...an）=log2（2-2-...-2~）=

2n(11—n)e“(11—九)1，11Y,121*.

Iog22=-------2-------，因?yàn)?----2-------=—，"一句+~^~，及€N,所以〃=5或6時(shí),

n（11一九）

?有最大值，為

215.

考向2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

例3（1）（2023?新課標(biāo)II卷）記S〃為等比數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和，若&=—5,S6=21S2，則&

=()

A.120B.85

C.-85D.-120

答案C

解析解法一：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,若發(fā)=L則S6=6〃I=3X2〃I=3S2,與題意不符，

tf(1一/)a\(1一成)a\(1一/)…

所以療1；由&=-5,§6=2]§2可何，\=—5,=21x"①，

由①可得，1+如+/=21,解得“2=4,所以&=-；1;.=幻；4)x(l+/)=_5x(l

+16)=-85.故選C.

解法二：設(shè)等比數(shù)列｛?！ǎ墓葹橄?，因?yàn)镾4=—5,S6=21S2，所以行一1,否則S4=0,從

而S2,S4-S2,S6-S4,S8—S6成等比數(shù)列,所以(一5—S2)2=S2(21S2+5),解得S2=-1或S2

=不當(dāng)512=-1時(shí)，S2,S，—Sz,5r6-$4,&—$6,即為一L—4,—16,Ss+21,易知戰(zhàn)+21

=-64,即S8=—85；當(dāng)$2=1時(shí)，54=。1+。2+。3+。4=(。1+〃2)(1+/)=(1+/)S2>0,與S4

=-5矛盾，舍去.故選C.

(2)已知等比數(shù)列｛斯｝共有2〃項(xiàng)，其和為一240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比4

答案2

S奇+5偶=—240,S奇=—80,—160

解析由題意，得，解得，S『T6。，所以打工=-80=2-

S奇一S偶=80,

【通性通法】

等比數(shù)列的性質(zhì)分類(lèi)

類(lèi)型一通項(xiàng)公式的變形

類(lèi)型二等比中項(xiàng)的變形

類(lèi)型三前n項(xiàng)和公式的變形

提醒：應(yīng)用時(shí)根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口.

【鞏固遷移】

5.等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”若—1,貝卜=()

A.2B.-2

C.1D.-1

答案A

解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q,當(dāng)q=l時(shí)，S.=nai，不符合題意；當(dāng)仍4時(shí)，等比數(shù)列的前

w項(xiàng)和公式為?_"〃）=_，?/+—,依題意義=八2『1—1=%2—1,即1+（一

]—q1—q1~q22

1）=0,解得f=2.故選A.

6.（2024?湖南岳陽(yáng)一中月考）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,且S8-2S4=5,則o

+aio+au+ai2的最小值為.

答案20

解析在正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝中，S?>0,因?yàn)镾8—254=5,則S8—S4=5+S4，易知叉，S「SA,

S12—S8是等比數(shù)列，所以（&—S4）2=S4,（Si2—Sg）,所以Sn~S^=q=5^+84+

10》2\S+10=20（當(dāng)且僅當(dāng)S4=5時(shí)取等號(hào)）.因?yàn)椤?+010+111+〃12=S12—S8，所以。9

+〃io+〃ii+〃i2的最小值為20.

考向3等比數(shù)列前〃項(xiàng)和最值問(wèn)題

例4（多選）（2024.河北涿州模擬）設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為9，其前〃項(xiàng)和為％,前〃項(xiàng)積為

CLKY）^1

T,并滿(mǎn)足條件〃2023〃2024>1，、7<。，下列結(jié)論正確的是（）

n“2024—1

A.S2023Vs2024

B.〃2023〃2025—1<0

C.“024是數(shù)列｛4｝中的最大項(xiàng)

D.數(shù)列｛〃｝無(wú)最大項(xiàng)

答案AB

。20231

解析當(dāng)“<0時(shí)，”2023。2024=。布234<。，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，。2023>1，。2024>1，7

02024-1

>0,與已知矛盾，故且。2023>1，0<。2024<1，故52024>$2023，A正確；。2023a2025

—1=血24—1<0,B正確；辦23是數(shù)列｛%｝中的最大項(xiàng)，C,D錯(cuò)誤.故選AB.

【通性通法】

涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問(wèn)題，一般要考慮公比與首項(xiàng)的符號(hào)對(duì)其的影響.

【鞏固遷移】

7.（2023?安徽安慶模擬）已知等比數(shù)列｛?！埃墓葹閝,前“項(xiàng)和為S",若q>0,則須薨的

最小值是.

答案2、”一1

有刀工即*4S1+S3〃i+〃i+〃2+〃32+q+q2(q+1)2—(q+l)+2

解析由題意知，——=-----T------==------Tzd--------=q+l+

02十。21~rql-rq1

臺(tái)一1,又q>0,則〃+1+皆^—1N2限一1，當(dāng)且僅當(dāng)〃=也一1時(shí)，等號(hào)成立.即笠3

的最小值是2吸一1.

考點(diǎn)三等比數(shù)列的判定與證明

例5%為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，己知。4=9“2，$3=13,且公比g>0.

⑴求斯及當(dāng)；

(2)是否存在常數(shù)九使得數(shù)歹U｛S.+2｝是等比數(shù)列？若存在，求出入的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

解⑴易知行1,

a\qi—9a\q’

0(1—cP)—1'

由題意可得〈I)=13,解得.

l—q[q=3，

q>0'

.1-3"3”—1

?"a—3",S—~.T-=5-

nni—Jz

⑵假設(shè)存在常數(shù)加使得數(shù)列｛S〃+4｝是等比數(shù)列，

N+丸=2+1,82+4=4+4,83+4=2+13,

.,.(A+4)2=G+1)(A+13),

解得力=/此時(shí)5〃+3=m<3〃，

5?+I+||x3"+1

則——r=-j—=3,

S"+\2x3"

故存在常數(shù)使得數(shù)歹?S"+3是以方為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

【通性通法】

等比數(shù)列的判定與證明的方法

提醒：(1)在解答題中證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，一般用定義法與等比中項(xiàng)法，判斷一個(gè)數(shù)

列是等比數(shù)列，有通項(xiàng)公式法及前”項(xiàng)和公式法，只用于選擇題、填空題中的判定.

(2)如果要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)的三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.

(3)判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.

⑷在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時(shí)，要注意對(duì)w=l的情形進(jìn)行驗(yàn)證.

【鞏固遷移】

8.(2024?江西撫州一中質(zhì)檢)已知數(shù)列｛%｝,｛6“｝滿(mǎn)足m=1,2an+i=an+^bn，2bn+i

(1)證明：數(shù)歹!J｛a.+d｝,｛詼一瓦｝為等比數(shù)列；

(2)記S”為數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，證明：

2?！?1dn+~^bn'①

證明(1)依題意

2bn+l^an+bn，②

3

又fli+Z?i=2^0,

???｛斯+詞是首項(xiàng)為家3公比為抽3等比數(shù)列,

①一②，得斯+1—d+1="(?！ㄒ黄?.

又。1一兒=&：0,

???｛斯一瓦｝是首項(xiàng)為士，公比為〃的等比數(shù)列.

,3<3￥-1

w=X

(2)由⑴得，an~\~^2\4j'

1/ly-1

—一為=]X⑷,④

基礎(chǔ)鞏固續(xù)

一、單項(xiàng)選擇題

1.已知等比數(shù)列｛詼｝中，。5=9,。3。8=知。2,則。2〃6=（）

A.27B.9

C.±9D.±27

答案A

解析因?yàn)閿?shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，所以。3。8=〃2。9=81〃2，可得。9=81,因?yàn)?5=9,所以

〃59

/=9,/=3,〃3=/=1=3,所以〃2。6=〃3。5=27.故選A.

2.（2023?天津高考）已知｛斯｝為等比數(shù)列，8〃為數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和，即+i=2S〃+2,則。4的

值為（）

A.3B.18

C.54D.152

答案C

解析解法一：因?yàn)閍n+i—2Sn~\~2,所以當(dāng)幾22時(shí)，斯=2S〃—1+2,兩式相減，得斯+i—an

=2斯，即斯+1=3斯，所以數(shù)列｛斯｝是公比4=^^=3的等比數(shù)列.當(dāng)幾=1時(shí)，〃2=2SI+2

=2（2I+2,又〃2=3的，所以3〃i=2ai+2,解得〃1=2,所以〃4="I/=2X33=54.故選C.

解法二：設(shè)等比數(shù)列｛詼｝的公比為q,因?yàn)閍〃+i=2S“+2,所以公比曲,且牛"=2勾

1q

「_24i

a\=2，

+2=一言“'+言+2,所以i—q

20「所以所以Q4=〃iq3=2x33=54.故選

q=3，

1一g一

3.（2024?開(kāi)封模擬）等比數(shù)列｛如｝的前幾項(xiàng)和為S〃=32E+r,貝Ur的值為（）

A-3B--3

C.gD.一g

答案B

解析因?yàn)楣?32〃一1+r=gx9〃+r,由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式中9〃的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反

數(shù)，可知r=—g.

4.已知數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)歹ll，為其前n項(xiàng)和，若〃1+〃2+。3=4,。4+〃5+。6=8,則S12=()

A.40B.60

C.32D.50

答案B

解析數(shù)列S3,Se~S3fSg—SejS12—S9是等比數(shù)列，即4,8,S9—S6JS12—S9是等比數(shù)歹I，

??.SI2=4+8+16+32=60.故選B.

5.(2023?廣東汕頭模擬)數(shù)列｛〃〃｝中，QI=2,am+n=aman,若四+1+。左+2+…+四+io=2*—2§,

貝IJ%=()

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析。1=2,。加+〃=斯四/，令機(jī)=1,則即+i=〃i斯=2斯，???｛“〃｝是以。1=2為首項(xiàng)，q=2為

2Al(1—210)

公比的等比數(shù)列，???4〃=2x2Li=2〃.又以+1+隊(duì)+2+…+〃葉10=215—25,?,?--------..........=

1—2

215-25,即2時(shí)1(210—1)=25(21°—1),???2K1=25,.??2+1=5,?,?攵=4.故選C.

2

6.(2024?蘇北四市模擬)已知函數(shù)啟)=百百，且等比數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足。2〃2023=1，則尬1)+加2)

+…+/(〃2024)=()

A.2024B.1012

C.2D.2

答案A

2,2A21

解析]+/+12+]=2'又〃2。2023=1，所以^2023—?jiǎng)t/(〃2)+/(。2023)=/(〃2)

+a2a2023=…=m012〃1013=L所以fiai)+黃。2)+…

+黃。2024)=1012'[/(。2)+黃。2023)]=2x1012=2024.故選A.

7.(2024.重慶八中階段考試)記日為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和,已知ai=8,?4=-L則數(shù)列

6｝()

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)

B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)

D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

答案A

解析根據(jù)題意，等比數(shù)列｛斯｝中，01=8,<24=-1,則爐=得=一則4=—；，則Sn=

的（1—q"）.若n為奇數(shù)，則S"=竽

此時(shí)有

l-q3

2

Si>S3>...>S?>-y；若〃為偶數(shù)，則S,=號(hào)。一出，此時(shí)有S2<S4<…<S〃〈竽，所以數(shù)列｛S,｝有

最大項(xiàng)N，最小項(xiàng)$2.故選A.

8.(2023?河南鄭州高三第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))己知正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,且的=2,Sn+v(Sn

+1—3")=S〃⑸+3"),貝"2023=()

A.32°23—1B.32023+1

答案

解析因?yàn)镾"+1(S"+1—3")=S,(S"+3"),所以的+1-3"S"+I=S4+3"S”即511一的=3"&+i+

3科,所以(S〃+i+S〃)(S〃+i—S〃)=3"(S〃+i+S")，因?yàn)閿?shù)列｛如｝的各項(xiàng)都是正項(xiàng)，即S〃+i+S,>0,

所以S"+i—S"=3",即%+1=3",所以當(dāng)時(shí)，誓=磊=3,所以數(shù)列｛斯｝從第2項(xiàng)起,

a(]_。2022)

構(gòu)成以〃2=3為首項(xiàng)，q=3為公比的等比數(shù)列，所以S2023="I+\—2+

二、多項(xiàng)選擇題

9.(2023?茂名一模)已知等比數(shù)列｛念｝的前n項(xiàng)和為S”,公比為私則下列說(shuō)法中正確的是()

A.若q>l,則?！?i>〃〃

3

B.若“1=1,4=不則S〃=4一3斯

C.右*〃4+。7=2,〃5。6=8,則。1+〃10=7

D.若〃i=l,〃5=4。3，則斯=2"一i

答案BC

解析對(duì)于A,若的<0且4>1,則斯1<0,???斯+i—斯=斯(4-1)<0,即飆+1<斯，A錯(cuò)

A3Y13

I—⑺I一承“

誤；對(duì)于B,?〃i=i,—4—3anjB正確；對(duì)于C,

由Cl5a6=Cl4cl7得〃4〃7=-8,又〃4+〃7=2,??。4=4,〃7=-2或〃4=-2,47=4,??《

q3=-2.當(dāng)q3=一；時(shí)，〃i+〃io="+〃4q6=」y+4x|

—7；當(dāng)下=-2時(shí)，ai+aio=~3

q

~2

+〃4成==^+(—2)x(—2)2=—7,C正確；對(duì)于D,=。5=4。3，.??q4=4/,得q=一

2或9=2,???〃〃=(—2)〃.或許=2〃-ID錯(cuò)誤.故選BC.

10.(2024?江蘇蘇州期中)已知等比數(shù)列｛〃“｝的公比為4，前愉6N*)項(xiàng)和為與,前〃5WN*)

項(xiàng)積為若。1==,T5=T6,貝！J()

A.q—2

B.當(dāng)〃=6時(shí)，取得最大值

C.當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時(shí)，7；取得最小值

D.S?>Tn的正整數(shù)n的最大值為12

答案AD

解析對(duì)于A,因?yàn)榘?，,，所以期=1=1，因?yàn)?5=案=32,解得q=2,故A正確；對(duì)

于B,因?yàn)?>0,q>\,所以數(shù)列｛即｝是各項(xiàng)為正的遞增數(shù)列，所以S,無(wú)最大值，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)椤?=*，ci6=l，q=2,所以1W〃W5時(shí)，0<斯<1,時(shí)，所以當(dāng)”=

,(1一。")2"—1

5或〃=6時(shí)，7〃取得最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,S“=-a-~~--=—^，G=aQ?俏…斯

1—q2

鹿5-1)八2-11〃八2-11八八2-11丁+10

=由陵+2+…+"-1=(2一5)".22=22,因?yàn)閟.>G，所以2^1>22,即2"-1>22,

“~F??/—lbi+10“、」3—"J12913+V129,,,

所以2”—2>1,即n>2‘所以----2-----<n<------2-----，正整數(shù)n的取大值

為12,故D正確.故選AD.

三、填空題

11.設(shè)S"為等比數(shù)列｛念｝的前〃項(xiàng)和，若“1=3，曷=〃6，則$5=.

處安3

口本3

5

1（1—5）gx（1—3）

解析由質(zhì)=〃6得（。4）2=〃?5,整理得9=2=3.所以S5=61_；=一二一二

12.（2023?全國(guó)乙卷）已知｛斯｝為等比數(shù)列，〃2。4。5=〃3〃6，。9。10=—8,則〃7=

答案一2

解析設(shè)｛念｝的公比為9（療0），則。2〃4。5=。3。6=。29。5/顯然斯加，則。4=才，即。爐=/,

則a.\q=1,因?yàn)椤?的0=-8,則ci\cf-aiq^——8,則q'=（q5）3=—8=（-2）',則爐=—2,則

。7=?？诳?=^=—2.

13.（2024?江西南昌二中階段考試）設(shè)｛詼｝是公比為q的等比數(shù)列，同＞1,令＞=?！?1（"=1,

2,...）,若數(shù)列｛勿｝有連續(xù)四項(xiàng)在集合｛-53,-23,19,37,82｝中，則的=.

答案一9

解析｛仇｝有連續(xù)四項(xiàng)在集合｛-53,-23,19,37,82｝中,bn=an+l,則斯1,｛斯｝

有連續(xù)四項(xiàng)在集合｛-54,—24,18,36,81｝中.又｛出｝是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負(fù)數(shù)項(xiàng),

則q＜0,且負(fù)數(shù)項(xiàng)為相隔兩項(xiàng)，等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值遞增或遞減，按絕對(duì)值由小到大的順

—244463—54

序排列上述數(shù)值為18,—24,36,-54,81,相鄰兩項(xiàng)相除，得==一個(gè)F=—5,

loJ—24230

38］332

=一/,二^=一］，顯然一24,36,—54,81是｛念｝中連續(xù)的四項(xiàng)，鄉(xiāng)=一］或鄉(xiāng)=一］（|切＞1,

3

，此種情況應(yīng)舍去），，9=—2，.?.6q=-9.

14.（2023?湖南益陽(yáng)一模）已知數(shù)列｛〃〃｝中，0=1,即+1=。一；，若bn=~三，則數(shù)列｛兒｝

乙ClnClnL

的前n項(xiàng)和Sn=.

.4"+6"—1

答案—-9一

c111Un2111/7—2

解析由。“+1=5—7，有斯+1—5=2一7=2一-—,即+1—2=5—；7=7?七一.將上述兩式相

乙乙Cln乙盤(pán)〃乙Cln

c—2］

除得到血吟=；.吟，所以'an是以］為公比，*=—2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以

_L4_L斯-04

〃八一22平—12n14n—12n

_3X

r=一斯一2一2?平一］'