2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)分層特訓(xùn)卷主觀題專練立體幾何5文

PAGEPAGE1立體幾何(5)1．[2024·廣東潮州期末]如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，DE＝2eq\r(5)，點F為棱DE的中點．(1)證明：AF∥平面BCE；(2)若BC＝4，∠BCE＝120°，求三棱錐B－CEF的體積．解析：(1)取CE中點M，連接MF，MB.因為F為DE中點，所以MF∥CD，且MF＝eq\f(1,2)CD.因為AB∥CD，且AB＝eq\f(1,2)CD，所以AB∥MF且AB＝MF，所以四邊形ABMF是平行四邊形，所以AF∥BM.又BM?平面BCE，AF?平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)因為AB∥CD，∠ABC＝90°，所以CD⊥BC.因為CD＝4，CE＝2，DE＝2eq\r(5)，所以CD2＋CE2＝DE2，所以CD⊥CE.因為BC∩CE＝C，BC?平面BCE，CE?平面BCE，所以CD⊥平面BCE，則易知點F到平面BCE的距離為2.S△BCE＝eq\f(1,2)BC·CEsin∠BCE＝eq\f(1,2)×4×2sin120°＝2eq\r(3)，所以三棱錐B－CEF的體積VB－CEF＝VF－BCE＝eq\f(1,3)S△BCE×2＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).2．[2024·清華自招]如圖，EA⊥平面ABC，AE∥CD，AB＝AC＝CD＝2AE＝4，BC＝2eq\r(3)，M為BD的中點．(1)求證：平面AEM⊥平面BCD；(2)求三棱錐E－ABM的體積．解析：(1)如圖所示，取BC的中點N，連接MN，AN，則MN＝eq\f(1,2)DC＝AE，MN∥CD∥AE，所以四邊形AEMN為平行四邊形．因為EA⊥平面ABC，AN?平面ABC，所以EA⊥AN，所以四邊形AEMN是矩形，所以EM⊥MN.由題意可得ED＝EB＝2eq\r(5)，因為M為BD的中點，所以EM⊥BD.又EM⊥MN，BD∩MN＝M，所以EM⊥平面BCD.因為EM?平面AEM，所以平面AEM⊥平面BCD.(2)由題可知，V三棱錐E－ABM＝V三棱錐M－ABE，因為MN∥AE，AE?平面ABE，MN?平面ABE，所以MN∥平面ABE，連接NE，則V三棱錐M－ABE＝V三棱錐N－ABE＝V三棱錐E－ABN＝eq\f(1,3)×S△ABN×AE.易得BN＝eq\r(3)，AN＝eq\r(13)，所以S△ABN＝eq\f(1,2)×BN×AN＝eq\f(\r(39),2)，所以V三棱錐E－ABM＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(39),2)×2＝eq\f(\r(39),3).3．[2024·河南洛陽第一次統(tǒng)考]如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等邊三角形，已知AD＝2，BD＝2eq\r(3)，AB＝2CD＝4.(1)設(shè)M是PC上一點，求證：平面MBD⊥平面PAD.(2)求四棱錐P－ABCD的體積．解析：(1)在△ABD中，AD＝2，BD＝2eq\r(3)，AB＝4，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面PAD.又BD?平面MBD，所以平面MBD⊥平面PAD.(2)如圖所示，設(shè)AD的中點為O，則AO＝1，連接PO，易知PO是四棱錐P－ABCD的高，PO＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).又易得S梯形ABCD＝3eq\r(3)，所以四棱錐P－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×eq\r(3)＝3.4．[2024·四川雅安中學(xué)10月月考]如圖，四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝2eq\r(2)，E為CD的中點，點F在線段PB上．(1)求證：AD⊥PC.(2)當滿意V三棱錐B－EFC＝eq\f(1,6)V四棱錐P－ABCD時，求eq\f(PF,PB)的值．解析：(1)連接AC.在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，BC＝2，∠ABC＝45°，由余弦定理可得AC2＝8＋4－2×2eq\r(2)×2×cos45°＝4，所以AC＝2.易知∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AD∥BC，所以AD⊥AC.在△ADP中，AD＝AP＝2，DP＝2eq\r(2)，易知PA⊥AD.又AP∩AC＝A，所以AD⊥平面PAC.因為PC?平面PAC，所以AD⊥PC.(2)因為E為CD的中點，所以S△BEC＝eq\f(1,4)S平行四邊形ABCD，因為平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD，設(shè)F究竟面ABCD的距離為h.因為V三棱錐F－BEC＝V三棱錐B－EFC＝eq\f(1,6)V四棱錐P－ABCD，所以eq\f(1,3)×S△BEC×h＝eq\f(1,6)×eq\f(1,3)×S平行四邊形ABCD×PA，所以h＝eq\f(4,3)，則易得eq\f(PF,PB)＝eq\f(1,3).5．[2024·重慶10月月考]如圖1，在等腰梯形ABCD中，M為AB邊的中點，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，現(xiàn)在沿AC將△ABC折起使點B落到點P處，得到如圖2的三棱錐P－ACD.(1)在棱AD上是否存在一點N，使得PD平行于平面MNC？請證明你的結(jié)論；(2)當平面PAC⊥平面ACD時，求點A到平面PCD的距離．解析：(1)當N為AD的中點時，滿意題意，證明如下：由M，N分別為AP，AD的中點，可得MN為△APD的中位線，所以MN∥PD，又MN?平面MNC，PD?平面MNC，所以PD平行于平面MNC.(2)在等腰梯形ABCD中，由AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，易得∠D＝eq\f(π,3)，AC＝eq\r(3)，AC⊥CD.因為AC⊥CD，平面PAC⊥平面ACD，AC為兩平面交線，CD?平面ACD，所以CD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以CD⊥PC，所以S△PCD＝eq\f(1,2)×PC×CD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2).方法一取AC的中點H，連接PH.由AP＝PC，可知PH⊥AC.又平面PAC⊥平面ACD，AC為平面PAC與平面ACD的交線，所以PH⊥平面ACD.由CH＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),2)，PC＝BC＝1，利用勾股定理求得PH＝eq\f(1,2)，所以V三棱錐P－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD×PH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),12).設(shè)點A到平面PCD的距離為d，由V三棱錐A－PCD＝V三棱錐P－ACD可知，d＝eq\f(3V三棱錐P－ACD,S△PCD)＝eq\f(\r(3),2).所以點A到平面PCD的距離為eq\f(\r(3),2).方法二設(shè)點A到平面PCD的距離為d，則由V三棱錐D－PAC＝V三棱錐A－PCD，可得eq\f(1,3)·S△PAC·CD＝eq\f(1,3)·S△PCD·d.在等腰三角形PAC中，S△PAC＝eq\f(1,2)·AB·BC·sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),4)，所以d＝eq\f(\r(3),2)，所以點A到平面PCD的距離為eq\f(\r(3),2).6．[2024·安徽合肥六中二模]《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)專著，它在幾何方面的探討比較深化．例如：塹堵是指底面為直角三角形的直三棱柱；陽馬是指底面為矩形，且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐；鱉臑是指四個面都是直角三角形的三棱錐．在如圖所示的塹堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC(1)求證：四棱錐B－A1ACC1為陽馬．并推斷三棱錐A1－CBC1是否為鱉臑，若是，請寫出各個面中的直角(只寫出結(jié)論)．(2)若A1A＝AB＝2，當陽馬B－A1ACC1①求塹堵ABC－A1B1C1②求點C到平面A1BC1的距離．解析：(1)由塹堵的定義知，A1A⊥底面ABC，所以BC⊥A1又BC⊥AC，A1A∩AC＝A所以BC⊥平面A1ACC1.由塹堵的定義知，四邊形A1ACC1為矩形．綜上，可知四棱錐B－A1ACC1為陽馬．三棱錐A1－CBC1為鱉臑，四個面中的直角分別是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1，∠A1(2)A1A＝AB＝2，由(1)易知陽馬B－A1ACC1的體積V陽馬B－A1ACC1＝eq\f(1,3)S矩形A1ACC1×BC＝eq\f(1,3)×A1A×AC×BC＝eq\f(2,3)AC×BC≤eq\f(1,3)(AC2＋BC2)＝eq\f(1,3)×AB2＝eq\f(4,3)，當且僅當AC＝BC＝eq\r(2)時，陽馬B－A1ACC1的體積最大，最大值為eq\f(4,3).①塹堵ABC－A1B1C1的體積V′＝S△ABC×AA1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×2＝2.②由題意知，V三棱錐C－A1BC1＝V三棱錐B－A1C1C＝eq\f(1,2)V陽馬B－A1ACC1＝eq\f(2,