2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷4（新高考Ⅱ卷專(zhuān)用）含答案及解析

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考H卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

i-2

1.復(fù)數(shù)z==，貝”的虛部為（）

1+1

3333

A.-iB.-C.一一D.一—i

2222

2.已知命題p：NV—,命題q：R,x2—5x+4=0,則下列命題中為真命題的是（）

A.p,qB.Y，qC.p,D.r,~^q

3.如圖，在VABC中，點(diǎn)O,E分別在AB,AC邊上，且麗=瓦，荏=3反，點(diǎn)F為DE中點(diǎn)，則麗

()

88428884

4.某實(shí)驗(yàn)田種植甲、乙兩種水稻，面積相等的兩塊稻田（種植環(huán)境相同）連續(xù)5次的產(chǎn)如下:

甲/kg260250210250280

乙/kg220260230250290

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為250

B.乙種水稻產(chǎn)的極差為70

C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)等于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)

D.甲種水稻產(chǎn)量的方差大于乙種水稻產(chǎn)量的方差

5.已知正方形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，且橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為邊和BC的中點(diǎn)，則該橢圓的

離心率為（）

AOR6-1pA/5—1八百

2222

jr

6.已知函數(shù)/（x）=2cosx+l,xe萬(wàn)的圖象與直線y=f有兩個(gè)交點(diǎn)，貝！R的最大值為（）

A.1B.2C.立+1D.6+1

2

7.在空間中，三個(gè)平面以8,PBC,B4c相交于一點(diǎn)P,已知/APB=/APC=/3PC=60。，則直線必與

平面P8C所成角的正弦值等于（）

A.逅B.WC.-D.也

3322

3加

8.已知正數(shù)以〃滿(mǎn)足——+1=2加，若〃z+2"V/l〃療恒成立，則實(shí)數(shù)力的最小值為（）

n

124

A.—B.—C.1D.一

4555

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.關(guān)于函數(shù)/（x）=sin12xq］+l（xeR）,下列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)〃x）在［。,曰上最大值為5+1B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（gj對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)/（x）在（0$］上單調(diào)遞增D.函數(shù)/（x）的最小正周期為兀

10.過(guò)拋物線丁=?的焦點(diǎn)/作直線交拋物線于A,3兩點(diǎn)，M為線段A8的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作拋物線的切

線B4,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.|AB|的最小值為4

B.當(dāng)費(fèi)=3而時(shí)，|A理=g

C.以線段AB為直徑的圓與直線x=-l相切

D.當(dāng)最小時(shí)，切線承與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）

11.已知函數(shù)/（力=/-3尤+1,貝IJ（）

A.〃x）有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.點(diǎn)（0,1）是曲線y=〃x）的對(duì)稱(chēng)中心

C./（x）有三個(gè)零點(diǎn)且三個(gè)零點(diǎn)的和為0

D.直線V=3x是曲線y=的切線

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知等差數(shù)列｛。,｝的前”項(xiàng)和為，若%+%=14,出=-3,貝1］演=.

13.已知3sin〃-cos￡+3=0,sina=3sin（a+尸），則tan（（z+?）=.

14.某學(xué)校圍棋社團(tuán)組織高一與高二交流賽，雙方各挑選業(yè)余一段、業(yè)余二段、業(yè)余三段三位選手，段位

越高水平越高，已知高二每個(gè)段位的選手都比高一相應(yīng)段位選手強(qiáng)一些，比賽共三局，每局雙方各派一名

選手出場(chǎng)，且每名選手只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利，在比賽之前，雙方都不知道對(duì)方選

手的出場(chǎng)順序.則第一局比賽高一獲勝的概率為,在一場(chǎng)比賽中高一獲勝的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

15.（本小題滿(mǎn)分13分）在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且b（2+cosA）=JWasinB.

（1）求角A的大??；

（2）。是線段BC上的點(diǎn)，B.AD=BD^1,CD=2,求的面積.

16.(本小題滿(mǎn)分15分)已知函數(shù)/(x)=ax-1-(a+l)lnx(aeR).

X

⑴當(dāng)a=-l時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)（e,-（e））處的切線方程;

(2)若/(x)既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

17.(本小題滿(mǎn)分15分)如圖所示，四邊形A2CD為正方形，四邊形WE,CDEP為兩個(gè)全等的等腰梯形,

AB=4,EF//AB,AB=2EF,EA=ED=FB=FC=3.

(1)當(dāng)點(diǎn)N為線段AO的中點(diǎn)時(shí)，求證：ADLFN；

(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段AO上時(shí)(包含端點(diǎn))，求平面和平面ADE的夾角的余弦值的取值范圍.

18.(本小題滿(mǎn)分17分)某素質(zhì)訓(xùn)練營(yíng)設(shè)計(jì)了一項(xiàng)闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，每次只派一個(gè)人，且每

人只派一次：如果一個(gè)人闖關(guān)失敗，再派下一個(gè)人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽勝利，

無(wú)需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為Pl、P2＞假定Pl、。2、

互不相等，且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨(dú)立.

321

(D計(jì)劃依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，若PI=I，P2=§，求該小組比賽勝利的概率；

(2)若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，則寫(xiě)出所需派出的人員數(shù)目X的分布，并求X的期望E(X)；

(3)已知1＞月＞°2＞。3,若乙只能安排在第二個(gè)派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰(shuí)先派

出.

19.(本小題滿(mǎn)分17分)如圖，已知曲線6：5-丁=1,曲線G：|y|=W+i，尸是平面上一點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)

P的直線與G、C2都有公共點(diǎn)，則稱(chēng)P為“G-C2型點(diǎn)”.

(1)證明：C的左焦點(diǎn)是“G-c2型點(diǎn)”；

(2)設(shè)直線y=質(zhì)與G有公共點(diǎn)，求證：陽(yáng)＞1,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C「C2型點(diǎn)”；

(3)求證：｛紅,的弧+3＜1｝內(nèi)的點(diǎn)都不是“6-孰型點(diǎn)”.

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考H卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.1613.-14.--

336

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

15.（本小題滿(mǎn)分13分）

【解】（1）因?yàn)?（2+854）=6公1116,

由正弦定理得sinB（2+cosA）=V3sinBsinA.....................................1分

因?yàn)樨＃?，所以sinB>0,所以百sinA—cosA=2,.....................................2分

因?yàn)锳e（O,兀），所以=即A=f......................................5分

OX。

（2）設(shè)8=。，因?yàn)?所以。=兀一,一6.....................................6分

333

2兀

因?yàn)锳D=BD=1,所以NB4O=5=9,ZADC=20,ZDAC=--0f

AD_CD

在△ACD中，由正弦定理可知8分

sinCsinZDAC

1、

即2cos3——sin。cos。+—sin。,10分

22J

化簡(jiǎn)可得。sin?=Y^cosO,即tanO=Y^,

2236

所以Sf=：A?BDsin(兀一26?)=；4?2閃1126?=：><1坂￥=￥...................13分

16.(本小題滿(mǎn)分15分)

【解】(1)當(dāng)。=-1時(shí)，函數(shù)”X)=T-L

X

求導(dǎo)得尸(X)=-IT，貝U/'(e)=!-l,而"e)=-e」，..................2分

xee

所以曲線y=/(尤)在點(diǎn)(e/(e))處的切線方程為y-(-eT)=(J-1)(尤-e),

12

即y=(丁-1)、—-?..................4分

ee

(2)函數(shù)/(%)=以一工一(。+1)111%的定義域?yàn)?0,+8),

x

求導(dǎo)得「(%)=〃+二-"Ll)x+I=QTJxT),...................5分

2"一(”22

xxxx

當(dāng)aW0時(shí)，ax-1<0,由/'(x)>0,得0<%<1,由廣(犬)<。，得x>l,

則函數(shù)/(%)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，函數(shù)/(1)只有極大值/⑴，不合題意；.....7分

當(dāng)。>0時(shí)，由/'(%)=。，得尤=1或%=,，..................8分

a

111

①若0<—<1,即〃>1,由廣。)>0,得0<x<—或%>1,由/'(x)<0,得—<%<1,

aaa

則函數(shù)fM在(o」),(1,內(nèi))上遞增，在(L1)上遞減，

aa

因此函數(shù)/(尤)的極大值為，d),極小值為了⑴，符合題意；..................io分

a

111

②若一>1,即0<a<l,由尸(x)>0,得0cx<1或x>—,由/'(尤)<0,得l<x<一,

aaa

11

則函數(shù)fM在(0,1),(-,+a))上遞增，在(1-)上遞減，

aa

因此函數(shù)/(尤)的極大值為了⑴，極小值為/d),符合題意；..................12分

a

③若』=1,即a=l,由廣(x)2。在(0,+8)上恒成立，得在(0,+8)上遞增，

a

函數(shù)/(彳)無(wú)極值，不合題意，..................14分

所以。的取值范圍為(0,l)u(L+8).................15分

17.(本小題滿(mǎn)分15分)

【解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，且=

所以AD_L￡7V,...................1分

因?yàn)橛　ˋB,且四邊形ABCD為正方形，故..................2分

所以AD_LEF,而ENCEF=E,EN,EFu平面EFN,

故AD,平面E7W,...................3分

又FNu平面EFN,所以AD_LRV；...................4分

(2)設(shè)正方形ABC。的中心為0,分別取AB,3C,E尸的中點(diǎn)為尸,Q,S,

設(shè)點(diǎn)H為線段AO的中點(diǎn)，由(1)知E,￡”,Q四點(diǎn)共面，且平面EF”,

連接OS,QSu平面故AT>J_OS,

又A￡)u平面ABC。，故平面ABCDJ.平面E”Qb，

且平面A3CE>n平面EHQF=HQ,

由題意可知四邊形即。尸為等腰梯形，故OSLHQ,

QSu平面EHQF,故OSJ_平面ABCZ),...................5分

故以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，赤，而，麗為％y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳B=4,則42,-2,0）,8（2,2,0）,。（一2,2,0）,。（一2,-2,0）,...................6分

又AB=2EF,故EF=2,

設(shè)EF到底面ABCD的距離為h,

四邊形CD所為兩個(gè)全等的等腰梯形，且灰〃至，

故E（0,—1,〃）,尸（0,1,，），又EA=ED=FB=FC=3,

故V22+l2+/z2=3,:/=2，則￡（0,-1,2）,F（0,1,2）,

AE=（-2,1,2）,AD=（^4,0,0），旃=（-2,-1,2）,麗=（0,-4,0）,

^AN=AAD,Ae[0,1],:.BN=BA+AN=BA+AAD=（-42,-4,0）,...................7分

設(shè)平面BFN的一個(gè)法向量為：=(x,%z),

h-BF=-lx-y+2z=Q

則令x=2,n=(2,—2Z,2—,9分

n-BN=-42x-4y=0

設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為而=(a,6,c),

in-AD=-4。=0

則令c=l,m=(0,—2,1),11分

m-AE=-2a+b+2c=0

故1cos(為，利=|m-n||3A+2|312分

阿?同式x，5-2-4/l+8V5

=2+—,mG—

133

則

小5,2

令〃。-1/+5,則/⑺在上單調(diào)遞增，

故當(dāng)仁|時(shí)，/(omin=/Q]=f1,當(dāng)舊時(shí)，〃<u=/0=i8,

A/10y/5

故e7o-,T

即平面BEV和平面ADE的夾角的余弦值得取值范圍為15分

IQ-'V-

18.(本小題滿(mǎn)分17分)

【解】(1)設(shè)事件A表示“該小組比賽勝利”，

貝|JP(A)=三+Lx4+Lx±x±=2..................4分

—44343224

(2)由題意可知，X的所有可能取值為1,2,3,

則尸(X=1)=R,尸(X=2)=(l-pjp2，尸(X=3)=(1-R)(1-2)，..................7分

所以X的分布為:

X123

PPi(1一P1)P2(l-A)(l-p2)

..................9分

所以E(X)=P|+2(l-p])p2+3(l-pi)(l-p2)=PiP2-2p]-p2+3；..................11分

(3)若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為瓦，

由(2)可知，=plp2-2pl-p2+3,..................12分

若依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為當(dāng)，

貝!1馬=P3P2_2「3_「2+3,..................13分

EE

則i-2=(P1P2-2"-必+3)-(2。2-2P3一22+3)=P1P2-2P]-p3P2+2P3

=P2(P|-P3)-2(P「P3)=(P|-P3)(P2-2),..................15分

因?yàn)?>P1>P2>P3，所以PI-03>°，。2-2<0,

所以耳_石2<0，即&<心，..................16分

所以要使派出人員數(shù)目的期望較小，先派出甲...................17分

19.(本小題滿(mǎn)分17分)

【解】(1)孰的左焦點(diǎn)為網(wǎng)-百,0),

過(guò)歹的直線x=-g與C|交于|一6,±*,與C?交于卜石，土(百+1)),..................2分

故C1的左焦點(diǎn)為“G-C2型點(diǎn)”，且直線可以為x=-VL..................3分

fy=kx1

(2)直線y=kx與C?有交點(diǎn)，則閔+1=(兇一1)國(guó)=1,

若方程組有解，則必須因>1；..................5分

22

直線y=kx與J有交點(diǎn)，則[27日o^(l-2k)x=2,

[x-2y=2')

若方程組有解，則必須..................7分

故直線y=kx至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“G-CZ型點(diǎn)”..................8分

(3)以國(guó)+卜|=1為邊界的正方形區(qū)域記為D.

I）若點(diǎn)P在O的邊界上，則該邊所在直線與C1相切，與C?有公共部分,

即。邊界上的點(diǎn)都是“G-C2型點(diǎn)，，；9分

2）設(shè)P（Xo，yo）是區(qū)域。內(nèi)的點(diǎn)，即民|+上油<1,

假設(shè)PR,%）是“G-C2型點(diǎn)”,

則存在過(guò)點(diǎn)P的直線l：y—y0=k（x-Xo）與CI、C2都有公共點(diǎn)...................10分

i）若直線1與C2有公共點(diǎn)，直線1的方程化為丫=1?+丫0-1?0，假設(shè),區(qū)1,則

|kx+y0-kx0|<|kx|+|y0|+|kx0|<|x|+|y0|+|x0|<|x|+l,

可知直線1在C2：卜|=|x|+l之間，與C?無(wú)公共點(diǎn)，這與“直線1與Cz有公共點(diǎn)，，矛盾，

所以得到：與C?有公共點(diǎn)的直線1的斜率k滿(mǎn)足閃>1...................12分

y=fcr+y0—foc0

ii）假設(shè)1與Q也有公共點(diǎn)，則方程組x22有實(shí)數(shù)解.

--y^i

2

從方程組得(1一2k?)x?-4k(y。-kx。)x-2[(y。一kx0)+l]=0,

A2222222

=8(y()-2kx0y0+kx0+1-2k)=8[(y0-kx0)+1-k-k],由|x0|+|y0|<l........14分

22

因?yàn)椴?-5|4卜0|+|斗網(wǎng)<卜0|+即(1—卜0|)=同+卜o|(lTk|)<|k|^(y0-kx0)<k

222

所以，A=8[(yo-kxo)-k+l-k]<O,....................16分

即直線1與Q沒(méi)有公共點(diǎn)，與“直線1與Q有公共點(diǎn)”矛盾，于是可知尸不是“G-C?型點(diǎn)”.

證明完畢....................17分

2222

另解：A=8(yo-2kxoyo+kXo+l-2k)....................9分

222

4-f(k)=(x0-l)k-2kx0y0+y0,因?yàn)榫W(wǎng)+又|<1,所以

即x；-1<0.于是可知f(k)的圖像是開(kāi)口向下的拋物線，且對(duì)稱(chēng)軸方程為是k=........12分

X。一1

因?yàn)楫?dāng)

所以f(k)在區(qū)間(-8,-1)上為增函數(shù)，在(1,+8)上為減函數(shù).....................14分

因?yàn)閒⑴=|x0-y。『-1《(風(fēng)|+%|)2一1<0,f(-l)=|xo+yo『-14(|xo|+|yo|)2_l<O,

所以對(duì)任意|k|>l,都有f(k)<0,A=8[f(k)+l_k2]<0,....................16分

即直線1與G沒(méi)有公共點(diǎn)，與“直線1與Q有公共點(diǎn)”矛盾，于是可知尸不是“G-C?型點(diǎn)，，.

證明完畢.......................17分

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷(新高考H卷)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

i-2

1.復(fù)數(shù)z==，貝”的虛部為()

1+1

【答案】B

【解析】z=Ii7-2T=句（i—2）曷（1—i）=-丁l+3i=一，1+尹3故z的虛部為53,故選：B

2.已知命題p：V尤GR,尤2</,命題g：R,x2—5x+4=0,則下列命題中為真命題的是（）

A.p,qB.rp,qC.p,rqD.->p,rq

【答案】B

【解析】對(duì)于命題P：采用特殊值法，取x=-l,可知P為假命題，M為真命題;

對(duì)于命題4：當(dāng)%=1時(shí)，x：-5%+4=。成立，故4為真命題，F(xiàn)1為假命題；故選：B.

3.如圖，在VABC中，點(diǎn)、D,E分別在AC邊上，且麗=詼，怎=3反，點(diǎn)、F為DE中點(diǎn),則訪=

()

C.-BA+-BCD.-BA+-BC

88428884

【答案】C

—.1—.—._._.

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)尸為中點(diǎn)，所以8歹=5(8￡>+8￡),又BD=DA，AE=3EC，

—.1―._.1—.1—,1—,1—,1―.1―.—.3--3一

所以Bb=_(BD+BE)=_BA+_(BC+_CA)=_BA+_BC+_(BA_BC)=_BA+_BC

242442888

4.某實(shí)驗(yàn)田種植甲、乙兩種水稻，面積相等的兩塊稻田（種植環(huán)境相同）連續(xù)5次的產(chǎn)如下:

甲/kg260250210250280

乙/kg220260230250290

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為250

B.乙種水稻產(chǎn)的極差為70

C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)等于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)

D.甲種水稻產(chǎn)量的方差大于乙種水稻產(chǎn)量的方差

【答案】D

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為250,A對(duì);

對(duì)于B選項(xiàng)，乙種水稻產(chǎn)的極差為290-220=70,B對(duì);

260+250+210+250+280

對(duì)于C選項(xiàng)，甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為=250,

5

220+260+230+250+290

乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為=250,C對(duì);

5

對(duì)于D選項(xiàng)，甲種水稻產(chǎn)量的方差為g(100+0x2+1600+900)=520,

乙種水稻產(chǎn)量的方差為g(900+100+400+0+1600)=600,D錯(cuò).

故選：D.

5.已知正方形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，且橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為邊AD和8C的中點(diǎn)，則該橢圓的

離心率為()

ACR「A/5-1n5/3

2222

【答案】C

【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,邊AO和的中點(diǎn)分別為瓦尸，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a(a>0),半焦距為c

(c>0),

連接則2c=￡F=2,2a=DE+DF=l+yJl2+21=1+75-

V5-1

所以離心率e=￡2

a1+有2

JT

6.已知函數(shù)〃x)=2cosx+l,xe-,2TT的圖象與直線y=/有兩個(gè)交點(diǎn)，貝!R的最大值為()

A.1B.2C.也+1D.V3+1

2

【答案】D

【解析】由2cosx+l=，可得cosx=-----,

2

所以當(dāng)/時(shí)，由'=。。$光與＞==!有兩個(gè)交點(diǎn)可得=1的最大值為必

16」222

所以則f的最大值為百+1

故選：D

7.在空間中，三個(gè)平面B4B,PBC,E4c相交于一點(diǎn)P,已知NAP8=NAPC=/BPC=60。，則直線E4與

平面PBC所成角的正弦值等于（）

A.逅B.也C.-D.—

3322

【答案】A

【解析】如圖，作作A點(diǎn)在平面P2C射影為。，連接0E,0F,設(shè)以=2a.

C

因NAPB=NAPC=60°,則PE=尸尸=a,AE=AF=耳.

因AO_L平面PFOE,PE,PFu平面PFOE,則AO_LPE,AO_L尸產(chǎn)，且NAPO為以與平面尸8c所成角,

又AE_LPE,AF_LPF,OA[}AE=OA[yAF=A,04,AEu平面AOE,OA,AFu平面AOB,

則尸E_L平面AOE,P尸_L平面AOE

又OEu平面AOE,Obu平面A。尸，則OE_LP￡,OF_LPF.

又PO=PO,PE=PF,ZOEP=ZOFP=90°,則APOE三APOF,

?ZOPE=ZOPF=30°,結(jié)合尸E=PF=a,得PO="~a.

3

又總=2a,則AO=JPA2一AO,=亞〃,故必與平面PBC所成角的正弦值等于9=諉.

3PA3

故選：A

8.已知正數(shù)孤〃滿(mǎn)足1+1=2加，若根+療恒成立，則實(shí)數(shù)幾的最小值為（）

n

4

A1B.-C.1D.

-452?

【答案】D

12

【解析】因?yàn)楦?,〃＞0,月f以in+2rlK=>——~\------?X,

nmn

因?yàn)?3m+1=2加，所以1工=9m等—」1，

nn3m

2m-lV22m-l/.4m2+8m-5,。

故-----+----------On----------z------<2,

（3m）m3m9m

4m2+8m-55（1Y8145/14丫44

9m29\mJ9m99\m5J55

當(dāng)且僅當(dāng)加=:,"=:時(shí)，等號(hào)成立，

42

故2242,實(shí)數(shù)2的最小值為4

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.關(guān)于函數(shù)〃x）=sin12x-3+l（xeR）,下列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)在［。，曰上最大值為g+1B.函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)/■⑺在（02上單調(diào)遞增D.函數(shù)?。┑淖钚≌芷跒樨?/p>

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,當(dāng)xe［0,申時(shí)，20梟［1爭(zhēng)，-^<sin（2x--）<l,〃x）最大值為2,A錯(cuò)誤；

233323

對(duì)于B因?yàn)?（亭）=sin（2x學(xué)-勺+1=1,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)傳,1］對(duì)稱(chēng)，B正確;

對(duì)于C,當(dāng)xe（0,9時(shí)，函數(shù)y=sin尤在（1,馬上不單調(diào)，則〃x）在［o,力上不單調(diào)，

C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,函數(shù)〃x）的最小正周期7=三=無(wú)，D正確.

故選：BD.

10.過(guò)拋物線丁=4龍的焦點(diǎn)/作直線交拋物線于A,3兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作拋物線的切

線E4,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.|AB|的最小值為4

B.當(dāng)衣=3麗時(shí)，|A8|=m

C.以線段A8為直徑的圓與直線x=-l相切

D.當(dāng)最小時(shí)，切線出與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,依題意可設(shè)直線的方程為彳=歿+1,4國(guó),%),^(々，%)，M(x()，%),則占＞。，尤2＞。，

x=my+1

聯(lián)立2：,消x整理得/一4妙一4=0,

y=4x

貝什訪二一"代入=4x得占%=1，

則|AZ?|=%+x2+2=XfH----F2＞2/i------F2=4,當(dāng)且僅當(dāng)xt=x?=1時(shí)取等號(hào),

所以|AB|的最小值為4,故A正確；

對(duì)于B,結(jié)合A可得AF=(1—方y(tǒng)j,FB=(Xj—1,y2),

由通=3而，得F"二%"1),解得,1,網(wǎng)"+々+2=?，故B錯(cuò)誤；

[f=3%3

對(duì)于C,由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-l,焦點(diǎn)廠(1,。)，

設(shè)A,B,"在準(zhǔn)線上的射影為4,B',M',

則|M=|A4[,\BF\^\BB'\,\MM'\=^(\AA'\+\BB'\)=^(\AF\+\BF\)=^\AB\,

所以以線段AB為直徑的圓與直線X=-1相切，故C正確；

對(duì)于D,結(jié)合A可得，當(dāng)最小時(shí)，不妨取4(1,2),

則可設(shè)切線叢的方程為x="(y-2)+l,

聯(lián)立尸：心一2)+1,消x整理得/_4胡+81=0,

[y=4x

則A=164(8"-4)=0,解得九=1,所以切線總的方程為尤=匕1,

(x=y-1/、

聯(lián)立產(chǎn)二，解得x=-l,產(chǎn)。，即切線以與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),故D正確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)/(x)=%3-3x+l,則()

A.有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.點(diǎn)(0,1)是曲線y=〃x)的對(duì)稱(chēng)中心

C./(x)有三個(gè)零點(diǎn)且三個(gè)零點(diǎn)的和為0

D.直線y=3x是曲線y=的切線

【答案】ABC

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=d-3x+l,所以可x)=3--3,

令尸(x)=3x2-3=0,;.x=±l,

當(dāng)x<-l或x>l時(shí)，r(x)>0,“X)在(f,-1),(1,+8)上都單調(diào)遞增,

當(dāng)—1<X<1時(shí)，/(尤)<。，“X)在(-1,1)上單調(diào)遞減，

故工=-1為函數(shù)的極大值點(diǎn)，X=1為函數(shù)的極小值點(diǎn)，

即〃X)有兩個(gè)極值點(diǎn)，A正確；

[3/(%)+/(-%)=x3-3x+l+[(-x)3+3x+l]=2,

故點(diǎn)(o,l)是曲線y=〃x)的對(duì)稱(chēng)中心，B正確；

由A可知/■(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x=±1,且/(-l)=3>0,f(l)=-l<0,

/(-2)=-8+6+1<0,/(2)=8-6+1>0,

結(jié)合的單調(diào)性可知函數(shù)在(-2,-1),(-1,1),(1,2)各有一個(gè)零點(diǎn)，

即函數(shù)〃元)有3個(gè)零點(diǎn)；

由于/(0)=1>0,故(-1,1)之間的零點(diǎn)處于(0,1)內(nèi),

不妨設(shè)這3個(gè)零點(diǎn)為國(guó),工2，工3，且玉

滿(mǎn)足F(占)=/(%)=/。3)=0，

即%3-3%+1=(%-^)(%-%2)(%-%,)

32

=x-(x,+x2+A^)X+(%1X2+X2Xj+)X-%3%4%5

故X]+%+X3=0,c正確;

不妨設(shè)直線y=3x是曲線y=〃x)的切線，則滿(mǎn)足F(x)=3/-3=3,

則x=士忘，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,372),(-72,-372),

而了(忘)=-四+1/30,川-&)=應(yīng)+1*-3近，

說(shuō)明假設(shè)不成立，即直線y=3x不是曲線y=/(x)的切線，D錯(cuò)誤，

故選：ABC

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知等差數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為%若%+的=14,出=-3,貝”8=

【答案】16

【解析】設(shè)等差數(shù)列%的公差為

4+4d+%+8d=14q=-5

則有，解得:

%+d=—3d=2

所以S&=8x(—5)+^—x2=16.

13.已知3sin4一cos分+3=0,sina=3sin(a+/?),則tan(a+0=.

【答案】

【解析】由題意可知sina=sin[(a+￡)—/?]=sin(a+/7)cos0-cos(a+0sin￡=3sin(a+p),

所以sin(a+/?)(cos，-3)=cos(a+/3)sin0,

由題意可知cos(a+尸)wO,cos/?—3w0,

由3sin，—cos，+3=0可得3sin，=cos>0-3,

sin(a+/7)_sin(3_sin_1

所以tan(a+4)=

cos(6r+P)cos/3-33sin(33

14.某學(xué)校圍棋社團(tuán)組織高一與高二交流賽，雙方各挑選業(yè)余一段、業(yè)余二段、業(yè)余三段三位選手，段位

越高水平越高，已知高二每個(gè)段位的選手都比高一相應(yīng)段位選手強(qiáng)一些，比賽共三局，每局雙方各派一名

選手出場(chǎng)，且每名選手只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利，在比賽之前，雙方都不知道對(duì)方選

手的出場(chǎng)順序.則第一局比賽高一獲勝的概率為，在一場(chǎng)比賽中高一獲勝的概率為

【答案】!T

【解析】設(shè)40=1，2,3）為高一出場(chǎng)選手，耳"=1,2,3）為高二出場(chǎng)選手，其中i表示段位,

則第一局比賽中，共有（A，旦）,（A，j），（A，a），（4,與），（4,鳥(niǎo)），（4，旦），（4，旦），（4，與），（4,83），共9個(gè)基本事

件，其中高一能取得勝利的基本事件為（4，與），（怎即，（A也），共3個(gè),

31

所以第一局比賽高一獲勝的概率為尸=§=],

在一場(chǎng)三局比賽中，共有不同的3x3x2x2=36種安排方法，

其中高一能獲勝的安排方法為（4片，&22,4為），（A，BPAB3，A52）,（A層，A4，AB3），（人與,483,4瓦），

（44，44，4坊），（4層,4與，4耳），共6種，故在一場(chǎng)比賽中高一獲勝的概率為尸=2=

366

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

15.（本小題滿(mǎn)分13分）在VA3