2025中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第19講 相交線與平行線（含解析+考點(diǎn)卡片）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第19講相交線與平行線

一．選擇題（共10小題）

1．如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，與經(jīng)過主光軸的光線交于焦點(diǎn)F，若∠1＝30°，則

∠ABF的度數(shù)為（）

A．30°B．120°C．150°D．170°

2．如圖，小明用一副三角板拼成一幅“帆船圖”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，

則∠FDC的度數(shù)為（）

A．60°B．65°C．75°D．80°

3．如圖，過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法（圖中三角形ABC是三角板），其依

據(jù)是（）

A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

B．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

C．同位角相等，兩直線平行

D．兩直線平行，同位角相等

4．如圖，直線a∥b，直角三角形如圖放置，∠DCB＝90°，若∠1＝118°，則∠2的度數(shù)為（）

A．28°B．38°C．26°D．30°

5．我市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，

圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，當(dāng)∠MAC為（）

度時(shí)，AM∥BE．

A．15B．65C．70D．115

6．如圖，直線m∥n，點(diǎn)A在直線m上，點(diǎn)B在直線n上，連接AB，過點(diǎn)A作AC⊥AB，交直線n于點(diǎn)

C．若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

7．一塊含30°角的直角三角板，按如圖所示方式放置，頂點(diǎn)A，C分別落在直線a，b上，若直線a∥b，

∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（）

A．45°B．35°C．30°D．25°

8．關(guān)于兩條平行直線m，n，下列說法正確的是（均發(fā)生在同一平面內(nèi)）（）

A．若m，n被第三條直線所截，則內(nèi)錯(cuò)角互補(bǔ)

B．過m，n外一點(diǎn)P作直線l∥m，則l與n一定交于一點(diǎn)

C．對(duì)于m，n外的任意一點(diǎn)Q，過Q關(guān)于m平行的直線有且僅有一條

D．△ABC被平行直線m所截得線段成比例

9．電動(dòng)曲臂式高空作業(yè)車在高空作業(yè)時(shí)只需一個(gè)人就可操作機(jī)器連續(xù)完成升降、前進(jìn)、后退、轉(zhuǎn)向等動(dòng)

作，極大地減少了操作人員的數(shù)量和勞動(dòng)強(qiáng)度．如圖所示是一輛正在工作的電動(dòng)曲臂式高空作業(yè)車，其

中AB∥CD∥EF，BC∥DE．若∠ABC＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（）

A．100°B．120°C．140°D．160°

10．一副三角板ABC和DEF如圖所示放置，∠C＝∠F＝90°，點(diǎn)D在邊AC上．若DE∥CB，則∠1的

度數(shù)為（）

A．75°B．80°C．82°D．85°

二．填空題（共5小題）

11．如圖，物理實(shí)驗(yàn)課上，老師將平行于凸透鏡主光軸的紅光AB和紫光CD射入同一個(gè)凸透鏡，折射光

線BM、DN交于點(diǎn)O，與主光軸分別交于點(diǎn)F1、F2，由此發(fā)現(xiàn)凸透鏡的焦點(diǎn)略有偏差．若∠ABM＝167°，

∠CDN＝158°，則∠F1OF2的大小為°．

12．如圖，∠AOB＝90°，∠MON＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，則∠AOC＝．

13．如圖，直線a∥b，AC⊥AB，AC交直線b于點(diǎn)C，∠1＝60°，則∠2的度數(shù)是．

14．如圖，AB∥DE，AB⊥BC，∠1＝20°，則∠D＝°．

15．小明觀察“抖空竹”時(shí)發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知AB∥CD，∠E＝

22°，∠DCE＝114°，則∠BAE的度數(shù)是°．

三．解答題（共5小題）

16．如圖1是長方形紙帶，∠DEF＝28°，將紙帶沿EF折疊成圖2，再沿BF折疊成圖3，則圖3中的∠

DHF的度數(shù)是．

17．如圖，已知∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．

（1）試判斷BF與DE的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若BF⊥AC，∠2＝135°，求∠AFG的度數(shù)．

18．如圖是一種躺椅及其簡化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面EF，前支架OE與后支架OF

分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)D，AB與DM交于點(diǎn)N，∠AOE＝∠BNM．

（1）求證：OE∥DM；

（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM的度數(shù)．

19．已知AD∥BC，AB∥CD，E在線段BC延長線上，AE平分∠BAD．連接DE，若∠ADE＝3∠CDE．

（1）若∠AED＝60°，求∠CDE的度數(shù)；

（2）若∠AEB＝60°，探究DE與BE的位置關(guān)系，并說明理由．

20．如圖，已知AB∥CD，∠2+∠3＝180°，DA平分∠BDC，CE⊥FE于點(diǎn)E，∠1＝70°．

（1）求證：AD∥CE；

（2）求∠FAB的度數(shù)．

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之相交線與平行線

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題）

1．如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，與經(jīng)過主光軸的光線交于焦點(diǎn)F，若∠1＝30°，則

∠ABF的度數(shù)為（）

A．30°B．120°C．150°D．170°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．

【答案】C

【分析】先根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠1＝∠OFB＝30°，然后利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)進(jìn)行計(jì)算即

可解答．

【解答】解：∵∠1＝30°，

∴∠1＝∠OFB＝30°，

∵AB∥OF，

∴∠ABF+∠OFB＝180°，

∴∠ABF＝180°﹣∠OFB＝150°，

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．

2．如圖，小明用一副三角板拼成一幅“帆船圖”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，

則∠FDC的度數(shù)為（）

A．60°B．65°C．75°D．80°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．

【答案】C

【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝60°，∠EDF＝45°，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠A＝

∠ADE＝60°，從而利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．

【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，

∴∠A＝90°﹣∠C＝60°，∠EDF＝90°﹣∠F＝45°，

∵ED∥AB，

∴∠A＝∠ADE＝60°，

∴∠FDC＝180°﹣∠ADE﹣∠EDF＝75°，

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解

題的關(guān)鍵．

3．如圖，過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法（圖中三角形ABC是三角板），其依

據(jù)是（）

A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

B．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

C．同位角相等，兩直線平行

D．兩直線平行，同位角相等

【考點(diǎn)】平行線的判定．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】C

【分析】根據(jù)∠1和∠2是三角板中的同一個(gè)角，得∠1＝∠2，根據(jù)平行線的判定，即可．

【解答】解：∵∠1＝∠2，

∴a∥b（同位角相等，兩直線平行），

∴C正確．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定，掌握平行線的判定是解題的關(guān)鍵．

4．如圖，直線a∥b，直角三角形如圖放置，∠DCB＝90°，若∠1＝118°，則∠2的度數(shù)為（）

A．28°B．38°C．26°D．30°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】A

【分析】由平行線的性質(zhì)可求得∠ACE＝118°，從而可求∠2的度數(shù)．

【解答】解：如圖，

∵a∥b，∠1＝118°，

∴∠BCE＝∠1＝118°，

∵∠DCB＝90°，

∴∠2＝∠BCE﹣∠DCB＝28°．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．

5．我市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，

圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，當(dāng)∠MAC為（）

度時(shí)，AM∥BE．

A．15B．65C．70D．115

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．

【答案】C

【分析】根據(jù)已知易得：AB∥CD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠BCD＝∠ABC＝60°，再利用三角形

內(nèi)角和定理可得∠ACB＝70°，最后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得當(dāng)∠MAC＝∠ACB＝70°時(shí)，AM

∥BE，即可解答．

【解答】解：∵AB∥l，CD∥l，

∴AB∥CD，

∴∠BCD＝∠ABC＝60°，

∵∠BAC＝50°，

∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，

∴當(dāng)∠MAC＝∠ACB＝70°時(shí)，AM∥BE，

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

6．如圖，直線m∥n，點(diǎn)A在直線m上，點(diǎn)B在直線n上，連接AB，過點(diǎn)A作AC⊥AB，交直線n于點(diǎn)

C．若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACB＝∠1＝50°，進(jìn)而根據(jù)∠BAC＝90°，即可求解．

【解答】解：∵m∥n，∠1＝50°，

∴∠ACB＝∠1＝50°，

∵AC⊥AB，

∴∠BAC＝90°，

∴∠2＝90°﹣∠ACB＝40°，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

7．一塊含30°角的直角三角板，按如圖所示方式放置，頂點(diǎn)A，C分別落在直線a，b上，若直線a∥b，

∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（）

A．45°B．35°C．30°D．25°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意得出∠1+∠BAC的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

【解答】解：∵∠1＝35°，

∴∠1+∠BAC＝35°+30°＝65°，

∵a∥b，

∴∠2+∠ACB+∠1+∠BAC＝180°，即∠2+90°+35°+30°＝180°，

∴∠2＝25°．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．

8．關(guān)于兩條平行直線m，n，下列說法正確的是（均發(fā)生在同一平面內(nèi)）（）

A．若m，n被第三條直線所截，則內(nèi)錯(cuò)角互補(bǔ)

B．過m，n外一點(diǎn)P作直線l∥m，則l與n一定交于一點(diǎn)

C．對(duì)于m，n外的任意一點(diǎn)Q，過Q關(guān)于m平行的直線有且僅有一條

D．△ABC被平行直線m所截得線段成比例

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)；余角和補(bǔ)角；同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理判斷即可．

【解答】解：若平行直線m，n被第三條直線所截，則內(nèi)錯(cuò)角相等，

故A錯(cuò)誤，不符合題意；

過平行直線m，n外一點(diǎn)P作直線l∥m，則l∥n，

故B錯(cuò)誤，不符合題意；

對(duì)于平行直線m，n外的任意一點(diǎn)Q，過Q關(guān)于m平行的直線有且僅有一條，

故C正確，符合題意；

△ABC被平行直線m所截得線段成比例，沒有指明平行直線m與△ABC的邊是平行的，

故D錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

9．電動(dòng)曲臂式高空作業(yè)車在高空作業(yè)時(shí)只需一個(gè)人就可操作機(jī)器連續(xù)完成升降、前進(jìn)、后退、轉(zhuǎn)向等動(dòng)

作，極大地減少了操作人員的數(shù)量和勞動(dòng)強(qiáng)度．如圖所示是一輛正在工作的電動(dòng)曲臂式高空作業(yè)車，其

中AB∥CD∥EF，BC∥DE．若∠ABC＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（）

A．100°B．120°C．140°D．160°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．

【答案】B

【分析】先利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ABC＝∠C＝60°，再利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

可得∠D＝120°，然后利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DEF＝∠D＝120°，即可解答．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠C＝60°，

∵BC∥DE，

∴∠D＝180°﹣∠C＝120°，

∵EF∥CD，

∴∠DEF＝∠D＝120°，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．

10．一副三角板ABC和DEF如圖所示放置，∠C＝∠F＝90°，點(diǎn)D在邊AC上．若DE∥CB，則∠1的

度數(shù)為（）

A．75°B．80°C．82°D．85°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．

【答案】A

【分析】先利用平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠DGA＝60°，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠2＝75°，

從而利用對(duì)頂角相等可得∠1＝∠2＝75°，即可解答．

【解答】解：如圖：

∵DE∥BC，

∴∠B＝∠DGA＝60°，

∵∠FDE＝45°，

∴∠2＝180°﹣∠FDE﹣∠DGA＝75°，

∴∠1＝∠2＝75°，

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．

二．填空題（共5小題）

11．如圖，物理實(shí)驗(yàn)課上，老師將平行于凸透鏡主光軸的紅光AB和紫光CD射入同一個(gè)凸透鏡，折射光

線BM、DN交于點(diǎn)O，與主光軸分別交于點(diǎn)F1、F2，由此發(fā)現(xiàn)凸透鏡的焦點(diǎn)略有偏差．若∠ABM＝167°，

∠CDN＝158°，則∠F1OF2的大小為145°．

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．

【答案】145．

【分析】先利用平行線的性質(zhì)可得∠OF1F2＝13°，∠DF2E＝22°，然后利用對(duì)頂角相等可得∠OF2F1

＝∠DF2E＝22°，從而利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．

【解答】解：如圖：

∵AB∥F1F2，

∴∠OF1F2＝180°﹣∠ABO＝13°，

∵CD∥F1E，

∴∠DF2E＝180°﹣∠CDF2＝22°，

∴∠OF2F1＝∠DF2E＝22°，

∴∠F1OF2＝180°﹣∠OF1F2﹣∠OF2F1＝145°，

故答案為：145．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．

12．如圖，∠AOB＝90°，∠MON＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，則∠AOC＝120°．

【考點(diǎn)】垂線；角平分線的定義．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，OM平分∠AOB，得出∠MOB＝45°，再根據(jù)∠MON＝60°，ON平分

∠BOC，得出∠BON＝15°，進(jìn)而求出∠AOC＝∠AOB+∠BOC的度數(shù)．

【解答】解：∵∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，

∴∠MOB＝45°，

∵∠MON＝60°，

∴∠BON＝15°，

∵ON平分∠BOC，

∴∠NOC＝15°，

∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°．

故答案為：120°．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂線的性質(zhì)以及角平分線的定義，得出∠BON＝15°是解決問題的關(guān)鍵．

13．如圖，直線a∥b，AC⊥AB，AC交直線b于點(diǎn)C，∠1＝60°，則∠2的度數(shù)是30°．

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；垂線．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】30°．

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠B＝∠2，再根據(jù)直角三角形的內(nèi)角和，求得∠B的度數(shù)，即可得

出結(jié)論．

【解答】解：∵直線a∥b，

∴∠B＝∠2，

又∵AC⊥AB，∠1＝60°，

∴∠B＝30°，

∴∠2＝30°，

故答案為：30°．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩條平行線被第三條直

線所截，同位角相等．

14．如圖，AB∥DE，AB⊥BC，∠1＝20°，則∠D＝110°．

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；垂線．

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力；推理能力．

【答案】110．

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD+∠D＝180°，根據(jù)垂線的定義得到∠ABC＝90°，由∠1＝20°

求出∠ABD，最后求出∠D的度數(shù)．

【解答】解：∵AB∥DE，

∴∠ABD+∠D＝180°，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC＝90°，

∵∠1＝20°，

∴∠ABD＝∠ABC﹣∠1＝90°﹣20°＝70°．

∴∠D＝180°﹣∠ABD＝180°﹣70°＝110°．

故答案為：110．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

15．小明觀察“抖空竹”時(shí)發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知AB∥CD，∠E＝

22°，∠DCE＝114°，則∠BAE的度數(shù)是92°°．

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】92°．

【分析】延長DC交AE于F，由三角形的外角性質(zhì)得∠CFE＝∠DCE﹣∠E＝92°，再由平行線的性質(zhì)

得出∠BAE＝∠CFE＝92°即可．

【解答】解：如圖，延長DC交AE于F，

∵∠DCE＝∠E+∠CFE＝114°，

∴∠CFE＝∠DCE﹣∠E＝114°﹣22°＝92°．

∵AB∥CD，

∴∠BAE＝∠CFE＝92°，

故答案為：92°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵．

三．解答題（共5小題）

16．如圖1是長方形紙帶，∠DEF＝28°，將紙帶沿EF折疊成圖2，再沿BF折疊成圖3，則圖3中的∠

DHF的度數(shù)是84°．

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力．

【答案】84°．

【分析】如圖2，延長AE到M，由折疊的性質(zhì)得到：∠MEF＝∠DEF＝28°，由平行線的性質(zhì)推出∠

EFN＝∠MEF＝28°，由三角形外角的性質(zhì)求出∠DNF＝∠EFN+∠NEF＝56°，如圖3，由折疊的性質(zhì)

得到：∠FGH＝∠DNC＝56°，由三角形外角的性質(zhì)得到∠DHF＝∠GFH+∠FGH＝84°．

【解答】解：如圖2，延長AE到M，

由折疊的性質(zhì)得到：∠MEF＝∠DEF＝28°，

∵AE∥BF，

∴∠EFN＝∠MEF＝28°，

∴∠DNF＝∠EFN+∠NEF＝28°+28°＝56°，

如圖3，

由折疊的性質(zhì)得到：∠FGH＝∠DNC＝56°，

∵∠GFH＝28°，

∴∠DHF＝∠GFH+∠FGH＝28°+56°＝84°．

故答案為：84°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得到∠MEF

＝∠DEF＝28°，∠FGH＝∠DNC＝56°．

17．如圖，已知∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．

（1）試判斷BF與DE的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若BF⊥AC，∠2＝135°，求∠AFG的度數(shù)．

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)．

【專題】幾何圖形；線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】（1）見解答；（2）45°．

【分析】（1）由于∠AGF＝∠ABC，可判斷GF∥BC，則∠1＝∠3，由∠1+∠2＝180°得出∠3+∠2＝

180°判斷出BF∥DE；

（2）由BF∥DE，BF⊥AC得到DE⊥AC，由∠2＝135°得出∠1＝45°，得出∠AFG的度數(shù)．

【解答】解：（1）BF∥DE，理由如下：

∵∠AGF＝∠ABC，

∴GF∥BC，

∴∠1＝∠3，

∵∠1+∠2＝180°，

∴∠3+∠2＝180°，

∴BF∥DE；

（2）∵BF∥DE，BF⊥AC，

∴DE⊥AC，

∵∠1+∠2＝180°，∠2＝135°，

∴∠1＝45°，

∴∠AFG＝90°﹣45°＝45°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等，同旁

內(nèi)角互補(bǔ)．

18．如圖是一種躺椅及其簡化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面EF，前支架OE與后支架OF

分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)D，AB與DM交于點(diǎn)N，∠AOE＝∠BNM．

（1）求證：OE∥DM；

（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM的度數(shù)．

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】（1）證明見解答過程；

（2）105°．

【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)對(duì)頂角相等推出∠AOE＝∠AND，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可

得解；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線定義求解即可．

【解答】（1）證明：∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM，

∴∠AOE＝∠AND，

∴OE∥DM；

（2）解：∵AB與底座CD都平行于地面EF，

∴AB∥CD，

∴∠BOD＝∠ODC＝30°，

∵∠AOF+∠BOD＝180°，

∴∠AOF＝150°，

∵OE平分∠AOF，

∴∠EOF∠AOF＝75°，

1

∴∠BOE＝=∠2BOD+∠EOF＝105°，

∵OE∥DM，

∴∠ANM＝∠BOE＝105°．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

19．已知AD∥BC，AB∥CD，E在線段BC延長線上，AE平分∠BAD．連接DE，若∠ADE＝3∠CDE．

（1）若∠AED＝60°，求∠CDE的度數(shù)；

（2）若∠AEB＝60°，探究DE與BE的位置關(guān)系，并說明理由．

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】（1）∠CDE＝15°；

（2）DE⊥BE，理由見解析．

【分析】（1）根據(jù)∠ADE＝3∠CDE，設(shè)∠CDE＝x°，，∠ADC＝2x°，根據(jù)平行線的

性質(zhì)得出方程90°﹣x+60°+3x＝180°，求出x即可．\??????=3?°

（2）由∠AEB＝60°，AD∥BC，可得∠DAE＝∠AEB＝60°，再由AE平分∠BAD，可得∠BAD＝2∠

DAE＝120°，由AB∥CD可得∠ADC＝180°﹣∠BAD＝60°，從而得出∠，再

3

由AD∥BC，可得∠BED＝180°﹣∠ADE＝90°，最后得出結(jié)論．???=2∠???=90°

【解答】解：（1）∵∠ADE＝3∠CDE，

∴設(shè)∠CDE＝x，∠ADE＝3x，

即∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝2x，

∵AB∥CD，

∴∠BAD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣2x，

∵AE平分∠BAD，

∴∠，

1

∵AD?∥??BE=，2∠???=90°??

∴∠BEA＝∠EAD＝90°﹣x，∠ADE+∠BED＝180°，

又∵∠DEA＝60°，∠BEA+∠DEA＝∠BED，

∴90°﹣x+60°+3x＝180°，

∴x＝15°，

∴∠CDE＝15°．

（2）DE⊥BE，理由如下：

∵∠AEB＝60°，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB＝60°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAD＝2∠DAE＝120°，

∵AB∥CD，

∴∠ADC＝180°﹣∠BAD＝60°，

∵∠ADE＝3∠CDE，∠ADE＝∠ADC+∠CDE，

∴∠，

3

又∵A?D??∥=BC2，∠???=90°

∴∠BED＝180°﹣∠ADE＝90°，

∴DE⊥BE．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，用了方程的思想，能運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推

理是解此題的關(guān)鍵．

20．如圖，已知AB∥CD，∠2+∠3＝180°，DA平分∠BDC，CE⊥FE于點(diǎn)E，∠1＝70°．

（1）求證：AD∥CE；

（2）求∠FAB的度數(shù)．

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】（1）證明見解答過程；（2）55°．

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠2＝∠ADC，求出∠ADC+∠3＝180°，根據(jù)平行線的判定推出即

可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BDC度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠2＝∠ADC＝35°，∠FAD＝∠

AEC＝90°，代入∠FAB＝∠FAD﹣∠2求出即可．

【解答】（1）證明：∵AB∥CD，

∴∠2＝∠ADC，

∵∠2+∠3＝180°，

∴∠ADC+∠3＝180°，

∴AD∥EC；

（2）解：∵AB∥CD，∠1＝70°，

∴∠BDC＝∠1＝70°，∠2＝∠ADC，

∵DA平分∠BDC，

∴∠ADC∠BDC＝35°，

1

∴∠2＝∠=A2DC＝35°，

∵CE⊥FE，

∴∠AEC＝90°，

∵AD∥EC，

∴∠FAD＝∠AEC＝90°，

∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣35°＝55°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線定義的應(yīng)用，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線

平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

考點(diǎn)卡片

1．角平分線的定義

（1）角平分線的定義

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．

（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線

則∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

1

=2

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐．

2．余角和補(bǔ)角

（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．

（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)

角．

（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．

（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．

注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它

們就具備相應(yīng)的關(guān)系．

3．垂線

（1）垂線的定義

當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一

條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．

（2）垂線的性質(zhì)

在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“過一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以．

4．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線

（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．

（2）內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線

（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．

（3）同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直

線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．

（4）三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全