第1節(jié) 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

考試要求1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．【知識(shí)梳理】1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．3．分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終．(1)分類加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類．(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”．【診斷自測(cè)】1．思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．()2．(選修三P5T1改編)(1)一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)用第1種方法完成，另有4人只會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來(lái)完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是______；(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，則從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是________．3．如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通．今發(fā)現(xiàn)A，B之間電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有________種．4．3個(gè)班分別從5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的選法有________種．考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理例1(1)某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈(zèng)送方法共有()A．4種 B．10種C．18種 D．20種(2)如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升使用分類加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏．(2)分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．訓(xùn)練1(1)集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．9 B．14C．15 D．21(2)已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定______個(gè)平面．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理例2(多選)(2024·合肥調(diào)研)現(xiàn)安排高二年級(jí)A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說(shuō)法正確的是()A．共有43種不同的安排方法B．若甲工廠必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C．若A同學(xué)必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．2．分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．訓(xùn)練2(1)為響應(yīng)國(guó)家“節(jié)約糧食”的號(hào)召，某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時(shí)積極踐行“光盤行動(dòng)”，則不同的選取方法有()A．48種 B．36種C．24種 D．12種(2)若將6本不同的書放到5個(gè)不同的盒子里，則不同的放法種數(shù)為()A．Aeq\o\al(6,6) B．Ceq\o\al(6,6)C．56 D．66________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合角度1與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題例3用0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字可以組成________個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)(用數(shù)字作答)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2與幾何有關(guān)的問(wèn)題例4如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．24________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度3涂色問(wèn)題例5如圖，a省分別與b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案種數(shù)為()A．480 B．600C．720 D．840________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：(1)一般是先分類再分步．在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理．(2)對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問(wèn)題形象化、直觀化．2．解決涂色問(wèn)題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成．訓(xùn)練3(1)有5個(gè)不同的棱柱、3個(gè)不同的棱錐、4個(gè)不同的圓臺(tái)、2個(gè)不同的球，若從中取出2個(gè)幾何體，使多面體和旋轉(zhuǎn)體各一個(gè)，則不同的取法種數(shù)是()A．14 B．23C．48 D．120(2)(2024·杭州調(diào)研)用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243 B．252C．261 D．279(3)(2024·臨汾調(diào)考)如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有()A．24種 B．48種C．72種 D．96種__________________________________________