《常系數(shù)線性齊次微分方程組的解法及其應(yīng)用研究6300字（論文）》

常系數(shù)線性齊次微分方程組的解法及其應(yīng)用研究目錄引言 [4]二、應(yīng)用例1.用矩陣法解下列方程組。，解：由題意得，原方程組的系數(shù)矩陣為，則的特征方程為，解得的特征值為，，則特征向量分別為，，所以常系數(shù)線性齊次微分方程組的通解為，即。2.7其他解法與應(yīng)用設(shè)常系數(shù)線性齊次微分方程組為：。一、其他解法：初等變換法；比較系數(shù)法。初等變換法是將方程組的系數(shù)矩陣化為Frobenius標(biāo)準(zhǔn)形，從而將方程組的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)相互線性無(wú)關(guān)的高階常系數(shù)線性齊次微分方程的求解問(wèn)題，使常系數(shù)線性齊次微分方程組的求解過(guò)程得到簡(jiǎn)化。比較系數(shù)法是將求常系數(shù)線性齊次微分方程組的通解問(wèn)題歸結(jié)于一個(gè)線性代數(shù)問(wèn)題，即求解方程組的系數(shù)矩陣的特征根，得到相應(yīng)初等因子的個(gè)數(shù)，然后得出對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式，從而用比較系數(shù)法確定待定系數(shù)，進(jìn)而求出方程組的通解。二、應(yīng)用例1.用比較系數(shù)法解下列方程組。。解：方程組的系數(shù)矩陣為，則的特征方程為，解得，所以相應(yīng)的初等因子為，，則有，代入原方程組，比較系數(shù)得，，，，令，，則，故原方程組的通解為，其中，為任意常數(shù)。3．常系數(shù)線性齊次微分方程組在其他領(lǐng)域的應(yīng)用在前面總結(jié)常系數(shù)線性齊次微分方程組的解法時(shí)，介紹了相關(guān)解法對(duì)應(yīng)其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。常微分方程不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有很大的作用，在其他領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用與作用。常系數(shù)線性齊次微分方程組作為常微分方程中的一員，其在其他領(lǐng)域的應(yīng)用也是廣泛的。在一般的常微分方程教材里，都有說(shuō)明常系數(shù)線性齊次微分方程組可以轉(zhuǎn)化成高階的線性微分方程進(jìn)行求解。同樣的，也可以將高階線性微分方程化成常系數(shù)線性齊次微分方程組，再通過(guò)前面介紹的解法進(jìn)行求解。在實(shí)際生活中，我們很多問(wèn)題都可以用微分方程表示，其應(yīng)用是十分廣泛的。例如生物學(xué)或醫(yī)學(xué)上的感染模型，工程學(xué)上的定向爆破，航空航天領(lǐng)域的導(dǎo)彈制導(dǎo)模型或火箭發(fā)射模型等等。3.1生物學(xué)或醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用生物界有優(yōu)勝劣汰，適者生存的自然規(guī)律。生物的生長(zhǎng)規(guī)律，生長(zhǎng)速度都可以用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬。一、人口增長(zhǎng)模型20世紀(jì)至21世紀(jì)，世界人口增長(zhǎng)迅速，現(xiàn)已突破70億大關(guān)，且人口數(shù)量還在繼續(xù)增長(zhǎng)。對(duì)于高速度的人口增長(zhǎng)，地球未來(lái)可能無(wú)法承受。對(duì)此，人類需要對(duì)人口增長(zhǎng)數(shù)量進(jìn)行控制，嚴(yán)控人口在地球所在承受范圍之內(nèi)。建立合理的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬就顯得尤為重要。當(dāng)然，不同的方法進(jìn)行模擬可能結(jié)果不同，為此我們需要進(jìn)行多方面，多角度進(jìn)行模擬，選擇出合理的結(jié)果，常微分方程就是一個(gè)選擇方向。二、感染模型2020年初新冠肺炎肆虐，很快席卷了世界許多國(guó)家，嚴(yán)防嚴(yán)控是抑制病毒傳播的主要手段。感染者的增長(zhǎng)速度不僅和感染者的規(guī)模成正比，還和健康人群的規(guī)模成正比?？刂埔咔橛行侄尉褪菄?yán)控感染者數(shù)量且避免健康人群與感染者接觸。為此我們需要快速統(tǒng)計(jì)感染者數(shù)量與接觸者，模擬出感染者增長(zhǎng)速度，并依靠模擬結(jié)果制定合理有效的防治方案。3.2工程學(xué)上的應(yīng)用中國(guó)被國(guó)外媒體稱為“基建狂魔”已經(jīng)是人盡皆知，這是對(duì)我國(guó)在基礎(chǔ)建設(shè)方面取得重大成果的肯定。當(dāng)然公路、鐵路、橋梁等建設(shè)離不開爆破，科學(xué)合理的爆破方案不僅有利于工程的快速穩(wěn)定推進(jìn)，也有利于保護(hù)施工者的生命財(cái)產(chǎn)安全。利用數(shù)學(xué)思想合理建立模型，使爆破范圍、方向得以控制，大大降低爆炸的風(fēng)險(xiǎn)，穩(wěn)步推進(jìn)工程進(jìn)行。3.3航空航天領(lǐng)域的應(yīng)用近幾年，隨著中國(guó)天問(wèn)火星探測(cè)器，巨浪二號(hào)導(dǎo)彈的成功發(fā)射，我國(guó)的航空航天事業(yè)取得重大發(fā)展，快速向戰(zhàn)略縱深發(fā)展。導(dǎo)彈、火箭作為各國(guó)的國(guó)之重器，其發(fā)展至關(guān)重要。導(dǎo)彈制導(dǎo)，火箭升空都需要精確引導(dǎo)，科學(xué)的引導(dǎo)路徑才能使其發(fā)揮作用。對(duì)于引導(dǎo)，如何快速準(zhǔn)確的判斷，需要高效精確的計(jì)算。常微分方程伴隨微積分的誕生與發(fā)展，其理論在精準(zhǔn)估值方面比較科學(xué)可信，對(duì)于此領(lǐng)域有很大幫助。4．總結(jié)本論文介紹了近幾十年內(nèi)有關(guān)常系數(shù)線性齊次微分方程組的解法及其應(yīng)用。解法有最初等的消元法；傳統(tǒng)常微分方程教材里所介紹的矩陣指數(shù)函數(shù)與特征值特征向量解常系數(shù)線性齊次微分方程組；以及后續(xù)發(fā)展出來(lái)的循環(huán)公式法、矩陣法、遞推公式法等等。在應(yīng)用方面，主要介紹了常系數(shù)線性齊次微分方程組在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上的應(yīng)用；當(dāng)然，常系數(shù)線性齊次微分方程組在其他領(lǐng)域也有應(yīng)用，在常微分方程教材及其他領(lǐng)域相關(guān)教材上也有介紹，由于專業(yè)限制，此處不進(jìn)行深入探討，大致概括一下，僅供參考。常微分方程理論是不斷發(fā)展和創(chuàng)造的，相信在不久的未來(lái)常系數(shù)線性齊次微分方程組的解法及其應(yīng)用也是會(huì)越來(lái)越多的。參考文獻(xiàn)王高雄.常微分方程.第3版[M].高等教育出版社,2006.東北師范大學(xué).常微分方程[M].高等教育出版社,1982.葉彥謙.常微分方程講義[M].人民教育出版社,1982.馮樓臺(tái).常系數(shù)線性齊次微分方程組的矩陣解法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),1995(02):37-40.任永泰.關(guān)于常系數(shù)線性齊次微分方程組的解法[J].高師函授,1984(2):28-33.王雪生.常系數(shù)線性齊次微分方程組的PUTZER解法[J].新鄉(xiāng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),1982(2):5-11.羅俊麗.常系數(shù)齊線性微分方程組的一種解法[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào),2004(2).王翊,陶怡.常系數(shù)齊線性微分方程組的解法[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào),2007(06):100-101.戴中林.常系數(shù)線性齊次微分方程組的遞推公式解法[J].西華師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1995,016(002):158-161.楊彩琴.關(guān)于常系數(shù)齊次線性微分方程組的解法研究[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010,013(003):21-23.王竟波.用遞推公式解常系數(shù)齊次線性微分方程組[J].沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1999,04:475-476.宋燕.常系數(shù)齊次線性微分方程組的初等變換解法[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,199