廣東省東莞市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

廣東省東莞市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題（每小題5分，共40分）1．若函數(shù)f(x)A．12 B．0 C．32 2．若C62=A．2 B．3 C．2或4 D．3或43．隨機(jī)變量X的分布列如表：則c=（）X-101P0.30.5cA．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.64．(x?1x)A．-20 B．5 C．15 D．355．若函數(shù)f(xA．4 B．2 C．3 D．16．有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有（）A．34種 B．96種 C．48種 D．144種7．已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是90%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格燈泡的概率是（）A．0.63 B．0.24 C．0.87 D．0.218．函數(shù)f(x)=x2?2xA．[1,e+2e) B．(1,e二、多選題（每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A．(2x3?3C．(cosx310．有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件．第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%A．任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來(lái)的次品概率為0.015B．任取一個(gè)零件是次品的概率為0.0525C．如果取到的零件是次品，且是第2臺(tái)車床加工的概率為2D．如果取到的零件是次品，且是第3臺(tái)車床加工的概率為211．關(guān)于函數(shù)f(x)=2A．x=2是f(x)的極大值點(diǎn)B．函數(shù)y=f(x)?x有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)k，使得f(x)>kx成立D．對(duì)兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，若f(x三、填空題（每小題5分，共15分）12．(x+y)(2x?3y)513．如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路．則電路不通，則因?yàn)楹附狱c(diǎn)脫落而導(dǎo)致電路不通情況有種．14．若函數(shù)f(x)=13x3?x在(a，10?四、解答題（本題5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15．（1）計(jì)算C7（2）已知(3x?1)416．某學(xué)校的高二年級(jí)有5名數(shù)學(xué)老師，其中男老師3人，女老師2人．（1）如果任選3人參加校級(jí)技能大賽，所選3人中女老師人數(shù)為X，求X的分布列；（2）如果依次抽取2人參加市級(jí)技能大賽，求在第1次抽到男老師的條件下，第2次抽到也是男老師的概率．17．已知函數(shù)f(x)=2ax?ln（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值．18．甲乙兩家快遞公司的“快遞小哥”的日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪70元，每單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙公司規(guī)定底薪100元，每日前45單無(wú)獎(jiǎng)勵(lì)，超過(guò)45單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)6元．（1）設(shè)甲、乙兩家快遞公司的“快遞小哥”日工資分別為y1,y2（單位：元）與送貨單數(shù)n（單位：?jiǎn)?，n∈N（2）假設(shè)同一公司的“快遞小哥”的日送貨單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名“快遞小歌，并記錄其100天的送貨單數(shù)，得到如下條形圖：若將頻率視為概率，回答下列問(wèn)題：①記乙快遞公司的“快遞小哥”日工資為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小趙打算到兩家公司中的一家應(yīng)聘“快遞小哥”的工作，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)為他進(jìn)行選擇，并說(shuō)明理由．19．設(shè)函數(shù)f(x（1）求f(（2）求f(（3）已知21x+1>(x+1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由題意，f(x)=lnx?2x+1，且x∈0,+∞所以f'故答案為：B.【分析】對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，再令x=12．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)镃62=C6n，

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得：n=2或故答案為：C.【分析】根據(jù)組合數(shù)公式的性質(zhì)求解即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：由分布列性質(zhì)：概率之和等于1：

則0.3+0.5+c=1，故答案為：A.【分析】由分布列中的概率和為1可直接求得結(jié)果.4．【答案】C【解析】【解答】解：由(x?1x)6，先求通項(xiàng)，要求的是x?2的項(xiàng)的系數(shù)，

則令6?2r=?2，

解得：r=4，

x?2項(xiàng)的系數(shù)為(?1)故答案為：C.【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：由題意，函數(shù)f(對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)得：

f'令x=1，

則f'(1)=3?2f'則f'故答案為：D.【分析】求出函數(shù)f(6．【答案】B【解析】【解答】解：由題意，第一步：由乙、丙兩人必須相鄰有A22種排法；

第二步：甲在排頭或排尾有2種排法；

第三步：剩下還有3個(gè)人，由于甲占去頭或尾，三個(gè)人與（乙丙一體），此時(shí)當(dāng)作有四個(gè)人進(jìn)行全排列有A44種排法；

故答案為：C.【分析】先根據(jù)乙丙兩人相鄰利用捆綁法，接著分類討論甲的位置，進(jìn)而利用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.7．【答案】C【解析】【解答】從某地市場(chǎng)上購(gòu)買一個(gè)燈泡，設(shè)買到的燈泡是甲廠產(chǎn)品為事件A，買到的燈泡是乙廠產(chǎn)品為事件B，則由題可知P(A)＝0.7，P(B)＝0.3，從甲廠產(chǎn)品中購(gòu)買一個(gè)，設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件C，從乙廠產(chǎn)品中購(gòu)買一個(gè)，設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件D，則由題可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8，由題可知A、B、C、D互相獨(dú)立，故從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格燈泡的概率為：P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87．故答案為：C．

【分析】利用已知條件結(jié)合獨(dú)立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，進(jìn)而得出從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格燈泡的概率。8．【答案】D【解析】【解答】解：由f2(x)?af解得：f(x)=1或f(x)=a?1.當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=x2?2x=(x?1)2?1，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2xex，

當(dāng)0<x<1時(shí)f'(x)>0，

所以f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增；

當(dāng)x>1時(shí)f'(x)<0，

所以f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以x>0時(shí)，f(x)max=f(1)=若原方程有四個(gè)不同的解，則存在四個(gè)不同的實(shí)數(shù)x滿足f(x)=1或f(x)=a?1，而f(x)=1只有一個(gè)解，所以方程f(x)=a?1至少有三個(gè)解.假設(shè)a?1≤0，則當(dāng)x<0時(shí)f(x)=x2?2x=x(x?2)>0≥a?1，

當(dāng)x>0時(shí)f(x)=2xex假設(shè)a?1≥2e，

則當(dāng)x>0，x≠1時(shí)有從而f(x)=a?1在(0,+∞)上至多有一個(gè)解，

由f(x)在(?∞,0]上單調(diào)遞減知所以f(x)=a?1至多有兩個(gè)解，矛盾，

所以a?1<2綜上，有0<a?1<2e，即另一方面，當(dāng)1<a<1+2e即0<a?1<2由于f(?a)=a+2a>a>a?1，且f(u)=2u故f(x)=a?1在(?a,0)，(0而f(?2+1)=1，1≠a?1（因?yàn)閍?1<2e<1），

綜上，a的取值范圍是(1,1+2故答案為：D.【分析】先將原方程變形為f(x)=1或f(x)=a?1，然后分析f(x)的單調(diào)性，再對(duì)不同的a進(jìn)行分類討論即可得到結(jié)果.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對(duì)于A：(2x對(duì)于B：(e對(duì)于C：令u=x3，則對(duì)于D：(2故答案為：ABD．【分析】直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法計(jì)即可判斷．10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A：由題意任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來(lái)的次品概率為6%×25%=1.B：由題設(shè)，任取一個(gè)零件是次品的概率為6%×25%+5%×30%+5%×45%=5.C：由條件概率，取到的零件是次品，則是第2臺(tái)車床加工的概率為5%×30%6%×25%+5%×30%+5%×45%D：由條件概率，取到的零件是次品，則是第3臺(tái)車床加工的概率為5%×45%6%×25%+5%×30%+5%×45%故答案為：ABC.【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率判斷A、B正誤；應(yīng)用條件概率公式求C、D描述中對(duì)應(yīng)的概率，判斷正誤.11．【答案】B,D【解析】【解答】A.函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=?2x2+1x=x?2x2，∴B.y=f(x)?x=2x+lnx?x，∴y'=?2x2+C.若f(x)>kx，可得k<2x2+lnxx，令g(x)=2x2+lnxx，則g'(x)=?4+x?xlnxx3，令h(x)=?4+x?xlnx，則h'(x)=?lnx，D.令t∈(0，2)，則2?t∈(0，2)，2+t>2，令g(t)=f(2+t)?f(2?t)=22+t+ln(2+t)?22?t?ln(2?t)=4tt2?4+ln2+t2?t，則g'(t)=4(t2?4)?8t2(t2?4)故答案為：BD.

【分析】對(duì)f(x)求導(dǎo)，分析f'(x)的正負(fù)，得f(x)的單調(diào)性，極值，即可判斷A；對(duì)y=f(x)?x=2x+lnx?x，求導(dǎo)，分析單調(diào)性，極值，即可判斷B；若f(x)>kx，可得k<2x2+lnxx，令g(x)=2x212．【答案】-360【解析】【解答】解：(2x?3y)5展開式的通項(xiàng)為T①令r=2，則yC②令r=3，則xC綜上可得：展開式中x3y3故答案為：?360．【分析】先求出(2x?3y)513．【答案】13【解析】【解答】解：若脫落1個(gè)，則有（1），（4）兩種情況，若脫落2個(gè)，則有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種情況，若脫落3個(gè)，則有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4種情況.若脫落4個(gè)，則有（1，2，3，4）共1種情況，綜上共有2+6+4+1=13種情況.故答案為：13.【分析】分類討論，列舉出脫落1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)焊接點(diǎn)導(dǎo)致電路不通的情況，求出答案.14．【答案】[?2，1)【解析】【解答】f'(x)=x2?1=(x+1)(x?1)，令f令f'(x)<0得?1<x<1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞，?1)和(1，+∞)，減區(qū)間為(?1，1).所以要使函數(shù)f(x)=13x?x在(a，10?故答案為：[-2，1）.

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)“當(dāng)f'（x）>0（<0）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增（減）”求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間并畫出函數(shù)的草圖，根據(jù)圖象列出不等式組即可求解.15．【答案】（1）解：C（2）解：令x=1，得a0令x=0，得∴【解析】【分析】（1）利用排列數(shù)與組合數(shù)公式計(jì)算即可得到結(jié)果；

（2）利用賦值法求解即可得到結(jié)果.16．【答案】（1）解：由題可知X的所有可能取值為0，1，2，依題意得：P(X=0)=C∴X的分布列為：X012P133（2）解：設(shè)第1次抽到男老師為事件A，第2次抽到男老師為事件B，則第1次和第2次都抽到男老師為事件AB，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理n(A)所以P(【解析】【分析】（1）先寫出X的所有可能取值為0，1，2，再求出對(duì)應(yīng)可能值的概率即可得到分布列．（2）利用條件概率公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可得到結(jié)果．17．【答案】（1）解：因?yàn)閒(x)=2ax?lnx+3b，該函數(shù)的定義域?yàn)?0,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2ax?lnx+3b（a、b為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)(1,則f'(1)=2a=1f(1)=3b=2（2）解：由（1）可得f(x)=xlnx+2，該函數(shù)的定義域?yàn)?0,由f'(x)=0可得x(01(f?0+f(x)減極小值增所以，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(0,1e極小值為f(1【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到切線斜率，根據(jù)其幾何意義列出關(guān)于a、b的方程組，即可得出實(shí)數(shù)a、b的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與極值進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果.18．【答案】（1）解：甲快遞公司的“快遞小哥”的日工資y1中與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為y1=f乙快遞公司的“快遞小哥”的日工資y2與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為y（2）解：①由條形圖得x的取值范圍為{100,P(X=100)P(X=118)所以X的分布列為X100106118130P0.20.30.40.1故X的數(shù)學(xué)期望為E(②甲快遞公司的“快遞小哥”日平均送貨單數(shù)為42×0.所以甲快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為70+45=115（元），由①知，乙快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為112元．故推薦小趙去甲快遞公司應(yīng)聘．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由已知條件列出關(guān)系式，即可得到甲快遞公司的“快遞小哥”的日工資y1和乙快遞公司的“快遞小哥”的日工資y2與送貨單數(shù)（2）①由條形圖得x的取值范圍為{100,106,118,130}，求得P(X=100)②根據(jù)條形圖求甲快遞公司的“快遞小哥”日平均工資，由第（1）問(wèn)知，乙快遞公司的“快遞小哥”日平均工資，比較可得結(jié)論．19．【答案】（1）解：因?yàn)閒'當(dāng)f'(x)>0時(shí)，即ln(x+1)+1>0當(dāng)f'(x)<0時(shí)，即ln(x+1)+1<0，解得1所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(?1,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1（2）解：當(dāng)f'(x)=0時(shí)，由（1）可知f(x)在(?1,1e所以在區(qū)間(?1,0)上，當(dāng)x=1e?1當(dāng)x<0時(shí)，x→?1+，f(x)→?∞，x