第09講 雙曲線及其性質(zhì)【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第一冊）（原卷版）

第09講雙曲線及其性質(zhì)【人教A版2019】·模塊一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程·模塊二雙曲線的幾何性質(zhì)·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1．雙曲線的定義雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：雙曲線在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系【考點1曲線方程與雙曲線】【例1.1】（2023秋·高二單元測試）方程x2-yA．當(dāng)θ=B．當(dāng)θ∈π2C．當(dāng)θ=D．當(dāng)θ∈0,π【例1.2】（2023春·全國·高二開學(xué)考試）已知曲線C的方程為x22-k-y22k-5=1A．-1<k<5 B．k>52 C．【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）對于常數(shù)a，b，“ab<0”是“方程ax2+bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1.2】（2023秋·湖南常德·高二校考期末）已知曲線C的方程為x2k2A．當(dāng)k=8時，曲線C為橢圓，其焦距為B．當(dāng)k=2時，曲線C為雙曲線，其離心率為C．存在實數(shù)k使得曲線C為焦點在y軸上的雙曲線D．當(dāng)k=3時，曲線C為雙曲線，其漸近線與圓x【考點2利用雙曲線的定義解題】【例2.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x23-y2=1的左、右焦點，Q為雙曲線右支上一點，點P（0，A．3-2 B．3+2 C．【例2.2】（2023秋·廣東廣州·高三?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線Γ:x24-y22=1的左右焦點分別為F1,F2A．5+4 B．25+4 C．2【變式2.1】（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x24-y26=1A．6 B．12 C．610 D．【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線x29-y216=1的左焦點為F，點P為雙曲線右支上的一點，且PF與圓x2+y2=9A．-12 B．-1 C．-32 D【考點3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】【例3.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）與橢圓C:y216+A．x2-yC．y22-【例3.2】（2023秋·廣東揭陽·高三?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線C:y2a2-x2b2=1(a>0,A．y24-C．y23-【變式3.1】（2023春·河南洛陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點分別為F10,3，F(xiàn)20,-3，P是雙曲線上一點且A．x24-C．y24-【變式3.2】（2023·高二課時練習(xí)）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點，且FA．5x27C．x2-y模塊二模塊二雙曲線的幾何性質(zhì)1．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的一些幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半軸長實半軸長為a,虛半軸長為b離心率漸近線方程2．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.3．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【考點4利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】【例4.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2bA．x24-C．x216-【例4.2】（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）與橢圓x215+y2A．x25-C．x24-【變式4.1】（2023春·四川宜賓·高二?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線C與雙曲線y23-x22=1A．y24-C．y28-【變式4.2】（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為3，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，BA．x28-C．x24-【考點5雙曲線的漸近線方程】【例5.1】（2023春·江西吉安·高二校聯(lián)考期末）雙曲線x2-yA．y=±3x B．y=±13x【例5.2】（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）若直線y=2x+1與雙曲線C：x2-A．2 B．12 C．4 D．【變式5.1】（2023·山東菏澤·山東省校考三模）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(A．23 B．34 C．26 D．39【變式5.2】（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，點F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,

A．±3 B．±23 C．±13 D【考點6求雙曲線的離心率的值或取值范圍】【例6.1】（2023秋·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,A．12 B．233 C．2【例6.2】（2023秋·湖北武漢·高三校考階段練習(xí)）已知點F是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0,b>0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過FA．(1,+∞) BC．(2,1+2) D【變式6.1】（2023春·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2=60°，PFA．3 B．3 C．2 D．2【變式6.2】（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點分別為F1,

A．173 B．375 C．102【考點7雙曲線中的最值問題】【例7.1】（2023春·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）已知點F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2-y23=1的左、右焦點，點P是雙曲線C右支上一點，過點F2A．2 B．7 C．3 D．4【例7.2】（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）雙曲線x2m-y2n=1(m>0,A．32 B．2 C．3 D．【變式7.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x2a2-y216=1(a>0)的左?右焦點，點A．237-6 B．10-35 C．【變式7.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知F1,F2分別為雙曲線x29-y2A．19 B．23 C．25 D．85模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）當(dāng)ab<0時，方程ax2A．焦點在x軸的橢圓 B．焦點在x軸的雙曲線C．焦點在y軸的橢圓 D．焦點在y軸的雙曲線2．（2023秋·高二課時練習(xí)）若點M在雙曲線x216-y24=1A．2 B．4 C．8 D．123．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點M-2,0,N2,0，動點P滿足PMA．x22-C．x24-4．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知雙曲線x29-A．兩個雙曲線有公共頂點B．兩個雙曲線有公共焦點C．兩個雙曲線有公共漸近線D．兩個雙曲線的離心率相等5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知A(7,3)，雙曲線C：x24-y25=1的左焦點為F，A．-1 B．2 C．109 D．6．（2023春·陜西安康·高三?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：x24-y2=1的左焦點為F1，右焦點為F2，點P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點A．34 B．1 C．54 D7．（2023秋·全國·高二期中）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為A．2,2 BC．(1,3] D8．（2023·四川·校聯(lián)考一模）雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為52，直線x-A．±2 B．－1 C．1 D．3

9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩個焦點，C的離心率為5A．-3a,3C．-75a10．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考三模）設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線H：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點．過F1作圓O：x2+y2=A．x22-C．x2-y11．（2023秋·高二課時練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別是-5,0,5,0,(2)焦點在x軸上，經(jīng)過點P4,-2和點Q12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知x21-k(1)方程表示雙曲線；(2)表示焦點在x軸上的雙曲線；(3)表示焦點在y軸上的雙曲線．13．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線E:x2(1)若m=4，求雙曲線E(2)若雙曲線E的離心率為e∈6214