2024年第一次廣東省普通高中數(shù)學學業(yè)水平合格性考試真題卷含答案

2024年第一次廣東省普通高中學業(yè)水平合格性考試真題卷(時間：90分鐘，滿分：150分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合M＝{1，2}，N＝{－1，0，1}，則M∪N＝()A．{0，1，2} B．{1}C．{0，1} D．{－1，0，1，2}2．函數(shù)y＝eq\r(x－2)的定義域為()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]3．已知角α的終邊過點P(3，4)，則tanα等于()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)4．命題P：?x∈R，x2≥0的否定命題是()A．?x∈R，x2<0B．?x∈R，x2≥0C．?x∈R，x2≥0D．?x∈R，x2<05．下列函數(shù)圖象中為偶函數(shù)的是()6．不等式x2＋4x－12<0的解集為()A．{x|－6<x<－2} B．{x|－2<x<6}C．{x|－6<x<2} D．{x|2<x<5}7．要得到f(x)＝cos(x－eq\f(π,4))的函數(shù)，只需將余弦曲線()A．向左平移eq\f(π,4)個單位長度B．向右平移eq\f(π,4)個單位長度C．向左平移eq\f(1,4)個單位長度D．向右平移eq\f(1,4)個單位長度8．若f(x)＝log3x，則f(9)＝()A．1 B．－2C．2 D．49．sin30°cos60°＋cos30°sin60°＝()A．1 B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(3,2) D．eq\f(\r(3),2)10．已知向量a＝(x，3)，b＝(2，1)，若a⊥b，則x＝()A．6 B．－eq\f(3,2)C．－6 D．eq\f(3,2)11．從某班所有同學中隨機抽查10人，獲得他們某學年參加社區(qū)服務次數(shù)的數(shù)據(jù)如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10根據(jù)這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是()A．眾數(shù)是7B．平均數(shù)是7C．第75百分位數(shù)是8.5D．中位數(shù)是812．已知l，m均為直線，α為平面，且直線m?α，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分．13．已知z＝2－i，則eq\o(z,\s\up6(－))＝________．14．已知冪函數(shù)f(x)＝xα過點(2，4)，則α＝________．15．函數(shù)f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))的最小正周期為________．16．已知x>0，則x＋eq\f(4,x)的最小值為________．17．一個邊長為2的正方體八個頂點都在一個球上，則球的半徑為________．18．三個人過關，甲帶560元，乙?guī)?50元，丙帶180元，共要交100元的關稅，若按照比例繳納，乙應交________元．(結果保留整數(shù))三、解答題：本大題共4小題，第19，20，21題各10分，第22題12分，共42分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝5，b＝8，C＝eq\f(π,3)，求c和sinB.20．某城市為鼓勵居民節(jié)約用電采用階梯電價的收費方式，即每戶每月用電量不超過200kw·h的部分按0.6元/(kw·h)收費，超過200kw·h的部分，按1.2元/(kw·h)收費．設某戶月用電量為xkw·h對應電費為y元．(1)請寫出y關于x的函數(shù)解析式；(2)若某居民本月用電量為230kw·h，求此用戶居民本月應交納的電費．21．在一次猜燈謎活動中，共有20道燈謎，兩名同學獨立競猜，甲同學猜對了16道，乙同學猜對了12道．假設猜對每道燈謎都是等可能的．(1)任選一道燈謎，求甲和乙各自猜對的概率；(2)任選一道燈謎，求甲和乙至少有一人答對的概率．22．如圖所示，直線EA和DC都垂直于平面ABC，且AB⊥AC，AB＝AC＝AE＝2，F(xiàn)是線段BE上的一個動點．(1)求證：DC∥平面ABE；(2)求△ACF面積的最小值．參考答案2024年第一次廣東省普通高中學業(yè)水平合格性考試真題卷1．D由題意得，M∪N＝{－1，0，1，2}．2．A已知y＝eq\r(x－2)，則x－2≥0，故x的取值范圍為[2，＋∞)，即定義域為[2，＋∞).3．B已知角α的終邊過點(3，4)，則角α的正切值tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(4,3).4．D命題的否定要否定條件否定結論，存在量詞命題與全稱量詞命題的否定需要改量詞否結論，原命題P為?x∈R，x2≥0，則命題的否定為?x∈R，x2<0.5．C偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，觀察圖象可知A選項的圖象關于坐標原點對稱，為奇函數(shù)；B選項為指數(shù)型函數(shù)圖象，為非奇非偶函數(shù)；D選項的圖象關于坐標原點對稱，為奇函數(shù)．故選C.6．C原式可化成(x＋6)(x－2)<0，根據(jù)口訣大于取兩邊，小于取中間可求出解集為{x|－6<x<2}，故選C.7．B根據(jù)左加右減的原則，將余弦函數(shù)y＝cosx的圖象向右平移eq\f(π,4)個單位長度即可得到y(tǒng)＝cos(x－eq\f(π,4)).8．Cf(9)＝log39＝log332＝2.9．Asin30°cos60°＋cos30°sin60°＝sin(30°＋60°)＝sin90°＝1.10．B因為a⊥b，所以a·b＝0，即2x＋3＝0，所以x＝－eq\f(3,2).11．B眾數(shù)是4，A錯誤；平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(4＋4＋4＋7＋7＋8＋8＋9＋9＋10)＝7，B正確；第75百分位數(shù)是9，C錯誤；中位數(shù)為7.5，D錯誤．12．A因為l⊥α，m?α，所以l⊥m，所以充分性成立；因為l⊥m，m?α無法推出l⊥α，必要性不成立，所以是充分不必要條件．13．解析：求2－i的共軛復數(shù)只需要改變虛部的符號，即eq\o(z,\s\up6(－))＝2＋i.答案：2＋i14．解析：由題意得，f(2)＝2α＝4，所以α＝2.答案：215．解析：最小正周期T＝eq\f(2π,|w|)＝eq\f(2π,|2|)＝π.答案：π16．解析：運用基本不等式即可得x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，當且僅當x＝2時等號成立．答案：417．解析：設球的半徑為R，由正方體外接球的直徑等于正方體的體對角線得，eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)＝2R，所以R＝eq\r(3).答案：eq\r(3)18．解析：100×eq\f(350,560＋350＋180)≈32.答案：3219．解：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝25＋64－2×5×8×eq\f(1,2)＝49.因為c>0，所以c＝7.由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(8,sinB)＝eq\f(7,\f(\r(3),2))，得sinB＝eq\f(4\r(3),7).20．解：(1)當0≤x≤200時，y＝0.6x；當x>200時，y＝0.6×200＋(x－200)×1.2＝1.2x－120，所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.6x（0≤x≤200）,1.2x－120（x>200）)).(2)因為230>200，所以y＝1.2×230－120＝156.即該居民本月應交納的電費為156元．21．解：(1)設甲猜對為事件A，乙猜對為事件B，由題意可得P(A)＝eq\f(16,20)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)設甲和乙至少有一人答對的概率為P，P＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(23,25).22．解：(1)證明：因為EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，所以EA∥DC.因為EA?平面ABE，DC?平面ABE，所以DC∥平面ABE.(2)因為EA⊥平面ABC，且AC?平面ABC，所以EA⊥AC.因為AB⊥AC且EA∩AB＝A，又因為EA，AB?平面ABE，所以AC⊥平面ABE，因為AF?平面ABE，所以AC⊥AF.故S△ACF＝eq\