2021-2022學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)期末壓軸課-全等三角形（解析版）

（難）2021-2022學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)期末壓軸課

全等三角形（解析版）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.（2021?全國(guó)八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AABC中，ZBAC=60。，NB4c的平分線(xiàn)4。與

邊8C的垂直平分線(xiàn)例。相交于O,DEL回交A8的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,。尸，AC于尸，現(xiàn)有

下列結(jié)論：①DE=DF;@DE+DF=AD；?DMZEDF;@AB+AC=2AE,其

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】

①由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知①正確；②由題意可知NE4O=NE4D=30。，故此可知

ED=\AD,DF：AD,從而可證明②正確；③若O0平分/成加，則N￡OM=60。,

22

從而得到NABC為等邊三角形，條件不足，不能確定，故③錯(cuò)誤；④連接BD、DC,

然后證明AEBOwADFC，從而得到BE=FC,從而可證明④.

【詳解】

①?.?4)平分NBAC,DELAB,DFVAC,

;.ED=DF.

，①正確.

(2)-.-ZE4C=60°,AO平分NBAC,

:.ZEAD=ZFAD=30P.

■.DEA.AB,

：.ZAED=90°.

???ZAED=90°,ZEAD=30°,

:.ED=-AD.

2

同理：DF=-AD.

2

:.DE+DF=AD.

.??②正確.

③由題意可知：NED4=/ADF=60。.

假設(shè)MD平分N￡Z/,則/EDW=60。,

又???ZE=NRWD=90。，

/.Z￡BM=120°.

/.ZABC=60°.

???ZABC是否等于60。不知道，

不能判定MD平分NEDF,

故③錯(cuò)誤.

④???ZW是8c的垂直平分線(xiàn)，

DB=DC.

在RtABED和RIACFD中

[DE=DF

\BD=DC'

..RtABED=RtACFD.

：.BE=FC.

.\AB+AC=AE-BE-^-AF+FC

又?.?AE=AF,BE=FC,

:.AB+AC=2AE.

故④正確.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì),

掌握本題的輔助線(xiàn)的作法是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?東北育才雙語(yǔ)學(xué)校）如圖，正方形A8C。中，點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，

EFLDE交邊AB于F,連接〃尸交線(xiàn)段AC于點(diǎn)H,延長(zhǎng)DE交邊BC于點(diǎn)。，連接

QF.下列結(jié)論：①DE=EF；②若AB=6,CQ=3,貝!|A尸=2;?ZAFD=ZDFQ；

④若AH=2,CE=4,貝ljA8=3近+加；其中正確的有（）個(gè).

AFB

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】

連接8E,由“SAr可證△OCE絲△BCE,可得DE=BE,NCDE=NCBE,由補(bǔ)角的性

質(zhì)可得可證EF=BE,故判斷①，延長(zhǎng)8C到G,使CG=A尸，連接

DG,由“SAS'可證△AOF絲△CQG,可得NAFC=NG,ZADF^ZCDG,DF=DG,

由“S4歹可證△尸絲△QOG,可得/Q=QG,NG=/DFQ,可判斷③，由勾股定理

可求AF=2,可判斷②,將^CDE繞點(diǎn)\順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADM,連接MH,由“SAS'

可證且△￡>￡〃，可得EH=MH,由勾股定理可求的長(zhǎng)，即可求A8的長(zhǎng)，

即可求解.

【詳解】

B

???四邊形A8CO為正方形,

:?CB=CD,NBCE=/DCE=45。,

在△BEC和△OEC中，

DC=BC

<ZDCE=ZBCE,

CE=CE

:?△DCEq/XBCE(SAS),

；.DE=BE,NCDE=/CBE,

：./ADE=/ABE,

VZ￡>AB=90°,Z￡)EF=90°,

???ZADE+NAFE=180°,

ZAFE+NEFB=180°,

???ZADE=ZEFB,

：.NABE=/EFB,

：.EF=BE,

：.DE=EF,故①正確；

VZD￡F=90°,DE=EF,

：.ZEDF=ZDFE=45°f

如圖：延長(zhǎng)8c到G,使CG=AE連接OG,

在尸和△CDG中,

AD=CD

<NDAF=NDCG,

AF=CG

：./\ADF^/\CDG(SAS),

AZAFD=ZG1NADF=NCDG,DF=DG,

ZADF+NCOQ=90。-NEDQ=45。，

???ZCDG+/。。。=45。=ZGDQ,

:?/GDQ=NFDQ,

又?:DG=DF,DQ=DQ,

???△QO金△QOG(SAS),

:?FQ=QG,NG=/DFQ,

：.ZDFA=ZDFQ,故③正確；

VAB=6,CQ=3,

：.BQ=3,FB=6-AF,FQ=QG=3+AF,

'：FQ2=FB2+BQ2,

：.(3+AF)2=9+(6-AF)2,

：.AF=2,故②正確;

如圖：將4CDE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADM,連接MH,

：.XCDEqXADM,

，AM=CE=4,NOCE=ND4M=45。，/ADM=NCDE,DM=DE,

：.ZMAH=90°,ZADM+NADH=ZCDE+^ADH=45°=ZMDH,

又,：DH=DH,

：./\DMH烏/XDEH(SAS),

：.EH=MH,

:MH=yjAM2+AH2=716+4=275,

：.EH=MH=2不，

：.AC=AH+EH+EC=6+2有

；.AB=AC+母=3五+回,故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題，考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰

直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法,

添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

3.(2021?全國(guó)八年級(jí)單元測(cè)試)如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,AC與80交

于點(diǎn)O,E為CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且CD=DE,連接BE分別交AC.AD于點(diǎn)/、G,

連接OG,則下列結(jié)論中一定成立的是()

@OG=yAB；②與AOEG全等的三角形共有5個(gè)；③四邊形OZJEG與四邊形OR4G

面積相等；④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形.

A.

B.①?

c.(D@③

D.(2X§)@

【答案】A

【分析】

由A4s證明MBGwAEDG,得出4G=OG,證出OG是A4CD的中位線(xiàn)，得出

OG=^-CD=^AB,①正確；先證明四邊形A8OE是平行四邊形，證出A489、ABCD

是等邊三角形，得出/1B=B￡>=A￡),因此OD=AG,得出四邊形ABDE是菱形，④正

確；由菱形的性質(zhì)得出AABGMADBGMAEDG,山SAS證明AABGfADCO,得出

A4BO=ACBO=AaX)=A4DO=ABAG=MDG=A￡DG,得出②不正確；由中線(xiàn)的性質(zhì)和菱

形的性質(zhì)可得5moe=%歡；，SMBC=S&DCE,可得四邊形OOEG與四邊形。SAG面積相等，

得出③正確；即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：???四邊形A8C3是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,AB//CD,OA=OC,OB=OD,AC1BD,

.-.ZBAG=ZEDG,MBO=\CBO=\CDO=AADO,

?：CD=DE,

AB=DE，

在A43G和ADEG中，

"BAG=NEDG

<ZAGB=NDGE,

AB二DE

:.MBG=/^EDG(AAS),

AG=DG,

.?.OG是A4CD的中位線(xiàn)，

:.OG=^CD=^AB,①正確；

ABIICE,AB=DE,

四邊形是平行四邊形，

?.?ZBCD=Zfi4￡>=60°,

.-.MBD,ABC。是等邊三角形，

:.AB=BD=AD,ZODC=60°,

:.OD=AG,四邊形A3DE是菱形，④正確;

：.ADLBE,

由菱形的性質(zhì)得：AABGsADBGsA￡Z)G,

在AABG和ADCO中，

0D=AG

-ZODC=NBAG=60°,

AB=DC

:.MBG三MXXXSAS),

△ABONXCBOWACDOWMDOW&BAGNXBDGW&EDG,②不正確；

?：OB=OD,

一S&BOGS&00c,

??,四邊形AB0E是菱形，

S&ABG—S40c￡,

四邊形O￡>EG與四邊形O8AG面積相等，故③正確；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、

三角形中位線(xiàn)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大.

4.(2021?宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考)如圖，在“ABC中，A。是BC邊上的高，

ZBAF=ZCAG=90°,AB=AF,AC^AG.連接FG,交D4的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接

BG,CF.則下列結(jié)論：①BG=CF；②BGLCF；?BC=2AEi④EF=EG,其中

正確的有()

A.dXD?B.C.?(§)@D.(D?@@

【答案】D

【分析】

iWACAF^^GAB(SAS'),從而推得①正確；利用△及三角形內(nèi)角和與

對(duì)頂角，可判斷②正確；證明△AFM絲△BAO(A4S),得出FM=AD,ZFAM^ZABD,

同理AANG絲Z\CD4,得出NG=AO,則FM=NG,證明△FME絲Z\GNE(AAS).可得

出結(jié)論④，③正確.

【詳解】

解：?.?/B4F=/C4G=90°,

，ZBAF+ZBAC-ZCAG+ZBAC,即NC4F=NGA8,

y.,：AB=AF,AC=AG,

.'./^CAF^^GAB(SAS),

：.BG=CF,故①正確；

?.,△MC絲△BAG,

：.ZFCA=ZBGA,

又「BG與AC所交的對(duì)頂角相等，

：.BG與FC所交角等于/G4C,即等于90°,

：.BG±CF,故②正確；

過(guò)點(diǎn)F作FM±AE于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)G作GNLAE交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,

：.ZFAM+ZBAD=90°,NFAM+NAFM=90°,

ZBAD=ZAFM,

又尸=A8,

A/\AFM^/\BAD(AAS),

：.FM=AD,NFAM=NABD,

同理△AVG絲△CD4,

：.NG=AD,AN=CD,

：.FM=NG,

\'FM±AE,NGLAE,

NFME=NENG=90°,

NAEF=NNEG,

；./\FME名/\GNE（AAS）.

:.EM=EN,EF=EG.故④正確.

BD+DC=BC=AM+AN=2AM+2ME=2AE,故③正確

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)與互余、對(duì)頂角,

三角形內(nèi)角和等幾何基礎(chǔ)知識(shí).熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?全國(guó)）如圖，AABC中，AB=AC,ZBAC=a,點(diǎn)。在AA3c內(nèi)部，且使得

ZABD=^BAD=^-3Q°.則ZAC。的度數(shù)為（）

A.c-30°B.c-60°C.30°D.不能確定

【答案】C

【分析】

如圖，在AABC內(nèi)作ZC4E=ABAD，且使得=4），連。旦CE,證明^ABD=^ACE,

得到AACE為等腰三角形，再證明“ADE為等邊三角形，推出AOCE為等腰三角形，由

三角形外角的性質(zhì)得出ZACD=|ZAED即嘰

【詳解】

如圖，在AA8c內(nèi)作NC4E=N54T>,且使得AE=A￡>,連DE,CE,

?.■在△45。和AAC￡■中,

'AB=AC

"ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:.^ABD=^ACE（SAS）,

???ZABD=ZBAD，

△ABO為等腰三角形，

，AACE為等腰三角形，

cc

VZCAE=ZBAD,/BAC=a,ZBAD=一一30°,

2

/.NDAE=ZBAC-Z.BAD一/CAE

”（130。卜330。）

=60°,

r.V4）E為等邊三角形，

:.DE=AE=CE,

???AOCE為等腰三角形，

延長(zhǎng)CE交4）于尸點(diǎn)，

NAEF=NEAC+ZECA,

NDEF=NECD+NEDC,

:.NAED=NAEF+NDEF

=2ZACE+2ZDCE

=2（ZACE+ZDCE）

=2ZACD,

:.ZACD=-ZAED=-x60°=30°,

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的綜合問(wèn)題，涉及等腰三角形的等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，有一定難度，根據(jù)題意做出適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是

解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.（2021?湖北襄州?八年級(jí)期末）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，其中AABC為

含有45。角的三角板，直線(xiàn)AD是等腰直角三角板的對(duì)稱(chēng)軸，且斜邊上的點(diǎn)。為另一塊

三角板的直角頂點(diǎn)，DM、OW分別交A3、AC于點(diǎn)E、F.則下列四個(gè)結(jié)論：

?BD=AD=CDi②之△CFD；?BE+CF=AB?S^=BC2.其中

iAEDFO

正確結(jié)論是.（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）.

N

B乙——庠--、C

【答案】①②③④.

【分析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得故①正確，ZCAD=ZB=45°,根據(jù)同角

的余角相等求出/CQF=/AOE,然后利用“角邊角”證明△?!￡>￡和△CCF全等，判斷出

②正確，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CF,從而判斷出③正確；根據(jù)全等三角

形的面積相等可得5山=S3*從而求出s四邊i=L,K：=gm，再結(jié)合勾股定理，

判斷出④正確.

【詳解】

解：VZB=45°,AB=AC,

.??△48C是等腰直角三角形，

:點(diǎn)。為8C中點(diǎn)，

.'.AD=CD=BD,故①正確；

???點(diǎn)。為BC中點(diǎn)，AB=AC,

AD1BC,N340=45。，

：.ZEAD=ZC,

?.?/MON是直角，

/.ZADF+ZADE=90°,

,/ZCDF+ZADF=ZADC=90°,

：.NADE=NCDF,

在^ADE^PACO尸中，

ZDAE=ZC

<AD=CD,

NADE=NCDF

：./\ADE^/\CDF(ASA),故②正確；

AE=CF,

：.BE+CF=BE+AE=AB.故③正確；

AADfi^ACDF,

??S4ADE=S&CDF>

,?S四邊形AEDF=SMDC=耳

而：AD2+BD2=AB\AB2+AC2=BC2,AD=BD,AB=AC,

-,?S四邊形我注=工，*=：4。2=；482=（8。2,故④正確；

ZH-O

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，

熟記三角形全等的判定方法并求出△4?！逗?CDF全等是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?湖南平江?）如圖，矩形紙片A8CZ）中，AB=6,8c=12.將紙片折疊，使

點(diǎn)5落在邊AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)G處，折痕為EF,低E、F分別在邊AO和邊8c上.連

接BG,交CD于點(diǎn)K,FG交CD于氤H.給出以下結(jié)論：①EFLBG；②GE=GF；

③DK=KH;④當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，ZDEF=75°9其中正確的結(jié)論有（填

序號(hào)）.

【答案】①②④

【分析】

連接8E,設(shè)EF與BG交于點(diǎn)O,由折疊的性質(zhì)可得E尸垂直平分8G,可判斷①;由“4SA”

可證ABO尸也△GOE,可得BF=EG=GF,可判斷②；通過(guò)證明四邊形8EG尸是菱形，

可得NBEF=NGEF,求出/AEB=30。，可得NOE尸=75。，可判斷④，根據(jù)角平分線(xiàn)的性

質(zhì)得至IJDK^KH,即可求解.

【詳解】

解：如圖，連接BE,設(shè)EF與BG交于點(diǎn)O,

?；將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)G處，

尸垂直平分8G,

：.EF1.BG,BO=GO,BE=EG,BF=FG,故①正確，

■:AD//BC,

：./EGO=NFBO,

又，:NEOG=NBOF,

:ABOF名/XGOE（ASA）,

：.BF=EG,

:.BF=EG=GF,故②正確，

"：BE=EG=BF=FG,

，四邊形8EGF是菱形，

NBEF=NGEF,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，則BF=BC=BE=12,

此時(shí)BE=2AB,

：.ZAEB=30°,

:.NDEF=75。,故④正確，

平分NEG凡

J.DK^KH,故③錯(cuò)誤；

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)

等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

8.（2021?廣東海珠?八年級(jí)期末）如圖，正方形ABCO中，H為CD上一動(dòng)點(diǎn)（不含C、

D）,連接A“交8。于G,過(guò)點(diǎn)G作GELAW交BC于E,過(guò)E作EFLBZ）于尸，連

接AE,EH.下列結(jié)論：①AG=EG；②NE4H=45。；③BD=2GF；④GE平分

NFEC.正確的是（填序號(hào)）.

【答案】①②③

【分析】

連接GC,延長(zhǎng)EG交4。于點(diǎn)L,可證△AOGgaCOG,進(jìn)而可得NGEC=NGCE,,

由此可得出GEnGC,再由/77=AR即可得出N/ME=45。，于是可判斷①②；連接AC

交3。于點(diǎn)O,則5。=2。4證明△AOGQXGFE,即可得出OA=GF,進(jìn)而可得尸G,

于是可判斷③；過(guò)點(diǎn)G作MNJ_3C于點(diǎn)N,交A。于點(diǎn)M,由于G是動(dòng)點(diǎn)，GN的長(zhǎng)

度不確定，而產(chǎn)G=CM是定值，即可得出GE不一定平分NFEC,于是可判斷④.

【詳解】

解：連接GC延長(zhǎng)EG交AO于點(diǎn)3

???四邊形ABCD為正方形，

：.AD//CB9AD=CD,ZADG=ZCDG=45°t

■:DG=DG,

:.AADG會(huì)/\CDG(SAS),

：.AG=GCt/HCG=/DAG,

,/Z//CG+ZGCB=90°,

JNDAG+NGCB=90。,

u：GELAH,

：.ZAGL=90°f

???ZALG+ZMG=90°,

*：AD//CB,

：.ZALG=ZGEC,

：.ZGEC+ZLAG=90°f

，NGEC=NGCE,

：.GE=GC,

：.AG=EG,故①正確；

'：GE1.AH,

：.ZAGE=90°,

"：AG=EG,

：.ZEAH=45°,故②正確；

連接AC交8。于點(diǎn)O,則BD^2OA,

NAGF+NFGE=NGEF+NEGF=90°,

ZAGF=ZGEF,

'：AG=GE,ZAOG=ZEFG=90°,

.?.△AOG絲ZXGFE（A4S）,

J.OA^GF,

'：BD=2OA,

：.BD=2GF,故③正確.

過(guò)點(diǎn)G作MN,8c于點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)、M,交BC于點(diǎn)、N,

：G是動(dòng)點(diǎn)，

，GN的長(zhǎng)度不確定，而尸G=OA是定值，

；.GE不一定平分NPEC,

故④錯(cuò)誤；

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)性質(zhì)和判定等，熟練掌握全

等三角形判定和性質(zhì)，合理添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

9.（2021?江蘇）如圖，在與都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C.E在同一條直線(xiàn)

上，AO與5E、8c分別交于點(diǎn)F、M,8E與CQ交于點(diǎn)N.有以下結(jié)論：①AM=8N；

②4ABF9QNF；?AFMC+ZFNC=180°；=其中正確的是

.（填序號(hào)）

D

【答案】①③④

【分析】

①根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC,CE=CD,NACB=/ECD=60°,求出

根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；②根據(jù)NABC=6(r=/BCQ,求出AB〃C。，可推出

△ABFS^DNF,找不出全等的條件；③根據(jù)角的關(guān)系可以求得/AF8=60。，可求得

MF2120。,根據(jù)/8CD=60?？山忸};④根據(jù)CM=CN,/MCN=60。,可求得/CMW=60。，

可判定MN〃AE,可求得M等N=D蕓N=CD鳥(niǎo)-CN/，可解題.

ACCDCD

【詳解】

解：證明：①;△ABC和△COE都是等邊三角形，

：.AC=BC9CE=CD,ZACB=ZECD=60°f

：./ACB+/BCD=/ECD+NBCD,

^ZBCE=ZACD,

在aBCE和△ACO中，

BC=AC

<ZBCE=ZACD,

CE=CD

:?△BCE空XACD(SAS),

：.AD=BEfNADCBEC,/CAD=/CBE,

在^DMC和aENC中,

ZMDC=/NEC

<DC=EC,

Z.MCD=4NCE

:?△DMC91XENC(A&4),

:?DM=EN,CM=C7V,

???AD-DM二BE-EN,EPAM=BN；

@VNABC=60o=NBCD,

:,AB〃CD,

：./BAF=NCDF,

/AFB=/DFN,

JXABFSXDNF,找不出全等的條件；

@VZAFB+ZABF+ZBAF=180°,NFBC=/CAF,

：.ZAFB+ZABC^-ZBAC=180°,

???ZAFB=60°f

：.ZMFN=\20°f

,/ZMCN=60°f

.?.ZFMC+ZF^C=180°；

④,.,CM=CMNMCN=60。,

???△MCN是等邊三角形，

■??NMNC=60。,

*/ZDCE=60°,

：.MN//AEf

.MNDNCD-CN

**AC-CD~~~CD-，

■:CD=CE,MN=CN,

.MNCE—MN

^~AC~~CE'

.MN、MN

??=1-，

ACCE

故答案為①③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查

了平行線(xiàn)的運(yùn)用，考查了正三角形的判定，本題屬于中檔題.

10.（2021?遼寧興城?八年級(jí)期末）如圖，4在正方形CD8G的邊8。的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且

知4）=%>,E在Q9上，EFLAE交8c的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)足有以下結(jié)論：①AE=EF

（2）ZEAB+ZEFB=45°?BC=CE+CF?CF=^2DE.其中，正確的結(jié)論有.（填

序號(hào)）

A

DB

【答案】①②④

【分析】

根據(jù)正方形性質(zhì)得到/C8D=45。，進(jìn)而得到N布B+/AF8=135。，根據(jù)三角形性質(zhì)即可

得至l」NE48+/EF8=45。，判斷②正確；連接BE,先證明4E=8E,得至Ij/E4B=/EA4,

根據(jù)NE48+/EF'8=45。證明EF=EB,即可判斷①正確；作EH_L8凡得至ljBC=FC+2CH,

根據(jù)為等腰直角三角形得到CE=&CH，即可得至IJ8C=FC+反E，即可判斷③

錯(cuò)誤；證明BC=辰D，根據(jù)BC=FC+42CE得至IFC+辰E==0CE+&.DE，即可

得到④正確.

【詳解】

解：???四邊形CC8G為正方形，

,NCBD=gNDBG=45。,

：.ZFAB+ZAFB=\35°,

即ZEAF+NAFE+NEAB+NEFB=135°,

,：EFl.AE,

，NAEF=90°,

二ZEAF+ZAFE=90°,

：.NEAB+NEFB=45。,

故②正確；

連接BE,

???四邊形CD2G為正方形，

DELAB,

,：AD=BD,

.'.AE=BE,

：.NEAB=NEBA,

VZEAB+ZEFB=45°,ZEBD+ZEBF=45°,

：.NEFB=NEBF,

:.EF=EB,

：.AE=EF,

故①正確；

作EHLBF,

?：BE=FE,

：.BH=FH,

Z.BC=BH+CH=FH+CH=FC+2CH,

?.?四邊形CQBG為正方形，

NHCE=gNDCG=45。,

'：EH±BF,

.?.CE=&CH，

即C4=^CE,

2

BC=FC+2CH=FC+0CE，

故③不正確；

VZBCD=45°,ZCDB=90°,

:.BC=-ficD,

,;BC=FC+6CE，

FC+OCE=-J1CD=?CE+CO)=及CE+垃DE,

:.FC=ODE，

故④正確.

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形

性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟知正方形性質(zhì)和等腰直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系，添加適當(dāng)

輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵.

三、解答題

11.（2021?黑龍江道外?八年級(jí)期末）四邊形45。中，DA=DC,連接3￡>,ZABD=

ZDBC.

D

K

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：NR4O+NBC0=18O。；

如圖連接當(dāng)。時(shí)，求的長(zhǎng)；

(2)2,AC,NOAC=45BC=3AB,SADBC=27,A5

(3)如圖3,在(2)的條件下，把AAOC沿AC翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,AE交

BC于點(diǎn)K,/是線(xiàn)段8c上一點(diǎn)，連接E凡ZBFE=45a,求AE尸C的面積.

.Q

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)48=3；(3)-

【分析】

(1)作DM_L54交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M,ONL8C于N,利用HL定理證明

RMDM4段/?/△DNC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可；

(2)作DMLBA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于例，DNLBC于N,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到MB

=BN=Z)N,根據(jù)三角形的面積公式求出A5；

(3)作EG_LAB交48的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,EHLBC于H,證明△AGE會(huì)△€■，后，根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得到AG=C"EG=EH,求出84,進(jìn)而求出C凡根據(jù)三角形的面積公

式計(jì)算，得到答案.

【詳解】

(1)證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)。作DMLBA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M,DNLBC于N,

則/DMA=N￡WC=90。，

?:/ABD=NDBC,DM_LBA,DNLBC,

；.DM=DN,

在R>DMA和Rt4DNC中，

/DM=DN

[DA=DC'

/./?/△DMA絲/△DNC(HL),

:./DAM=NBCD,

"：ZDAM+ZDAB=]SO°,

...NZM8+NBCC=180°；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作DM,BA交54的延長(zhǎng)線(xiàn)于M,DNLBC于N,

由(1)得，△￡WC四△DMA,CN=MA,

■:DA=DC,NOAC=45。，

：.ZDAC=ZDCA=45°f即N￡)AC+NOCA=9()Q,

???ZADC=90°,

AZABC=ISO0-NADC=90。,

平分NA8C,

/./DBM=4DBN=45°,

*：/M=/DNB=90。,

：.NMDB=/BDN=NDBM=/DBN=45。,

:?DN=BN,DM=8M,

VDM=DM

:?MB=BN=DN,

設(shè)則3C=3A8=3m設(shè)CN=b,則MA=CN=b,

:?MB=a+b,BN=3a-b9

/.a+b=3a-b,

:?b=a,

:?BN=DN=3a-b=2a,

：.SAHCD=yBC?DN=-3q?2a=27,

解得，a=b=3,

：.AB=3；

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)E作EGLAB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,EHLBC于H,

由翻折可知，AE=AD=CD=CEtZAEC=ZADC=90°.

NAKB=NCKE,

:?/BAE=NBCE,

在△AG￡^IMCHE中,

ZGAE=ZHCE

<AAGE=ACHE,

AE=CE

：./\AGE^/\CHE(A4S),

：.AG=CH,EG=EH,

：.BE平分NC8G,即/GBE=NCBE=45°=/HEB=NBEG,

:?BH=EH=BG=EG,

設(shè)BH=k,則AG=3+KCH=9-k,

\'AG=CHf

：.3+k=9-k,

解得,k=3,

:?EH=BH=3,

NBFE=45。,NEHF=90。,

：.ZHEF=Z/7FE=45°,

:?HE=FH=3,

：.CF=CB-BF=9-3-3=3,

I?9

AEFC的面積=丁xCFxEH=-x3x3=

222

圖1圖2圖3

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰直角

三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(2021?山西太原?)綜合與探究:

問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以直角三角形紙片為背景進(jìn)行探究性活動(dòng).如圖，在AABC

中，a)_LA5于點(diǎn)。，AE平分NR4c交CZ)于點(diǎn)尸.

初步分析：

(1)智慧小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)ACEF是等腰三角形，請(qǐng)你證明這一結(jié)論；

(2)博學(xué)小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)給AA8C添加一個(gè)條件，可使ACE尸成為等邊三角形.添加

的條件可以是.(寫(xiě)出一種即可)

操作探究：

(3)創(chuàng)新小組的同學(xué)從圖形平移的角度進(jìn)行了如下的探究，請(qǐng)從下面A,5兩題中任

選一題作答我選擇題：

A.將A40廠(chǎng)沿射線(xiàn)48的方向平移，使點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸恰好落在線(xiàn)段8c上，

①請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出平移后的AAO產(chǎn)，

②猜想此時(shí)線(xiàn)段A，5與AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

B.將ACE尸沿射線(xiàn)C5的方向平移，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)B重合，

①請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出平移后的ABE9，

②連接EF，，交BD于點(diǎn)G,猜想此時(shí)線(xiàn)段EG與F，G之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）ZCAB=60°（答案不唯一）；（3）4①見(jiàn)解析；?A'B=AC,

證明見(jiàn)解析；B：①見(jiàn)解析；②EG-F'G,證明見(jiàn)解析-

【分析】

（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行等量代換進(jìn)而證明結(jié)論即可；

（2）當(dāng)AABC中，NC4B=60。時(shí)，根據(jù)等邊三角形判定定理進(jìn)行判定；

（3M.過(guò)點(diǎn)尸作尸6人AC于G,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出FG=U>,進(jìn)而證明R/ZVIGF

絲心△ADF,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=A。，根據(jù)平移的性質(zhì)得到AA￡>尸絲

△A'DF',得出AG=4D=A7）',GF=DF=OF',然后利用“角角邊”證明ACG尸且

廣，得到CG=B￡>',最終得出A'B=AC；

及過(guò)點(diǎn)E作EHLAG于〃,，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出EC=E〃，根據(jù)平移的性質(zhì)得到

△CEF咨/\BF'E,得出△CER是等腰三角形，EH=CE=CF=BF',

然后利用“角角邊”證明巫HE絲AGBF,最終得出EG=F'G.

【詳解】

（I）平分NBAC,

ZCAE=AEAB,

-JCDLAB,ZACB=90。，

ZADC=90°,

.?.在VAFZ）中，ZAFD+ZFAD=90°,

在AACE中，ZAEC+ZCAE=90°,

??ZAFD=ZCFE,

ZCEA=ZAFD=ZCFE,

...△CEF是等腰三角形；

（2）當(dāng)△ABC中，NC48=60。時(shí)，

ZC4￡=30°,ZCEF=90°-ZCAB=60°,

.?.△CE尸是等邊三角形;

（3）A.①如下圖即為所求,

②A'B=AC,理山如下:

過(guò)點(diǎn)F作依八AC于G,

?.FE平分/B4C,

VFDLAB,FGAAC,

'FG=FD,

在Rt/\AGF和Rt^ADF中，

[AF=AF

[GF^DF

：.R&GF色Rt/XADF(HL)

二AG=AD.

；△的)尸平移后得到AA'D'F',

：.^ADF絲/\ADF'

：.AG^AD^A'D',

GF=DF=DF',

;在△88中，N2+N3=90。,

又?:Zl+Z2=90°,

N1=N3,

在MGF和△3DF中，

,Z1=Z3

"NCGF=NBDF

GF=D'F'

:.Z\CGFmABD'F'(44S)

Z.CG=BD',

：.AG+CG=A'iy+BEy,

即：AB=AC；

B.①如下圖即為所求，

過(guò)點(diǎn)E作E”J.AG于H,

ZEFG=90°,

平分/BAC,

；ECJ,AC,EH±AH,

：.EC=EH,

:ACEF平移后得到/\BF'E,

/.ACEF<ABF'E',

**-CF=BF',N2=N4,

??.△C所是等腰三角形，

：.EH=CE=CF=BF',

;在△88中，N2+N3=90。,

Z4+Z3=90°,

ZGBF'=90°,

在ACHE和△G8F'中，

Zl=Z5

"NGHE=NGBF'

EH=F'G

：.ACHE會(huì)△GBF'(A4S)

，EG=F'G.

【點(diǎn)睛】

本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與

性質(zhì)，圖形的平移等，熟練運(yùn)用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

13.(2021?福建晉江?八年級(jí)期中)(1)在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)

y=Nx-l)+3(ZwO),無(wú)論k取何值，其圖象——直線(xiàn)總會(huì)過(guò)一定點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出此定點(diǎn)坐

標(biāo)(,),

(2)如圖①，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-2,3),交y軸正半軸于點(diǎn)A,交x軸負(fù)半軸

于點(diǎn)B,求AOAB面積的最小值.

(3)如圖②，等腰Rt^ABC中，斜邊AB=8,在A8邊上取點(diǎn)。(點(diǎn)。不與A、8重

合)，以AO為直角邊在AB下方作等腰RIAADE，連結(jié)BE,點(diǎn)產(chǎn)為。3的中點(diǎn)，連結(jié)CF,

試判斷CF與的位置和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)1,3；(2)12；(3)CF=；BE,CF1BE,理由見(jiàn)解析

【分析】

(1)因?yàn)榕c系數(shù)火無(wú)關(guān)，則令與人有關(guān)的式子為0,即可求得定點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)尸任作一直線(xiàn)交y軸正半軸于點(diǎn)E,交X軸負(fù)半軸于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)8作BG//y軸

交EF卜點(diǎn)G，則,根據(jù)S&OEF-S四邊形OEGB=S四邊形OEPB+S△aBC=^AOAB可

知當(dāng)點(diǎn)P為A8中點(diǎn)時(shí)，A048面積的最小，過(guò)點(diǎn)尸作PC_Ly軸于點(diǎn)C,軸于點(diǎn)

D,進(jìn)而根據(jù)P的坐標(biāo)和三角形面積公式計(jì)算即可；

(3)以AB所在直線(xiàn)為x軸，過(guò)點(diǎn)C作A3的垂線(xiàn)為》'軸建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原

點(diǎn)為。，)軸交BE于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為。，根據(jù)已知條件分別求得B,E的坐標(biāo)，

設(shè)直線(xiàn)班:的解析式為):奴+力，待定系數(shù)法求解析式，求得b即OG的長(zhǎng)，進(jìn)而可知

OF=OG,則可證明△COF絲△8OG,過(guò)點(diǎn)G作GH_L軸于點(diǎn)//,進(jìn)而證明

△GHE且△BOG可得GE=BG,即可得出數(shù)量關(guān)系CT7=38后，延長(zhǎng)CF交BE于點(diǎn)P,

根據(jù)AOBG+NBFP=NOCF+ZCFO=90°,可得位置關(guān)系CFLBE.

【詳解】

解：(1)y=/(x—1)+3伏*0),

當(dāng)x=l時(shí)，y=3,

??.無(wú)論左取何值，其圖象直線(xiàn)總會(huì)過(guò)一定點(diǎn)。,3),

故答案為：L3；

(2)當(dāng)點(diǎn)P為A8中點(diǎn)時(shí)，△。鉆面積的最小，理由如下：

過(guò)點(diǎn)P任作一直線(xiàn)交了軸正半軸于點(diǎn)E,交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)F,

過(guò)點(diǎn)8作BG//y軸交所于點(diǎn)G

則有N?4E=NP3G,PA=PB,ZAPE=NBPG

：.^PAE^^PBG

S40EF—$四邊形OEG8=$四邊形O￡P(guān)B+S&PBG=S40AB，當(dāng)且僅當(dāng)EF與AB重合時(shí)取等號(hào)

過(guò)點(diǎn)產(chǎn)作PCLy軸于點(diǎn)C,PDLx軸于點(diǎn)。，

?.?P(-2,3),則PC=OD=2,PD=OC=3

■:ZAPC=4PBD,ZACP=ZPDB,PA=PB

：.AAPC沿APBD

AC=PD=3,PC=BD=2

OA=6,OB=4

'SAOAB=；x4x6=12,即A048面積的最小值為12.

(3)CF=；BE,CF1BE,理由如下：

以AB所在直線(xiàn)為x軸，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)為丫軸建立平面直角坐標(biāo)系,

坐標(biāo)原點(diǎn)為。，y軸交班:于點(diǎn)G

J*

???△ABC、A4）E都是等腰直角三角形，AB=8

，A（T,O）,B（4,0）,OA=OB=OC

設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為。，則AE=4O=a+4,DB=4-a

?.?點(diǎn)尸為OB的中點(diǎn)

二BF=Z）f=g（4-a）,O尸=O8-Bf=g（4+a）

設(shè)直線(xiàn)BE的解析式為丫=履+方，

把8（4,0）、￡（T,-a-4）分別代入得

4k+b=0

-4k+h=-a-4

解得：〃（一。一4）

OG=g(4+〃)

：.OF=OG

NCOF=NBOG=90°

：.△CO&ABOG,

CF=BG,NOCF=ZOBG.

過(guò)點(diǎn)G作G”,短軸于點(diǎn)H,則〃G=04=08,

1.?AE//y軸,

:.NOGB=NHEG,

又?；4BOG=NGHE=90。

.-?AGHE出ABOG,GE=BG

：.CF=BG=GE,^CF=-BE

2

延長(zhǎng)CF交BE于點(diǎn)P

ZOBG+ABFP=NOCF+ZCFO=90°

ZFPB=90°,BPCF1BE

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，幾何題的解析解法，三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角

三角形的性質(zhì)，建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.

14.(2021?湖北武昌?八年級(jí)期中)如圖，點(diǎn)尸為正方形ABC。的對(duì)角轉(zhuǎn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)P作PE±PB交射線(xiàn)DC于點(diǎn)E.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時(shí)，求證：PB=PE；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在。C的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),探求線(xiàn)段叢、PC、CE的數(shù)量關(guān)系并加以

證明；

(3)如圖3,在(1)的條件下，連接BE交AC于點(diǎn)尸，若正方形45Q9的邊長(zhǎng)為4,

當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)，則尸尸=—(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果).

【答案】(D見(jiàn)解析；(2)AP-PC=^EC.證明見(jiàn)解析；(3)半.

【分析】

(1)如圖1,連接PD.分別證明PE=P。即可證明結(jié)論.

(2)結(jié)論:AP-PC=0EC.如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作尸T_LPC交8c于7,過(guò)點(diǎn)T作THLBC

交AC于，，過(guò)點(diǎn)H作HKLAB于K,設(shè)PE交8c于點(diǎn)O.想辦法證明HK=BT=EC,

PC=PH,AH=^2HK,即可證明結(jié)論；

(3)如圖3中，過(guò)點(diǎn)尸作PALBE于L,過(guò)點(diǎn)尸作FQLCO于Q,FJ，8c于J.想辦

法求出PL,LF,再利用勾股定理，即可證明結(jié)論.

【詳解】

(1)證明：如圖1,連接PD

BC

圖1

???四邊形ABC。是正方形,

：.CB=CD1NPCB=NPCD=45。,

在△「。5和4PCQ中，

CB=CD

</PCB=/PCD,

CP=CP

:?△PCBQ/XPCD(SAS),

:?PB=PD,NCBP=NCDP,

?:PELPB,

：.ZBPE=ZBCE=90°f

，NCBP+NCEP=180。,

VZCEP+ZPED=180°f

:?/PED=/CBP,

：.ZPED=ZCDP9

：.PE=PD,

:?PB=PE；

(2)解：結(jié)論：AP-PC=^2EC.理由如下：

如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PTLPC交BC于T,過(guò)點(diǎn)T作THLBC交AC于",過(guò)點(diǎn)H作HK±AB

于K,設(shè)PE交3c于點(diǎn)O.

ZECO=N3PO=90。，ZEOC=/BOP,

：.ZE=ZPBTf

?：NBPE=NTPC=9。。,

■:ZBPT=/EPC,

NPCE=NPTC=45。,

：.PT=PCt

在480r和4EPC中,

4PBT=4E

<ZBPT=ZEPC,

PT=PC

:?△BPT^XEPC(A4S),

，BT=EC,

■:HT工BC,

：./TCH=/THC=450,

：.CT=TH,

VTP1C/7,

:?PC=PH,

u

：HK-LABf

：.ZHKB=ZKBT=_LHTB=90°,

，四邊形377/K是矩形，

:.HK=BT=EC,

VZAKH=90°fNKA"=45。，

:?AH=6KH=梃EC,

9：PA-PC=PA-PH=AH,

：.R\-PC=yf2EC；

(3)解：如圖3中，過(guò)點(diǎn)/，作于3過(guò)點(diǎn)/作尸QJ_CO于。，F(xiàn)JLBC于J.

D

E

0

C

?:BC=CD=4,CE=ED=2,NBCE=90。,

22

???BE=VEC+BC=VF+47=2忖

???ABPE是等腰直角三角形，PLLBE,

:?BL=EL=下,

:.PL=；BE=下,

:尸C平分NBCE,FQLCD,FJLBC,

J.FQ^FJ,

S*CFBFL.BC-FJ2

2

:.EF=LBE=",

33

：.FL=LE-EF=小-亞=逝，

33

:"F=〃尸+尸寸=娉甘+（肉2=半.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

15.（2021?福州華倫中學(xué)八年級(jí)期中）已知：在矩形A5a＞中，AB=6,AD=4.

（1）如圖1,E、尸、G、”分別是AQ,AB,BC,CO的中點(diǎn)、求證：四邊形EFGH

是菱形；

（2）如圖2,若菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、”分別在AD,AB,C。上，DE=\AD.

①連接3G,若BG=小,求AF的長(zhǎng)；

②設(shè)Af=〃z,AG尸B的面積為S,且S滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式S=3-g/n.在自變量機(jī)的取

值范圍內(nèi)，是否存在如使菱形EPGH面積最大？若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出菱形EfG”面

積最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①，②存在相=2",菱形EFGH面積最大為18+2萬(wàn)

【分析】

（1）連接AC,BD,由E、F、G、H分別是AO,AB,BC,的中點(diǎn)可得，

EF=GH=、BD,EH=FG=-AC,又AC=83,得EF=GH=EH=FG,即結(jié)論得證；

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(2)①過(guò)點(diǎn)G作G/_LAB延長(zhǎng)線(xiàn)于/,根據(jù)A4s證尾//痣,。//,得出G/=OE=1,根

據(jù)勾股定理求出8/,^AF=x,則8尸=6—x,再利用勾股定理求出x即可；

②延長(zhǎng)/G交OC延長(zhǎng)線(xiàn)于M,由①知AG/FMAEZ歸，同理可證AAEFWAMG”，則菱形

的面積=矩形4DWZ的面積-AG/F的面積-AEDW的面積-MEF的面積-AMG”的面積，

得出關(guān)于機(jī)的關(guān)系式即可得出機(jī)最大時(shí)菱形面積最大，當(dāng)〃與C重合時(shí)〃，有最大值，

求出此時(shí)的“，值即可.

【詳解】

圖1

?.?E、F、G,//分別是AO,AB,BC,CZ)的中點(diǎn),

:.EF=GH=-BD,EH=FG=-AC,