《高等數(shù)學(xué) 》課件-第2章

2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2.3隱函數(shù)與參數(shù)方程的求導(dǎo)法2.4函數(shù)的微分2.5用MATLAB求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第2章導(dǎo)數(shù)與微分

2.1導(dǎo)數(shù)的概念

2.1.1導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的引入

在實(shí)際問(wèn)題中研究變量的變化情況時(shí)，常常碰到求一個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量的變化快慢問(wèn)題，即函數(shù)的變化率問(wèn)題.如物體運(yùn)動(dòng)的速度、曲線的變化快慢等問(wèn)題.為了闡述這一重要概念，下面先看兩個(gè)實(shí)例.例2-1(變速直線運(yùn)動(dòng)的速度)設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為s=f(t),其中s為物體在時(shí)刻t離開(kāi)起點(diǎn)的路程.在從t=t0到t=t0+Δt的時(shí)間間隔內(nèi)，路程的增量(參見(jiàn)圖2-1)是

Δs=f(t0+Δt)-f(t0).在這段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度為

顯然，時(shí)間間隔Δt越短，平均速度越接近于物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度.當(dāng)Δt無(wú)限接近于零時(shí)，就無(wú)限接近于物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度v(t0).因此，平均速度在Δt→0時(shí)的極限值就是物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度，即圖2-1例2-2(曲線的切線)設(shè)曲線c的方程為y=f(x),P(a,f(a))為曲線c上一定點(diǎn)，求曲線c在點(diǎn)P處的切線斜率.

如圖2-2所示,在曲線c上點(diǎn)P的鄰近另取一點(diǎn)Q(a+Δx,

f(a+Δx)),Δx≠0,則割線PQ的斜率為

當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線c趨向于點(diǎn)P時(shí)，Δx→0,割線PQ趨向于極限位置PT.我們把直線PT稱(chēng)為曲線c在點(diǎn)P處的切線.此時(shí)，切線的斜率為圖2-2以上兩個(gè)實(shí)例反映的問(wèn)題，雖然實(shí)際意義不同，但從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，都可歸結(jié)為計(jì)算函數(shù)增量與自變量增量之比的極限問(wèn)題.這種特殊的極限就可稱(chēng)為函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義

定義2.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0有增量Δx(點(diǎn)x0+Δx仍在該鄰域內(nèi)且Δx≠0)時(shí)，函數(shù)有相應(yīng)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果當(dāng)Δx→0時(shí)，兩個(gè)增量之比的極限

存在，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)(也稱(chēng)變化率),記作(2-1)即

若式(2-1)不存在，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).

如果不可導(dǎo)的原因是因?yàn)棣→0時(shí),→∞,這時(shí)也稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.

有了導(dǎo)數(shù)的概念，前面討論的兩個(gè)實(shí)例可以敘述為：

(1)變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v(t0)是路程s=s(t)在t0時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，即

(2)曲線在點(diǎn)P(a,f(a))處的切線的斜率等于函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處的導(dǎo)數(shù)，即

k=f′(a)

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)對(duì)任意給定的值x∈(a,b),都有一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，因此就構(gòu)成了x的一個(gè)新的函數(shù)，稱(chēng)該函數(shù)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作

即顯然，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點(diǎn)x=x0的函數(shù)值，即

以后在不會(huì)混淆的情況下，可把導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù).

用導(dǎo)數(shù)的定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可分為以下三個(gè)步驟：(1)求增量：給自變量x以增量Δx,求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量

Δy=f(x+Δx)-f(x)

(2)算比值：計(jì)算出兩個(gè)增量的比值

(3)取極限：對(duì)上式兩端取極限

例2-3求函數(shù)y=C(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).

解因?yàn)棣=C-C=0,所以

即C′=0例2-4求函數(shù)y=x3的導(dǎo)數(shù).

解

即

(x3)′=3x2

類(lèi)似地，利用二項(xiàng)式定理，可求得y=xn(n∈Z+)的導(dǎo)數(shù)，(xn)′=nxn-1.

更一般地，對(duì)于冪函數(shù)y=xa(a∈R),有(xa)′=axa-1.利用這個(gè)公式可以很方便地求出冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例如：例2-5求函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù).

解

即(sinx)′=cosx

類(lèi)似地，可以求得

(cosx)′=-sinx

例2-6求函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的導(dǎo)數(shù).

2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由例2-2及導(dǎo)數(shù)的定義可得：函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0),在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線斜率.因此，曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為

y-f(x0)=f(x0)(x-x0)

如果f′(x0)=0,則切線方程為y=y0,此時(shí)切線平行于x軸.

如果f′(x0)為無(wú)窮大，即切線的斜率是無(wú)窮大，則切線方程為x=x0,此時(shí)切線垂直于x軸.過(guò)點(diǎn)(x0,f(x0))且與切線垂直的直線稱(chēng)為曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的法線.如果f′(x0)≠0,則法線的斜率為

從而法線方程為例2-8求曲線y=x3在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程和法線方程.

解y′=(x3)′=3x2

曲線在點(diǎn)P(1,1)處的切線斜率為

k=y′|x=1=3x2|x=1=3

從而所求的切線方程為

y-1=3(x-1)

即3x-y-2=0

所求法線方程為

即x+3y-4=02.1.4函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理2.1若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).

證明因?yàn)?/p>

所以因此,即函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).

定理2.1的逆定理不成立，也就是說(shuō)，若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，f(x)在點(diǎn)x0處不一定可導(dǎo).例2-9驗(yàn)證函數(shù)f(x)=|x|在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo).

證明因?yàn)閳D2-3*2.1.5函數(shù)的相對(duì)變化率——函數(shù)的彈性

例2-10設(shè)函數(shù)y=x2,當(dāng)x由10變到11時(shí)，y由100變到121.此時(shí)，自變量與因變量的絕對(duì)改變量分別為Δx=1,Δy=21,而它們的相對(duì)改變量分別為

這表明，自變量x由10變到11的相對(duì)變動(dòng)為10%時(shí)，y的相對(duì)變動(dòng)為21%.這時(shí)兩相對(duì)改變量的比為表示自變量x在(10,11)內(nèi)從x=10起，當(dāng)x改變1%時(shí)，y平均改變2.1%,我們稱(chēng)它為從x=10到x=11函數(shù)y=x2的平均相對(duì)變化率，也稱(chēng)為平均意義下函數(shù)y=x2的彈性.對(duì)任意點(diǎn)x,若y=f(x)可導(dǎo),則有

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的彈性E|x反映了隨x的變化f(x)變化幅度的大小，也就是f(x)對(duì)x變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或靈敏度.即當(dāng)x產(chǎn)生1%的改變時(shí)，f(x)近似地改變E|x%.在應(yīng)用問(wèn)題中解釋彈性的具體意義時(shí)，經(jīng)常略去“近似”兩字.

例2-11求指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)在點(diǎn)x處的彈性.

解實(shí)訓(xùn)2.1

1.若f(x)=3x,則f′(3)=———,[f(3)]′=———.

2.設(shè)y=2x2+1,試按定義求y′|x=-1.

3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

4.求曲線y=lnx在點(diǎn)M(e,1)處的切線和法線方程.

5.設(shè)討論a和b取何值時(shí)，f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo).

6.指出圖2-4中的函數(shù)圖形在a、b、c、d點(diǎn)是否連續(xù)，是否可導(dǎo).

*7.驗(yàn)證雙曲線y=上任意一點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積等于2.

8.若函數(shù)p(t)表示在時(shí)刻t某件產(chǎn)品的價(jià)格，則在通貨膨脹期間，p(t)將迅速增加.假設(shè)某國(guó)家的經(jīng)濟(jì)正處于通貨膨脹時(shí)期，該國(guó)總統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)顧問(wèn)發(fā)現(xiàn)，通貨膨脹率正在減慢，于是，在不久的某次發(fā)布會(huì)上，總統(tǒng)說(shuō)：“通貨膨脹仍然存在，但已經(jīng)在控制之下，不久物價(jià)將會(huì)穩(wěn)定下來(lái).”

(1)用描述為什么“通貨膨脹仍然存在”.

(2)用描述為什么總統(tǒng)相信通貨膨脹仍然存在,“但已經(jīng)在控制之下”.

(3)用描述總統(tǒng)的預(yù)言“不久物價(jià)將會(huì)穩(wěn)定下來(lái)”.圖2-4

2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

上一節(jié)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可以求出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).但對(duì)于一般初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求是比較困難的，因此有必要討論函數(shù)的求導(dǎo)法則，將復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo).2.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

設(shè)u=u(x)、v=v(x)都是x的可導(dǎo)函數(shù)，則有下面結(jié)論：

定理2.2(函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則)

(1)和、差的導(dǎo)數(shù)：(u±v)′=u′±v′.

(2)乘積的導(dǎo)數(shù)：(uv)′=u′v+uv′.

特別地，(C·u)′=C·u′(C為常數(shù)).

(3)商的導(dǎo)數(shù)：其中v≠0.下面給出(2)的證明，其他的留給讀者自己證明.

證明設(shè)y=u(x)v(x).因?yàn)?/p>

Δy=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x)

=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x+Δx)v(x)+u(x+Δx)v(x)-u(x)v(x)

=u(x+Δx)Δv+v(x)Δu

所以

于是

即

(u(x)v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

以上結(jié)果可簡(jiǎn)單地表示為

(uv)′=u′v+uv′

注意:導(dǎo)數(shù)的加法法則和乘法法則可以推廣到有限多個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形.

(1)(u1±u2±…±un)′=u1′±u2′±…±un′；

(2)(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′.例2-12設(shè)y=ax+sinx-cosx(a>0,a≠1),求y′.

解y′=(ax)′+(sinx)′-(cosx)′

=axlna+cosx+sinx

例2-13設(shè)y=x3lnx,求y′.

解y′=(x3lnx)′=(x3)′lnx+x3·(lnx)′

=3x2lnx+x3·

=3x2lnx+x2

=x2(3lnx+1)例2-14設(shè)y=tanx,求y′.

解

類(lèi)似地，可以推導(dǎo)出

(cotx)′=-csc2x

例2-15設(shè)y=secx,求y′.

解

類(lèi)似地，可以推導(dǎo)出(cscx)′=-cotx·cscx

2.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.3若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x的某鄰域內(nèi)連續(xù)且單調(diào)，在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且f′(x)≠0,則y=f(x)的反函數(shù)x=φ(y)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)y處也可導(dǎo)，且

例2-16求對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的導(dǎo)數(shù)y′.

解因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)與指數(shù)函數(shù)x=ay互為反函數(shù)，函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)在開(kāi)區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，由定理2.3可得即

特別地，當(dāng)a=e時(shí)，有2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)y=f[φ(x)]是由y=f(u)及u=φ(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，其中f為外層函數(shù)，φ為內(nèi)層函數(shù).設(shè)Δx為x的微小增量，因?yàn)閡=φ(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，所以當(dāng)x→0時(shí)，有Δu→0.設(shè)Δu≠0,則有即{f[φ(x)]}′=f′[φ(x)]φ′(x)于是有下述定理.定理2.4若函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在相應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有

或{f[φ(x)]}′=f′[φ(x)]φ′(x)

定理2.4又稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，用語(yǔ)言表述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外層函數(shù)f(u)的導(dǎo)數(shù)和內(nèi)層函數(shù)φ(x)的導(dǎo)數(shù)的乘積.

注意:在導(dǎo)數(shù)符號(hào)的書(shū)寫(xiě)中，f′[φ(x)]表示復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]關(guān)于中間變量u=φ(x)的導(dǎo)數(shù)，而{f[φ(x)]}′表示復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]關(guān)于自變量x的導(dǎo)數(shù).例2-18求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′.

(1)y=sin2x；(2)y=lntanx.

解(1)y=sin2x是由y=sinu和u=2x復(fù)合而成的，所以

y′=(sinu)′(2x)′=cosu·2=2cos2x

(2)y=lntanx是由y=lnu和u=tanx復(fù)合而成的，所以

對(duì)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程熟悉后，可不必寫(xiě)出中間變量，直接運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t，按照復(fù)合的次序，由外到里，層層求導(dǎo).

如此例中，可以把1-x2看做中間變量，而不寫(xiě)出中間變量u的符號(hào)，即

(2)y′=3(x+sin2x)2·(x+sin2x)′

=3(x+sin2x)2·[1+2sinx(sinx)′]

=3(x+sin2x)2·(1+2sinxcosx)=3(x+sin2x)2·(1+sin2x)

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t可以推廣到由有限個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的情形，如y=f(u),u=g(v),v=φ(x)滿足定理2.4的相應(yīng)條件，則例2-20求函數(shù)y=arctanln(3x-1)的導(dǎo)數(shù)y′.

解2.2.4初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

前面我們不僅給出了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，而且得到了所有的基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式.

1.基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式

2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)y=f(u),u=φ(x)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]也可導(dǎo)，且

由于初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合而成的函數(shù)，因此，一切初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題都已解決.2.2.5高階導(dǎo)數(shù)

1.高階導(dǎo)數(shù)的概念

我們知道，變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v(t)是路程函數(shù)s(t)關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即v(t)=或v(t)=s′(t)；而加速度a又是速度v(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即

我們稱(chēng)這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)或(s′(t))′為s(t)對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù),記作或s″(t).對(duì)一般函數(shù)y=f(x),如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)可導(dǎo)，稱(chēng)f′(x)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作y″,f″(x)或.類(lèi)似地，二階導(dǎo)數(shù)f″(x)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記作y,f(x)或.

一般地，函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)f(n-1)(x)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記作y(n),f(n)(x)或.

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù).由此可見(jiàn)，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù).

2.高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

例2-22設(shè)y=x3,求、y(4)的值.

解y′=3x2,

y″=3·2x

=3!,

y(4)=0

例2-23設(shè)y=x2013,求y(2013)、y(2014)的值.

例2-24求指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)和y=ex的n階導(dǎo)數(shù).

解因?yàn)閥′=axlna,y″=ax(lna)2,…,y(n)=ax(lna)n,所以

(ax)(n)=ax(lna)n

特別地

(ex)(n)=ex實(shí)訓(xùn)2.2

2.3隱函數(shù)與參數(shù)方程的求導(dǎo)法

2.3.1隱函數(shù)求導(dǎo)法

前面我們所遇到的函數(shù)都是y=f(x)的形式，就是因變量y可由含有自變量x的數(shù)學(xué)式子直接表示出來(lái)，這樣的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù).例如：y=sinx,y=ln(1+

)等.但是有些函數(shù)的表達(dá)方式卻不是這樣，例如方程x+y3-10=0與ey-2xy=0也可以分別確定一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量x在(-∞,+∞)內(nèi)取值時(shí)，變量y有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，而這樣的函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù).一般地，如果變量x和y之間的函數(shù)關(guān)系是由某一個(gè)方程F(x,y)=0所確定，那么這種函數(shù)就叫做由方程所確定的隱函數(shù).

把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)叫做隱函數(shù)的顯化.例如由方程x+y3-10=0解出y=

,于是就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù).但有的隱函數(shù)不易顯化,甚至不可能顯化,例如由方程

ey-xy=0所確定的隱函數(shù)就不能用顯式表示出來(lái).

對(duì)于由方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)求導(dǎo)當(dāng)然不能完全寄希望于把它顯化，關(guān)鍵是要由F(x,y)=0直接把求出來(lái).我們知道，把方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)y=f(x)代入原方程，其結(jié)果是恒等式

F[x,f(x)]≡0

把這個(gè)恒等式的兩端對(duì)x求導(dǎo)，所得的結(jié)果也必然相等.但應(yīng)注意，左端F[x,f(x)]是將y=f(x)代入F(x,y)后所得的結(jié)果，所以，當(dāng)方程F(x,y)=0的兩端對(duì)x求導(dǎo)時(shí)，要記住y是x的函數(shù)，然后用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則去求導(dǎo)，這樣便可得到所需要的導(dǎo)數(shù).下面舉例說(shuō)明.例2-26求由方程xy-ex+ey=0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′.解把方程xy-ex+ey=0的兩端對(duì)x求導(dǎo)，得

y+xy′-ex+eyy′=0

由上式解出y′,便得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

例2-27求曲線3y2=x3+x+2在點(diǎn)(2,2)處的切線方程.

解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得

6yy′=3x2+1

于是得所以

因而，所求切線方程為

即

13x-12y-2=02.3.2對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法，我們還可以得到一個(gè)簡(jiǎn)化求導(dǎo)運(yùn)算的方法.它適合于由幾個(gè)因子通過(guò)乘、除、乘方、開(kāi)方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)(包括冪指函數(shù))的求導(dǎo).這個(gè)方法是先取對(duì)數(shù)，化乘、除為加、減,化乘方、開(kāi)方為乘積，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，因此該方法稱(chēng)為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.2.3.3由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法

在前面我們討論了由y=f(x)或F(x,y)=0給出的函數(shù)關(guān)系的求導(dǎo)問(wèn)題.但在研究物體運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，曲線常被看做質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的位置隨時(shí)間t變化，因此動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x和y分別是時(shí)間t的函數(shù).

如果參數(shù)方程

確定了y與x之間的函數(shù)關(guān)系，則稱(chēng)此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).對(duì)于參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)，通常并不需要由參數(shù)方程消去參數(shù)t,化為y與x之間的直接函數(shù)關(guān)系后再求導(dǎo).

如果函數(shù)x=φ(t),y=ψ(t)都可導(dǎo)，且φ′(t)≠0,又x=φ(t)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)t=φ-1(x),則參數(shù)方程確定的函數(shù)可以看成是由y=ψ(t)與t=φ-1(x)復(fù)合而成的函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有例2-30設(shè)擺線

(1)求擺線在任一點(diǎn)的切線斜率；

(2)求擺線在處的切線方程.

解(1)擺線在任一點(diǎn)的切線斜率為實(shí)訓(xùn)2.3

1.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y3-3y+2x=0；(2)y=1+xey；

(3)sin(xy)=x；(4)yex+lny=10.

*2.利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

*3.求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2.4函數(shù)的微分

2.4.1微分的概念

在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)我們分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)，常常要通過(guò)微小的局部運(yùn)動(dòng)來(lái)尋找運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，因此需要考慮變量的微小改變量.

一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算函數(shù)y=f(x)的改變量Δy的精確值是較繁瑣和困難的.往往需要計(jì)算其近似值，找出簡(jiǎn)便的計(jì)算方法.下面我們先討論兩個(gè)具體的例子.例2-31一塊正方形金屬薄片在受到溫度變化影響時(shí)，其邊長(zhǎng)由x0變到x0+Δx(如圖2-5所示)，問(wèn)此薄片的面積改變了多少.

解設(shè)此薄片的邊長(zhǎng)為x,面積為A，則A是x的函數(shù)：A=x2.薄片在受到溫度變化影響時(shí)，面積的改變量可以看成是:當(dāng)自變量x自x0取得增量Δx時(shí)，函數(shù)A相應(yīng)的增量為ΔA,即

ΔA=(x0+Δx)2-x20=2x0Δx+(Δx)2

從上式可以看出，ΔA可分成兩部分：一部分是2x0Δx,它是Δx的線性函數(shù)，即圖2-5中帶有斜線的兩個(gè)矩形面積之和；另一部分是(Δx)2,

在圖中是帶有交叉線的小正方形的面積.顯然，2x0Δx是面積增量ΔA的主要部分，而(Δx)2是次要部分，當(dāng)|Δx|很小時(shí)，(Δx)2比2x0Δx要小得多.也就是說(shuō)，當(dāng)|Δx|很小時(shí)，面積增量ΔA可以近似地用2x0Δx表示，即

ΔA≈2x0Δx

略去的部分(Δx)2是比Δx高階的無(wú)窮小，即例2-32求自由落體由時(shí)刻t到t+Δt所經(jīng)過(guò)路程的近似值.

解自由落體的路程s與時(shí)間t的關(guān)系是.當(dāng)時(shí)間從t變到t+Δt時(shí)，路程s有相應(yīng)的改變量

上式右邊第一部分是Δt的線性函數(shù)，第二部分是當(dāng)Δt→0時(shí)的一個(gè)比Δt高階的無(wú)窮小，因此，當(dāng)|Δt|很小時(shí)，我們可以把第二部分忽略，從而得到路程改變量的近似值

Δs≈gtΔt以上兩個(gè)例題反映的實(shí)際意義雖然不同，但在數(shù)量關(guān)系上卻有共同點(diǎn)：函數(shù)的改變量可以表示成兩部分，一部分為自變量增量的線性部分；另一部分是當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)，比自變量增量高階的無(wú)窮小.

為此我們引入函數(shù)微分的概念.

定義2.3若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x的某鄰域內(nèi)有定義，如果f(x)在點(diǎn)x處的改變量Δy=f(x+Δx)-f(x)可以表示成Δy=AΔx+o(Δx)

其中o(Δx)為比Δx(Δx→0)高階的無(wú)窮小，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處可微；并稱(chēng)其線性主部AΔx為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的微分，記為dy或df(x),即dy=AΔx.定理2.5函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可微的充分必要條件是y=f(x)在該點(diǎn)可導(dǎo)，且有

dy=f′(x)dx

證明(1)必要性.若y=f(x)在點(diǎn)x處可微，則有Δy=AΔx+o(Δx),其中于是

上式兩邊取極限,得即f′(x)=A

所以函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo).

(2)充分性證明略.

由定理2.5可知：一元函數(shù)的可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，且其關(guān)系為dy=f′(x)Δx.為方便起見(jiàn)，把自變量的增量Δx寫(xiě)成dx,即Δx=dx.這樣函數(shù)y=f(x)的微分可以寫(xiě)成

dy=f′(x)Δx=f′(x)dx

上式兩邊同除以dx,有由此可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分之商，即.正因?yàn)檫@樣,導(dǎo)數(shù)也稱(chēng)為“微商”，而也常常被用作導(dǎo)數(shù)的符號(hào).

應(yīng)當(dāng)注意，微分與導(dǎo)數(shù)雖然有著密切的聯(lián)系，但它們是有區(qū)別的：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)處的變化率，而微分是函數(shù)在一點(diǎn)處由自變量增量所引起的函數(shù)變化量的主要部分；導(dǎo)數(shù)的值只與x有關(guān)，而微分的值與x和Δx都有關(guān).例2-33求函數(shù)y=x2在x=1、Δx=0.1時(shí)的改變量及微分.解Δy=(x+Δx)2-x2=1.12-12=0.21

在點(diǎn)x=1處，y′|x=1=2x|x=1=2,所以

dy=y′Δx=2×0.1=0.22.4.2微分的幾何意義

為了對(duì)微分有比較直觀的了解，下面說(shuō)明微分的幾何意義.

設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖形如圖2-6所示，MP是曲線上點(diǎn)M(x0,y0)處的切線，設(shè)MP的傾角為α，當(dāng)自變量x有改變量Δx時(shí)，得到曲線上的另一點(diǎn)N(x0+Δx,y0+Δy).從圖2-6可知，MQ=Δx,QN=Δy,而

QP=MQ·tanα=f′(x0)Δx

即

dy=QP由此可知，微分dy=f′(x0)Δx是當(dāng)x有改變量Δx時(shí)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處切線縱坐標(biāo)的改變量.用dy近似代替Δy,就是用點(diǎn)M(x0,y0)處切線縱坐標(biāo)的改變量QP來(lái)近似代替曲線y=f(x)的縱坐標(biāo)的改變量QN,并且有|Δy-dy|=PN.圖2-62.4.3微分的運(yùn)算

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的微分等于導(dǎo)數(shù)f′(x)乘以dx,所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，就能得到相應(yīng)的微分公式和微分運(yùn)算法則.

2.函數(shù)的和、差、積、商的微分運(yùn)算法則

d(u(x)±v(x))=du(x)±dv(x)

d(u(x)v(x))=v(x)du(x)+u(x)dv(x)

d(Cu(x))=Cdu(x),C為常數(shù)

3.復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)函數(shù)y=f(u)是可導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)微分的定義，當(dāng)u是自變量時(shí)，函數(shù)y=f(u)的微分是

dy=f′(u)du

如果u不是自變量，而是x的可導(dǎo)函數(shù)u=φ(x),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的導(dǎo)數(shù)為

y′=f′(u)φ′(x)

于是，復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的微分為

dy=f′(u)φ′(x)dx

因?yàn)?/p>

φ′(x)dx=du

所以

dy=f′(u)du

由此可見(jiàn)，不論u是自變量還是函數(shù)(中間變量),函數(shù)y=f(u)的微分總保持同一形式dy=f′(u)du,這一性質(zhì)稱(chēng)為一階微分形式不變性.有時(shí)，利用一階微分形式不變性求復(fù)合函數(shù)的微分比較方便.實(shí)訓(xùn)2.4

1.設(shè)x的值從x=1變到x=1.01,試求y=2x2-x的增量Δy和微分dy.

2.求下列函數(shù)的微分dy.