專題6.1 數(shù)列的概念（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第六章數(shù)列專題6.1數(shù)列的概念了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．考點一由an與Sn的關(guān)系求通項公式考點二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式考點三數(shù)列的性質(zhì)知識梳理1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定次序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)通項公式如果數(shù)列的第n項an與n之間的關(guān)系可以用an＝f(n)來表示，其中f(n)是關(guān)于n的不含其他未知數(shù)的關(guān)系式，則稱上述關(guān)系式為這個數(shù)列的一個通項公式遞推公式如果已知數(shù)列的首項(或前幾項)，且數(shù)列的相鄰兩項或兩項以上的關(guān)系都可以用一個公式來表示，則稱這個公式為數(shù)列的遞推關(guān)系.數(shù)列{an}的前n項和一般地，給定數(shù)列{an}，稱Sn＝a1＋a2＋…＋an為數(shù)列{an}的前n項和2.數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1>an其中n∈N+遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}可以看成定義域為正整數(shù)集的子集的函數(shù)，數(shù)列中的數(shù)就是自變量從小到大依次取正整數(shù)值時對應(yīng)的函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．第一部分核心典例題型一由an與Sn的關(guān)系求通項公式1．已知數(shù)列的前項和，則（

）A． B．9 C．11 D．25【答案】B【詳解】因為，所以.故選：B.2．?dāng)?shù)列的前項和為，，數(shù)列的前項和為，且，則的值為（

）A．30 B．39 C．51 D．66【答案】C【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，，時，，所以，所以.故選：C.3．記為數(shù)列的前項和，若則（

）A．5 B．7 C．9 D．12【答案】A【詳解】由得，，所以．故選：A.4．已知為數(shù)列的前項和，，，則（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【詳解】當(dāng)時，，因為，所以．當(dāng)時，由得，兩式相減可得，即．因為，所以，，…，，可得，所以.故選：C5．設(shè)數(shù)列的首項，前n項和，滿足，則（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【答案】C【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時，有，即，故為常數(shù)列，因此，進而．故選：C.題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式6．已知數(shù)列的項滿足，而，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因為，所以，因為滿足上式，所以，故選：B7．已知數(shù)列對任意滿足，則（

）A．4040 B．4043 C．4046 D．4049【答案】B【詳解】由可得；兩式相減可得；即相鄰的奇數(shù)項或者偶數(shù)項成等差數(shù)列，且公差為4，所以可得，即；當(dāng)時，，因此.故選：B8．設(shè)數(shù)列滿足，且，若，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】因為，即，則數(shù)列是以首項為，公差的等差數(shù)列，所以，即，又因為，即，則是單調(diào)遞減數(shù)列，且若，則，故的最小值為5.故選：D.9．已知數(shù)列滿足=，，則數(shù)列的通項公式是（

）.A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以,設(shè),可得,所以，即,所以，所以數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以.故選:A.10．已知數(shù)列，，，若，則正整數(shù)的值為（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】A【詳解】因為，令，所以，所以，所以，所以數(shù)列為首項是2，公差為2的等差數(shù)列，所以，，，所以，所以，所以，所以或，故選：A.題型三數(shù)列的性質(zhì)11．?dāng)?shù)列的通項公式為，已知其為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以.因為數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以在恒成立，所以，即可.令，，則，由一次函數(shù)知，當(dāng)時，取得最大值為,即.所以的取值范圍為.故選：B.12．?dāng)?shù)列的通項公式．設(shè)為前項的和，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，當(dāng)時，，則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，，當(dāng)時，，因此，若，則的最小值為.故選：A.13．下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是（

）A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，【答案】C【詳解】A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意．故選：C．14．已知數(shù)列，若，，且（為正整數(shù)），則數(shù)列的第項為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，又，，，，，.故選：D.15．已知數(shù)列滿足．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，，，，，…故數(shù)列周期為4，則.故選：B第二部分課堂達標一、單選題1．?dāng)?shù)列-4，7，-10，13，…的一個通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由符號來看，奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以通項公式中應(yīng)該是，數(shù)值4，7，10，13，…滿足，所以通項公式可以是．故選：B．2．已知數(shù)列滿足，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【詳解】因為，，所以；所以的周期為3，所以.故選：A.3．已知數(shù)列的一個通項公式為，且，則等于（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【詳解】解：因為，即，解得，所以．故選：B.4．記為數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為為數(shù)列的前項和，且，則.故選：A.5．圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，第五層有15個球，…，則該“三角垛”第十層的小球個數(shù)為（

）

A．36 B．45 C．55 D．66【答案】C【詳解】設(shè)每一層的小球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，方法1：觀察歸納發(fā)現(xiàn)：，，，…，所以.方法2：，，，…，所以，，所以.故選：C.6．?dāng)?shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2024項的和（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，且，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，則，且，所以.故選：C.7．《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，在這本書的第10卷中給出了“窮竭法”的基本命題.所謂“窮竭”指的是一個變量，它可以小于任意給定的量.根據(jù)窮竭法的基本命題，設(shè)數(shù)列滿足，，，…，，…，若，則m可能取到的最大值為（

）.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】根據(jù)題意可知，所以，，而，故可能大于1，所以m可能取到的最大值為7.故選：C8．圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第n代“勾股樹”所有正方形的個數(shù)與面積的和分別為（

）

A．；n B．；C．；n D．；【答案】D【詳解】解：第一代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為2，第二代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為3，第三代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為4，…第n代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為，故選：D二、多選題9．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由，，得，，故A正確；又，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以，故B正確；，故C錯誤；因為，，所以，故D正確．故選：ABD．10．已知數(shù)列滿足：（），且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的可能取值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】BC【詳解】因為，，是遞增數(shù)列，所以必有，即：，解得：.故選：BC.三、填空題11．記為各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和，若，，則.【答案】30【詳解】因為，，，所以，，由，可得，所以，所以.故答案為：30.12．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為.【答案】3【詳解】根據(jù)“等和數(shù)列”的定義可知，數(shù)列的規(guī)律為即奇數(shù)項為，偶數(shù)項為.所以的值為.故答案為：.四、解答題13．（1）求數(shù)列，，，…的前項的和；（2）求數(shù)列5，55，555，…的前項的和．【詳解】（1）易得數(shù)列的前項的和；（2）觀察可知數(shù)列5，55，555，…的通項為：，故其前項的和為：14．已知數(shù)列，，且滿足，，求數(shù)列的通項公式；【詳解】因為，所以.因為，，則，依次類推