江蘇專用2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練二十三隨機(jī)變量與分布列

PAGEPAGEPAGE1課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練(二十三)隨機(jī)變量與分布列A組——大題保分練1．(2024·南京學(xué)情調(diào)研)袋中有形態(tài)和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有4個(gè)，分別編號(hào)為1，2，3，4.現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球．(1)若兩個(gè)球顏色不同，求不同取法的種數(shù)；(2)在(1)的條件下，記兩球編號(hào)的差的肯定值為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．解：(1)兩個(gè)球顏色不同的狀況共有Ceq\o\al(2,4)·42＝96(種)．(2)隨機(jī)變量X全部可能的值為0，1，2，3.P(X＝0)＝eq\f(4·Ceq\o\al(2,4),96)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(3·Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3),96)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\f(2·Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3),96)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3),96)＝eq\f(1,8).所以隨機(jī)變量X的概率分布列為X0123Peq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,8)所以E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,8)＝eq\f(5,4).2．(2024·蘇錫常鎮(zhèn)一模)從批量較大的產(chǎn)品中隨機(jī)取出10件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，若這批產(chǎn)品的不合格率為0.05，隨機(jī)變量X表示這10件產(chǎn)品中的不合格產(chǎn)品的件數(shù)．(1)問：這10件產(chǎn)品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪個(gè)大？請(qǐng)說明理由；(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)．解：∵批量較大，∴可以認(rèn)為隨機(jī)變量X～B(10，0.05)．(1)恰好有2件不合格的概率P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,10)×0.052×0.958，恰好有3件不合格的概率P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,10)×0.053×0.957，∵eq\f(P（X＝2）,P（X＝3）)＝eq\f(Ceq\o\al(2,10)×0.052×0.958,Ceq\o\al(3,10)×0.053×0.957)＝eq\f(57,8)＞1，∴P(X＝2)＞P(X＝3)，即恰好有2件不合格的概率大．(2)令p＝0.05，P(X＝k)＝pk＝Ceq\o\al(k,10)pk(1－p)10－k，k＝0，1，2，…，10.隨機(jī)變量X的概率分布為X012…10PCeq\o\al(0,10)p0(1－p)10Ceq\o\al(1,10)p1(1－p)9Ceq\o\al(2,10)p2(1－p)8…Ceq\o\al(10,10)p10(1－p)0故E(X)＝∑10,k＝0kpk＝10×0.05＝0.5.3．(2024·南通、泰州等七市三模)現(xiàn)有一款智能學(xué)習(xí)APP，學(xué)習(xí)內(nèi)容包含文章學(xué)習(xí)和視頻學(xué)習(xí)兩類，且這兩類學(xué)習(xí)互不影響．已知該APP積分規(guī)則如下：每閱讀一篇文章積1分，每日上限積5分；觀看視頻累計(jì)3分鐘積2分，每日上限積6分．經(jīng)過抽樣統(tǒng)計(jì)發(fā)覺，文章學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表1所示，視頻學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表2所示．表1文章學(xué)習(xí)積分12345概率eq\f(1,9)eq\f(1,9)eq\f(1,9)eq\f(1,6)eq\f(1,2)表2視頻學(xué)習(xí)積分246概率eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,2)(1)現(xiàn)隨機(jī)抽取1人了解學(xué)習(xí)狀況，求其每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率；(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取3人了解學(xué)習(xí)狀況，設(shè)積分不低于9分的人數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望．解：(1)由題意知，獲得的積分不低于9分的情形有：文章學(xué)習(xí)積分3455視頻學(xué)習(xí)積分6646因?yàn)閮深悓W(xué)習(xí)互不影響，所以概率P＝eq\f(1,9)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9)，所以每人每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率為eq\f(5,9).(2)隨機(jī)變量ξ的全部可能取值為0，1，2，3.由(1)知每人每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率為eq\f(5,9)，則P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(3)＝eq\f(64,729)；P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(5,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(2)＝eq\f(80,243)；P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))eq\s\up12(2)×eq\f(4,9)＝eq\f(100,243)；P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))eq\s\up12(3)＝eq\f(125,729).所以隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξ0123Peq\f(64,729)eq\f(80,243)eq\f(100,243)eq\f(125,729)所以E(ξ)＝0×eq\f(64,729)＋1×eq\f(80,243)＋2×eq\f(100,243)＋3×eq\f(125,729)＝eq\f(5,3).所以隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為eq\f(5,3).4．已知某種植物的種子每粒發(fā)芽的概率都為eq\f(1,3)，某試驗(yàn)小組對(duì)該種植物的種子進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，若該試驗(yàn)小組共種植四粒該植物的種子(每粒種子的生長因素相同且發(fā)芽與否相互獨(dú)立)，用ξ表示這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)與未發(fā)芽的種子數(shù)的差的肯定值．(1)求隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(2)求不等式ξx2－ξx＋1>0的解集為R的概率．解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0，1，2，3，4，對(duì)應(yīng)的未發(fā)芽的種子數(shù)為4，3，2，1，0，所以ξ的全部可能取值為0，2，4，P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)＋Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(0)＋Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(17,81).所以隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×eq\f(8,27)＋2×eq\f(40,81)＋4×eq\f(17,81)＝eq\f(148,81).(2)由(1)知ξ的全部可能取值為0，2，4，當(dāng)ξ＝0時(shí)，代入ξx2－ξx＋1>0，得1>0，對(duì)x∈R恒成立，即解集為R；當(dāng)ξ＝2時(shí)，代入ξx2－ξx＋1>0，得2x2－2x＋1>0，即2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)>0，對(duì)x∈R恒成立，即解集為R；當(dāng)ξ＝4時(shí)，代入ξx2－ξx＋1>0，得4x2－4x＋1>0，其解集為x≠eq\f(1,2)，不滿意題意．所以不等式ξx2－ξx＋1>0的解集為R的概率P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝eq\f(64,81).B組——大題增分練1．(2024·鎮(zhèn)江期末)某學(xué)生參與4門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測試，每門得A等級(jí)的概率都是eq\f(1,4)，該學(xué)生各學(xué)科等級(jí)成果彼此獨(dú)立．規(guī)定：有一門學(xué)科獲A等級(jí)加1分，有兩門學(xué)科獲A等級(jí)加2分，有三門學(xué)科獲A等級(jí)加3分，四門學(xué)科獲A等級(jí)則加5分．記X1表示該生的加分?jǐn)?shù)，X2表示該生獲A等級(jí)的學(xué)科門數(shù)與未獲A等級(jí)學(xué)科門數(shù)的差的肯定值．(1)求X1的數(shù)學(xué)期望；(2)求X2的分布列．解：(1)記該學(xué)生有i門學(xué)科獲得A等級(jí)為事務(wù)Ai，i＝0，1，2，3，4.X1的可能取值為0，1，2，3，5.則P(Ai)＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(4－i)，即P(A0)＝eq\f(81,256)，P(A1)＝eq\f(27,64)，P(A2)＝eq\f(27,128)，P(A3)＝eq\f(3,64)，P(A4)＝eq\f(1,256)，則X1的分布列為X101235Peq\f(81,256)eq\f(27,64)eq\f(27,128)eq\f(3,64)eq\f(1,256)所以E(X1)＝0×eq\f(81,256)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(27,128)＋3×eq\f(3,64)＋5×eq\f(1,256)＝eq\f(257,256).(2)X2的可能取值為0，2，4，則P(X2＝0)＝P(A2)＝eq\f(27,128)；P(X2＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝eq\f(27,64)＋eq\f(3,64)＝eq\f(15,32)；P(X2＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝eq\f(81,256)＋eq\f(1,256)＝eq\f(41,128).所以X2的分布列為X2024Peq\f(27,128)eq\f(15,32)eq\f(41,128)2.(2024·全國卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再依據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果確定是否對(duì)余下的全部產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的全部產(chǎn)品作檢驗(yàn)？解：(1)因?yàn)?0件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝Ceq\o\al(2,20)p2·(1－p)18，所以f′(p)＝Ceq\o\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Ceq\o\al(2,20)p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.當(dāng)p∈(0，0.1)時(shí)，f′(p)>0；當(dāng)p∈(0.1，1)時(shí)，f′(p)<0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.②若對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所須要的檢驗(yàn)費(fèi)用為400元．由于EX>400，故應(yīng)當(dāng)對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)．3.如圖，設(shè)P1，P2，…，P6為單位圓上逆時(shí)針勻稱分布的六個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S.(1)求S＝eq\f(\r(3),2)的概率；(2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S)．解：(1)從六個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形共有Ceq\o\al(3,6)種不同選法，其中S＝eq\f(\r(3),2)的為有一個(gè)角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12種，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S＝\f(\r(3),2)))＝eq\f(12,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5).(2)S的全部可能取值為eq\f(\r(3),4)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(3\r(3),4).S＝eq\f(\r(3),4)的為頂角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6種，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S＝\f(\r(3),4)))＝eq\f(6,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,10).S＝eq\f(3\r(3),4)的為等邊三角形(如△P1P3P5)，共2種，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S＝\f(3\r(3),4)))＝eq\f(2,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,10).又由(1)知Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S＝\f(\r(3),2)))＝eq\f(12,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故S的分布列為Seq\f(\r(3),4)eq\f(\r(3),2)eq\f(3\r(3),4)Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)所以E(S)＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(3,10)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(3,5)＋eq\f(3\r(3),4)×eq\f(1,10)＝eq\f(9\r(3),20).4．(2024·全國卷Ⅰ)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再支配下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了便利描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)起先時(shí)都給予4分，pi(i＝0，1