2025屆高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：幾何體的內(nèi)接球與外接球阿氏球等17類題型（解析版）

幾何體的外接球與內(nèi)接球，阿氏球等17類題型

、裁點題型解讀（目錄）,

【題型1】球的截面問題

【題型2】可以補成長方體的外接球模型

【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型

【題型4】正四面體的內(nèi)切球和外接球結(jié)論

【題型5】直棱錐外接球模型（一條側(cè)棱垂直底面）

【題型6】球心在高上（圓錐形）

【題型7】圓臺，棱臺外接球模型

【題型8】棱錐外接球之切瓜模型（一個面垂直外接圓直徑）

【題型9】兩個外心+中垂線確定球心

【題型10】外接球之共斜邊拼接模型

【題型11】外接球之二面角模型

【題型12］內(nèi)切球之棱錐，圓錐模型

【題型13］內(nèi)切球之圓臺，棱臺模型

【題型14】多球相切問題

【題型15】棱切球問題

【題型16】構(gòu)造球解決空間中動點構(gòu)成的直角問題

【題型17】阿氏球問題

0I題型歸類比

【題型。球的趣面問題

基礎(chǔ)知識

球體的相關(guān)計算關(guān)鍵是找出球心到相關(guān)平面的距離，再結(jié)合勾股定理計算求值

半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周，如圖記作：球。

形成方式

大圓：經(jīng)過球心的截面圓

球相關(guān)概念小圓：不經(jīng)過球心的截面圓半徑?

小圓

結(jié)構(gòu)性質(zhì)兩點間的球面距離：經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長

球的小圓的圓心與球心連線垂直小圓面

L（2020?全國2卷TH）已知△ABC是面積為笄的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O

的表面積為16兀,則O到平面ABC的距離為（）

A.V3B.C.1D.孚

【答案】。

【分析】根據(jù)球。的表面積和△ABC的面積可求得球。的半徑五和△48。外接圓半徑，，由球的性質(zhì)可知

所求距離d—產(chǎn).

設(shè)球O的半徑為凡則4擊2=16兀,解得：R=2.

設(shè)△ABC外接圓半徑為r，邊長為a,

?.?△ABC是面積為當(dāng)工的等邊三角形，

???**空=罕,解得：0=3,.”=年義/^^=界/苧=?

球心O到平面ABC的距離d=VR2-r2=V4^3=l.

2.（24—25高二上?貴州遵義?階段練習(xí)）已知C,。四點都在球。的球面上，且A,。三點所在

平面經(jīng)過球心，AB=4四，乙4CB=卷，則點。到平面ABC的距離的最大值為，球O的表面

積為.

【答案】464兀

【分析】利用正弦定理求得△ABC外接圓半徑，結(jié)合題意可得球的半徑，再利用球的截面性質(zhì)與球的表面積

公式即可得解.

【詳解】在△AB。中，AB=4同，ZACB^~.

O

根據(jù)正弦定理=/7T=1。=2r（r為△ABC外接圓半徑），

smAsm±>smC

這里a=AB=4V3,C=Z.ACB=二，所以2r=A&=4V=g,解得了=4.

3sinCsing

因為A、B、。三點所在平面經(jīng)過球心O,所以球O的半徑R=r=4.

因為A、8、。三點所在平面經(jīng)過球心O,

當(dāng)垂直于平面ABC時，點。到平面ABC的距離最大，這個最大值就是球的半徑R,

所以點。到平面ABC的距離的最大值為4.

則球的表面積為S=4兀不=4兀x42=64兀.

3.（23—24高三下.廣東江門?階段練習(xí)）已知正四面體A—BCD的內(nèi)切球的表面積為36兀，過該四面體

的一條棱以及球心的平面截正四面體A-BCD,則所得截面的面積為

【答案】54囂

【分析】由內(nèi)切球的表面積求出內(nèi)切球的半徑，過點A作平面BCD,連接■并延長交CD于點E,

且點E為CD中點、,連接AE,記內(nèi)切球球心為O,過。作OF_LAE,設(shè)正四面體邊長為a,然后結(jié)合正四面

體的性質(zhì)可求出a,從而可求出截面的面積.

【詳解】解：由內(nèi)切球的表面積5表=4兀A2=36兀,得內(nèi)切球半徑R=3

如圖，過點A作AH±平面BCD,則點H為等邊ABCD的中心

連接并延長交CD于點E,且點E為。D中點，連接AE,

記內(nèi)切球球心為O,過O作OR_LAE,設(shè)正四面體邊長為Q,

則BE=AE=^-a,BH=去BE=4a,HE=冬a,

所以AH=VAE2-HE2=」當(dāng)出一條出=坐明

V4363

又因為OH=OF=3,所以49=^0—3,

O

由△.一△但，得黑=黑，即￡。一3

=—,解得a=6A/6

2-a

因為△ABE過棱AB和球心O,所以△4BE即為所求截面

且S“BE=^BE?AH=]xx=^-a2=54A/2.

4.已知△ABC是面積為丁的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上，若球O的表面積為28兀，則

點O到平面ABC的距離為.

【答案】2

【分析】設(shè)球。的半徑為R,由球的表面積解出凡設(shè)△ABC外接圓半徑為r,邊長為a,解出r,由勾股定理

求解d即可.

【詳解】設(shè)球O的半徑為R,則4兀￥=28元，解得R=V7.

設(shè)△ABC外接圓半徑為了,邊長為a,

因為△ABC是面積為當(dāng)工的等邊三角形，

所以｝&2*4=竽，解得0=3,

由—二27，所以『二V3,

F

所以球心O到平面ABC的距離d=彳=，』=2.

5.已知過球面上A,B,。三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB=BC=1,AC=心,則球的

表面積是.

【答案】粵

O

［分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出△ABC的外接圓半徑，再利用球面的截面小圓性質(zhì)求出球半徑即

得答案.

AC尺1

【詳解】在△ABC中,AB=BC=1,4。=則cosABAC二洋,sinABAC=5,

A.B22

由正弦定理得△ABC外接圓半徑r=《x.士，「=1,設(shè)球半徑為R,

2smZBAG

6.(2024.遼寧丹東.一榭已知球O的直徑為AB,C,D為球面上的兩點，點河在4B上，且AM=3MB,

AB±平面MCD,若^MCD是邊長為V3的等邊三角形,則球心O到平面BCD的距離為.

【答案】片段

J.O

【分析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，可得球的半徑為2,將球心。到平面BCD的距離轉(zhuǎn)化為為初到平面BCD的距

離的2倍,進(jìn)而根據(jù)等體積變換可得.

【詳解】因為4M'=31?,AB為球O的直徑，所以

故球心O到平面BCD的距離即為朋■到平面BCD的距離的2倍，

如圖

設(shè)球的半徑為R,由題意可知OD=2OM=R,

由OD?=CM2+MD?,MD=四，可得QD=2OM=2,故BM=1

如圖，

由題意平面MCD,

則BC=BD=VBM2+CM2=V12+(V3)2=2,

BE_LCD,且BE=VBD2-DE2=

設(shè)初到平面BCD的距離為d,則由VB.MCD=%_BCD可得，

4xMCxMDxsin^-xBM=^-xCDxBExd,

OZiOOZi

得x[xV3xV3xx1=[xJxV3xxd,得d=3A,

O2JZDZ41O

則球心o到平面BCD的距離為當(dāng)T

io

【題型2】可以補成長方體的外接球模型

基礎(chǔ)知識

一、長方體外接球:長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

二、補成長方體

(1)若三棱錐中有三條棱互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如下圖所示.

.

注:《九章算術(shù)》中的三棱錐均可補為長方體

7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，現(xiàn)有一

“陽馬”如圖所示，上4,平面4BCD,I%=5,AB=3,BC=4,則該“陽馬”外接球的表面積為

()

A125岳500兀

B.50兀C.1007U

33

【解答】解:把四棱錐P—ABCD放置在長方體中，

則長方體的外接球即為四棱錐的外接球，

?.?04=5,AB=3,BC=4,長方體的對角線長為/52+42+32=52,

則長方體的外接球的半徑R=等，

該“陽馬”外接球的表面積為S=4應(yīng)?2=4nx(立，)2=5071.

8.在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉席是指四個面都是直角三角形的四面體.如圖，在直角

△ABC中，AD為斜邊上的高，AB=3,力。=4,現(xiàn)將AABD沿AD翻折成△48，。,使得四面體

AB'CD為一個鱉膈，則該鱉膈外接球的表面積為

【答案】16兀

【分析】找出鱉臆外接球的球心，并得出外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式即可求解.

【詳解】由題設(shè)，△mco,△ABC都是直角三角形，只需me_L平面AB'D即可,

所以鱉月需外接球的球心在過CD中點且垂直于平面ACD的直線上，

而在直角三角形AGD中，AC的中點到點4c，。的距離都相等，

所以24cl的中點是外接球的球心，所以7?=2,S—4兀不=16元.

9.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E,斤分別是AB,8。的中點，將AAED,/\BEF,/\DCF分別

沿DE,班，。斤折起，使得AB。三點重合于點4，若三棱錐H—EFD的所有頂點均在球O的球面

上，則球O的體積為（）

A.春兀B.當(dāng)至兀C.V67rD.仝萼兀

243

【答案】。

【分析】根據(jù)題意，把三棱錐D-A'EF可補成一個長方體，利用長方體的對角線長求得外接球的半徑R=

乎，結(jié)合球的體積公式，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，可得4。_LAE,AD±AF,AE_LHF,且4E=1,HF=1,4。=2,

所以三棱錐D-4EF可補成一個長方體，則三棱錐D-4EF的外接球即為長方體的外接球,如圖所示,

設(shè)長方體的外接球的半徑為凡可得2R=Vl2+l2+22=正，所以滅=爭，

故選：C.

10.在四面體ABCD中，若AC=BD=2,AD=則四面體ABCD的外接球的

表面積為（）

A.2nB.4兀C.6兀D.8兀

【答案】。

【解析】由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，

所以可在其每個面補上一個以，3,2,、后為三邊的三角形作為底面，且以分別c,y,Z長、兩兩垂直的側(cè)棱

的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x,y,z的長方體，并且d+峭=3,22+z2=5,靖+z2=4,則

有（2R）2=/+峭+z2=6（五為球的半徑），得2&2=3,

所以球的表面積為S—4兀&=67r.

11.（24-25高三上?江蘇泰州?期中）在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉腌是指四個面都是直角三角

形的四面體.在直角AABC中，AD為斜邊上的高，AB=1,AC=V3,現(xiàn)將△48。沿AD翻折

成使得四面體AECD為一個鱉膈,則該鱉麝外接球的表面積為（）

兀

兀13

B.5C.37r~T~

【答案】。

【分析】先求出各個邊長，翻折后，使得B'D±B'C,由勾股定理得B'C=V2,此時B'C2+=2+1=3

=4。2,由勾股定理逆定理得39，00,故滿足四面體48,3）為一個鱉月需，取入。中點G,連接?G,

DG,得到GA=GC=GD=故點G即為該鱉臆外接球的球心，半徑為空，從而求出外接球表面積.

【詳解】因為直角中，AD為斜邊BC上的高，AB=1,AC=V3,

所以BC=?^=2,AD=0=空,

BCy2

BD^VAB2-AD2^^-,CD^y/AC2-AD2^~

如圖，翻折后，使得B'D，BC,由=V2,

此時5'。2+3,4=2+1=3=4。2,

由勾股定理逆定理得

結(jié)合A。_LB'D,人。_10故滿足四面體人3'。0為一個鱉月需，

取AC中點G,連接B'G,DG,

因為A。_LCD,B'A±AC,故GA=GC=GD=GB，=*C=乎,

故點G即為該鱉臆外接球的球心，半徑為乎，

故該鱉月需外接球的表面積為為4元（艱丫=3兀.

12.將邊長為2V3的正方形紙片折成一個三棱錐，使三棱錐的四個面剛好可以組成該正方形紙片，若三棱

錐的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為

【答案】18兀

【分析】作出三棱錐的直觀圖，將三棱錐補成長方體，可計算出該三棱錐的外接球的半徑，結(jié)合球體的表面

積公式可求得結(jié)果.

【詳解】在邊長為的正方形ABCD中，設(shè)E、F分別為48、3。的中點，

△AED、△EBF、△FCD分別沿DE、EF、FD折起，

使4B、。三點重合于點4,滿足題意，如下圖所示：

翻折前AB_LAD,BE_LBF,GD_LCF,

翻折后，則有AD_LA'E,AD±A'F,AE±A'F,

將三棱錐D-A'EF補成長方體AEMF-DPNQ,

其中=4。=2血，

設(shè)三棱錐D-AEF的外接球的半徑為A,則2_R=^A'E2+A'F2+AD2=V(V3)2+(V3)2+(2V3)2=372,

R=當(dāng)2,故該三棱錐的外接球的表面積為S=4兀五2=18兀.

13.(2024.廣東揭陽.高二校聯(lián)考期中)在三棱錐S—ABC中，SA=8C=5,SB=AC=,SC=AB

=島,則該三棱錐的外接球表面積是()

A.50兀B.1007tC.150兀D.200兀

【答案】A

【解析】因為SA—BC—5,SB—AC—V41,SC—AB—V34,

所以可以將三棱錐S—ABC如圖放置于一個長方體中，如圖所示：

設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、6、c,

fa2+b2=41

則有(Q2+C2=25,整理得。2+匕2+。2=50,

[b2+c2=34???

則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，

所以有a2+〃+c2=50=（22?）2=7?=^^,

所以所求的球體表面積為：S—471五2=4x兀x）=507r.

【題型3】直檢柱和國柱外接球模型

基礎(chǔ)知識1

漢堡模型（直橫柱的外接球、II柱的外接球）

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：確定球心。的位置，Oi是A4BC的外心，則001_1平面48。；

第二步：算出小圓Q的半徑AOi—r,OOi--^-AA1—■九（441=拉也是圓柱的高）;

第三步：勾股定理：042=014+0[020E=（,）2+產(chǎn)=R=J1+（.了，解出R

14.已知正三棱柱ABC-A8G所有棱長都為6,則此三棱柱外接球的表面積為（）

A.487rB.60兀C.647rD.84兀

【答案】。

[解析】如圖，。為棱的中點，G為正△ABO的中心，。為外接球的球心

根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知OG〃AAr,OG==3,

外接球半徑_R=O。，

?.?正△4B。的邊長為6,貝ICG=2V3

R2=OC2=OG2+CG2=32+（2V3）2=21

外接球的表面積S=4兀刑=847r.

故選：D

10

15.設(shè)直三棱柱ABC-的所有頂點都在一個表面積是40兀的球面上，且AB=AC=AAltZBAC

=120°,則此直三棱柱的表面積是（）

A.16+8V3B.8+12V3C.8+1673D.16+1273

【答案】。

【解析】設(shè)AB=AC=AAi=2小，因為ABAC=120°,所以NACB=30°.

于是一2m。=2r（r是△ABC外接圓的半徑），r=2m.

sin30

又球心到平面ABC的距離等于側(cè)棱長44的一半，

所以球的半徑為y/（2m）2+m2=V5m.

所以球的表面積為4兀?（，§m）2=40兀，解得772=，^.

因此AB=AC=AAX-2V2yBC—2A/6.

于是直三棱柱的表面積是

2x2V2x2V2+2V6x272+2x}x2^/2x2V2sinl20°=16+12V3.

16.（24-25高三上?安徽亳州?開學(xué)考試）已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個底面的圓周都在同一個體積

為斗啰乃的球面上，該圓柱的側(cè)面積為（）

O

A.8兀B.6兀C.5兀D.4兀

【答案】A

【分析】利用球的體積公式求出球的半徑，結(jié)合圓柱半徑可得圓柱的高，然后可解.

【詳解】球的體積為小乃不=當(dāng)逐兀，可得其半徑A=

OO

圓柱的底面直徑為2,半徑為丁=1,在軸截面中，可知圓柱的高為h=2A//?2—T2=4,

所以圓柱的側(cè)面積為2nrh=87r.

故選：A.

17.在三棱錐P-ABC中，E4，面ABC,△48。為等邊三角形，且E4=="，則三棱錐P-ABC

的外接球的表面積為.

【答案】7兀

【解析】因為是直三棱錐，底面是正三角形，所以可以將圖補形成為正三棱柱，如圖所示,

此三棱錐外接球，即為以△4BC為底面以■B4為高的正三棱柱的外接球,

設(shè)球心為。，作00,_L平面ABC,則O'為4ABC的外接圓圓心，連接40,AO,則00==平

設(shè)/\ABC的外接圓半徑為r,三棱錐P—ABC外接球半徑為R,

由正弦定理，得27-=[^=9=2,所以r=l,

smoOV3_

2

Rt/\OO'A中，04+。。,2=，所以+12=/?2,解得^=亨

所以S=4TLR2=7兀.

18.已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球為球O,球。的表面積為8兀，則該圓柱的體積為（）

A.^兀B.KC.2兀D.

【答案】。

【分析】設(shè)外接球的半徑為R,圓柱底面圓的半徑為T,由球。的表面積為8兀，得R=2，根據(jù)軸截面為正方

形列方程解得r=1,代圓柱的體積公式得解.

【詳解】設(shè)外接球的半徑為R,圓柱底面圓的半徑為r,因為圓柱的軸截面為正方形，所以圓柱的高九=27,

由球O的表面積S=4兀7?2=8兀，得/?=V2，又&=Jt）+r2=r,得r=1,所以圓柱的體積V=兀產(chǎn).

2r=2兀r3=2兀

【題型4】正四面體的內(nèi)切球和外接球結(jié)論

基礎(chǔ)知識

在棱長為Q的正四面體中

設(shè)正四面體ZRCD的的棱長為0,則有

1、正四面體的高為h=~^-a

2、正四面體外接球半徑為丑=卓（1

3、正四面體內(nèi)切球半徑為T=^^a

4、正四面體體積V=彳?。3

19.（2024?湖北宜昌?宜昌市夷陵中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正四面體ABC?的表面積為2四，且4B,C,

D四點都在球O的球面上,則球O的體積為.

【答案】乎兀

【解析】正四面體各面都是全等的等邊三角形，設(shè)正四面體的棱長為a,

所以該正四面體的表面積為S=4XyxaxJex?-瞪所以a=J^,

又正方體的面對角線可構(gòu)成正四面體，

若正四面體棱長為方，可得正方體的棱長為1,

所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球,所以外接球的直徑為半徑為,

所以球。的體積為斗兀.

20.（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）外接球半徑為逐的正四面體的體積為（）

A.g戶B.24C.32D.4872

O

【答案】A

【分析】設(shè)出正四面體棱長，通過作輔助線表示出四面體的高，解直角三角形表示外接球半徑，由已知外接

球半徑為娓可得棱長，再由三棱錐體積公式可得.

【詳解】如圖，設(shè)正四面體P-ABC的下底面中心為G,連接PG,則PG_L平面ABC,

連接力G并延長，交于。，設(shè)此正四面體的棱長為①，則人。=乎立，

13

2

AG=^-AD=爭,PG=力，即四面體的高無

o

A8設(shè)四面體外接球的球心為0,連接AO,外接球半徑為民

則R2=(三,『+(李，-五)2,化簡得兄=乎應(yīng)由兄=癡，

得力=4,即正四面體棱長為4,

所以正四面體的體積Vp-ABC=X42-義4=16產(chǎn).

J4OO

21.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑比為()

A.1:1B.2:1C.3:1D.4:1

【答案】。

【分析】設(shè)正四面體S—ABC的外接球球心為。，Oi為△ABC的中心，設(shè)棱長為a(a>0),即可求出外接球

的半徑￡,利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑r,即可得解.

【詳解】如圖，設(shè)正四面體S—ABC的外接球球心為O,Oi為△ABC的中心，則SOi_L平面ABC,

外接球半徑為A=4。=SO,內(nèi)切球半徑為r,設(shè)棱長為a(a>0),

在△ABC中，由正弦定理得」一=2491,所以AOi=^a,

sinf3

所以SO、=y/S^-AOl=浮a,由五2=A。：+oo：=AOI+(SOj-12)2,

即_R2=(^^1Q)+—解得_R=負(fù)值舍去)；

小笑妹和小步到1/1Q圻以3匕_麗^XjS^ABCxSOlSO】V6

由寺體積法傳到匕=表/，所以丁=----=------左---------=一1=三歹。，

力D表3AABC412

所以尼安==3:1.

412

故選：C.

22.已知正三棱錐A-BCD,各棱長均為V3，則其外接球的體積為（）

【答案】。

（分析】抓住正三棱錐的特征,底面是正三角形，邊長為沖，則高線的投影在底面正三角形的重心上，則外

接球的球心在高線上，且到各個頂點的距離相等，構(gòu)造直角三角形，從而即可求出外接球的半徑為了,進(jìn)而

可求出外接球的體積.

【詳解】由A—BCD是正三棱錐，底面是正三角形，邊長為，

則高線的投影在底面正三角形的重心上，則外接球的球心在高線上，且到各個頂點的距離相等，

如圖，取CD的中點，連接,過人作AE_L平面BCD，且垂足為E,則BE=2EF,

由AB=BC=CD=AD=BD=V3,

則在放△BCF中，有BF=J（⑹2_（乎『=_1,A

93

所以=?x旨=1,

則在Rt/\ABE中，有4E=12=鼻,/

設(shè)外接球的半徑為r,----

則加2+（4E—『）2=/，即了+（四—度）2=/，解得

故外接球的體積為V=《兀/3=5兀x（更2）=9*兀.

33V4/8

23.正四面體P-ABC中，其側(cè)面積與底面積之差為2V3,則該正四面體外接球的體積為.

【答案】娓R

【解析】設(shè)正四面體P—ABC的邊長為a,則該正四面體每個面的面積為空a2,

正四面體P一AB。的側(cè)面積與底面積之差為至乎a?—乎a?=^a2=2/S,解得a=2.

如下圖所示：

過點P作PD_L平面ABC,垂足為點。,連接AD,可知外接球球心。在PD上，

設(shè)球。的半徑為凡4ABC的外接圓半徑為AD=—J=可&,PD=NPN—AU=,

2sin6033

由圖可知，002+人。2=04,即（2^一靖+4=R2,解得R=乎.

24.一個正四面體的棱長為2,則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（）

A.3:1B.V3：lC.9:1D.27:1

【答案】。

【分析】作出輔助線，求出外接球和內(nèi)切球的半徑，從而得到體積之比.

【詳解】正四面體P—ABC中，取BC中點。，連接AD,則ADYBC,

過點P作PE_LAD于點E,

則PE_L平面ABC,外接球球心。在PE上,連接OA,則=OP=_R,

因為正四面體的棱長為2,所以BD=GD=1,AD=y/AB2-BD2=V3,

則AE^^-AD^--PE=^PA2-AE2=j4-^-=^Y~,

oo

OE=PE-PO=^~-R,

o

22

由勾股定理得OE?+AE^AO,即（等1-RJ+（警1『=兄2,

解得R=乎,

設(shè)內(nèi)切球球心為Oi,則Oi在PE上，過點Q作QH_LPD于點H,則O[E=OiH=r,

故POi=^^-八PD=瓜,DE=^-AD=^r

OOO

PCCH義⑥

因為△POiH~APDE,所以帚=焉，即1，

1UH/LJ7oVJ

~3~

解得「=坐，

0

故它的外接球與內(nèi)切球半徑之比為R：r=理:坐=3:1,體積之比為27:1.

26

【題型5】直橫律外接球模型（一條側(cè)橫垂直底面）

基礎(chǔ)知識

題設(shè):如圖，P4，平面ABC,求外接球半徑.（一條側(cè)棱垂直底面）

16

70

解題步驟：

第一步：將XABC畫在小圓面上，4為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑AD,連接PD,則PD必

過球心。；

第二步：Oi為的外心，所以00」平面ABC,算出小圓Q的半徑QD=r（三角形的外接圓

直徑算法：利用正弦定理，得士=-^―=-=2r）,OOi=；

smAsmBsmC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:①（2R）2=Q42+防）2=27?=V^42+（2r）2;

@R2=r2+OOl^R=y/r2+OOl.

25.已知三棱錐尸—ABC的底面ABC為直角三角形，且NACB=看.若R4，平面48。,且AB=3,

PA=4,三棱錐P-ABC的所有頂點均在球O的球面上，記球O的體積和表面積分別為V,S,則普

=（）

A—B.-cD

120-ff

【答案】B

【分析】依題意△48。外接圓的直徑為斜邊48=3,設(shè)三棱錐P—ABC外接球的半徑為五,則（22?）2=

AB?+可，求出外接球的半徑，再根據(jù)球的體積、表面積公式計算可得.

【詳解】因為△AB。為直角三角形且AACB=半，則_AC_LBC,

又四_L平面ABC,平面ABCMPA_LAB,PA_LBC,

而R4nAC=A,PA,ACd平面PAC,于是BC_L平面PAC,又PCu平面PAC,

因此PC_LBC,取PB中點Q,

連接COr,AO,,則O/=OF=OXB=OQ,

從而點Oi即為球O的球心O,

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

則（2R）2=AB2+H12,即4A2=32+42=25,所以72=停,

S4兀1一3—6.

17

26.已知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形，且4ACB=1■.若A4，平面48。,且AB=3,

PA=4,三棱錐P-ABC的所有頂點均在球O的球面上,記球O的體積和表面積分別為V,S,則(

=()

【答案】B

【分析】依題意4ABC外接圓的直徑為斜邊48=3,設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為五，則(27?)2=

AB?+旌,求出外接球的半徑,再根據(jù)球的體積、表面積公式計算可得.

【詳解】因為△ABC為直角三角形且ZACB=',則AC_LBC,

又RA_L平面ABC,AB,BCu平面ABC,則PA±AB,PA±BC,

而Q4nAe=AE4,力。U平面_R4C,于是BC_L平面R4C,

又PCU平面R4C,

因此PC_LBC,取PB中點Oi,

連接CQ,AOr,則OiA=OiP=OiB=OQ,

從而點即為球O的球心O,

設(shè)三棱錐p-ABC外接球的半徑為R,

則(2滅)2=482+可，即4不=32+42=25,所以&=

S4兀序—3—6.

27.已知S,A,B,。是球。表面上的不同點，SAL平面ABC,ABVBC,AB=1,口。=方，若球O的

表面積為4兀，則SA=()

A.夸B.1C.V2D.V3

【答案】B

【分析】根據(jù)四面體S—ABC的性質(zhì)可構(gòu)造長方體模型求得外接球半徑即可得SA=1.

【詳解】如下圖所示：

、、.B

O＞：\

I'-.

由SA_L平面ABC可知SA±AB,SA±BC,又AB±BC,

所以四面體S—ABC的外接球半徑等于以長寬高分別為SA,三邊長的長方體的外接球半徑,

設(shè)外接球半徑為R,

由球O的表面積為4元，可得47tA2=4冗，即五=1；

又AB=1,V2,42?2=AB~+BC1+SA2,

所以SA=L

28.2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）716

已知點S,ABC均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，SA±平面ABC,則SA

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運算求解.

【詳解】如圖，將三棱錐S一ABC轉(zhuǎn)化為正三棱柱SMN-ABC,

設(shè)△ABC的外接圓圓心為5,半徑為r,

則加=能嘗而=*=21可得片存

2

設(shè)三棱錐S—ABC的外接球球心為O,連接04,001,則。4=2,。。1=^-SA,

因為04=00：+0/2,即4=3+解得SA=2.

故答案為：2.

29.已知三棱錐S-4BC所在頂點都在球O的球面上，且SC,平面4BC,若SC=48=AC=2,

NBAC=120°,則球O的體積為（）

A20后B口32兀C20兀n32后

A，3-亍°F

3

【答案】A

【分析】求出△ABC外接圓半徑，再利用球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑作答.

【詳解】在△ABC中，AB=AC=2,120°,由余弦定理得BC=V22+22-2x2x2cosl20°=,

令A(yù)ABC外接圓圓心O,則OOi，平面ABC,且OC=。=2,

r2sinl20

而SC_L平面ABC,因此SC〃OOi,取SC中點D,連接。D,有OD_LSC,

又OQu平面ABC,即有SC_LOQ,OD〃QC,于是四邊形CDOO,為平行四邊形，

則OD=OQ=2,球o的半徑R=Yoiy+cri1=瓜,體積為/=萼充=萼X（VK）3=20產(chǎn).

OOO

【題型6】珠心在商上（圄鋒形）

基礎(chǔ)知識

如圖5—1至5—8這七個圖形，P的射影是AAB。的外心o三棱錐P—ABC的

三條側(cè)棱相等。三棱錐P-ABC的底面^ABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點.

20

|?5-6ms-7陽y

解題步驟：

第一步：確定球心O的位置，取^ABC的外心O1,則P,O,O1三點共線；

第二步：先算出小圓Oi的半徑AQ=r,再算出棱錐的高POi=%（也是圓錐的高）;

第三步：勾股定理：04=0/2+0]02nA2=（九一五產(chǎn)+/，解出打=以.

2h

方法二:小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.

【注意】:若是巳知外接球半徑R和小國半徑r求國雄的高，則有2個解

30.（2024?浙江臺州?高二校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為2,則該圓錐的外接球的體積為

【答案]哆之兀

【解析】由題設(shè)，圓錐體的高為九=V22-l2=V3,

若外接球的半徑為r,貝I（四一?。?+1=r2,可得丁=2弋,

O

所以圓錐的外接球的體積為曰兀"=嗎』兀.

O//

31.已知三棱錐P—ABC的各側(cè)棱長均為24,且AB^3,BC=V3,AC=2V3,則三棱錐P-48。的外

接球的表面積為.

【答案】16兀

【解析】如圖：

過P點作平面ABC的垂線，垂足為M■，則^PMAAPMB,^PMC都是直角三角形,

又RA=PB,；.APMA=4PMB,同理可得4PMA會APMC,：.MA=MB=MC,

所以河點是△