2025高考數學二輪復習：導數及其應用（選填題） 專項訓練【含答案】

2025高考數學二輪復習-專題03導數及其應用(選填題)-專項訓練

五年考情-探規(guī)律

考點五年考情(2020-2024)命題趨勢

2024全國甲卷1卷

2023II卷乙甲

考點1利用

導數求函數2022甲卷1卷II卷乙卷

單調性，極2021甲卷1卷

值最值20201卷III卷

構造函數利用導數求函數單

調性從而進行比較大小，利用

導數求函數的極值點以及最

2023甲卷值問題收高考必考題型

考點2構造

函數利用導2022甲卷1卷II卷

數求單調性

2021乙卷II卷

比較大小

20201IIIII卷

2021上海卷II卷

天津卷天津卷

考點3導數20222023零點含參問題的討論是導數

綜合應用20211卷北京卷綜合題型的重難點

分考點?精準練

考點01利用導數求函數單調性，極值最值

一、單選題

工.（2024?全國?高考甲卷）設函數=,則曲線＞=/⑴在點（0,1）處的切

線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）

A.-B.-C.1D.-

6323

2.（2023年全國新高考II卷）已知函數/（%）=敏-Inx在區(qū)間（1,2）上單調遞增，則。

的最小值為（）.

22

A.eB.eC.JD.e-

3.（2023年全國高考乙卷數學（文）試題）函數〃x）=V+"+2存在3個零點，貝心

的取值范圍是（）

A.（-8,-2）B.C.（T,—l）D.（-3,0）

4.（2023年全國高考甲卷數學（文）試題）曲線y=￡在點處的切線方程為

ce_e3e

A.y=-xB.y=—xD.y=-x-\—

4224

5.（2022年全國高考甲卷數學（文）試題）當無=1時，函數/（%）=〃ln%+2取得最大

值—2,則廣⑵=（）

A.-1

6.（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）設若％=〃為函數

“司二4工-/口”）的極大值點，則（）

A.a<bB.a>bC.ab<aD.ab>a

7.（2021年全國新高考I卷）若過點（a,6）可以作曲線y=e，的兩條切線，貝IJ（）

A.eb<aB.e℃

C.Q<a<ebD.0<b<ea

8.(2020年全國高考I卷)函數/(%)=/-2丁的圖像在點(1,/⑴)處的切線方程為

()

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

9.(2020年全國高考III卷)若直線/與曲線片石和/+/=：都相切，則/的方程為

()

A.y=2x+lB.y=2x+C.片；x+1D.y=^x+

10.(2019年全國高考III卷)已知曲線>=彼'+；1-11^在點(l,ae)處的切線方程為

y=2x+b,則()

A.a=e,b=-1B.a=e,b=lC.a=e~',b=lD.a=e\b--1

二多選題

11(2024?全國?高考I卷)設函數/(X)=(X-1)2(X-4),則()

A.x=3是"X)的極小值點B.當0<x<l時，/(x)</(x2)

C.當l<x<2時,-4</(2x-l)<0D.當-l<x<0時,f(2-x)>f(x)

三填空題

12.(2024?全國?高考I卷)若曲線>=6工+》在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+a

的切線，貝心=.

13.(2023?全國乙卷)設若函數〃力=國+(1+.)*在(0,+巧上單調遞增,則

a的取值范圍是.

14.（2022全國乙卷）已知尤=%和工=無2分別是函數/（x）=2a，-ex2（a>0且awl）

的極小值點和極大值點.若玉<%,則a的取值范圍是.

15.（2022年全國新高考I卷）若曲線y=（x+a）e'有兩條過坐標原點的切線，貝1J°的

取值范圍是.

16.（2021?全國甲卷）曲線y="在點（T-3）處的切線方程為.

17.（2021年全國新高考I卷）函數〃x）=|2x-1k21nx的最小值為.

三、雙空題

18.（2022年全國高考II卷）曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為

>?

考點02構造函數利用導數求單調性比較大小

一、單選題

1.（2023年全國高考甲卷數學（文）試題）已知函數/'（%）=廠，了.記

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

2.（2022年全國高考甲卷數學（文）試題）已知9加=10,a=l（F-=9,則

（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>O>a

3.（2022年全國新高考I卷數學試題）設a=0.1e°」,6=g,c=Tn0.9,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

4.（2021年全國高考II卷數學試題）已知。=log52,Z>=log83,c=1,則下列判斷正

確的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

5.（2020年全國高考III卷數學試題）設a=log32,&=log53,c=j,貝IJ（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

3111

6（2022?全國甲卷）已知"乙乃=cos—,c=4sinj則（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

7.（2021?全國乙卷）設a=21nl.01,h=lnl.O2,c=Jl.04—1.則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

8.（2020年全國新高考I卷）若2°+log2口=?+21og*,則（）

A.a>2bB.a<2bC.a>b2a<b2

9.（2020年全國高考II卷）若2-2，<3-'-3-，，則（）

A.ln（y-%+l）>0B.ln（^-x+l）<0C,ln|%-y|>0D.ln|x—y|<0

4

10.（2020年全國高考川卷）已知55<8\13<爐.設a=log53,Z?=log85,c=logi38,則

（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

考點03導數綜合應用

一、單選題

1.（2024?上海?高考真題）已知函數Ax）的定義域為R,定義集合

”=｛與|玉eR,xe（-8,%）J（x）</（Xo）｝,在使得M=[-1,1]的所有中，下列成立

的是（）

A.存在是偶函數B.存在在x=2處取最大值

C.存在“X）是嚴格增函數D.存在在戶-1處取到極小值

二、多選題

2.（2024?全國?高考II卷）設函數/（尤）=2尤3-3加+1,則（）

A.當。>1時，有三個零點

B.當a<0時，x=0是/⑺的極大值點

C.存在a,6,使得x=b為曲線y=/（x）的對稱軸

D.存在a,使得點（I"⑴）為曲線y=/（x）的對稱中心

三填空題

3.（2022?天津統(tǒng)考高考真題）設aeR,對任意實數X,記

〃%）=而11{國-2戶2-改+34-5}.若〃尤）至少有3個零點，則實數。的取值范圍為

4.（2021年全國新高考I卷數學試題）函數〃力=|2%-1|-2111了的最小值為.

5.（2023?天津統(tǒng)考高考真題）若函數/（%）=加-2元-.-6+1］有且僅有兩個零點,

則。的取值范圍為.

6.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）已知函數，了）=或才廿2,給出下列四個結論:

①若左=0,AM恰有2個零點；

②存在負數3使得/⑴恰有1個零點；

③存在負數3使得A*）恰有3個零點；

④存在正數k，使得Ax）恰有3個零點.

其中所有正確結論的序號是

參考答案與詳細解析

五年考情：探規(guī)律工

考點五年考情(2020-2024)命題趨勢

2024全國甲卷1卷

2023II卷乙甲

考點1利用

導數求函數2022甲卷1卷II卷乙卷

單調性,極2021甲卷1卷

值最值20201卷III卷

構造函數利用導數求函數單

調性從而進行比較大小，利用

導數求函數的極值點以及最

2023甲卷值問題收高考必考題型

2022甲卷1卷II卷

考點2構造

函數利用導2021乙卷II卷

數求單調性

20201IIIII卷

比較大小

2021上海卷II卷

天津卷天津卷

考點3導數20222023零點含參問題的討論是導數

綜合應用20211卷北京卷綜合題型的重難點

分考點?精準練

考點01利用導數求函數單調性，極值最值

二、單選題

工.（2024?全國?高考甲卷）設函數=則曲線＞=/⑴在點（0,1）處的切

線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）

A.-B.-C.1D.-

6323

【答案】A

【分析】借助導數的幾何意義計算可得其在點（0」）處的切線方程，即可得其與坐標軸

交點坐標，即可得其面積.

(e，+2cosx)(l+%2)-(e"+2sinx).2x

【詳解】尸（司=

(")2

(e。+2cos0)(l+0)-(e。+2sin0)x0

貝IJ〃0)=——=3,

(l+0廣

即該切線方程為3-1=3%,即y=3尤+1,

令尤=0,貝ijy=i,令y=。，貝=

故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積S=：xlx-：=，

236

故選：A.

2.(2023年全國新高考II卷)已知函數/(x)=ae*-Inx在區(qū)間(1,2)上單調遞增，則。

的最小值為().

A./B.eC.e-'D.曉

【答案】C

【分析】根據尸(力=溫-卜0在(1,2)上恒成立，再根據分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，((x)=*-在(1,2)上恒成立，顯然。>0,所以WnL

xa

設g(x)=xe，,xe(l,2),所以g〈x)=(x+l戶>0,所以g(元)在(1,2)上單調遞增，

g(x)>g(l)=e,故e2,，gpa>-=e-1,即a的最小值為J.

ae

故選：c.

3.(2023年全國高考乙卷數學(文)試題)函數〃x)=V+"+2存在3個零點，貝心

的取值范圍是()

A.(-00,-2)B.(^o,-3)C.(T,—l)D.(-3,0)

【答案】B

【分析】寫出尸(x)=3/+a,并求出極值點，轉化為極大值大于0且極小值小于。即

可.

【詳解】fM=X3+ax+2,貝IJ尸(x)=3/+。,

若“X）要存在3個零點，則“X）要存在極大值和極小值，則〃<0,

令1(%)=3X2+Q=0,解得X=一

當<-總,同,?。?lt;。

故“X）的極大值為'yI，極小值為

+2>0

若“X）要存在3個零點，則<,即，,解得av—3,

+2<0

故選：B.

4.（2。23年全國高考甲卷數學（文）試題）曲線廣三在點■處的切線方程為

X+1

()

e、e°ee「e3e

A.y=-xB.y=-xC.y=—x+—D.y=-x-\----

424424

【答案】C

【分析】先由切點設切線方程，再求函數的導數，把切點的橫坐標代入導數得到切線

的斜率，代入所設方程即可求解.

【詳解】設曲線y=工在點1,：處的切線方程為=

x+1、2）2

e*(尤+1)-1XQX

因為一，所以八

(X+1)2(x+以

所以％=y'L產［所以所以曲線廣工在點15處的切線方程為

424x+lI

>=】無+|■.故選：c

44

5.(2022年全國高考甲卷數學(文)試題)當x=l時，函數/(無)=alnx+2取得最大

X

值一2,則八2)=()

A.—1B.—C.gD.1

22

【答案】B

【分析】根據題意可知/。)=-2,廣⑴=0即可解得再根據.(力即可解出.

【詳解】因為函數〃x)定義域為(0,+“)，所以依題可知，/(1)=-2,/⑴=0,而

r(x)=--A，所以8ni2,a-6=0,即a=-2,6=-2,所以廣(一)=二+2,因此函數

XX龍廠

“X)在(0,1)上遞增，在。,口)上遞減，x=l時取最大值，滿足題意，即有

r(2)=-l+1=-1.故選：B.

6.(2021年全國高考甲卷數學(文)試題)設。/0,若無=〃為函數

f(x)=a(x-a)2(x-Z?)的極大值點，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【分析】先考慮函數的零點情況，注意零點左右附近函數值是否變號，結合極大值點

的性質，對"進行分類討論，畫出/(.I)圖象，即可得到。步所滿足的關系，由此確定

正確選項.

【詳解】若4=6,則〃X)=“(X-4)3為單調函數，無極值點，不符合題意，故〃b.

二/(x)有x="和x=8兩個不同零點，且在％=。左右附近是不變號，在x左右附近

是變號的.依題意，X=a為函數的極大值點，，在x=a左右

附近都是小于零的.

當加0時,由x>6,/(x)<0,畫出。(x)的圖象如下圖所示:

由圖可知6<a,a<0,i^ab>a2.

當a>0時，由時，/(%)>0,畫出“X)的圖象如下圖所示：

由圖可知人>%a>0,故ab>at

綜上所述，/成立.故選：D

7.(2021年全國新高考I卷)若過點(。,外可以作曲線y=e*的兩條切線，貝IJ()

A.eb<aB.ea<b

C.0<t?<e*D,0<b<ea

【答案】D

【分析】解法一：根據導數幾何意義求得切線方程，再構造函數，利用導數研究函數

圖象，結合圖形確定結果；

解法二：畫出曲線》="的圖象，根據直觀即可判定點(。力)在曲線下方和X軸上方時才

可以作出兩條切線.

【詳解】在曲線y=/上任取一點p(r,d),對函數y=e，求導得y=e]

所以，曲線y=e'在點P處的切線方程為y-e'=e'(x-。，即y=e'x+(l-)e1

由題意可知，點(<2,6)在直線,=源+(1_。/上，可得b=~+(l—)e'=(a+l—,

令/⑺=(a+lT)d,則了'⑺=(a—)d.

當r<a時，/'⑺>0,此時函數/⑺單調遞增，

當"。時，廣⑺<0,此時函數〃。單調遞減，

所以,而=")=巴

由題意可知，直線y=。與曲線y=F?)的圖象有兩個交點，貝1仍<了(。1mx=炭，

當/<。+1時，/(r)>0,當：>。+1時，/(。<0,作出函數〃。的圖象如下圖所示：

故選：D.

解法二：畫出函數曲線y=/的圖象如圖所示，根據直觀即可判定點(。,6)在曲線下方

和x軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知0<6</.

故選：D.

8.(2020年全國高考I卷)函數/(xhfx3的圖像在點(1,/⑴)處的切線方程為

()

A.y=-2x-lB.y--2x+l

C.y=2x-3D.y=2尤+1

【答案】B

【分析】求得函數y=〃x)的導數1⑺，計算出〃1)和廣⑴的值，可得出所求切線

的點斜式方程，化簡即可.

【詳解】?."(尤)=無4-2尤，，r(x)=4/_6f,=r(l)=-2,

因此，所求切線的方程為y+l=-2(x-l),即y=-2x+l.

故選：B.

【點睛】本題考查利用導數求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題

9.(2020年全國高考川卷)若直線/與曲線片石和/+/=:都相切，則/的方程為

()

A.y=2x+lB.y=2x+^C.y=gx+lD.

【答案】D

【詳解】設直線/在曲線y=4上的切點為10,A),則%>0,

函數y=?的導數為?=點,則直線I的斜率k=樂,

設直線/的方程為>一后=3方(尤-尤。)，^x-2^y+xo=O,

ixI

由于直線/與圓八"y相切，則門=4

兩邊平方并整理得5x；-4%-1=0,解得%=1,(舍)，

貝IJ直線/的方程為x-2y+l=0,即y=Jx+/故選：D.

10.(2019年全國高考III卷)已知曲線y=ae'+xlnx在點(l,ae)處的切線方程為

y=2x+b,則()

A.a=e,b=-1B.a=e,b=lC.a=e~x,b=\D.a=e{,b=-1

【答案】D

【解析】通過求導數，確定得到切線斜率的表達式，求得。，將點的坐標代入直線方

程，求得b.

【詳解】詳解：y'=aex+\nx+\,

k=yI=ae+l=2,:.a=e"

將(1,1)代入y=2x+6得2+8=1力=一1,故選D.

【點睛】本題關鍵得到含有a,6的等式，利用導數幾何意義和點在曲線上得到方程關

系.

二多選題

11(2024?全國?高考I卷)設函數/(x)=(x-l)2(x-4),則()

A.x=3是一(X)的極小值點B.當0<x<l時，f(x)<f(x2)

C.當l<x<2時,-4</(2x-l)<0D.當-l<x<0時,f(2-x)>f(x)

【答案】ACD

【分析】求出函數“X)的導數，得到極值點，即可判斷A；利用函數的單調性可判斷

B；根據函數“可在(L3)上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.

【詳解】對A,因為函數的定義域為R,而

f'(x)=2(x—l)(x—4)+(x—1)2=3(x—1)(無一3),

易知當xe(l,3)時，f'(x)<0,當xe(-8,l)或xe(3,+8)時,/(x)>0

函數在(-吃1)上單調遞增，在(L3)上單調遞減,在(3,+8)上單調遞增,故x=3是

函數的極小值點，正確；

對B,當0<x<l時，x-x2=x(l-x)>0,所以1>彳>尤2>0,

而由上可知，函數〃x)在(0,1)上單調遞增，所以/'(x)>/?(/),錯誤；

對C,當l<x<2時，l<2x-l<3,而由上可知，函數"尤)在(L3)上單調遞減，

所以/⑴>/(2x—1)>〃3),即T</(2xT)<0,正確；

對D,當一l<x<0時，

/(2-x)-f(x)=(l-x\(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0,

所以f(2-x)>/(x),正確；

故選：ACD.

三填空題

12.(2024?全國?高考I卷)若曲線y=e'+x在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+a

的切線，貝心=.

【答案】In2

【分析】先求出曲線y=e，+x在(0,1)的切線方程，再設曲線y=ln(x+l)+a的切點為

(x0,ln(x0+l)+?),求出義利用公切線斜率相等求出與,表示出切線方程，結合兩切

線方程相同即可求解.

【詳解】由y=e*+x得y'=e*+l,y'|x=0=e°+1=2,

故曲線y=/+尤在(0,1)處的切線方程為y=2x+1;

由y=ln(x+l)+。得y',

設切線與曲線y=ln(x+l)+a相切的切點為a，ln(%o+l)+a),

由兩曲線有公切線得y'=F=2,解得毛=則切點為一,Q+In一

局十1222

切線方程為y=2+〃+In——2x+1+Q—In2

2

根據兩切線重合，所以。-ln2=0,解得a=ln2.

故答案為：ln2

13.(2023?全國乙卷)設ae(O,l),若函數〃力=優(yōu)+(1+4在(0,+。上單調遞增,則

a的取值范圍是.

【答案】］空，1］

【分析】原問題等價于r(x)=aUn?+(l+?)Aln(l+a)>0恒成立，據此將所得的不等式

進行恒等變形，可得2-君巴、，由右側函數的單調性可得實數。的二次不等

式，求解二次不等式后可確定實數。的取值范圍.

［詳解］由函數的解析式可得尸(x)=a，In4+(1+a)'In(1+a)20在區(qū)間(0,+功上恒成

則(1+a)"In(1+a)2-a'Ina,即士-烹彳在區(qū)間(0,+8)上恒成立,

1+a

故|f：￡),而。+1?1,2),故ln(l+a)>0,

a

ln(a+l)—即[4+l)“故叵3a<i,

Q<a<l[0<a<l2

結合題意可得實數。的取值范圍是［七一/J

故答案為：［怨，

14.(2022全國乙卷)已知%=和％=%分別是函數/(X)=2a"-e%2(〃>0且〃wl)

的極小值點和極大值點.若玉<%,則〃的取值范圍是.

【答案】

【分析】法一：依題可知，方程21nad-2ex=0的兩個根為不當，即函數y=lna?優(yōu)

與函數V=ex的圖象有兩個不同的交點，構造函數g(x)=lnad,利用指數函數的圖

象和圖象變換得到g(x)的圖象，利用導數的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據

幾何意義可得出答案.

【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】轉化法，零點的問題轉為函數圖象的交點

因為/'(x)=21na""'-2ex,所以方程21nad-2ex=0的兩個根為占，Z,

即方程Ina-ax=ex的兩個根為和三,

即函數y=In“?優(yōu)與函數y=ex的圖象有兩個不同的交點,

因為占,超分別是函數“X)=2ax-ex2的極小值點和極大值點,

所以函數“X)在(9,%)和(9,y)上遞減，在,馬)上遞增,

所以當時(YO，X)(b+?)),/\%)<0,即y=ex圖象在y=inad上方

當時，f^x)>0,即」=。圖象在y=inad下方

a>l,圖象顯然不符合題意，所以0<°<1.

g(x)=ina-ax,貝[]g,(j;)=ln2a-aA,0<a<l,

設過原點且與函數y=g(x)的圖象相切的直線的切點為(x°,lna-a?),

2

則切線的斜率為g'(xo)=ln2a-a&,故切線方程為yTna.*=lna-a^(%-%0),

則有Tnad=Toln%d。，解得玄=j,則切線的斜率為1112a.=eWq

因為函數y=Ina?優(yōu)與函數y=ex的圖象有兩個不同的交點,

又Ovavl,所以!

ee

綜上所述，a的取值范圍為

［方法二］:【通性通法】構造新函數，二次求導

/'(%)=21na?，-2ex=0的兩個根為王

因為芭，々分別是函數/(%)=2/-e九2的極小值點和極大值點,

所以函數4%)在(TO,%)和㈤”)上遞減，在(西,%2)上遞增,

設函數g(尤)=f'(x)=2(a*lna—ex),貝=2優(yōu).(ina1-2e,

若。>1,則g'(x)在R上單調遞增，此時若g'(x°)=O,則尸⑺在

(-8,5)上單調遞減，在(％,y)上單調遞增，此時若有x=%和x=z分別是函數

/(x)=2優(yōu)-ex?.〉。且awl)的極小值點和極大值點，則%>%,不符合題意；

若。<a<l,則g'(x)在R上單調遞減，此時若g'(x())=O,則廣(x)在(YO,XO)上單調遞

增，在(與,心)上單調遞減，令g'(Xo)=O,貝此時若有x=%和尤=x?分另lj

是函數〃彳)=2"-02(。>0且。力1)的極小值點和極大值點，且玉<%,則需滿足

/(?^))>0,尸(%)=2(*111"-%)=2[高-"]>0,即無。<一，尤()1皿>1故

Ina^=xolnfl=ln—^>1,所以

(Ina)e

15.(2022年全國新高考I卷)若曲線y=(x+a)e，有兩條過坐標原點的切線，貝IJ〃的

取值范圍是.

【答案】(F,T)U(O,4W)

【分析】設出切點橫坐標看,利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點

得到關于吃的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得〃的取值范圍.

【詳解】丫丁=(》+。)6，，，y=(x+l+a)e\

設切點為(工,%),則%=(尤。+。)資，切線斜率左=(無o+1+a)e-，

切線方程為：y-(x()+a)e&=(xo+l+a)e*(尤-尤0),

1

丫切線過原點，，-(%+。)爐=(^+1+<7)6"°(-%0),

整理得：君+辦。-。=0,

?切線有兩條，，△=/+4。>0,解得。<-4或a>0,

'''a的取值范圍是(-QO,7')U(0，+00),

故答案為：(F,-4)U(O,Y)

16.(2021?全國甲卷)曲線y=—在點(T-3)處的切線方程為________

x+2

【答案】5x-y+2=0

【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可.

【詳解】由題，當尸-1時，y=-3,故點在曲線上.

2(尤+2)-(2x-l)_5

所以y'IL產5

求導得：(x+2)2(x+2)2

故切線方程為5x-y+2=o.

故答案為：5x-y+2=0.

17.(2021年全國新高考I卷)函數〃x)=|2x-l|-21nx的最小值為.

【答案】1

【分析】由解析式知了⑺定義域為(0,+s),討論1<x<Kx>\,并結合導

數研究的單調性，即可求Ax)最小值.

【詳解】由題設知：/(無)=12x-l|-21nx定義域為(0,+8),

.,.當0<xwg時，/(x)=l-2x-21nx,此時/(x)單調遞減；

12

當時，f(x)=2x-l-21nx,有/(尤)=2——W0,此時“%)單調遞減；

2x

9

當工>1時，f(x)=2x-l-2lnx,有/(乃=2——>0,此時/⑺單調遞增；

x

又f(x)在各分段的界點處連續(xù),

綜上有：0<元41時，/（X）單調遞減，X>1時，/（元）單調遞增；

故答案為：L

三、雙空題

18.（2022年全國高考II卷）曲線y=ln|尤|過坐標原點的兩條切線的方程為

>?

【答案】y=-x,=」尤

ee

【詳解】［方法一］:化為分段函數，分段求

分尤>0和x<0兩種情況，當x>0時設切點為（Xo，lnx°）,求出函數依導函數，即可求出

切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出％,即可求出切線方

程，當x<0時同理可得；

解：因為y=ln|x|,

當x>0時y=lnx,設切點為（xo/nx。），由y'=±所以所以切線方程為

y-lnx0=—（x-x0）,

%

又切線過坐標原點，所以-皿％=工（-/），解得x°=e,所以切線方程為

y-l=-（^-e）,即y=-x；

ee

當尤<0時y=ln（r）,設切點為（Hln（Tj）,由y'=L所以力『=’，所以切線方程

X石

為y-ln（-%）=工（x-%），

又切線過坐標原點，所以Tn（F）=L（T）解得玉=_e,所以切線方程為

x\

y-l=—（.?+e）,gpJ=；故答案為：y=-%；y=--x

-eeee

［方法二］:根據函數的對稱性，數形結合

當尤>0時y=in無，設切點為(如足與)，由y=L所以所以切線方程為

X玉)

y-lnx0=—(x-x0),

xo

又切線過坐標原點，所以-山七=’(一/)，解得x0=e,所以切線方程為

y-l=l(x-e),即y=L；因為y=ln|x|是偶函數，圖象為：

ee

所以當x<0時的切線，只需找至關于y軸的對稱直線y=即可.

ee

［方法三］：因為y=ln|x|,

當x>0時y=lnx,設切點為5,lnx°),由y'=L所以所以切線方程為

xX0

j-lnx0=—(x-x0),

玉)

又切線過坐標原點，所以-lnx0='(-%),解得％=e,所以切線方程為

y-l=J(無一e),艮|ly=』x；

ee

當尤<。時y=ln(—x),設切點為由了=匕所以*日=,，所以切線方程

X玉

^jy-ln(-x1)=-(x-x1),

又切線過坐標原點，所以-也(-占)=工(-占)，解得%=-e,所以切線方程為

%

y-l=f(x+e),即y=—L；

故答案為：y=-x；y=--x.

ee

考點02構造函數利用導數求單調性比較大小

一、單選題

1.（2023年全國高考甲卷數學（文）試題）已知函數〃x）=e《f2.記

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據指數函數的單調性及二次函數的性質

判斷即可

【詳解】令g（x）=-（x-l）2,則g（x）開口向下,對稱軸為x=l,

因為當_1.1當=^+A/3_4而（布+道）2_4?=9+6應一16=6行一7>0,

所以坐一1一「一孝|=^（^一g>0,即1.1>1一#

由二次函數性質知g（半）

因為坐一1一11一日>在產一?而

（A/6+A/2）2-42=8+4>/3-16=4A/3-8=4（A/3-2）<0,

即坐一1<1一日，所以g?。?gt;g（與，

綜上，g（孝）<g（亭）<g（岑），

又'=/為增函數，故avc<〃，即b>c>a.

故選：A.

2.(2022年全國高考甲卷數學(文)試題)已知9"=10,。=10"-111=8"-9,則

()

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>O>a

【答案】A

【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知根=log910>l,再利用基

本不等式，換底公式可得相>坨11,Iog89>〃z,然后由指數函數的單調性即可解出.

【詳解】［方法一］:(指對數函數性質)

由9"'=10可得〃z=bg91°=孚而lg91gli<[g9；gU]=[等)<l=(lgW)2,所

1g9

lglOlgH

>即所以。=i(r—ii>i(ygu—ii=o.

lg9IglO

又Ig81gio<(lg8；gl°)=(等]<(lg9『,所以三〉(,BPlog89>m

所以6=8'"-9<8陶9-9=0.綜上，a>0>b

［方法二］:【最優(yōu)解】(構造函數)

由9m=10,可得根=log910e(l,L5)

根據。泊的形式構造函數/(x)=--x-i(x>D,貝以3=履7-1,

令尸(X)=0,解得飛=機占,由"?=log1。e(l,1.5)知.”€((),1).

f(功在(L”)上單調遞增，所以〃10)>A8),即a>b,

又因為/(9)=9M。-10=0,所以a>0>6.

故選：A.

【點評】法—：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常

用，屬于通性通法；

法二：利用。力的形式構造函數/(無)=/一尤一1(%>1),根據函數的單調性得出大小關

系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.

3.(2022年全國新高考I卷數學試題)設a=0.1e°」,6=g,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】構造函數/(尤)=ln(l+x)-x,導數判斷其單調性，由此確定。，ac的大小.

【詳解】方法一：構造法

設/Xx)=ln(l+元)-尤(x>-l),因為/'(x)=J--1=--

當xe(-LO)時，/V)>0,當XG(0,+O))時廣。)<0,

所以函數/CO=ln(l+x)-x在(0,+■?)單調遞減，在(T,0)上單調遞增，

所以/(}</(。)=。，所以1吟-\<0,故:>1吟=-ln0.9,即6>c,

1O1Q_±11_1

所以/(-而)</(0)=0,所以In而+而<0，故歷所以歷e1。<§,

故a<6,

設gO)=%e'+ln(l-%)(0<x<l),貝IJg，(x)=(x+1)e*+~?！?,

令〃(x)=e*(尤2_1)+1,h\x)=ex(x2+2x—1),

當0<彳<正-1時，〃(x)<0,函數心)=/(尤2-1)+1單調遞減，

當0-1<X<1時，"(尤)>。，函數=-1)+1單調遞增.

又〃(0)=0,

所以當0＜尤＜也一1時，M尤)＜0,

所以當0＜尤＜0-1時，g'(x)＞0,函數80)=彳/+111(1-彳)單調遞增,

所以g(0.1)＞g(0)=。，即Qle°」＞—lnQ9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：a=0.1e°',萬=7^7，，=-皿1-0」)，

1-U.1

①Intz—lnZ?=0.1+ln(l—0.1),

令f(x)=x-\-ln(l—x),xe(0,0.1],

貝IJ/'(x)=l--^-=-^<0,

1—X1—x

故/(x)在(0,0.1]上單調遞減，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina—lnbvO,所以a<b；

②?-c=O.le01+ln(l-0.1),

x

令^(x)=xe+ln(l-x),xG(0,0.1],

則g'(x)=xe，+e，__一=(l+x)(lx)e'T

v71-x\-x

令化(無)=(1+九)(1—x)ex—1,所以k\x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上單調遞增,可得所)>左(0)>0,即g\x)>0,

所以g(%)在(。，0」上單調遞增,可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>&

故c<a<b.

4.(2021年全國高考II卷數學試題)已知〃-2,2=皿,則下列判斷正

確的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【分析】對數函數的單調性可比較a、6與C的大小關系，由此可得出結論.

［詳解］a=log52<log5A/5==log825/2<log83=b,即a<c<6

故選：C.

5.（2020年全國高考III卷數學試題）設a=log32,&=log53,c=j貝IJ（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

3

【分析】分別將。力改寫為〃=Jog323,^=|log53,再利用單調性比較即可.

112112

325c

【詳解】因為a=§log3：2<§log39=§=c,b=-log53>-log5=-=，

所以avcv》.

故選：A.

【點晴】本題考查對數式大小的比較，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.

3111

6（2022?全國甲卷）已知。=一,0=cos-,c=4sin-,則（）

3244

A.c>b>aB.b