2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)講義：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（學(xué)生版+解析）

第03講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

（5類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第6題,5分判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

2023年新I卷，第4題,5分指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性二次函數(shù)單調(diào)性

用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性

2022年新I卷，第7題,5分比較指數(shù)累的大小

比較對數(shù)式的大小

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結(jié)合其他知識點考查，需要掌握指數(shù)的運算及

指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5-6分

【備考策略】1.了解有理數(shù)指數(shù)暴、實數(shù)指數(shù)累含義，掌握指數(shù)幕的運算性質(zhì).

2.了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念

3.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

4.能結(jié)合指數(shù)函數(shù)比較指數(shù)式大小

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容會結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學(xué)習(xí)備考

知識點1根式的基本知識

知識點2指數(shù)的基本性質(zhì)

知識點3指數(shù)的基本計算

核心知識點

知識點4指數(shù)函數(shù)

知識點5對稱性

考點1指數(shù)與指數(shù)幕的運算

考點2指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用

考點3指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性

核心考點

考點4指數(shù)（型）函數(shù)的值域與最值

考點5指數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大?。?/p>

知識講解

1.指數(shù)的基本知識

（1）根式的基本性質(zhì)

①?的定義域為％之0,?的定義域為xeR

x,x>0/、

c，定義域為(xeR)

-x,x<0

③（J力=X，定義域為（X20）

④#7=%,定義域為(xeR)

⑤（F1=無，定義域為（xeR）

（2）指數(shù)的基本性質(zhì)

①零指數(shù)累:。°=1（。彳0）;

②負(fù)整數(shù)指數(shù)塞:才"=』（a#0,peN*）;

ap

m

③正分?jǐn)?shù)指數(shù)累:tr(a>0,nG>1);

m

1

④負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累：a：=J—(a>0,nG>1)

mm

ana

（3）指數(shù)的基本計算

m

①同底數(shù)新的乘法運算am,，=am+n②同底數(shù)塞的除法運算—a二

a

mnm

③塞的乘方運算b葉=a④積的乘方運算=ab

2.指數(shù)函數(shù)

(1)指數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

一般地，函數(shù)了=優(yōu)(?！?且叫做指數(shù)函數(shù)

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=axa>\0<tz<l

J\y

/y-axy^ax\『

圖(0,1)

----y=l-飛一1

象/

01Xix

定義域R

值域

過定點(0,1)

當(dāng)天>0時，y>1；當(dāng)x>0時，0<y<l；

性質(zhì)%<0時,0<y<lx<0時,y>1

在(-co,+co)上是增函數(shù)在(-co,+co)上是減函數(shù)

考點一、指數(shù)與指數(shù)塞的運算

典例引領(lǐng)

<有、2+用

1.(2023?全國?模擬預(yù)測)—=()

9

\7

A.|B.?C.73D.3

2.(2024?廣東?模擬預(yù)測)若孫=3,

3.(2。22?北京?高考真題)已知函數(shù)八加七,則對任意實數(shù)x,有()

A./(-x)+/(x)=0B.『(f)一〃尤)=0

D./(-x)-/(x)=1

c./(-x)+/(%)=1

1.（2024?上海寶山?二模）將必7（其中〃>0）化為有理數(shù)指數(shù)幕的形式為.

2.（2023?山東?模擬預(yù)測）若=4,貝。的值為（）

考點二、指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）函數(shù)y=3、與y=-1的圖象（）

3

A.關(guān)于無軸對稱B.關(guān)于y軸對稱

c.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于y=x對稱

2.（23-24高三上?河北衡水?開學(xué)考試）已知4>0,貝IJ函數(shù)/（勸=罐一2。的圖象可能是（）

3.（2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=e%x-1）-x-l的所有零點之和為（）

A.0B.-1C.bD.2

1.（22-23高二下,四川綿陽?期末）要得到函數(shù)y=22i的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)y=4'的圖象（）

A.向左平移1個單位B.向右平移1個單位

C.向左平移g個單位D.向右平移g個單位

2.（23-24高三上?山西晉中,階段練習(xí)）（多選）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=/+ax+a-1與y="的圖象

可能是（）

3.（2024?黑龍江?二模）已知函數(shù)>=（；]+。的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線y=2,但又不與該直線相

交，則曲=（）

A.-1B.-2C.-4D.-9

考點三、指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高考真題）設(shè)函數(shù)〃尤）=2十-"）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.（ro,—2]B.[—2,0）

C.（0,2]D.[2,+oo）

2.（2024?寧夏銀川?三模）已知函數(shù)〃尤）=/4，則下列說法不正確的是（）

A.函數(shù)“X）單調(diào)遞增B.函數(shù)/■（%）值域為（0,2）

C.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于（0,1）對稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于（1,1）對稱

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃X）=3A2_32T,則滿足〃x）+〃8-3x）>0的x的取值范圍是（）

A.（—oo,4）B.（—8,2）C.（2,+co）D.（—2,2）

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知。函數(shù)?。?『+/一"+1"41是R上的減函數(shù)，則〃的取值

1-?,%>1

范圍是（）

A.（1,3]B.[2,3]C.[2,-H?)D.[3,+oo)

1.（2024?江西?模擬預(yù)測）函數(shù)〃x）=3,斗的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（-=o,0）B.（-1,0）C.（0,1）D.（l,+oo）

2.（2024?福建福州?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)〃”=#期在區(qū)間0,2）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.（f,2]B.（-雙4]C.[2,+co）D.[4,+co）

3.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）（多選）己知函數(shù)〃力=苴=，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)，（無）單調(diào)遞增

B.函數(shù)“力值域為（0,2）

C.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于（0』）對稱

D.函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于（U）對稱

言，彳＜°

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）己知函數(shù)“尤）=J,則不等式的解集為（）

---,x＞0

、％+2

A.（-2,2）B.（0,+8）

C.（—8,0）D.（―2）u（2,+8）

考點四、指數(shù)（型）函數(shù)的值域與最值

典例引領(lǐng)

/1\VX2-32X-1

1.（23-24高三?階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為,值域為.

2.（2024?上海松江?二模）已知0＜。＜2,函數(shù)了=,（“一2,無：]40+1，若該函數(shù)存在最小值，則實數(shù)

I2a\x＞2

。的取值范圍是.

3.（2024?四川成都?二模）已知函數(shù)/（力=2一一短的值域為M.若（L+8）qM,則實數(shù)。的取值范圍是（）

*C.-00,-1UL+81

A.B.D.-.4-00

1444

1.（2024?貴州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（X）=2*+2A3,則〃x）的最大值是.

2.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）若函數(shù)/（x）=l+lgY（xe[Ll0°D，則函數(shù)W⑴=的值域為（）

A.[1,16]B.[1,8]C.[2,16]D.[1,16]

x

(?-l)-pX<l1

3.（2024?河北保定?三模）已知/（無）=，a>1)的值域為。，De[-,+oo),則。的取值范圍

XH---1,X〉1

X

是（）

A.[|，2]B,[|,|)37

一⑵D.T⑵

考點五、指數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大?。?/p>

典例引領(lǐng)

1.（2024?玄南?二模）若〃=2%-2/=6-Me=2^，則（）

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

2.（2024?天津?一模）已知實數(shù)〃，2c滿足a=則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

3.（2024?寧夏銀川?三模）設(shè)。=嚴(yán),b=3031,c=31nL3,則()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

1.(2024?四川?模擬預(yù)測)設(shè)]=0.5°4,1=0.41」,c=l.l05,則()

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

2.（2023天津?高考真題）設(shè)〃=1.0產(chǎn)5/=1.01。.6?=0.6。，則。，仇c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

、21二

3.(2024?遼寧?一模)設(shè)〃=—,Z?=2-e3,c=l-e3貝|()

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

好題沖關(guān)

一、單選題

1.（2024?陜西渭南?二模）設(shè)集合”={止1W1},N={y|y=e”,xW0},則()

A.(0,1)B.(0,1]C.[-1,1]D.[0,1]

2.（2024?河南?模擬預(yù)測）若a,Z?eR,則“°>2，"是"3”_3人>24_2"'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024?湖南邵陽?三模）是"函數(shù)a（a>0且awl）在R上單調(diào)遞減”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=2-a（aeR）為偶函數(shù),則函數(shù)y=/（x）的增區(qū)間為（）

A.(-l,+oo)B.(0,+ao)

C.(f,T)D.(-8,0)

5.（2024?遼寧?一模）若函數(shù)/（工）=3必2+"在區(qū)間（1,4）內(nèi)單調(diào)遞減，貝M的取值范圍是（）

A.(f4]B.[4,16]C.(16,+oo)D.[16,+oo)

—I,x<0/、

6.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）己知函數(shù)/（x）=<12）是奇函數(shù)，則x>。時，g（x）的解析式為（

g（x）,x>0

A.C2D.2，

7.（2024?浙江紹興三模）已知函數(shù)/'（2x+l）為偶函數(shù)，若函數(shù)g（x）="x）+2m+2i-5的零點個數(shù)為奇

數(shù)個，則/⑴=（）

A.1B.2C.3

二、填空題

,x<0

8.（2024?山東濟(jì)寧?三模）已知函數(shù)，（%）=,I

log4x,x>0

9.（2024?全國?模擬預(yù)測）寫出一個同時滿足下面條件①②的函數(shù)解析式“無）=

①〃為+無2）=/（芯）/（當(dāng)）；②“X）的值域為（0,+8）.

10.（23-24高一上?四川攀枝花?階段練習(xí)）若命題JxeR,2,-"=0"為假命題,則實數(shù)。的取值范圍為

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃同=/匕的圖象關(guān)于點對稱，則〃=（）

2

A.1B.2C.eD.e

2.（2024?貴州畢節(jié)三模）已知函數(shù)/（x）=二^是奇函數(shù)，若了（2023）>/（2024）,則實數(shù)。的值為（）

e"+〃

A.1B.-1C.±1D.0

3.（2024?北京西城?三模）已知函數(shù)f（x）=2）若且玉<多，則下面結(jié)論錯誤的是（）

A.f（x,）</（x2）B.尸）

C./（%32）=/（%1）+/（%2）D./（玉+兀2）=/（匕）/（%2）

e*%<0

4.（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=]'一八8⑺=彳-3,方程/'（ga））=-3-g（x）有兩個不

111人,JL，U,

同的根，分別是則%+%=（）

A.0B.3C.6D.9

11121

5.（23-24高三下?河南周口?開學(xué)考試）若〃=—?31=一匕5,o=—,貝1!（）

563

A.b>c>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

6.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知。=4。，6=93c=6）則處b,c（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

二、多選題

2

7.（2024?山東臨沂?一模）已知函數(shù)/⑺=*：+a（aeR）,則（）

A.〃x）的定義域為（―8,0）U（0,+?）

B.的值域為R

C.當(dāng)a=l時，〃尤）為奇函數(shù)

D.當(dāng)a=2時，/（-%）+/（%）=2

三、填空題

8.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）命題"任意xe[l,3],。42、+2*'為假命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

2',x>0,

9.（2024?上海,三模）若〃zeR,/（%）=1,則滿足〃根-2）2〃9+3）的機的最大值為_____

——,x<0

12，

ax,x<2

10.（2024?廣東廣州?三模）函數(shù)〃X）=蘇-⑶+31,x>2'其中〃>0且"1，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則“

的一個可能取值為

1.（2024?全國?高考真題）已知函數(shù)/（元）=一：〈:在R上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

[e^+ln（x+l）,x>0

A.（-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.。+8）

03

2.（2024?天津?高考真題）若a=4.2~03,fe=4.2,c=log420.2,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

3.（2023?全國?高考真題）已知函數(shù)〃力=「1y

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

4.（2023?全國，高考真題）已知/（x）=上-是偶函數(shù)，則。=（）

e^-l

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2021?全國?高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B..=Mnx|+?f?

,|sinx|

D.y=lnx+&

C.y=2x+22-x

Inx

6.（上海?高考真題）方程3I=：的解為.

7.（福建?高考真題）函數(shù)/（無）=優(yōu)-〃的圖象如圖所示，其中a,6為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

B.a>l,b>0

C.0<a<l,b>0D.0<a<l,b<0

8.（山東?高考真題）已知函數(shù)y=是偶函數(shù)，當(dāng)xe（0,+8）時，y=ax[O<a<l）,則該函數(shù)在（-0。）上

的圖像大致是（）

第03講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

（5類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第6題,5分判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

2023年新I卷，第4題,5分指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性二次函數(shù)單調(diào)性

用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性

2022年新I卷，第7題,5分比較指數(shù)累的大小

比較對數(shù)式的大小

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結(jié)合其他知識點考查，需要掌握指數(shù)的運算及

指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5-6分

【備考策略】1.了解有理數(shù)指數(shù)暴、實數(shù)指數(shù)累含義，掌握指數(shù)幕的運算性質(zhì).

2.了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念

3.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

4.能結(jié)合指數(shù)函數(shù)比較指數(shù)式大小

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容會結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學(xué)習(xí)備考

知識點1根式的基本知識

知識點2指數(shù)的基本性質(zhì)

知識點3指數(shù)的基本計算

核心知識點

知識點4指數(shù)函數(shù)

知識點5對稱性

考點1指數(shù)與指數(shù)幕的運算

考點2指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用

考點3指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性

核心考點

考點4指數(shù)（型）函數(shù)的值域與最值

考點5指數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大?。?/p>

知識講解

3.指數(shù)的基本知識

（4）根式的基本性質(zhì)

①日的定義域為了之0,正的定義域為xwR

x,x>0、

c，定義域為z(xeR)

-x,x<0

③（jR=x，定義域為（xNO）

④V7=x，定義域為（xeR）

⑤防，=%，定義域為（xeR）

（5）指數(shù)的基本性質(zhì)

①零指數(shù)暴：?！?1（。/0）;

②負(fù)整數(shù)指數(shù)累:ap=—N*）;

ap

m___

③正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕:an=(a>0,m>neN*,且〃>1)；

m1

④負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基：a'=J—(a>0,m>ne>1)

mn「m

an7a

（6）指數(shù)的基本計算

m

①同底數(shù)塞的乘法運算am-an=am+n②同底數(shù)塞的除法運算a?=L

an

mnm

③塞的乘方運算b葉=a④積的乘方運算=ab

4.指數(shù)函數(shù)

(3)指數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

一般地，函數(shù)了=優(yōu)(?！?且叫做指數(shù)函數(shù)

(4)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=axa>\0<tz<l

J\y

/y-axy^ax\『

圖(0,1)

----y=l-飛一1

象/

01Xix

定義域R

值域(0,4w)

過定點(0,1)

當(dāng)天>0時，y>1；當(dāng)%>0時，0<y<l；

性質(zhì)%<0時,0<y<lx<0時,y>1

在(-00,+00)上是增函數(shù)在(-co,y)上是減函數(shù)

考點一、指數(shù)與指數(shù)幕的運算

典例引領(lǐng)

＜有、2+4

1.(2023?全國?模擬預(yù)測)—=()

I9J

A.1B.當(dāng)C.V3

D.3

【答案】A

【分析】利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)化簡計算即可.

’38丫+有

【詳解】

3

故選：A.

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測）若盯=3,則

【答案】±273

【分析】

分工〉0,y>0和％<0?<0兩種情況分類計算.

【詳解】當(dāng)%>0,y>0時,

當(dāng)xv0,y<0時,

故答案為：±2百

1

3.（2022?北京?高考真題）已知函數(shù)/（%）=則對任意實數(shù)x,有（）

1+2X

A./(-x)+f(x)=0B./(-x)-/(x)=0

/(-x)-/(x)=1

C./(-x)+/(x)=lD.

【答案】C

【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤.

112X

【詳解】〃-%)+〃％)=---------F+」=1,故A錯誤，C正確;

1+2一”1+2尤1+2、1+2”

112X12X-1=1-二

/(-x)-/(x)=,不是常數(shù)，故BD錯誤;

1+2-工1+2%1+2V1+2%2'+12%+1

故選：C.

1.（2024?上海寶山?二模）將荷&（其中?>0）化為有理數(shù)指數(shù)幕的形式為

【答案】）

【分析】直接利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運算法則化簡求解即可

5

二〃"

故答案為：J

1

2.（2023?山東?模擬預(yù)測）若。一1a=4,則小+1的值為（）

A.8B.16C.2D.18

【答案】D

【分析】利用完全平方公式結(jié)合指數(shù)基的運算性質(zhì)計算即可.

【詳解】解：因為/一"=4,

22

所以cT+a=(QT—")2+2=4?+2=18.

故選：D.

3.(2023.四川宜賓?一模)計算:-21一(0.25/x層］+限*=.

【答案】-2后

【分析】根據(jù)根式、指數(shù)暴運算以及對數(shù)的定義運算求解.

_______1

【詳解】由題意可得：荷-2『—(025)；x+百xlg,|百一2卜QY［可+員(_1)

—2—6—x4—^/3=—2A/3,

2

即-2)—(0.25)5xx1g—=—2^/3.

故答案為：-2A/3.

考點二、指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)函數(shù)＞=3,與y=-g的圖象()

A.關(guān)于無軸對稱B.關(guān)于y軸對稱

c.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于y=尤對稱

【答案】c

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性即可判斷，對于兩個函數(shù)f(x)與g(x),如果它們的圖象關(guān)于原點對稱，即

g(-x)=-/(》)在定義域內(nèi)恒成立，則稱/(X)與g(x)為中心對稱，利用指數(shù)函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論.

【詳解】令函數(shù)y=/(x)=3*,y=g(x)=-3，

所以g(T)=_J=_3」〃尤)

即g(-x)=-/(x),所以函數(shù)f(x)與g(x)的的圖象關(guān)于原點對稱，

即函數(shù)y=3,與＞的圖象的的圖象關(guān)于原點對稱，

故選：C.

2.(23-24高三上?河北衡水?開學(xué)考試)已知a>0,則函數(shù)/(x)=a'-2a的圖象可能是()

【分析】通過特值法，排除錯誤選項，通過。的取值，判斷函數(shù)的圖象的形狀，推出結(jié)果即可.

【詳解】由于當(dāng)x=l時，f(l)=a-2a--a<0,排除B,C,

當(dāng)。=2時，/(x)=2-4,此時函數(shù)圖象對應(yīng)的圖形可能為A,

當(dāng)。=g時，/U)=(1)A-1,此時函數(shù)圖象對應(yīng)的的圖形可能為D.

故選：AD.

3.(2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=e，(x-1)-的所有零點之和為()

A.0B.-1C.GD.2

【答案】A

丫41

【分析】令〃x)=0，即e%x-l)-x-1=。，構(gòu)造函數(shù)好二與函數(shù)>=-畫出函數(shù)圖象，可知兩個函

數(shù)圖象相交于兩點，設(shè)為蒼,馬,得〃％)=〃f)=o,進(jìn)而得到％=-玉，即尤|+%=0

【詳解】由零點定義可知，函數(shù)的零點，就是方程〃x)=0的實數(shù)根，令〃x)=0,

丫-I-1

則e%(x—1)—%—1=0,顯然尤wl,所以e"=q,

x-1

y-L1y-L1

構(gòu)造函數(shù)丫=^與函數(shù)y==,則方程e，==的根，

x-1x-1

可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)圖象可知，兩個函數(shù)圖象相交于兩點，

所以此方程有兩個實數(shù)根，即函數(shù)/(力=^(3-1)-％-1有兩個零點，

設(shè)為%,巧,所以e*=&±|,

X]-1%2—]

即/(%)=酋(玉-1)-^-l=0,/(x2)=e^(x2-l)-x2-1=0,

另外發(fā)現(xiàn)，將一當(dāng)代入，可得/(_%)=ef(_%_1)_(_/)_]=一(%+1)+w_]__(x：+1)+三=0,

e1e1e1

所以一再也是函數(shù)/(x)的零點，說明％=-%，即%+%=。.

故選:A.

1.（22-23高二下?四川綿陽?期末）要得到函數(shù)y=2"i的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)y=4'的圖象（）

A.向左平移1個單位B.向右平移1個單位

C.向左平移1個單位D.向右平移1個單位

【答案】D

【分析】利用函數(shù)圖象的平移變換可得出結(jié)論.

【詳解】因為y=4￡=2?工，22-=2?卜總，

所以，為了得到函數(shù)y=221的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)y=4工的圖象向右平移3個單位，

故選：D.

2.（23-24高三上,山西晉中?階段練習(xí)）（多選）在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)_￥=/+依+。-1與y=a”的圖象

可能是（）

y

【答案】AC

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象判斷，注意分類討論.

【詳解】當(dāng)。＞1時，對應(yīng)的圖象可能為選項A；當(dāng)0＜。＜1時，對應(yīng)的圖象可能為選項C.

故選：AC.

3.（2024?黑龍江?二模）已知函數(shù)y=的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線＞=2,但又不與該直線相

交，貝!J必=（）

A.-1B.-2C.-4D.-9

【答案】C

【分析】由題意可得。+6=0且6=2,求出a,即可求解.

【詳解】因為函數(shù)＞=/3=心”圖象過原點，所以*）。+萬=0,

得a+b=0,又該函數(shù)圖象無限接近直線y=2,且不與該直線相交，

所以6=2,則a=—2,

所以必=-4.

故選：C

考點三、指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高考真題）設(shè)函數(shù)/（尤）=2心甸在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+s）

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數(shù)＞=2*在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/（x）=2"（，詢在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)y=x（x-a）=（尤-在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，因此解得“22,

所以。的取值范圍是［2,+8).

故選：D

2.(2024?寧夏銀川?三模)已知函數(shù)尤)=5蕓，則下列說法不正確的是()

A.函數(shù)〃尤)單調(diào)遞增B.函數(shù)〃x)值域為(0,2)

C.函數(shù)〃尤)的圖象關(guān)于(0,1)對稱D.函數(shù)〃尤)的圖象關(guān)于(U)對稱

【答案】C

【分析】分離常數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)

的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對稱性的定義，〃2-力與的關(guān)系，即可判斷CD.

.、辛々力Y支(、2》2%+2-22

［詳斛1/(%)=-=——；----=2——，

'72X-1+12X-1+12X-1+1

2

函數(shù)y=2-7,t=2x~l+1,則，>1,

又內(nèi)層函數(shù)=21+1在R上單調(diào)遞增，外層函數(shù)y=2-：在(l,y)上單調(diào)遞增，

所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù);'(X)單調(diào)遞增，故A正確；

22

因為2言+1>1，所以則0<2—―^<2,

2+12+1

所以函數(shù)/(%)的值域為(。,2),故B正確；

Q2-XAQ

/(2-x)=F7TT=2727=FrTT,/(2-x)+/W=2,

所以函數(shù)尤)關(guān)于點(Ll)對稱，故C錯誤，D正確.

故選：C.

3.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃X)=3*-2—32-，,則滿足2(x)+〃8-3力>0的x的取值范圍是()

A.(-oo,4)B.C.(2,+8)D.(-2,2)

【答案】B

【分析】設(shè)g(x)=3'-3、即可判斷g(x)為奇函數(shù)，又"x)=g(x-2),可得“力圖象的對稱中心為(2,0),

則〃x)+〃4r)=0,再判斷外”的單調(diào)性，不等式〃x)+〃8—3x)>0,即*8—我)>/(4—x),結(jié)合

單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

【詳解】設(shè)8(力=3'一3\XGR,則g(-x)=3T-3"=-g(x),所以g(元)為奇函數(shù).

T2

又〃x)=3--32T=3A-2_3*2)=g(%_2),

則的圖象是由g(x)的圖象向右平移2個單位長度得到的，

所以“X)圖象的對稱中心為(2,0),所以/(0+〃4-x)=0.

因為y=3,在R上單調(diào)遞增，y=3一'在R上單調(diào)遞減，

所以g⑴在R上單調(diào)遞增，則在R上單調(diào)遞增，

因為f（x）+f（8—3x）>0=f（x）+/（4—x）,

所以/（8—3